单纯形法

1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
B1
x 3 ; x 4
1
B 2
2
2 1
,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
B2
x 1 。 x 2
问题：本例旳A中一共有几种基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基旳个数最多有多少个？ — —C m 个。 n
p 1
7
(0 0
0) 4
7;
3
360 90
3
4
[ ] 中表达进基列与出基行旳交叉元，下一张表将实 施以它为主元旳初等行变换（称高斯消去）。措施是： 先将主元消成1，再用此1将其所在列旳其他元消成0。
C X B b1
B
B
0
x 3
360
0
x 4
200
0
x 5
300
0
x 3
240
0
x 4
50
（1）先将模型化为原则型
Maxz 7 x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
5x 2 10 x
2
x 4
200
x 300 5
x
1, x
2, x , x , x
3
4
5
0
(2) 拟定初始基可行解、检验
1
B 0
1
,
B
b1

单纯形法simplex method求解线性规划问题的通用方法。

单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。

它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。

顶点所对应的可行解称为基本可行解。

单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。

因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。

如果问题无最优解也可用此法判别。

根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。

使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。

这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。

求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。

最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。

②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。

③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。

④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。

⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。

现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。

θi 32.5 40 25
5 7. 5
注意：单纯形法中， 注意：单纯形法中， 1.每一步运算只能用矩阵初等行 1.每一步运算只能用矩阵初等行 变换； 变换； 2.表中第3列的数总应保持非负 2.表中第 表中第3 （≥ 0）； 3.当所有检验数均非正（≤ 0） 3.当所有检验数均非正 当所有检验数均非正（ 得到最优单纯形表。 时，得到最优单纯形表。
8
1.初始单纯形表： 1.初始单纯形表： 初始单纯形表
CB XB b b1 b2 ┇ bm f
m
cn+1 xn+1 cn+2 xn+2 ┇ ┇ cn+m xn+m m -z
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
… … … … ┇ … …
cn xn a1n a2n ┇ amn σn
m
cn+1 xn+1 1 0 ┇ 0 m 0
-z
15
在最优单纯形表中，非基变量的检验数不 在最优单纯形表中， 是正数,于是得到最优解为X 是正数,于是得到最优解为X*=(15,10,0,0,45)T 最优目标值为z =32500。注意到非基变量x 最优目标值为z*=32500。注意到非基变量x4 的检验数是0 如果选x 为进基变量， 的检验数是0，如果选x4为进基变量，迭代 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 下面再迭代一步，如表2 所示。 下面再迭代一步，如表2-9所示。
19
解：单纯形法求解过程如下表。 单纯形法求解过程如下表。
CB XB
0 0 0 -z 7 0 0 -z x1 x6 x7 x5 x6 x7

定理2.2 定理
在已知一个基本可行 初始基本可行解）的前提下， 解（初始基本可行解）的前提下， 使用单纯形法求解线性规划时， 使用单纯形法求解线性规划时，若 每次迭代得出的基本可行解的基变 量均大于零（称为非退化）， ），则算 量均大于零（称为非退化），则算 法必有限步终止。 法必有限步终止。
P22
min z = 9 10 x1 +27 x3 s.t. x2 = 5 + x1 3x3 x4 = 6 2 x1 + 4 x3 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 T 是否为(2.9)的最优解 判断 (0,5,0,6) 是否为(2.9)的最优解
1 0 0 0 1 0
T
(2.9)
-2 1 7
0 0 1 0 -1/5 2/5 3/5 1/5
4 2 5 16 3 4 3 17
从表中知（ ， ， ， ， ） 从表中知（4，3，3，0，0）T为最优 略去松弛变量， 解，略去松弛变量，得：
x = (4,3)
T
——最优解 最优解Fra bibliotekz = 17
——最优值 最优值
§2.5
大M法 法
引入：问题提出， 引入：问题提出，当初始 基本可行解不知道时， 基本可行解不知道时，如何 求解？ 求解？ 先利用容许的运算使右列 为非负， 为非负，然后在中心部位人 工地添加一个单位子块。 工地添加一个单位子块。
最优解的读法： 最优解的读法： 单位子块中1所对应的变量取相应右列的值， 单位子块中 所对应的变量取相应右列的值，不在 所对应的变量取相应右列的值 单位子块位置中的变量取值为0。 单位子块位置中的变量取值为 。而右下端元素变号 即为LP的最优值 的最优值。 即为 的最优值。 单纯形法的步骤： 单纯形法的步骤：