格林公式

1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y

L D
8
64 3
o
A x
例 3计算
2xydx x2dy 其中 L 为抛物线 yx2 L
上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
解 这里P2xy Qx2
P Q 2x 所 以 积 分 因为 y x
L
2 xydx x 2 dy 与 路 径 无 关
M
计算抛物线 ( x y ) ax ( a 0 )
曲线 AMO 表示为
解：ONA为直线 y=0
y ax x , x [ 0 , a ]
1
N
A ( a ,0 )
A
L xdy 2
1
ydx

2 ONA
xdy ydx
1
2 AMO
xdy ydx

1
2 AMO
L
x 2
解
P y Q x

y x
(x
2
2 xy ) 2 x

4
P y

Q x
，
(x y ) 2x
2
原积分与路径无关
故原式

1 0
x dx
2

1 0
( 1 y ) dy
4
23 15
.
例2. 计算 圆周
其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0)
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 在 D 内每一点都有
P y Q x .
L Pd x Qd y
例1 计算 ( x 2 xy ) dx ( x y ) dy 其中L为由点

y
下面证明 如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分 都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的

A.
证明 : 例2、
2 xydx
D

x dy 0 , D 分段光滑 .
2

求 例3、 e
D
y
2
dxdy , D 是以 O ( 0 , 0 ), A ( 1 ,1 ), B ( 0 ,1 ) 为顶点 .
xdy ydx

的三角形闭区域
设 例4、 D 是包含原点的有界闭区
y
Q ( x , y ) dy
y0

y0
Q ( x 0 , y ) dy
例7、 已知 du
xdy ydx x
2
y
2
( x 0 ), 求 u ( x , y ).
P 全微分方程： ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
(
Q x

P y
)
例8、 解全微分方程 作业
(4)
Q x

P y
在 G 内处处成立 .
关键：
Q x

P y

P ( x , y ) dx
L
Q ( x , y ) dy 与路径无关
.
例5、计算

L
(x
2
2 xy ) dx ( x
2
y ) dy , 其中 L 为
4
由点 O ( 0 , 0 )到点 B ( 1 ,1 )的曲线弧 y sin
( x, y)
( x0 , y)
( x, y)
( x0 , y0 )
(1 )
u 按（1）： ( x , y ) u 按（2）： ( x , y )
( x, y0 ) ( x0 , y0 )