2020-2021学年长沙市周南中学新高一入学考试数学模拟试卷及答案解析

高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A.√13B.4C.4−√13D.3√13−62.如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A.6B.8C.9D.103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（）A.4个B.5个C.6个D.7个5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ）A.2021 B.4042 C.3640 D.48426.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m =−−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =，所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ，所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =−设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上，所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMN S OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ）， ∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m =−−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n=−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，11∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。

周南中学高一年级入学考试数学试卷周南中学高一年级入学考试数学试卷命题人：高一数学备课组审题人：本试题卷包括选择题，填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、下列运算中，结果为负数的是（）A 、－22B 、－（－2）C 、0)2(-D 、22-2、下列运算中，错误．．的是（）A 、()a x b x a b x -=-B 、22()()y x x y x y ---=-C 、632126+=+ D 、11a b a b=---+ 3、设集合},5,4,2{},4,3,1{},50|{==≤<∈=B A x N x U 则(A U )?(B U)=( )A 、UB 、{1,2,3,5}C 、{1,3,5}D 、{4}4、设全集是实数集，若}{1|2--==x y y M ，{}2|2+==x x x N ，则集合N M ?为A 、{}2|≤x xB 、?C 、{}1-D 、{}25、设集合{}2,1=A ，则满足{}3,2,1=?B A 的集合B 的个数是 A 、1 B 、3C 、4D 、86、已知点),21(),,27(21y B y A -都在抛物线236y x x k =++上，则12,y y 的大小关系为（）A 、12y y >B 、12y y =C 、12y y <D 、不能确定7、在关于,x y 的方程组3133x y k x y +=+??+=?中，若24k <<，那么x y -的取值范围是（）A 、102x y <-<B 、01x y <-<C 、31x y -<-<-D 、11x y -<-<8、同时满足：（1）{1,2,3,4,5}M ?，（2）若a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（） A ．32个 B ．15个 C ．7个 D ．6个二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题上部对应题号的横线上.9、因式分解：1+--b a ab = 。

2020-2021长沙市高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．59．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-10．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．16．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．17．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 23．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.24．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.7．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．9．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.10．B解析：B【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.14．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-【解析】 【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.16．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。

2022年周南中学高一新生入学摸底考试数学试题时间90分钟，分值120分姓名__________考生号__________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，500张A4打印纸()280g /m 约厚0.052m ，因此，一张纸的厚度大约是0.000104m ，数据“0.000104”用科学记数法可表示为（）A.30.10410-⨯B.510.410-⨯ C.31.0410-⨯ D.41.0410-⨯【答案】D 【解析】【分析】利用科学记数法求解即可.【详解】数据“0.000104”用科学记数法可表示为41.0410-⨯.故选：D.2.在3317，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据无理数的定义可得答案.【详解】在33172=-，π，2022π，共有两个.故选：A .3.如图，这个组合几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据组合体直观图可知，几何体下面是长方体，长方体的左上方是圆柱，故左视图下面是矩形，左上方是矩形.故选：A4.下列计算正确的是（）A.=B.1-=C.2= D.3=【答案】C 【解析】【分析】利用二次根式运算，逐项判断作答.【详解】对于A 不是同类二次根式，不能进行加减运算，A 错误；对于B ，115-==，B 错误；对于C 2÷==，C 正确；对于D ，-=，D 错误.故选：C5.世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A.5005004510x x -= B.5005004510x x -=C.500050045x x-= D.500500045x x-=【答案】A 【解析】【分析】分别求在4G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间和在5G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间，从而得解.【详解】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则在4G 网络峰值速率下传输500兆数据需要500x秒，5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在5G 网络峰值速率下传输500兆数据需要50010x秒，而5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=.故选:A.6.已知一组数据5，5，6，6，6，7，7，则这组数据的方差为（）A.47B.447C.547D.6【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差公式求解即可.【详解】将数据从小到大排列：5566677，，，，，，，.平均数为5+5+6+6+6+7+767x ==，方差为()()()22221425636627677s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故A 正确.故选：A7.下列说法正确的是（）A.海底捞月是必然事件B.明天的降雨概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨C.为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查D.甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是21.3s =甲，21.1s =乙，则乙的射击成绩比甲稳定【答案】D 【解析】【分析】利用事件、概率的意义判断AB ；利用抽样、方差的意义判断CD 作答.【详解】对于A ，海底捞月是不可能事件，A 错误；对于B ，概率反映的是事件发生的可能性大小，明天的降雨概率为80%，说明明天降雨的可能性为80%，B 错误；对于C ，长沙市的初中学生很多，采用全面调查比较困难，适合抽样调查，C 错误；对于D ，由于22s s >甲乙，则乙的射击成绩比甲稳定.故选：D8.已知点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A.132y y y >>B.123y y y >>C.123y y y <<D.213y y y <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出1y 、2y 、3y 的值即可作答.【详解】由点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，得1232,2,1y y y ==-=-，所以132y y y >>.故选：A9.如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A.53,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭，(0,2)F B.(2,2)E -，(0,2)F C.53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(2,2)E -，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，若60ADC ∠=︒，122AB BC ==，则下列结论：①30CAD ∠=︒，②14OE AD =，③ABCD S AB AC =⋅，④BD =.其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【解析】【分析】根据平行四边形的性质根据角平分线的定义可得=60BAE DAE ABE ∠=∠︒=∠，从而可得ABE 为等边三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30CAE ACE ∠=∠=︒，然后根据角的和差即可判断①；根据三角形中位线定理即可判断②；根据90BAC ∠=︒，利用平行四边形的面积公式即可判断③；先在Rt ABC △中，利用勾股定理可得AC 的长，从而可得OA 的长，再在Rt AOB △中，利用勾股定理可得OB 的长，然后根据2BD OB =即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，122AB BC ==，60,120,//,,,4ABC BAD AD BC OA OC OB OD AD BC ∴∠=︒∠=︒====，AE 平分BAD ∠，60BAE DAE ABE ∴∠=∠=︒=∠，ABE ∴ 为等边三角形，2AE BE AB ∴===，60AEB ∠=︒，422CE BC BE ∴=-=-=，CE AE BE ∴==，1302CAE ACE AEB ∴∠=∠=∠=︒，又AD //BC ，30CAD ACE ∠∴∠==︒，结论①正确；,B OA OC E CE == ，111244OE AB BC AD ∴===，结论②正确；90BAC BAE CAE ∠=∠+∠=︒ ，AB AC ∴⊥，ABCD S AB AC ∴=⋅ ，结论③正确；在Rt ABC △中，AC ===12OA AC ∴==在Rt AOB △中，OB ===2BD OB ∴==综上，结论正确的有4个，故选：D ．11.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，并与x 轴交于A ，B 两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；②22()0a c b +-=；③940a c +<；④若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的开口可得0a >，与y 轴的交点在下方可得0c <，抛物线的对称轴可得0b >可判断①；设()1,0A x ，()2,0B x ，由5OA OB =可得1251x x =-=，，从而5c a =-，可判断②③④.【详解】因为抛物线的开口向上，所以0a >，与y 轴的交点在下方，所以0c <，抛物线的对称轴是202bx a=-=-<，可得0b >，所以<0abc ，故①错误；设()1,0A x ，()2,0B x ，抛物线对称轴是22bx a=-=-，即4b a =，可得124x x +=-，因为5OA OB =，所以125x x =-，可得1251x x =-=，，所以125cx x a==-，即5c a =-，所以2222()(5)160=-=+--a c b a a a ，故②正确；可得()94945110+=+⨯-=-<a c a a a ，故③正确；因为0a >，若m 为任意实数，则()222248244am bm b am am a a m a ⎡⎤++=++=++≥⎣⎦，故④正确.故选：C.12.如下图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，其中BC 是斜边，若:8:9HM EM =，2HD =，则AB 的长为（）A.114B.2910C.3D.【答案】B 【解析】【分析】设,9HM t EM t ==，根据给定图形，用t 表示出BG ，NQ ，BC ，再利用勾股定理列式计算作答.【详解】由:8:9HM EM =，设8,9HM t EM t ==，0t >，因为四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，则92BC AD AH HD EM HD t ==+=+=+，2BG BE AB AE AD HM t ==-=-=+，2NQ HD ==，又BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，即222BC BG NQ =+，因此222(92)(2)2t t +=++，即220810t t +-=，而0t >，解得110t =，所以2910AB BC ==.故选：B二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：22ab ab a -+=__________.【答案】2(1)a b -【解析】【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.【详解】2222(21)(1)ab ab a a b b a b -+=-+=-.故答案为：2(1)a b -14.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120︒l =__________.【答案】【解析】【分析】由圆锥的底面半径求出底面周长，再利用锥体的侧面展开图的弧长，可求得圆锥的母线.【详解】设圆锥的底面半径为r 2π3，可得圆锥底面周长为2π2πr =圆锥的母线为l ,该圆锥的侧面展开图弧长为2π3l ⨯=解得l =故答案为：.15.已知()2484m n m n ka b a b -+=，则k m n ++=__________.【答案】6或2【解析】【分析】利用指数幂的运算和多项式相等可得答案.【详解】因为()222222484-+-+==m n m nm n m n ka b k a b a b ，所以24224228k m n m n ⎧=⎪-=⎨⎪+=⎩，解得231k m n =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或231k m n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则6k m n ++=，或2k m n ++=.故答案为：6或2.16.若关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则k 的取值范围为__________.【答案】3k <且1k ≠【解析】【分析】分析可知1x ≠-，解方程121-=+k x 得出x ，根据题意可得出关于实数k 的不等式组，解之即可.【详解】对于方程121-=+k x ，有10x +≠，可得1x ≠-，由121-=+k x 可得32k x -=，因为关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则302312k k -⎧<⎪⎪⎨-⎪≠-⎪⎩，解得3k <且1k ≠.故答案为：3k <且1k ≠.17.代数式||1|1|x x x x -+-的一切可能值为__________.【答案】2-，0，2【解析】【分析】分0x <、01x <<、1x >讨论去绝对值可得答案.【详解】由已知0x ≠，1x ≠，当0x <时，111211--+=--=---x x x xx x ；当01x <<时，111011--+=-=--x x x xx x ；当1x >时，111211--+=+=--x x x xx x .故答案为：2,0,2-.18.如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，BA 长为半径作 AC ，F 为 AC 上一动点，过点F 作 AC 所在圆的切线，交AD 于点P ，交DC 于点Q .（1）图①中DPQ V 的周长等于__________.（2）如图②，分别延长PQ 、BC ，延长线相交于点M ，设AP 的长为x ，BM 的长为y ，则y 与x 之间的函数表达式_________________________.【答案】①.8②.8(04)2xy x x =+<<【解析】【分析】根据过圆外一点的切线长相等可得DPQ V 的周长；连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，判断出 BAP BFP ≌△可得==PM BM y ，再由222PM MN PN =+可得y 与x 之间的函数表达式.【详解】 四边形ABCD 是正方形，4AB BC CD DA ∴====，90∠=∠=∠=∠= BAD B BCD D ，AD ∴切 AC 所在圆于点A ，CD 切 AC 所在圆于点C ，又PQ ∵切 AC 所在圆于点F ，AP PF =，CQ QF =，DPQ ∴△的周长8AD CD =+=；如图，连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，则易得四边形ABNP 为矩形，4PN AB ∴==，BN AP x ==，MN BM BN y x ∴=-=-，在BAP △和BFP △中，AB FB AP FP BP BP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，BAP BFP ∴≌△△，APB FPB ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，APB PBC ∴∠=∠，FPB PBC ∴∠=∠，PM BM y ∴==.在Rt PMN △中，222PM MN PN =+，222()4y y x ∴=-+，即8(04)2x y x x =+<<.故答案为：①8；②8(04)2x y x x =+<<.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手.某公司用甲，乙两种货车向某市运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次3429第二次2631（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；（2）目前有46.4吨物资要运输到该市，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用.【答案】（1）甲乙分别能运输5吨和3.5吨（2）甲货车8辆，乙货车2辆【解析】【分析】（1）设甲乙每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据已知数据列方程组求x 、y 即可；（2）设甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，结合（1）及已知有5 3.5(10)46.4z z +-≥，求z ，进而确定最节省费用的车辆安排.【小问1详解】设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据题意得34292631x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得53.5x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资.【小问2详解】设安排甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，根据题意得5 3.5(10)46.4z z +-≥，解得7.6z ≥，z 为整数，则8z =或9或10，因为甲种货车的费用大于乙种货车的费用，所以甲种货车数量最小时最节省费用，∴当8z =时1082-=，最小费用850023004600=⨯+⨯=（元），答：该公司应安排甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用.20.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长.（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b 米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度.（用含a ，b ，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度.【答案】（1）(tan )a b α+米（2）3.8米.【解析】【分析】（1）利用在Rt AEC △中tan tan AE CE a αα=⋅=，可得AB AE BE =+；（2）由ABH GCH ∽△△得211AB BC =+，由ABF EDF ∽ 得233 1.8AB BC=++，从而求出BC ，可得答案.【小问1详解】如图：由题意得：BE CD b ==米，EC BD a ==米，90AEC ∠= ，ACE α∠=，在Rt AEC △中，tan tan AE CE a αα=⋅=（米），()tan AB AE BE b a α∴=+=+米，∴灯杆AB 的高度为()tan a b α+米；【小问2详解】由题意得：2GC DE ==米， 1.8CD =米，90ABC GCD EDF ∠=∠=∠=︒，AHB GHC ∠=∠ ，ABH GCH ∴∽△△，CG CH AB BH ∴=，211AB BC∴=+，F F ∠=∠ ，ABF EDF ∴∽△△，DE DF AB BF ∴=，233 1.8AB BC ∴=++，1313 1.8BC BC ∴=+++，0.9BC ∴=米，2110.9AB ∴=+， 3.8AB ∴=米，∴灯杆AB 的高度为3.8米.21.如图，O 的直径10AB =，弦6AC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，过点D 作//DE AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD .（1）由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积是多少？（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.【答案】（1）2525π24+；（2）证明见解析；（3）354.【解析】【分析】（1）连接OD ，利用给定条件，证明OD AB ⊥，再计算扇形面积和三角形面积作答.（2）证明OD DE ⊥，再利用切线的判定推理作答.（3）过A 作AF D E ⊥，再借助相似三角形求解作答.【小问1详解】连接OD ，由O 的直径10AB =，得90ACB ∠=︒，又ACB ∠的平分线交O 于D ，则2290AOD ABD ACD ACB ∠︒=∠=∠=∠=，即OD AB ⊥，扇形AOD 面积2125ππ44S OA '=⋅=，所以由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积12525π224BOD S S S OD OB S ''=+=⋅+=+ .【小问2详解】由（1）知OD AB ⊥，而//DE AB ，则OD DE ⊥，所以DE 是O 的切线.【小问3详解】由（1）知90ACB ∠=︒，又10AB =，6AC =，则8BC ==，过点A 作AF D E ⊥于点F ，由（1）（2）知，四边形AODF 是正方形，即5FD AF OD ===，又90EAF CAB ABC ∠=︒-∠=∠，则Rt Rt EAF ABC ∽，于是EF AC AF BC =，即561584EF ⨯==，所以1535544=+=+=DE DF EF .22.已知：如图，抛物线22y x x c =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，该抛物线的顶点为M .（1）求点A 、B 的坐标以及c 的值.（2）证明：点C 在以BM 为直径的圆上.（3）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点(1,0)A -，点(3,0)B ，3c =；（2）证明见解析；（3）存在，点P 坐标为57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入，再解方程作答.（2）利用两点间的距离公式，结合勾股定理推理作答.（3）设出直线CP 所对函数解析式，再利用等面积法求解作答【小问1详解】将点(0,3)C -代入22y x x c =--得：3c =，则抛物线的解析式为：2=23y x x --，而抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点，由2230x x --=，解得=1x -或3x =，所以点(1,0)A -，点(3,0)B .【小问2详解】由（1）知2(1)4y x =--，即点(1,4)M -，而点(3,0)B ，点(0,3)C -，则BC ==BM ==CM ==，因此22220BC CM BM +==，即有=90BCM ∠︒，所以点C 在以BM 为直径的圆上.【小问3详解】设直线CP 与BM 的交点为F，如图，由直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分，得CMF BCF S S = ，而CMF 和BCF △是等高的两个三角形，即有FM BF =，点F 是BM 的中点，由点(3,0)B ，点(1,4)M -，得点F 坐标为(2,2)-，设直线CP 的解析式为y mx n =+，把点C 、点F 得坐标代入得322n m n =-⎧⎨+=-⎩，解得123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，于是直线CP 解析式132y x =-，而点P 是直线CP 与抛物线2=23y x x --的交点，则由213232x x x -=--解得：0x =或52x =，显然点P 与C 不重合，即点P 的横坐标不为0，当52x =时，74y =-，所以点P 坐标为57(,)24-.23.如图，在半径为3的圆O 中，OA 、OB 都是圆O 的半径，且90AOB ∠=︒，点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），延长AC 交射线OB 于点D .（1）如果设AC x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当185AC =时，点E 在线段OD 上，且1OE =，点F 是线段OA 上一点，射线EF 与射线DA 交于点G ，如果以点A 、G 、F 为顶点的三角形与DGE △相似，求AGF DGE S S 的值.【答案】（1）3x y x-=，0x <<；（2）2581.【解析】【分析】（1）连接OC ，AB ，过点O 作OH AC ⊥于点H ，利用相似三角形性质求出解析式，再由点C 的位置求出定义域作答.（2）利用相似三角形性质求出AF ，结合（1）的信息，及相似三角形性质求解作答.【小问1详解】连接OC ，AB ，过点O 作OH AC 于点H ，如图2，由OA OC =，AC x =，得1122AH AC x ==，OH ===又90AOD ∠=︒，则OAH DOH ∠=∠，而90AHO AOD ∠=∠=︒，即AOH ADO ∽ ，于是AH OA OH OD =，又BD y =，因此13213x y =+，即3363x x y x -=，由点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），得0AC AB <<，而AB ===0x <<，所以y 关于x的函数解析式为3x y x-=，定义域为0x <<.【小问2详解】如图，当185AC =时，由（1）知，1185BD ==，由1OE =，3OB =，得2BE =，3DE =，4OD =，由AGF EGD ∽，得GFA D ∠=∠，而GFA OFE ∠=∠，则OFE D ∠=∠，因此OFE ODA ∽，则OF OE OD OA =，即143OF =，解得43OF =，45333AF OA OF =-=-=，所以225253(()381AGF DGE S AF S ED === .。

湖南省长沙市周南中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列关系中，正确的个数为（ ）R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈. A ．6B ．5C ．4D ．32．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID -19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题的否定是真命题的是（ ）A ．a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根B ．每个正方形都是平行四边形C ．m N N ∃∈D ．存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360°4．如果0x y +<，且0y >，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22y x xy >> B ．22x y xy >>-C ．22x xy y <-<D ．22x xy y >->5．设1c >，a =-b = ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a ､b 的关系与c 的值有关6．已知集合{}22,,{2,2}M a P a ==--，若M P ⋃有三个元素，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1,0}- B ．{1,0,1}-C ．{2,1,0}--D ．{2,0}-7．给出下列命题：①设点P 是平面内的动点，A ，B 是两个不同定点，点P 满足{|}P PA PB =，则动点P 组成的图形是等腰三角形②x A ∈是()x A B ∈⋂充分不必要条件 ③若0a b <<，则22a ab b >>④实数都大于0的否定是：实数都小于或等于0 其中真命题的个数有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．48．集合A ＝{x∈Z|y＝123x +，y∈Z}的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．129．设0m n +>，则关于x 的不等式()()0m x n x -⋅+>的解集是（ ） A ．{|x x n <-或}x m > B ．{|x x m <或}x n >- C ．{|}x n x m -<<D ．{|}x m x n <<-10．若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．5D ．11．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}()(){}221,2,|20A B x x ax x ax ==+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112．已知集合{}2|0,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，对于下列四个命题 ①224a b -≤ ②214a b+≥ ③若不等式20x ax b +-<的解集为{}12|x x x x <<，则120x x > ④若不等式2x ax b c 的解集为{}12|x x x x <<，且124x x -=，则4c =其中正确的命题有（ ） A ．①②④B ．②③C ．①③④D ．①④二、填空题13．已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______.14．设集合{1,0,1}A =-，集合{|1}B x N x a =∈-<<，若B 中恰有4个元素.且定义*{(,)|,}A B x y x A B y A B =∈⋂∈⋃，则*A B 中元素的个数是________个.15．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的整数解只有－2，则k 的取值范围是________．三、双空题16．如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C 3AD =，已知4AB =，那么当BM =______时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为______．四、解答题17．已知集合{}22,25,12A a a a =-+，且3A -∈. （1）求a .（2）写出集合A 的所有子集. 18．已知0,0a b >>（1）若3ab a b =++，求ab 的取值范围.（2）求证2aba b≤+19．已知集合{121}A xa x a =-<<+∣，{}03B x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ；()U A B ⋂.（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.20．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为1万元，但每生产1百台又需可变成本（即需另增加投入）0.5万元，市场对此产品的年需求量为6百台（即一年最多卖出6百台），销售的收入（单位：万元）函数为21()43R x x x =-，其中x （单位：百台）是产品的年产量.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）求年产量为多少时，企业所得利润最大； （3）求年产量为多少时，企业至少盈利3.5万元.21．（1）定义一种新的集合运算∆：{,}A B xx A x B ∆=∈∉∣且.若集合{}2|4920A x x x =++<，{|(2)(1)0}B x x x =-+>，设M B A =∆按运算∆：求集合M .（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.22．已知一元二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；（2）若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求222b ac +的最大值.参考答案1．D【分析】利用元素与集合的关系及实数集､有理数集､自然数集的性质直接求解. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①R，故①正确；在②中，13Q∈，故②正确；在③中，0{0}∈，故③错误；在④中，0∈N，故④错误；在⑤中，π∉Q，故⑤错误；在⑥中，3-∈Z，故⑥正确.故选：D.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.2．A【分析】先得到条件：“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”，结论：“新冠肺炎患者”，然后分析由条件能否得到结论，判断是否是充分条件，再分析由结论是否得到条件，判断是否是必要条件，得到答案.【详解】表现为发热､干咳､浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等，故“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的不充分条件；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热､干咳浑身乏力等外部表征，故“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的必要条件；因而“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件. 故选：A【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.3．D【分析】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由0m =，计算即可判断真假；对D ，特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假． 【详解】解：对A ，a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根， 其否定为：a R ∃∈，一元二次方程210x ax --=无实根， 由△240a =+>，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；对B ，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题；对C ，m N ∃∈N ，其否定为：m N ∀∈N ，由0m =1N ∈，则原命题为真命题，其否定为假命题；对D ，存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360︒，其否定为任意四边形ABCD ，其内角和等于360︒，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为360︒， 可得原命题为假命题，其否定为真命题． 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定，考查转化思想和判断能力、推理能力，属于基础题． 4．D 【分析】由0x y +<，且0y >，可得0x y <-<．再利用不等式的基本性质即可得出2x xy >-，2xy y <-． 【详解】0x y +<，且0y >， 0x y ∴<-<．2x xy ∴>-，2xy y <-， 因此22x xy y >->． 故选D ．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 5．B 【分析】根据题意，化简a =，b =，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】由a =-b =可得a =，b =因为1c >1>+>，<a b <.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，其中解答中熟练应用不等式的基本性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 6．C 【分析】根据M P ⋃有三个元素，且222,2a ≠-≠-，可得22a a =-或22a -=，解出a 再进行验证，即可得答案； 【详解】∵M P ⋃有三个元素，且222,2a ≠-≠- ∴分为两种情况：①当22a a =-时，解之得：0a =或2a =-，均符合题意； ②当22a -=时，解之得：1a =-，符合题意. 综上所述，实数a 的取值集合为{2,1,0}--. 故选：C.本题考查集合元素的互异性和并集运算，考查运算求解能力，求解时注意分类讨论. 7．A 【分析】动点P 的轨迹为AB 的中垂线，可判定①不正确的；根据交集的概念，可判定②不正确；根据不等式的基本性质得，可判定③正确的；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定④不正确. 【详解】①中，A ，B 是两个不同定点，满足{|}P PA PB =，则动点P 的轨迹为AB 的中垂线，所以①不正确的；②中，当x A ∈，()x A B ∈⋂不一定成立，所以充分性不成立，所以②不正确；③中，根据不等式的基本性质得，若0a b <<，则22a ab b >>是成立的，所以③正确的； ④中，“实数都大于0”为全称命题，其否定是：“存在实数都小于或等于0”，所以④不正确.其中真命题只有1个. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记集合的运算，充分、必要条件的判定，以及全称命题与存在性命题关系是解答的关键，属于基础题. 8．D 【分析】根据题意，集合中的元素满足x 是正整数，且123x +是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数． 【详解】由题意，集合{x ∈Z|y=123x +∈Z}中的元素满足 x 是正整数，且y 是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个， 故选D ． 【点睛】本题求集合中元素的个数，着重考查了集合元素的性质和用大写字母表示数集等知识，属于基础题． 9．C 【分析】先求出不等式对应方程的根，比较根的大小，结合二次函数的图像可得解集. 【详解】方程()()0m x n x -+=的两个根为m ，n -， 因为0m n +>，所以m n >-，结合二次函数()()y m x n x =-⋅+的图象，得原不等式的解集是{|}x n x m -<<. 故选：C. 【点睛】本题考察二次不等式的解法，是基础题. 10．C 【分析】 化简33333333b b a b b aa b a b a b++=+=++，然后利用基本不等式求解即可 【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则3333335333b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C 【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题 11．B 【解析】因为22()(2)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或220x ax ++=，且{}1,2,1A A B =*=，所以B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程220x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax的实数根，即280a a -=⇒=0a ≠．综上所求0a =或a ={0,S =，故()3C S =，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是充分借助题设中的新定义的新概念及新运算，运用等价转化的数学思想将问题进行等价转化，从而使得问题巧妙获解． 12．A 【分析】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，故可得240a b ∆=-=，即可240a b =>，再利用基本不等式和不等式的性质，即可得答案；【详解】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点， 故可得240a b ∆=-=，即可240a b =>.对①：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然2(2)0b -≥，故①正确；对②：21144a b b b +=+≥=，故②正确； 对③：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，故可得120x x b =-<，故③错误； 对④：因为不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程20x ax b c 的两根为12,x x ，4====，故可得4c =，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想. 13．{|113}m m -<<【分析】由A B ⋂=∅时，得到92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，进而得到A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围.【详解】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.故答案为：{|113}m m -<<.【点睛】本题主要考查了根据集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．10【分析】由题意B 中恰有4个元素，结合x ∈N ，得出集合{0,1,2,3}B =，可求出AB 与A B ，进而可得*A B 中元素的个数．【详解】由题意可知：{0,1,2,3}B =.∴{0,1},{1,0,1,2,3}A B A B ⋂=⋃=-∵*{(,)|,}A B x y x A B y A B =∈⋂∈⋃∴*{(0,1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)}A B =--.∴*A B 中元素的个数为10【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查集合新概念，考查列举法表示集合，属于基础题． 15．[)3,2-【分析】本题首先求出不等式220x x -->的解集，把不等()222550x k x k +++<转化为()()250x k x ++<，此时一定注意根据已知条件确定解集的表示，这是本题易犯错误的地方，再利用数形结合的方法，借助于数轴确定k 的取值范围．【详解】不等式220x x -->的解集为()(),12,-∞-+∞， 不等式()222550x k x k +++<可转化为：()()250x k x ++<，根据已知条件不等式组的整数解只有2-，不等式()222550x k x k +++<的解集为5|2x x k ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭， 再借助数轴可得k 的取值范围为23k -<-≤，解得32k -≤<，综上k 的取值范围是[)3,2-，故答案为[)3,2-．考点：解一元二次不等式．【方法点晴】本题考查的是解一元二次不等式和数形结合思想应用，属于中档题．16．4 48【分析】设BM x =，由CDN MBC △△，可求得12DN x=，可求得矩形AMPN 关于x 的关系式，然后利用基本不等式可求得矩形花坛AMPN 的面积的最小值及其对应的x 的值，即可得解.【详解】令BM x =，由题意可知CDN MBC △△，则DN CD BC BM =，即43DN x =，12DN x∴=，即()1248432432448S AM AN x x x x ⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当483x x=，即4x =时，取等号， 故当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小值为48.故答案为：4；48.【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，建立关系式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.17．（1）32a =-；（2）∅，72⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，{3}-，{12}，7,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，{3,12}-，7,122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，7,3,122⎧⎫⎨-⎩-⎬⎭. 【分析】（1）由3A -∈可得32a -=-或2325a a -=+，解出a 的值，再结合元素的性质验证即可；（2）根据集合中的元素直接写出子集即可.【详解】（1）∵3A -∈，则32a -=-或2325a a -=+.∴1a =-或32a =-. 当1a =-时，22325a a a -=-=+，集合A 不满足互异性，∴1a =-(舍去)，当32a =-时，经检验，符合题意，故32a =-； （2）由（1）知7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭∴A 的子集为：∅，72⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，{3}-，{12}，7,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，{3,12}-，7,122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，7,3,122⎧⎫⎨-⎩-⎬⎭. 【点睛】 本题考查已知元素与集合关系求参数，考查子集的求解，属于基础题.18．（1）[)9,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）将a b +≥x 的一元二次不等式，可得ab 的取值范围；（2）将a b +≥【详解】（1）∵0,0a b >>∴a b +≥∴33ab a b =++≥(0)x x =>∴223x x ≥+，∴2230x x --≥，∴3x ≥或1x ≤-∵0x >，∴3x ≥∴9ab ≥，当且仅当3a b ==时取到等号则ab 的取值范围是[)9,+∞（2）证明：∵0,0a b >>∴a b +≥当且仅当a b =时取“=” ∴2a b ≤+∴2aba b ≤=+∴2ab a b≤+a b =时取“=” 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值或范围，考查基本不等式证明不等式，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．19．（1）1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【分析】 （1）化简集合，利用集合的交并补运算求解即可；（2）讨论A =∅，A ≠∅两种情况，列出相应的不等式，求解即可得出答案.【详解】（1）若12a =时，12,{03}2A x x B x x ⎧⎫=-<<=<≤⎨⎬⎩⎭∣∣ ∴1|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0UB x x =≤或3}x > 所以()1|02U A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由A B =∅知当A =∅时，121,2a a a -≥+∴≤-当A ≠∅时，21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩4a ∴≥或122a -<≤- 综上：a 的取值范围是{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算以及根据交集的结果求参数的范围，属于中档题. 20．（1）21 3.51(06)3110.5(6)x x x y xx ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）生产525台；（3）年产量在150台到1500台时，企业至少盈利3.5万元.【分析】（1）用收入减去可变成本0.5x 万元和固定成本1万元即得利润函数，注意6x >时，只能卖了同6百台；（2）分段求出最大值，比较后可得；（3）解不等式 3.5y ≥可得．【详解】解：（1）设利润为y 万元.生产这种机器的固定成本为1万元，每生产1百台，需另增加投入0.5万元，∴当产量为x 百台时，成本为10.5x +，市场对此产品的年需求量为6百台，∴当6x ≤时，产品能售出x 百台，6x >时，只能售出6百台，故利润函数为()10.5(06)(6)10.5(6)R x x x y R x x --≤≤⎧=⎨-->⎩， 整理可得21 3.51(06)3110.5(6)x x x y xx ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩. （2）当06x ≤≤时，213.513y x x =-+-， 即 3.5 5.25123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，max 8.1875y =万元； 当6x >时，110.5y x =-，利润在110.568-⨯=万元以下，故生产525台时，企业所得利润最大，最大利润为8.1875万元.（3）要使企业至少盈利3.5万元，则 3.5y ≥，当06x ≤≤时，21 3.51 3.53y x x =-+-≥， 即210.513.50x x -+≥，解得1.59x ≤≤，故1.56x ≤≤；当6x >时，110.5 3.5y x =-≥，解得15x ≤，即615x <≤，综上可知1.515x ≤≤，即年产量在150台到1500台时，企业至少盈利3.5万元.【点睛】本题考查函数的应用，根据已知条件，由利润＝收入－成本得利润函数，在此基础上可求解其他问题．本题属于基础题．21．（1）124x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭；（2）94a >或14a <-. 【分析】（1）分别化简集合,A B ，利用集合的新定义{,A B x x A ∆=∈∣且}x B ∉，可求得集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆，分1a >，1a <和1a =，分别列出不等式组，解出a 的取值范围．【详解】（1）124A x x ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭{|12}B x x =-<<124M B A x x ⎧⎫=∆=-≤<⎨⎬⎩⎭（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆①当2a a >-即1a >时，{|2}N x a x a =-<<，则12421a a a ⎧-<-⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩即94a > ②当2a a <-即1a <时，{|2}N x a x a =<<-，则11422a a a <⎧⎪⎪<-⎨⎪-≥⎪⎩即14a <- ③当2a a =-即1a =时，N φ=，此时不满足条件 综上可得94a >或14a <- 【点睛】本题考查集合新定义，考查利用集合间的关系求参数范围，考查充分必要条件，考查分类讨论思想，属于中档题．22．(1) ()3,5x ∈-(2) 2-【解析】分析：(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得(),120b a c a a =-=-<，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得0∆≤，即得()204b a c a ≤≤-，因此()222224a c a b a c a c -≤++，再令1c t a =-化为对勾函数，利用基本不等式求最值. 详解：（1）∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<∴0a <，34b b -+=-，()34c a -⨯= ∴(),120b a c a a =-=-<.故()222302150(0)bx ax c b ax ax a +-+<⇔-++<<从而22150x x --<，解得()3,5x ∈-.（2）∵()()2220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立， ∴()()()()22224004400b a a c b a b a ac a ∆=---≤>⇔+-≤>， ∴()204b a c a ≤≤-∴()2222224141c a c a b a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令1c t a =-，∵()240a c a b -≥≥ ∴1c c a a≥⇒≥，从而0t ≥， ∴()22222442211b t t a c t t t ≤=+++++，令()()24022t g t t t t =≥++. ①当0t =时，()00g =；②当0t >时，()4222g t t t=≤=++ ， ∴222b ac +的最大值为2. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.。

湘南高一入学摸底考试数学试卷时间：120分钟 分值：100分一、选择题(每小题3分，共30分)每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的， 请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分.1．计算(﹣3)+(﹣9)的结果是( )A ．12-B ． 6-C ．6+D ．12 2．.函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是( )A ． 1>xB ．1≥xC ．1<xD ．1≤x 3． 下列各式计算不正确．．．的是( ) A ．(3)3--= B2= C ．()3339x x = D ．2121=- 4．中国的领水面积约为370000km 2，将数370000用科学记数法表示为( ) A ．37×104 B ． 3.7×104 C ． 0.37×106 D ． 3.7×105 5．点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为( )A ． (3,5)--B ． (5,3)C ．(3,5)-D ． (3,5) 6．下列事件中，必然事件是( ) A ． 掷一枚硬币，正面朝上B ． 任意三条线段可以组成一个三角形C ． 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D ． 抛出的篮球会下落7．设21,x x 是一元二次方程0322=--x x 的两根，则21x x +=( )A ．2B ． 2-C ．3-D ． 38． 如图1，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( )A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcm图1120︒BOA6cm9. 一元二次方程2350x x --=中的一次项系数和常数项分别是( ) A 、1，-5 B 、1，5 C 、-3，-5 D 、-3，5 10．如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(本题满分24分，共8小题，每小题3分)11．2015的相反数是___________． 12．因式分解：=-42m _________ 13．方程063=-x 解是_________14．如图3，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件___________(写出一个即可)，则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)15．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是__________ 16．抛物线5)1(32+--=x y 的顶点坐标为__________．17．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其它区别，搅匀后小红从中随机摸出一球，则摸出红球的概率是__________．18、下列方程：①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x ， 其中，没有实数根的方程是 。

春季高一 入学联考数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线√3x +y +m ＝0（m ∈R ）的倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 2．已知函数f （x ）={lgx ，x ＞0x +11，x ≤0，则f （f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．﹣13．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（ ）A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x ﹣2﹣xD ．y =log 12|x|−1 4．若直线l 1，l 2的斜率是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两根，则直线l 1，l 2的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均不正确5．如图，棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 中点，则直线D 1M 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．√32B ．√55C ．2√55D ．12 6．函数f （x ）＝2x −3x −m 的一个零点在区间（1，3）内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，7）B ．（0，5）C ．（﹣7，1）D ．（1，5）7．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n8．将直线x +2y ＝0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为（ ）A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x ﹣y ﹣1＝0C ．2x +y ﹣1＝0D ．2x ﹣y +1＝09．已知定义在[1﹣a ，2a ﹣5]上的偶函数f （x ）在[0，2a ﹣5]上单调递增，则函数f （x ）的解析式不可能是（ ）A ．f （x ）＝x 2+aB ．f （x ）＝﹣a |x |C ．f （x ）＝x aD ．f （x ）＝log a （|x |+2）10．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x +y ＝0上，则|P A |+|PB |取最小值是（ ）A ．1B ．2√17+√1535C ．√17D ．211．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°12．直线x ﹣y ﹣4＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x +2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．[4，8]C ．[8，16]D ．[16，32]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分。

周南中学2023级高一年级第一次月考数学科试题卷答卷解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若,,,a b c d 为集合A 的四个元素，则以,,,a b c d 为边长构成的四边形可能是()A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形解由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.2.命题“存在R x ∈，()1<2f x ≤”的否定形式是（）A.任意R x ∈，()1<2f x ≤B.任意R x ∉，()1f x ≤或()>2f xC.任意R x ∉，()1<2f x ≤D.任意R x ∈，()1f x ≤或()>2f x 解命题“存在R x ∈，()1<2f x ≤”的否定形式是“任意R x ∈，()1f x ≤或()>2f x ”.故选：D3.下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.4.已知()f x x =是集合A 到集合B 的函数，如果集合{}2B =，那么集合A 不可能是（）A.{}2,2- B.{}2- C.{}1,2- D.{}2【详解】若集合{}1,2A =-，则1A -∈，但11B -=∉，故选：C.5.设集合{{,A x y B y y ====则集合A B ⋃的真子集的个数为()A.3B.4C.7D.8解：对于集合A ，若y =有意义，则，解得1x =±，即集合{1,1}A =-，对于集合B ，若y =有意义，则1x =±，从而0y =，即集合{0}B =，故{1,1,0}A B ⋃=-，故选.C 6、111a a>-<-是成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B7．已知命题1),2,1(:>∈∃ax x p 成立，若p 为真命题，则a 的取值范围为（）111122A aB aC aD a ≥>>≥【解析】由题可知()1,2,1x ax ∃∈>，1a x >而函数1y x=在()1,2为减函数其最小值趋向于12，故12a >选C8.已知关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是（）121512*********A aB aC aD a <≤≤≤<<<≤解：设二次函数f (x )=x 2-8x +a ，开口向上，其对称轴为x =4，因为一元二次不等式x 2-8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数∴3个整数解必然是3，4，5，∴根据对称性，满足f （2）>0且f （3）≤0，故4160a -+>，且9240a -+≤，即12<a ≤15，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数能表示同一个函数的是（）A.(f x ()=||g x xB.()f x x =与2()=x g x xC.(f x ，(g xD.2()=21f x x x --与2()=21g t t t --解A.()f x x ==，()||g x x =定义域和解析式都相同，是同一函数；B.2()x g x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()f x x =的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数；C.()f x =(][),22,-∞-+∞U ，()g x =的定义域为[)2,+∞，定义域不同，不是同一函数；D.2()21f x x x =--，2()21g t t t =--的定义域均为R ，解析式都相同，是同一函数.故选：AD.10.若0a b <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（）A .11a b > B.c d > C.a b c d > D.a b a c b d>++解由0a b <<可得0a b ->->，所以11a b <--∴11a b>，故A 正确；由110c d <<可得0cd >，所以110cd cd c d⋅<⋅<，即0d c <<，∴c d <，故B 不正确；因为0a b <<，110c d <<，所以0a b ->->，110c d ->->，所以11()()0a b c d-⨯->-⨯->，∴a bc d>，故C 正确；由题可知()()0a c b d ++>由于()()a ba b d b a c ad bc a c b d>⇔+>+⇔>++，由上可知0a b ->->，0d c ->->，所以0ad bc >>，所以a ba cb d>++，故D 正确；故选：ACD ．11.R x ∀∈，关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个必要不充分条件是（）A.04a <<B.1a >-C.102a <<D.10a ≤解当对于R x ∀∈，关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立，则2()40a a ∆=--<，得04a <<，对于A ，是充要条件，所以A 错误，对于B ，因为当04a <<时，1a >-一定成立，所以1a >-是关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个必要不充分条件，所以B 正确，对于C，因为当102a <<时，04a <<成立，所以102a <<是关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个充分不必要条件，所以C 错误，对于D，因为当04a <<时，10a ≤一定成立，所以10a ≤是关于x 的不等式20x ax a -+>恒成立的一个必要不充分条件，所以D 正确，故选：BD.12．下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2B.已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1C.若正数x，y 为实数，若23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D.设,x y 为正数，若22931x y xy +-=，则3x y +的最大值为2【详解】对于A 选项，当0x <时，210x y x+=<，故A 选项错误，对于B 选项，当1x >时，10x ->，则44212(1)11111y x x x x =+-=-+++=+-- ，当且仅当1x =时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，12112212(2)((5)(53333x y x y x y x y y x +=++=+++= ，当且仅当1x y ==时，等号成立，故C 选项正确，对于D 选项，()()()()2222221319333334343x y x y xy x y x y x y x y +=+=+-⋅+=-⋅-⋅+ ，所以()234x y +≤4,当且仅当3y x =时，等号成立，即,113x y ==时取最大值，故3x y +的最大值为2，D 选项正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设全集{}1,2,3,4,5U M N =⋃=，{}2,4U M C N ⋂=，则N ＝________．解M∪N 元素去掉M∩∁U N 元素得N ＝{1，3，5}14若不等式2220ax ax +-<对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是解若0a =，则20-<恒成立，故0a =符合，若0a ≠，则2160a a a <⎧⎨∆=+<⎩即160a -<<，综上，160a -<≤，15．已知集合M ={1，2，3，4}，A M ⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A 的累积值为S ．若S 为偶数，则这样的集合A 共有________个．解：因为集合M 的子集共有4216=个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．故答案为13．16.若不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是______.解：不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立将m 看成自变量，将x 看成参数，将不等式化为：()23260x m x -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立令()()2326g m x m x =-+-即()0g m >对一切[]2,1m ∈-恒成立等价于()()2010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即224120230x x x x ⎧+->⎨-->⎩解得：3x >或6x <-四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）（1）已知11,02x y -<<<<，求23x y -的取值范围（2）设x ，R y ∈，证明()222x y -≥2()xy x y -解（1）由已知222,6308232x y x y -<<-<-<∴-<-< 5分()2222443333()()()xy xy x y x y x y xy x x y y y x ---=+--=-+-证()()233222223(())()024y x y x y x x x x y y y x y y ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++≥⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-------10分18.（本小题满分12分）已知集合{221},{07},R A xa x a B x x U =-<<+=<<=∣∣．（1）若1a =，求）（B C A B A U ⋂, （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．解（1）若1a =时，则{13}A x x =-<<∣}{}{07,70≤≥=<<=x x x B C x x B U 或{17}A B x x ∴⋃=-<<∣-----------2分），}{01x ≤<-=⋂x B C A U ）（ 4分（2）A B ⊆ ，故①当A =∅时，3-,122≤+≥-a a a 解得-------6分②当A ≠∅时，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+<-71202122a a a a ，解得32≤≤a -----10分综上所述，实数a 的取值范围为{3aa ≤-∣或23}a ≤≤. 12分19．（本小题满分12分）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ．（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为1p 元，2p 元（10p >，20p >，且12p p ≠），甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q ．通过比较1Q ，2Q 的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．解：（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为：645m mm m +=+，乙两次购买这种物品平均价格为：224564n n n =+； 4分（2）设甲两次购物时购物量均为m ，则两次购物总花费为12p m p m +，购物总量为2m ，平均价格为1212122p m p m p p Q m ++==．设乙两次购物时用去的钱数均为n ，则两次购物总花费2n ，购物总量为12n np p +，平均价格为122121222p p nQ n n p p p p ==++，1212p p Q +∴=，122122p p Q p p =+．12p p ≠ ，21211212121222()022()p p p p p p Q Q p p p p +-∴-=-=>++，12Q Q ∴>，因此可知，第二种购物方式比较划算．12分20.（本小题满分12分）已知关于x 的不等式()()110ax x -+>，R a ∈.（1）若此不等式的解集为空集，求实数a 的取值集合；（2）求这个关于x 的不等式的解集.解（1）要使不等式()()110ax x -+>的解集为空集，则有0a <，且方程()()110ax x -+=的两解相等，所以11a=-，即1a =-，所以实数a 的取值集合为{}1-.4分（2）当0a =时，不等式()()110ax x -+>为()10x -+>，解得1x <-，即解集为(),1-∞-，当0a ≠时，方程()()110ax x -+=的解为1a、1-，所以当0a >时，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭，当10a -<<时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭，当1a =-时，不等式的解集为∅，当1a <-时，不等式的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上：当0a >时，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭，当0a =时，不等式的解集为(),1-∞-，当10a -<<时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭，当1a =-时，不等式的解集为∅，当1a <-时，不等式的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12分21．（本小题满分12分）二次函数2()21(0)f x ax ax b a =-++>在区间[0,3]上有最大值4，最小值0.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设2()()4g x f x x mx =--，若()0g x ≤在1,77x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，求m 的取值范围.解（1）由题2()21(0)f x ax ax b a =-++>，其对称轴1[0,3]x =∈所以min max ()(1)10()(3)314f x f a b f x f a b ==-++=⎧⎨==++=⎩，解得：1a =，0b =，所以2()21f x x x =-+-------6分（2）由题意，21161m x x ⎛⎫≥-⋅+ ⎪⎝⎭在1,77x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，设11,77t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即2261(3)8m t t t ≥-+=--在1,77t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以8m ≥------1222.（本小题满分12分）已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<.（2）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c+-的最小值.解：（1）∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，∴0a <，34ba -+=-，34c b a a-⨯=⇒=-，()120c a a =-<，∴()()222230215002150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，∴解集为()3,5-，4分（2）由()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨∆=-≤⎩即04a ac >⎧⎨≥⎩，由存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++=成立可得1640ac ∆=-≥，∴1640ac ∆=-=，∴4ac =，又a c >，∴()2222164822a c a c a ca c-++=≥--，当且仅当24a c -=时“=”成立.此时1,2a c =+=- 12。

湖南省长沙市周南中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合M={}|21xx >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M ∩N ＝（ ） A ．[0，1) B ．(0，1)C ．(－1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数21i+的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．i -D ．i3．一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且直观图O A B C ''''的面积为2，则原梯形的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．函数ln ()x x f x x=的大致图象为A ．B ．C ．D ．5．ABC 的内角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，则“a b >”是“cos cos A B <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知102x <<，则()12x x -的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．1167．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ） A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天8．在锐角三角形ABC 中，1cos ,7,67A AB AC π⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭AB BC ⋅A ．40-B ．40C ．34-D ．349．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a cd < B ．a c b d -<- C ．ac bd > D ．0c da b->二、多选题10．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =的图象C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22πRB ．圆锥的侧面积为22πRC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆锥的表面积最小12．已知,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()0a c b c -⋅-=，则下列结论中正确的有（ ） A ．1a b +=B ．1a b -=C ．c 的最大值为D ．设,a b c θ+=，则sin θ⎡∈⎢⎣⎦三、填空题13．函数()()12log 2f x x =-的单调递增区间为______.14．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 16．在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD = 且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___四、解答题17．已知复数12z i =-（i 为虚数单位）. （1）若002z z z z ⋅=+，求复数0z 的共轭复数；（2）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值. 18．已知ABC 中，()()()2,41,2,,4,3A B C --， BC 边上的高为AD ． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点D 的坐标；19．如图,四边形ABCD 是正方形,延长CD 至E ,使得DE=CD ,连接AE.若动点P 从点A 出发,按如下路线运动:A →B →C →D →E →A →D ,其中AP =λAB +μAE , (1)当点P 为BC 的中点时,求λ+μ的值; (2)满足λ+μ=1的点P 有几个?20．已知向量()3sin ,,cos ,14a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()()2f x a b b =+⋅，已知在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4B π=且a b <，求()f A 的取值范围．21．已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，ABC ∆的面积为22sin AD B.（I ）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（II ）若2BD AB =，AD =，求b .22．已知R a ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）设0a >，若对任意1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过2，求a 的最小值；（2）若关于x 的方程2log [(2)35]02x f a x a ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围.参考答案1．B 【分析】首先求出集合M ，N ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：因为M={}|21xx >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭所以{}{}|0,|11M x x N x x =>=-<<， {}|01M N x x =<<，故选：B 2．B 【分析】根据复数的除法运算，求得21i 1i=-+，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数()()()21i 21i 1i 1i 1i -==-++-，所以复数21i +的虚部为1-. 故选：B. 3．D 【分析】根据S S =直观原图，可求出原梯形的面积. 【详解】由斜二测画法知，S S =直观原图2S =直观，S ∴=原图故选：D . 【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题. 4．A 【分析】将函数表达式化为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x>⎧==⎨--<⎩，由函数奇偶性得到BC 不正确，再由特殊值得到最终结果. 【详解】 因为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x>⎧==⎨--<⎩是奇函数排除,B C ，且当1x >时，()0f x >. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限. 5．C 【详解】在ABC ∆中，a b >则A B >,即cos cos A B <，若cos cos A B <，则A B >，即a b >， 所以a b >是cos cos A B <成立的充要条件，故选C. 6．C 【分析】由()()1122122x x x x -=⨯⨯-，利用基本不等式求解.【详解】因为()()2112121122122228x x x x x x +-⎛⎫-=⨯⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时，取等号.所以()12x x -的最大值为18故选：C 7．B 【分析】根据题设条件先求出m 、a ，从而得到1101220t h =⋅，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.【详解】1010202,10%120%20a m a m a m ⎧⎧==⋅⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，故1102a =，故1101220t h =⋅， 令12h =，∴10210,lg 2110tt =∴=，故10330.3t =≈， 故选：B. 8．A 【分析】由同角三角函数基本关系可得sin 6A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos A=cos B =AB BC ⋅即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得sin 6A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则cos cos 66A A ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1172⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由余弦定理可得2124943BC =+-=,则cos B =，结合平面向量数量积的定义可得：740AB AC ⎛⋅==- ⎝.本题选择A 选项. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 9．D 【分析】特值法令4,1,1,2a b c d ===-=-即可排除ABC 选项错误，利用不等式性质可以判定D 选项正确. 【详解】令24,1,1,2,a b c d a cd ===-=->，a c b d ->-，ac bd <所以ABC 选项错误；0,,0a b c d ad ac bc bc ad >>>><<->，所以0c d bc ada b ab--=>，所以D 选项正确. 故选：D 10．ACD 【分析】根据图象求出求出函数解析式，根据平移变换判定B ，结合图象判定C ，计算2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判定D【详解】 由图可得：3532,41234T A πππ==+=，所以最小正周期T π=，所以A 选项正确； 2,2T ππωω===()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，510102sin 2,21212122f k ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ 2,3k k Z πϕπ=-+∈，2πϕ<，所以3πϕ=-，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到：()2sin 22sin 22cos 21232x x g x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，所以B 选项错误；结合图象和周期可得函数的一个减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以C 选项正确；2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心，D 选项正确.故选：ACD 11．CD 【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积计算公式，球的表面积计算公式，对选项逐一判断，即得答案. 【详解】由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R ，高均为2R ，球的半径为R . 则圆柱的侧面积为22π24R R R π⨯=，故A 错误. 圆锥的侧面积为2122R R R ππ⨯⨯=，故B 错误.球的表面积为24,R π∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C 正确.圆锥的表面积为2222S S R R R πππ+=+=侧底，圆柱的表面积为2222426S S R R R πππ+=+=侧底，球的表面积为24,R π∴圆锥的表面积最小，故D 正确. 故选：CD . 【点睛】本题考查圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积的计算公式，属于基础题. 12．BCD 【分析】画出图形，建立平面直角坐标系，说明c 的轨迹，A 、B 选项结合模长的坐标公式直接判断即可；C 选项结合点与圆上动点之间的最值问题即可判断；D 选项数形结合即可判断. 【详解】因为,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，则设()131,0,,2OA a OB b ⎛==== ⎝⎭，(),c x y =，所以()1,a c x y -=--，12b c x y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1102x x y y ⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223144x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,圆心为34D ⎛ ⎝⎭，半径为12；如图：A ：33,2a b⎛+=⎝⎭，所以232a b⎛⎫+=⎪⎝⎭A错误；B ：1,2a b⎛-=-⎝⎭，所以2112a b⎛⎫-= ⎪⎝，故B正确；C：2c x y=+223144x y⎛⎛⎫-+=⎪⎝⎭⎝⎭上的动点(),x y与定点()0,0之间的距离，所以最大值为点()0,0与圆心34⎛⎝⎭之间的距离加半径，而点()0,0与圆心34⎛⎝⎭因此c的最大值为12故C正确；D ：因为,2,a b c OD cθ+==，所以当OC与圆223144xy⎛⎛⎫-+=⎪⎝⎭⎝⎭相切时，角θ最大，此时1sinθ=当OC经过圆心时，θ最小，此时sin0θ=，所以sinθ⎡∈⎢⎣⎦，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查平面向量的综合应用，主要是自主建坐标系，利用解析法求解平面向量，其中涉及轨迹方程的求法以及定点与圆上点的距离的最值以及向量夹角的最值问题，难度较大. 13．(),2-∞【分析】求出函数()f x的定义域，判断复合成()f x的两个基本函数的单调性，再由复合函数单调性即可得解.【详解】函数()()12log2f x x=-定义域为(),2-∞，函数()f x是由函数2u x=-与12logy u=复合而成的，因2u x=-在(),2-∞上递减，12logy u=在(0,)+∞上递减，由复合函数单调性法则知()f x在(),2-∞上递增，所以函数()()12log 2f x x =-的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞14【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC 中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解. 【详解】由已知得45,75,60o o o ACB BAC B ∠=∠=∴∠= 由正弦定理可得20sin 60sin 45o oAC ABAC =∴===/分．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．15 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM 122S =⨯⨯△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r ，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16【分析】由题意及正弦定理得到2222ab a b c +-=，于是可得1cos 4C =，sin C =然后在CDA ∆和CDB ∆中分别由余弦定理及CDA CDB π∠∠+=可得2222()4c a b =+-．在此基础上可得2242ab a b ++=，再由基本不等式得到85ab ≤，于是可得三角形面积的最大值． 【详解】如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和CDB ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b ac c θπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222ab a b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin C =把①代入②整理得2242ab a b ++=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 225ABC ab C S ∆=≤⨯=即ABC ∆【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力． 17．（1）2i -；（2）2． 【详解】分析：（1）因为002z z z z ⋅=+，所以021zz z =-，求出0z ，即可得到0z 的共轭复数； （2）将12z i =-代入方程250x mx -+=，根据复数相等可求求实数m 的值. 详解：（1）因为002z z z z ⋅=+，所以()02122212i zz i z i-===+--， 所以复数0z 的共轭复数为2i -.（2）因为z 是关于x 的方程250x mx -+=的一个虚根， 所以()()2121250i m i ---+=，即()()2240m m i -+-=.又因为m 是实数，所以2m =.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（1）90； （2）75(,)22D .【分析】（1）根据题意得到(3,6),(2,1)AB AC =--=-，利用向量数量积的坐标运算公式，求得0AB AC ⋅=，得到0AB AC ⊥=，即可求解；90BAC ∠=.（2）设(,)D x y ，根据点D 在BC 上和AD BC ⊥，结合向量的共线和垂直的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）由题意，点()()()2,41,2,,4,3A B C --，可得(3,6),(2,1)AB AC =--=-， 可得32(6)(1)0AB AC ⋅=-⨯+-⨯-=，所以0AB AC ⊥=，所以90BAC ∠=. （2）设(,)D x y ，因为点D 在BC 上，且(5,5)BC =， 可得5(3)5(4)0y x ---=，解得1x y -=，又由(2,4)AD x y =--，且AD BC ⊥，可得5(2)5(4)0x y -+-=，即6x y +=，联立方程组16x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得75,22x y ==，即75(,)22D .19．(1)2（2）3 【详解】 试题分析：（1）选取,AB AC 为基底，一是直接把1122AP AB AC =+，另一方面，把AE 用,AB AC 表示后代入得AP ，由两者相等，可得,λμ的方程组，解之可得；（2）当1λμ+=时，,,P B E 三点共线，直线BE 与路径的交点有三个，即P 点有三个. 试题解析： (1)连接AC ,因为点P 为BC 的中点, 所以1122AP AB AC =+, ① 因为DE=CD ,所以CE =2CD ,所以AE AC CE AC =+=+2CD AC =-2AB . 因为AP =λAB +μAE ,所以AP =(λ-2μ)AB +μAC . ②因为,AB AC 不共线,由①②可得1-2,21,2λμμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得3,21,2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以λ+μ=2.(2)若λ+μ=1,则λ=1-μ. 因为AP =λAB +μAE , 所以AP =(1-μ)AB +μAE , 所以AP AB -=μ(AE AB -), 所以BP =μBE , 所以B ,P ,E 三点共线,所以动点P 运动至点B ,E ,以及BE 与边AD 的交点时满足条件,即满足λ+μ=1的点P 有3个. 20．（1）85；（2）52⎛ ⎝⎦【分析】（1）根据平行关系求出3tan 4x =-，处理代数式2222cos 2sin cos cos sin 2cos sin x x x x x x x --=+212tan 1tan xx-=+即可得解；（2）化简()3242f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解值域.【详解】（1）33//,sin cos ,tan 44a b x x x =-=-，22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2cos sin 1tan 5x x x x x x x x x ---===++；（2）()()2122sin cos 2cos 2f x a b b x x x =+⋅=++33sin 2cos 22242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 4B π=且a b <，3,0,,2,44444A A A πππππ⎛⎫⎛⎫<∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 24A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，()52f A ⎛∈ ⎝⎦21．（I ）12；（II ）b 【分析】（I ）由D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，最后求出sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； （II ）已知2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，这样可以求出BAD ∠的大小，在直角ABD ∆中，利用AD 1sin 2BDA ∠=，可以求出2BD =，1AB =.2BC BD =，4BC =， 在ABC ∆中用余弦定理，可求出b 的值.【详解】（I ）由ABC ∆的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=. （II ）因为2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，∵(0,)BAD π∠∈，∴2BAD π∠=，在直角ABD ∆中，AD =，1sin 2BDA ∠=所以2BD =，1AB =.∵2BC BD =，4BC =，在ABC ∆中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯=b 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力. 22．（1）415；（2）431,2,32⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【分析】（1）按照复合函数的单调性分析方法分析21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调性，求出最值，建立关于a 的不等式.再利用恒成立问题转化为求最值问题求解.（2）化简方程，转化为二次方程在某范围内只有一个解，结合二次函数的性质分析a 的取值范围. 【详解】 解：由题意得（1）因为1y x =在[,1]x t t ∈+上为减函数，所以111,1a a a x t t ⎡⎤+∈++⎢⎥+⎣⎦ 又因为2log y x =在11,1a a t t ⎡⎤++⎢⎥+⎣⎦为增函数， 所以2211()log ,log 1f x a a t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈++⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以2222111(1)(1)log log log log 211[1(1)]1a at t t a a t t a t t a t ⎛⎫+ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-+==≤ ⎪ ⎪+++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+⎪+⎝⎭在1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即(1)(1)4[1(1)]at t a t t ++≤++在1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即233(1)10at a t ++-≥在1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价为233(1)1y at a t =++-在1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值大于等于0，因为233(1)1y at a t =++-在1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，所以2min 1115133(1)144164a y a a ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭即1514016415a a -≥⇒≥，所以a 的最小值为415. （2）方程21log [(2)35]02f x a x a ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，即222log log [(2)35]0a a x a x ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭可转化为2(2)(25)20a x a x -+--=，且20a x+>②当20a -=即2a =时，2x =-，符合题意； ②当20a -≠即2a ≠时，12x =-，212x a =- （i ）当122a -=-时，32a =符合题意（ii ）当122a -≠-时，32a ≠且2a ≠时，要满足题意，则有10413403a a a +>⎧⇒-<≤⎨-≤⎩或10340a a +≤⎧⇒⎨->⎩无解 综上可得，a 的取值范围431,2,32⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。