立体几何(同步)-潍坊市某中学高中数学二轮复习

2023高中数学立体几何复习题集附答案一、立体几何基础知识立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间内的图形、体积和表面积等相关性质。

掌握立体几何的基础知识对于高中数学学习尤为重要。

下面是一些常见的立体几何概念及其性质：1. 空间中的点、线、面是立体几何中最基本的概念。

点是没有长度、宽度和高度的，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。

2. 立体是由许多平面相互连接而成的。

这些平面称为面，每个面都有其特定的几何形状，如三角形面、矩形面等。

3. 空间中的距离有两种：直线距离和曲线距离。

直线距离是两点之间最短的距离，而曲线距离则是沿着曲线的长度。

4. 空间中的体积是指一个物体占据的空间大小。

常见的几何体体积计算公式有：长方体的体积为底面积乘以高，球体的体积为4/3乘以π半径的立方，圆柱体的体积为底面积乘以高等。

5. 表面积是指立体图形外表面的总面积。

计算几何体表面积的公式与计算体积的公式类似，只是不同几何体的取值不同。

二、复习题1. 长方体A的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，计算长方体A的表面积和体积。

解答：长方体的表面积公式为S = 2(ab + ac + bc)，其中a、b和c分别是长方体的三个边长。

代入数据后，可得长方体A的表面积为：S = 2(3*4 + 3*5 + 4*5) = 94cm²长方体的体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别是长方体的三个边长。

代入数据后，可得长方体A的体积为：V = 3*4*5 = 60cm³因此，长方体A的表面积为94cm²，体积为60cm³。

2. 一个四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，其高度为8cm。

计算该四棱锥的体积和表面积。

解答：四棱锥的体积公式为V = 1/3 * 底面积 * 高度。

底面为正方形，因此底面积为6²=36cm²。

代入数据后，可得四棱锥的体积为：V = 1/3 * 36 * 8 = 96cm³四棱锥的表面积公式为S = 底面积 + 侧面积。

高中数学二轮复习——立体几何一、空间几何体及三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.例1．用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 cm 3．图1（俯视图） 图2（主视图）例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体A CDEF 的体积为 ．例3.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有 个． 例4．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 2cm 。

例 5.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体 积为例6.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长 度，可以计算出该几何体的表面积是 ．主视图俯视图左视图2 俯视图主视图 左视图21 238π61252420+例7、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱例8、已知三棱锥错误！未找到引用源。

的所有顶点都在球错误！未找到引用源。

的求面上，错误！未找到引用源。

是边长为错误！未找到引用源。

的正三角形，错误！未找到引用源。

为球错误！未找到引用源。

的直径，且错误！未找到引用源。

；则此棱锥的体积为（ ）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

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错误！未找到引用源。

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例1、7 例2、 例3、5 例4、 例5、例6、12+42 例7、D 例8、A 二、定理类命题的判断例1.下列命题中错误的是( )（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例2、已知1α，2α，3α是三个相互平行的平面．平面1α，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ．直线l 与1α，2α，3α分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d =”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥(C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 例4、给定下列四个命题：其中，为真命题的是 （ ）①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④例5、已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的( )654565俯视图侧视图正视图A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件例6．已知a 、b 为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确命题的个数是（ ） ① 若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ②若 a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③ 若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；④ 若α∥b ，β∥b ，则α∥β． A ． 1B ． 3C ． 2D ． 0例7、.设l 、m 、n 为不同的直线，βα、为不同的平面，有如下四个命题：( ) ①若βαβα//,l ，l 则⊥⊥ ②若βαβα⊥⊂⊥l ，l 则, ③若n l n m m l //,,则⊥⊥ ④若n m n m ⊥⊥则且βαβα////, A.0B.1C.2D.3例8、已知空间两条不同的直线n m ,和两个不同的平面,αβ，则下列命题中正确的是( )A ．若//,,//m n m n αα⊂则B ．若,,m m n n αβα=⊥⊥ 则C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂= 则例9、设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

专题五 立体几何必考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积[高考预测]——运筹帷幄1．以三视图为背景的几何体的识别问题．2．空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积． 3．球及有关组合体的表面积与体积． [速解必备]——决胜千里 1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a 、b 、c 则体对角线长为a 2＋b 2＋c 2(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .(3)若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的线段P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)[速解方略]——不拘一格类型一 有关几何体的三视图的计算[例1] (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16， 剩余部分的体积V 2＝13－16＝56. 所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.速解法：如图所示，VA -A 1B 1D 1＝13VABD -A 1B 1D 1＝16V 正方体 VA -A 1B 1D 1＝15VABCD -B 1C 1D 1 答案：D方略点评：基本法是具体计算几何体的体积，速解法是根据几何体间的体积关系求得答案.(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2πr2＋πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2.由5πr2＋4r2＝16＋20π，得r＝2.故选B.速解法：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积都含有“π”，只有圆柱的轴截面面积不含“π”，∴即2r·2r＝16，∴r＝2，故选B.答案：B方略点评：(1)基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.速解法是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求r.(2)此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π cm 3，圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π cm 3， 所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π cm 3，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027，故选C. 答案：C2．(2016·高考全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积．由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B. 答案：B类型二 球及其组合体[例2] (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解． 如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C.速解法：设球的半径为r, 则V O -ABC ＝13×12×r 2h ≤16r 3＝36，故r ＝6.故S 球＝4πr 2＝144π. 答案：C方略点评：基本法是根据直观图，找到C 点位置.,速解法是利用V O -ABC 的表达式的代数关系(≤16r 3)直接求得r .(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4解析：基本法：如图所示，R 2＝(4－R )2＋2，。

姓名，年级：时间：专题限时集训（十一) 立体几何1。

（2019·全国卷Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD.A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M,N分别是BC,BB1，A1D的中点．(1）证明：MN∥平面C1DE;（2）求二面角A.MA1­N的正弦值．解：(1）连接B1C，ME。

因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME∥B1C,且ME＝错误!B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝错误!A1D．由题设知A1B1 错误!DC，可得B1C错误!A1D，故ME错误!ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥E D．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE。

(2）由已知可得DE⊥D A．以D为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D。

xyz，则A(2，0，0）,A1(2，0,4），M(1,错误!，2），N(1，0，2），错误!＝(0,0，－4)，错误!＝(－1,错误!,－2），错误!＝（－1,0，－2），错误!＝(0，－错误!，0)．设m＝（x，y，z)为平面A1MA的法向量,则错误!所以错误!可取m＝(错误!，1，0）．设n＝（p,q，r）为平面A1MN的法向量,则错误!所以错误!可取n＝(2，0，－1）．于是cos<m，n>＝错误!＝错误!＝错误!，所以二面角A。

MA1.N的正弦值为错误!.2．（2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG,如图2.图1 图2（1）证明：图2中的A，C，G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B。

CG。

A的大小．［解］（1）证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD,CG确定一个平面,从而A，C，G,D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE。

高三数学二轮专题复习教案――立体几何一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、空间几何体的结构特征（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．2、空间几何体的侧面积、表面积（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积S ch=侧．若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积2() S ab bc ca=++表．（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l，底面半径为r，那么圆柱的侧面积2πS rl=侧，此时圆柱底面面积2πS r=底.所以圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长为l，则侧面积πS rl=侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（4）正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c，斜高为h'，则它的侧面积12S ch'=侧．（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是c c'，，斜高是h'，那么它的侧面积是12S ch'=侧．（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r'，，母线长为l，那么它的侧面积是π()S r r l'=+侧．圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即2222π()πππ() S S S S r r l r r r r r l rl''''=++=+++=+++侧上底下底．（7）球的表面积24πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍．3、空间几何体的体积（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh=柱体．其中底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2πV r h=圆柱．（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是13V Sh=锥体．其中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是21π3V r h=圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的13．（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h，那么它的体积是1()3V S S h=+台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221π()3V r Rr R h=++圆台．（4）球的体积公式：334R V π=.4、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。

①③①③①②③1. 正方体 的棱长为 ，点 为棱 的中点.下列结论:①线段 上存在点 ，使得 平面；②线段上存在点，使得平面；③平面 把正方体分成两部分，较小部分的体积为 ，其中所有正确的序号是（ ）A. B. C. D. 已知平面 ， ， 满足，， 则已知直线a 、l ，平面 ， 满足 ， ， ， 则如果空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等用一个平面去截一个正方体，截面图形有可能是等边三角形，不可能是直角三角形2. 以下说法的是（ ）错误A. B. C. D. 若，则若，则若，则若，则3. 设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， （ ）A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）1A. B. C. D.16π21π5. 如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D. 1236. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S 1 ， S 2 ， 则的值为（）A. B. C. D. 必定可以并且只可以作一个至少可以作一个至多可以作一个一定不能作7. 过平面外一条直线作平面的平行平面（ ）A. B. C. D. 直线AB 上直线BC 上直线CA 上△ABC 内部8. 如图所示，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在（ ）A. B. C. D. 9. 三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为 （ ）A.B.C.D.10. 某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，设该几何体的表面积为，其外接球的表面积为 ，则的值为（）A. B. C. D.11. 以下命题（其中 ， 表示直线，表示平面）中，正确的命题是（ ）若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则A. B. C. D. ① ④① ③② ④② ③12. 已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：① ②③；； ④其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 13. 若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 ．14. 现给出以下四个命题：①已知 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，当 ， ， 时，满足条件的三角形共有1个；②已知 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若三角形，这个三角形的最大角是 ；③设 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面,若 ， ，则 ；④设 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面,若， ，则 其中正确的序号是 （写出所有正确说法的序号）.15. 已知圆柱的底面圆的半径与球 的半径相同，若圆柱与球 的体积相等，则它们的表面积之比.（用数值作答）16. 对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是 ．17. 如图所示，平面 ， 点在以为直径的上， ， ， 点为线段的中点，点在半圆上（弧长小于弧长），且三棱锥的体积．(1) 求证：平面；(2) 平面平面；(3) 设二面角的大小为 ， 求的值．18.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1， BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．19. 已知三棱锥中，△与△均为等腰直角三角形，且∠，，为上一点，且平面．(1) ；(2) 过作三棱锥的截面分别交于，若四边形为平行四边形，求此四边形的面积．20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，(1) 求证：平面平面PAD；(2) 若，求二面角的大小．21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，，为的中点，为的中点，点在线段上，且 .(1) 求证：平面；(2) 若平面底面，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(3)18.19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省潍坊市高中数学人教A版 必修二第八章 立体几何专项提升(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若 ， ，则 若 ， ，则若 ， ， ，则 若 ， ， ，则 1. 已知 ，是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. ①②③④2. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误的结论是（ ）A. B. C. D. 8π3. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ）A. B. C. D.若l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α若l∥m ，l ⊄α，m ⊂α，则l ∥α若α⊥β，α∩β=l ，m ⊂α，m ⊥l ，则m ⊥β若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 4. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，下列命题不正确的是（ ）AA. B. C. D. 若 ，， 则若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则5. 已知 ，是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，下列结论正确的是（）A. B. C. D.6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为矩形的棱台称为刍童.如图所示的某刍童中，，为上､下底面的中心，平面，，，侧棱所在直线与直线所成的角为45°，则该刍童的体积为（）A. B. C. D.①②①②④③④①④7. 如图，在正方体，点P 在线段上运动，则下列判断正确的是（）①平面平面②平面③异面直线与所成角的取值范围是④三棱锥的体积不变A. B. C. D. 一定存在与平行的平面，也一定存在与α平行的平面一定存在与平行的平面，也一定存在与α垂直的平面一定存在与垂直的平面，也一定存在与α平行的平面一定存在与垂直的平面，也一定存在与α垂直的平面8. 已知直线与直线m 是异面直线，直线在平面α内，在过直线m 所作的所有平面中，下列结论正确的是 （ ）A. B. C. D. 129. 如图，正方体的棱长为1，点在棱的延长线上，且，点是侧面内的一动点，若平面，则点的轨迹的长度是（）A. B. C. D. 垂直于同一直线的两条直线平行若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条10. 下列命题中正确的是（ ）A. B.若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交一条直线至多与两条异面直线中的一条相交C. D. 若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， ， 则若 ， ， ， 则11. 已知 ， 是两条不重合直线， ， 是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 矩形ABCD 中，AB= 4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A. B. C. D.13. 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q 1 ， Q 2 ， 直平行六面体的侧面积为 ．14. 已知定直线 ， 定点 ， 则直线与点A 确定的平面有 个（请填写个数）.15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16. 如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 .17. 已知菱形边长为 ， ，以 为折痕把 和 折起，使点 到达点 的位置，点 到达点的位置， ， 不重合.(1) 求证：；(2) 若，求点到平面的距离.18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2．(1) 证明：EF∥平面PBC；(2) 若，求二面角E﹣DF﹣A的正弦值．19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E为棱PC上不与点C重合的点．(1) 求证：平面平而PAC；(2) 若，且二面角的平面角为45°，求三棱锥的体积．20. 如图，平面，在中，，，交于点D，，，，．(1) 证明：；(2) 求直线与平面所成角的正弦值．21. 已知空间四边形ABCD的两条对角线的长AC=6，BD=8，AC与BD所成的角为30o， E，F，G，H分别是AB，BC，CD，D A的中点，求四边形EFGH的面积．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.。

山东省潍坊市昌乐县第二中学2020届高三二轮复习立体几何过关训练（三）一、单项选择（每小题5分）：1.如图，O B A '''∆是利用斜二测画法画出的ABO ∆的直观图，已知y B A '''//轴，4=''B O ，且ABO ∆的面积为16，过A '作C A ''⊥x '轴，则C A ''的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2 D ．12.如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN AB ∥ B ．MN 与BC 所成的角为45︒ C ．OC ⊥平面VAC D ．平面VAC ⊥平面VBC3.已知三棱锥的高为1，底面是边长为32的正三角形且顶点在底面的射影为底面的中心，内有一个球与四个面都相切，则三棱锥的内切球的半径为（ ）4.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D - ABC 体积的最大值为( ) A ．123B ．183C ．243D ．543二、多项选择（每小题5分）5．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）A.11m n m n ⊥⇒⊥；B.11m n m n ⊥⇒⊥；C.1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；D.1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；6.设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题,其中正确的命题为（ ）A.三棱锥11D B EF -的体积为定值；B.异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；C.11D B ⊥平面1B EF ；D.直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确命题是（ ） A.AB EF ⊥； B.AB 与CM 所成的角为60︒； C.EF 与MN 是异面直线； D.MN CD ∥．8.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论正确结是( )A.四面体ABCD 每组对棱相互垂直；B.四面体ABCD 每个面的面积相等；C.从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒；D.连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．三、解答题：（写出详细的解答过程）9.如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E 为棱AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.21.C 13.-B 25.A 12.-D(1)在平面PAB 内找一点M,使得直线CM ∥平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.10.如图，在三棱锥P ABC -中，AB ⊥平面,PAC APC ∠=90°，1,2AB AC ==，E 是AB 的中点，M 是CE 的中点，N 点在PB 上，且4PN PB =.（1）证明：平面PCE ⊥平面PAB ； （2）证明：MN//平面PAC ；（3）若60PAC ∠=，求二面角P CE A --的大小.。

8.三视图1．有关三视图的基本问题一般有两类；一类是画出已知几何体的三视图；另一类是已知几何体的三视图，想象该几何体的结构特征，并能画出该几何体的空间图形．2．本考点在考查基础知识、基本方法的同时，侧重考查考生的识图能力和空间想象能力．考生对试题的研究必须经历从识“图”、想“图”到构“图”的过程，要通过观察、分析、想象、判断、计算的逻辑思维才能求解．1．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．6+B ．4+C ．6+D ．4+【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，根据立体图形可得12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△， 根据勾股定理可得AB AD DB ===，∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△， ∴该几何体的表面积是632=⨯++，故选C ．【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．2．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A ．6+B ．6+C ．12+D ．12+【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为13(22)2(22sin 60)122S =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+， 故选D ．【点睛】（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．（2）多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． （3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算， 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一、选择题．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．73B．143C．3D．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为11117(21)1(21)2232233⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A．2．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh=，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：3cm）是（）A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的， 其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3， 则该棱柱的体积为2646(33)616222++⨯+⨯⨯=，故选B ． 3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．172B ．52C ．3D ．2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M 在上底面上，点N 在下底面上，且可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，=B ．4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【答案】A【解析】由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形．故选A．cm）是（）5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为1(12)226⨯+⨯⨯=．2故选C．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -如图所示，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =， 由勾股定理可知PA =PC =，3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有PAD △，PCD △，PAB △，共3个，故选C ． 7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是由两个直三棱锥所构成的组合体，两个直三棱锥形状是相同的，唯独方向相反，每个直三棱锥的底面是腰长为2的的等腰直角三角形，高为2， 画出其中一个三棱锥如图所示：故该几何体的表面积为114222sin 60822S =⨯⨯⨯+⨯⨯︒=+ 故选A ．8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．40π3B ．56πC ．184π3D ．104π【答案】C=6，设球的半径为R ，可得222(6)R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为3241184ππ6π333R ⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．B ．24C ．D ．【答案】C【解析】根据题意，画出几何关系如下图所示：由直观图易知棱AC 最长，延长BD ，过点A 作BD 延长线的垂线，垂足为E ，连接CE ． 如下图所示：因为2AE =，4BE =，2BC =，所以2224220CE =+=， 所以222222024AC AE CE =+=+=，即AC =，故选C ．10．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．83B C ．1 D ．2【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为，所以该几何体的体积1122132V =⨯⨯⨯=，故选C ． 11．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．C ．D ．1【答案】C【解析】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为AD =C ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥， 故其体积211π3π43V r h =⨯⨯⨯=，故选A ．二、填空题．13．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积314(24)24402V =-⨯+⨯⨯=． 14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m )，则该四棱锥的体积为________3m ．【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1， 因此所求四棱锥的体积311232m 3V =⨯⨯⨯=，故答案为2． 15．如图，几何体的三视图是三个直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的外接球的体积为________．【解析】根据三视图，画出这个几何体的直观图，如图所示，这是一个三棱锥A BCD -，AD 是高，三角形ADC ，ABC 都是直角三角形，所以AC 的中点O 到四个顶点A ，B ，C ，D 的距离都相等，即O 为这个四面体的外接球的球心，AC 为直径，AC =所以这个球的体积为334π4ππ3322R V ==⨯=，故答案为π2．16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于______．【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体． 如图所示：所以，114432V =⨯⨯⨯=，故答案为3．。