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伴侣矩阵的多项式与多项式的整除性

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矩阵多项式与多项式矩阵[新版]

矩阵多项式与多项式矩阵[新版]

§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010110201A 试计算EA A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即AE f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。

由此可得，求最小多项式的一个方法：设nn CA ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为kss k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中si k n ii ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。

高等代数课件-§13整除的概念

高等代数课件-§13整除的概念

04 整除的应用
在多项式分解中的应用
01
整除是多项式分解的重要工具，通过整除可以找到 多项式的根，从而将其分解为因式。
02
利用整除性质，可以将多项式中的项进行分组，从 而简化多项式的结构。
03
在进行因式分解时，整除可以帮助确定公因式，使 分解过程更加简便。
在矩阵运算中的应用
01 在矩阵运算中，整除可以用来计算行列式值，从 而判断矩阵是否可逆。
应用场景
在高等代数中，最大公因式主要用于 解决多项式的整除问题，而最小多项 式则更多地应用于矩阵的特征值计算 和求解方程组等领域。
03 欧几里得算法
欧几里得算法的原理
欧几里得算法基于辗转相除法的 原理，通过不断将大数除以小数， 直到余数为0，最终得到两个数
的最大公约数。
该算法基于数学归纳法的原理， 通过递归的方式不断缩小问题规
最小多项式的定义与性质
最小多项式的定义
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是满足条件的最小次数的 多项式。
唯一性
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是唯一的。
整除性
最小多项
关系描述
最大公因式和最小多项式在数学上存 在一定的联系，但它们分别描述了不 同的概念。
，从而找到方程组的解向量。
03
整除还可以用来验证解的正确性，确保找到的解满足
原方程组。
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感谢您的观看
模，最终得到最大公约数。
欧几里得算法的原理还可以用数 学公式表示，即gcd(a, b) =
gcd(b, a mod b)，其中mod表 示取余操作。
欧几里得算法的实现步骤
1 2
初始化
选择两个需要求最大公约数的数a和b，其中a>b。

2.2多项式的整除性

2.2多项式的整除性
项式有任意多高次的因式）。 3.零次多项式只能被零次多项式整除。 4.零次多项式整除任一多项式。
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).

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目
第八章 二次型 § 8.1 定 义 和 基 本 性 质 § 8.2 复 二 次 型 与 实 二 次 型 § 8.3 正 定 二 次 型
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第一章 一元多项式 § 1.1 定 义 和 基 本 性 质 § 1.2 多 项 式 的 整 除 性 § 1.3 最 大 公 因 式 § 1.4 因 式 分 解 § 1.5 重 因 式 § 1.6 多 项 式 函 数
录
§ 1.7 复 系 数 多 项 式 和 实 系 数 多 项 式 § 1.8 有 理 系 数 多 项 式 § 1.9 部 分分 式
高 等 代 数 讲 义
(详 细 版)
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清华大学出版社
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目
预备知识 第一章 一元多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩 阵 第五章 线性空间 第六章 线性映射 第七章 欧氏空间 第八章 二次型
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预备知识 § 0.1 常 用 概 念 · 方法 和 符 号 § 0.2 整 数 的 整 除 性 § 0.3 数 环 和 数 域
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第五章 线性空间 § 5.1 定 义 和 基 本 性 质 § 5.2 线 性 相 关 性 § 5.3 向 量 组 的 秩 § 5.4 基 · 维 数 和 坐 标 § 5.5 子 空 间 § 5.6 子 空 间 的 交 与 和 § 5.7 线 性 空 间 的 同 构
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第六章 线性映射 § 6.1 定 义 和 基 本 性 质 § 6.2 线 性 映 射 的 运 算 § 6.3 线 性 映 射 的 矩 阵 表 示 § 6.4 不变 子 空 间 § 6.5 特 征值 和 特 征 向 量 § 6.6 可 对 角 化 的 线 性 变 换

不可约多项式之间的关系

不可约多项式之间的关系

不可约多项式之间的关系
两个不可约多项式之间的关系可以通过以下几个方面来描述：
1. 互素关系：如果两个不可约多项式没有公共的因式，即它们的最大公因式为常数，则称它们互素。

互素的多项式之间没有任何关系。

2. 除尽关系：如果一个不可约多项式能够整除另一个不可约多项式，即它们的商式是一个整数多项式，则称它们存在除尽关系。

除尽关系意味着一个多项式可以被另一个多项式整除。

例如，多项式x+1可以整除多项式x^2 +1。

3. 相伴关系：如果一个不可约多项式是另一个不可约多项式的常数倍，则称它们存在相伴关系。

相伴关系意味着两个多项式具有相似的性质，但并不相等。

总的来说，不可约多项式之间的关系是多种多样的，可以通过不同的因式关系来描述它们之间的联系。

高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念

高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念

若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式

作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。

多项式矩阵

多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。

它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。

多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。

定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。

特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。

多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。

2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。

3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。

4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。

5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。

多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。

2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。

3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。

4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。

多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。

多项式矩阵

多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。

它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。

本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。

首先，我们来定义多项式矩阵。

一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。

多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。

这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。

接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。

首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。

例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。

同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。

多项式矩阵的乘法也有所不同。

在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。

而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。

具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。

注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。

多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。

一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。

这个性质类似于实数矩阵的可逆性。

当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。

多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。

在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。

多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。

第九章__多项式矩阵

3 0 8 A = 3 −1 6 (2) −2 0 −5
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。

高等代数知识点总结

线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
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