数学建模-微积分模型

数学学科教学微积分与数学建模微积分和数学建模是数学学科中的两个重要部分，它们在数学教学中起到了关键的作用。

微积分是研究变化以及极限的数学分支，而数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。

本文将探讨微积分和数学建模在数学学科教学中的应用和意义。

一、微积分在数学学科教学中的应用微积分是数学学科中的重要内容，它包括微分和积分两个部分，通过对函数的研究，能够帮助学生理解数学中的变化和极限概念。

在数学学科教学中，微积分可以应用于以下几个方面。

1.1 函数的导数与变化率函数的导数是微积分的重要概念之一，它表示了函数在某一点的变化率。

通过学习函数的导数，学生可以更好地理解函数的图像和性质，进一步探究函数的最值和变化趋势。

在教学中，可以通过练习和实例，引导学生发现函数的导数与函数图像之间的关系，培养他们的观察力和分析思维。

1.2 积分与面积问题积分是微积分的另一个重要概念，它可以用来求解曲线下面积和曲线长度等问题。

在数学学科教学中，可以通过具体的实例，如计算曲线下方的面积或曲线的弧长，让学生领会积分的几何意义和实际应用，培养他们的数学建模能力。

1.3 微分方程与实际问题微分方程是微积分的一个重要分支，它在解决实际问题中发挥着重要作用。

在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，如物理、经济、生物等领域中的问题，让学生学习和掌握微分方程的建模和求解方法，提高他们的应用能力和创新思维。

二、数学建模在数学学科教学中的应用数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，它将数学与实际问题相结合，培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。

在数学学科教学中，数学建模可以应用于以下几个方面。

2.1 实际问题的抽象与模型建立数学建模在解决实际问题中的第一步是将实际问题抽象成数学模型。

在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，让学生学习和掌握问题抽象的方法和建立模型的技巧，培养他们的问题分析和数学建模能力。

2.2 模型求解与结果分析数学建模的第二步是对建立的数学模型进行求解，并分析结果的合理性和可行性。

第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型。

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。

建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。

§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）。

在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）。

已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值。

一、 确定飞机降落曲线的方程设飞机的降落曲线为d cx bx ax y +++=23由题设有 h x y y ==)(,0)0(0。

由于曲线是光滑的，所以y(x)还要满足0)(,0)0(0='='x y y 。

将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x h y --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米。

微积分的数学模型解析微积分，是数学的一个分支，它是构建现代科学的基础之一。

微积分是研究自然界各种现象的基础，几乎所有科学的研究都需要用到微积分的方法。

微积分的核心是求解导数和积分，通过导数和积分的作用，可以建立不同的数学模型，此时微积分就将不同的问题转化为数学问题，使问题的求解变得简单明了。

微积分的数学模型解析，虽然是微积分的一个难点，但是却是非常重要的。

在现实生活中，经常会遇到各种需要建立数学模型的问题，如经济、发展、生物、环境等，这些问题都需要微积分的数学模型进行分析和解决。

下面，就来详细探讨微积分的数学模型解析。

一、导数的数学模型解析导数是微积分中的一个重要概念，具有解决许多问题的力量。

导数包含了物理学、工程学、生物学、经济学等众多学科中的各种数学模型。

导数可以体现一个量随着另一个量的改变所带来的变化率。

导数的推导过程中涉及到极限，而极限则是微积分的核心概念之一。

在数学模型解析过程中，常常需要建立函数的导数模型。

假设函数f(x)表示某一变量随着另一变量的变化而发生变化的规律，那么f(x)的导数f'(x)就是一个新的变量随着原变量x的改变而发生变化的规律。

这里需要注意的是，导数f'(x)并不是函数的直接表示，而是函数变化的速度，也就是函数斜率的大小。

导数的数学模型解析，有助于解决许多现实生活中的问题。

例如，对于销售某种商品的商家，可以通过建立该商品的销售量与时间的导数模型，来分析该商品在不同时间下销售情况的变化趋势，并为制定销售策略提供支持。

二、积分的数学模型解析积分是微积分中的另一个核心概念，也有着非常重要的应用价值。

积分可以将一个函数曲线下的面积求出，因此，在物理学、化学、统计学、经济学等学科领域中，经常会用到积分的方法。

在数学模型解析过程中，建立函数的积分模型需要注意一些要点。

首先，需要选择合适的积分方法，例如，定积分、不定积分、面积积分等。

其次，需要确定积分区间，即对函数需要积分的范围进行明确。

§12 传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。

为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。

模型（一）（SI 模型） 模型假设1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中所占比例分别为)(t s 和)(t i ，即1)()(=+t i t s 。

2、平均每个病人每天有效接触人数是常数λ，即每个病人平均每天使)(t s λ个健康者受感染变为病人，λ称为日接触率。

模型建立与求解据假设，在时刻t ，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变成病人，病人数为)(t Ni ，故每天共有)()(t i t Ns λ个健康者被感染，即Nsi dtdiNλ= 又由假设1和设0=t 时的比例0i ，则得到模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(i i i i dt diλ （1）（1）的解为te i t i λ--+=)11(11)(0（2）21i m dtdi )(m 21i模型解释1、当21=i 时，dt di 达最大值，这个时刻为)11ln(01-=-i t m λ，即高潮到来时刻，λ越大，则m t 越小。

2、当∞→t 时1→i ，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。

模型（二）（SIS 模型） 在模型（一）中补充假设3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率。

模型修正为⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i ii i dt diμλ （t 时刻每天有μNi 病人转变成健康者） （3）（3）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--+-=----μλλμλμλλμλλμλ101)(0)1(])1([)(i t e i t i t （4） 可以由（3）计算出使dt di 达最大的高潮期m t 。

（dt di 最大值m dt di )(在λμλ2-=i 时达到）。

微积分在实际问题中的数学建模方法微积分是数学中重要的分支，它研究函数的变化率和积分的性质。

微积分为解决实际问题提供了强有力的数学工具和建模方法。

在实际问题中，微积分的数学建模方法可以帮助我们理解和分析问题，并通过数学计算得到解决方案。

微积分在实际问题中的数学建模方法包括函数建模、极限分析、导数分析、积分分析等。

下面将对每个方法进行详细介绍，并给出实际问题的例子以说明其应用。

函数建模是微积分中最基础的建模方法之一，它可以将实际问题转化为数学函数的形式。

通过观察问题的特征和规律，我们可以根据实际情况选择适当的函数模型，并确定模型的参数。

例如，在人口增长问题中，我们可以使用指数函数来建模人口的增长趋势，通过调整指数函数的系数来拟合实际数据，进而预测未来的人口变化。

极限分析是微积分中重要的思维工具之一，在实际问题中广泛应用。

通过对问题中的量进行极限分析，我们可以推导出问题的特性和规律。

例如，在力学中，我们可以利用极限分析来推导物体的速度和加速度之间的关系，进而解决运动问题。

在经济学中，极限分析可以帮助我们理解市场供需关系的演变过程，从而预测价格的变化趋势。

导数分析是微积分中常用的分析方法之一，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和函数的局部特性。

通过求导数，我们可以得到函数的斜率和变化率，进而分析问题中的变化规律。

例如，在物理学中，通过对位移函数求导数，我们可以得到速度函数；再对速度函数求导数，我们可以得到加速度函数。

这种导数分析可以帮助我们理解物体运动的过程和规律。

积分分析是微积分中重要的计算方法之一，它可以帮助我们计算函数的面积、体积和曲线的长度等。

通过对问题中的量进行积分，我们可以得到问题的定量解决方法。

例如，在物理学中，通过对力的函数进行积分，我们可以计算出力对物体所做的功；再通过对功的函数进行积分，我们可以计算出物体的势能变化。

这种积分分析可以帮助我们计算物体的能量转换和储存情况。

综上所述，微积分在实际问题中的数学建模方法可以帮助我们理解问题、分析问题并得到解决方案。