数学建模之微积分模型

微积分的应用1.跳伞运动员由静止状态向地面降落，人和伞共重161磅（1磅=0.45359273kg ），在降落伞张开以前，空气阻力等于 v 2 ，在开始降落5s 后降落伞张开，这时空气阻力为 v 22 ，试求降落伞张开后跳伞员的速度v(t)，并讨论极限速度。

问题分析：本题题目比较好懂，只要理解阻力的速度的关系，再根据物理关系进行列方程即可求解。

所以问题主要在于模型的建立于求解。

具体解题过程如下。

（1） 分析求解从t=0到t=5s 之间跳伞员的运动状态 由已知可得空气阻力f=v/2，故根据力学知识可以得到如下方程：mg-f=ma即 mg-v/2=m dv dt此为一元微分方程。

由高数知识，先解该方程对应的齐次微分方程-v/2=m dv dtdv v =−dt 2m 两边同时积分 ∫ dv v v t v 0=∫−dt 2m t 0 得 v t =v 0∗e −t2m由常数变异法令 v t =h(t)∗e −t 2m则 v t ’=h(t)’∗e −t2m + h(t)*(-12m ) ∗e −t2m 带回原方程得：h(t)’=g ∗e −t 2mh(t)=2mg ∗e−t2m +C (C 为常数)所以v t =h (t )∗e −t 2m = (2mg ∗e −t 2m +C) ∗e −t 2m又 v 0= 0，所以C= -2mg所以 v t = = 2mg (1−e −t 2m )带入数值，t=5s ，则可得到v 5=48.17m/s 。

且由方程的解的表达形式，利用MATLAB 可以得到如下v-t 曲线。

由于该曲线是在5s 内的，则e −t 2m 随t 的变花近似为线性的，所以看起来近似直线，实际则不是的。

（2） 分析求解从t=5s 到t=t 之间跳伞员的运动状态同以上的分析过程，可以列出在该时间段内的方程：mg- v 22 =m dv dt即 dvdt =2mg−v 22m dv 2mg−v 2=12m dt令√2mg =a ，对上式两边同时积分得：∫dva2−v2=∫12mdtt5v tv5查的积分表公式，上式继续得到：∫dva2−v2=12a∫(1a−v+1a+v)v tv5dv=v t v512aln|a+v ta−v t∗a−v5a+v5| =t−52m直接对该式进行定性分析：如果不考虑跳伞员的高度问题，当t ∞时，上式右边∞,所以可以得到绝对值部分为无穷大；所以有v t=a=√2mg=37.826 m/s。

微积分的数学模型解析微积分，是数学的一个分支，它是构建现代科学的基础之一。

微积分是研究自然界各种现象的基础，几乎所有科学的研究都需要用到微积分的方法。

微积分的核心是求解导数和积分，通过导数和积分的作用，可以建立不同的数学模型，此时微积分就将不同的问题转化为数学问题，使问题的求解变得简单明了。

微积分的数学模型解析，虽然是微积分的一个难点，但是却是非常重要的。

在现实生活中，经常会遇到各种需要建立数学模型的问题，如经济、发展、生物、环境等，这些问题都需要微积分的数学模型进行分析和解决。

下面，就来详细探讨微积分的数学模型解析。

一、导数的数学模型解析导数是微积分中的一个重要概念，具有解决许多问题的力量。

导数包含了物理学、工程学、生物学、经济学等众多学科中的各种数学模型。

导数可以体现一个量随着另一个量的改变所带来的变化率。

导数的推导过程中涉及到极限，而极限则是微积分的核心概念之一。

在数学模型解析过程中，常常需要建立函数的导数模型。

假设函数f(x)表示某一变量随着另一变量的变化而发生变化的规律，那么f(x)的导数f'(x)就是一个新的变量随着原变量x的改变而发生变化的规律。

这里需要注意的是，导数f'(x)并不是函数的直接表示，而是函数变化的速度，也就是函数斜率的大小。

导数的数学模型解析，有助于解决许多现实生活中的问题。

例如，对于销售某种商品的商家，可以通过建立该商品的销售量与时间的导数模型，来分析该商品在不同时间下销售情况的变化趋势，并为制定销售策略提供支持。

二、积分的数学模型解析积分是微积分中的另一个核心概念，也有着非常重要的应用价值。

积分可以将一个函数曲线下的面积求出，因此，在物理学、化学、统计学、经济学等学科领域中，经常会用到积分的方法。

在数学模型解析过程中，建立函数的积分模型需要注意一些要点。

首先，需要选择合适的积分方法，例如，定积分、不定积分、面积积分等。

其次，需要确定积分区间，即对函数需要积分的范围进行明确。

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

数学建模中的分数阶微积分理论研究随着科技的快速发展，人们对于各类实际问题的解决需求愈发迫切。

然而，一些现实问题并不容易使用传统的微积分方法进行建模和求解。

相比传统微积分，分数阶微积分理论能够更加准确地描述这些问题，其求解方法更加广泛和灵活。

因此，在数学建模中，应用分数阶微积分理论进行问题解决已经成为一种热门的研究方向。

传统微积分只考虑整数次导数的概念，而在分数阶微积分理论中，我们将这一概念扩展到了分数次导数。

不同于整数次导数，分数次导数的连续性和正则性条件要求更高。

分数阶微积分理论将实际问题更好地进行了描述，因为分数次导数既可以表示瞬时变化率，也可以表示涉及时间或空间的记忆效应。

分数阶微积分可以精确建模像非可扩散（即Fickian）和可扩散（即非Fickian）扩散的物理现象，以及像市场波动和药物代谢这样的生物或经济现象。

数学建模中的一个常见问题就是如何确定分数阶微积分中的分数阶导数。

这一问题最常用的解决方法包括基于矩估计的方法、基于小波变换的方法，以及基于权重求和的方法等。

根据问题的不同，我们可以选择合适的方法进行求解。

另外，由于分数阶微积分的性质复杂，解决方案不唯一，因此对不同方法的对比研究也是必要的。

值得一提的是，虽然分数阶微积分理论的应用范围非常广泛，但是其应用在实际问题中的难度和复杂度也较高。

例如，在金融领域，分数阶微积分理论可以被用于模拟股票价格的变化，但是实际问题往往涉及到更多的影响因素。

因此，需要不断地深入研究分数阶微积分理论，并结合实际问题进行验证和应用。

总的来说，分数阶微积分理论在数学建模中的应用已经成为一个热门领域。

通过应用分数阶微积分，我们可以更好地解决一些传统微积分无法解决的问题，并精确建模实际问题。

在未来，相信随着对分数阶微积分理论的更深入研究和应用，我们可以更好地解决和预测实际问题。

微积分在实际问题中的数学建模方法微积分是数学中重要的分支，它研究函数的变化率和积分的性质。

微积分为解决实际问题提供了强有力的数学工具和建模方法。

在实际问题中，微积分的数学建模方法可以帮助我们理解和分析问题，并通过数学计算得到解决方案。

微积分在实际问题中的数学建模方法包括函数建模、极限分析、导数分析、积分分析等。

下面将对每个方法进行详细介绍，并给出实际问题的例子以说明其应用。

函数建模是微积分中最基础的建模方法之一，它可以将实际问题转化为数学函数的形式。

通过观察问题的特征和规律，我们可以根据实际情况选择适当的函数模型，并确定模型的参数。

例如，在人口增长问题中，我们可以使用指数函数来建模人口的增长趋势，通过调整指数函数的系数来拟合实际数据，进而预测未来的人口变化。

极限分析是微积分中重要的思维工具之一，在实际问题中广泛应用。

通过对问题中的量进行极限分析，我们可以推导出问题的特性和规律。

例如，在力学中，我们可以利用极限分析来推导物体的速度和加速度之间的关系，进而解决运动问题。

在经济学中，极限分析可以帮助我们理解市场供需关系的演变过程，从而预测价格的变化趋势。

导数分析是微积分中常用的分析方法之一，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和函数的局部特性。

通过求导数，我们可以得到函数的斜率和变化率，进而分析问题中的变化规律。

例如，在物理学中，通过对位移函数求导数，我们可以得到速度函数；再对速度函数求导数，我们可以得到加速度函数。

这种导数分析可以帮助我们理解物体运动的过程和规律。

积分分析是微积分中重要的计算方法之一，它可以帮助我们计算函数的面积、体积和曲线的长度等。

通过对问题中的量进行积分，我们可以得到问题的定量解决方法。

例如，在物理学中，通过对力的函数进行积分，我们可以计算出力对物体所做的功；再通过对功的函数进行积分，我们可以计算出物体的势能变化。

这种积分分析可以帮助我们计算物体的能量转换和储存情况。

综上所述，微积分在实际问题中的数学建模方法可以帮助我们理解问题、分析问题并得到解决方案。