2018秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题习题讲评

第3课时 坡度问题1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题．重点解决有关坡度的实际问题． 难点解决有关坡角的实际问题．一、情境引入教师展示图片，引出问题． 读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝hl .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．二、探究新知教师利用课件展示例1，例2，结合前面所学知识，可由学生自主完成，小组讨论，教师适当给予分析，最后作出点评．例1 如图，一段路基的横截面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)解：作DE⊥AB，CF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F. 知DE ＝CF ＝4.2，EF ＝CD ＝12.51， 在Rt △ADE 中， ∵DE AE ＝4.2AE ＝tan 32°， ∴AE ＝4.2tan 32°≈6.72.在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝4.2tan 28°≈7.90.∴AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.1(米)答：路基下底的宽约为27.1米．例2 学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，则易求得AC ＝6，BC ＝6 3.在Rt △BDC 中，i ＝DC BC ＝13，易得DC ＝13BC ＝23，∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米． 三、练习巩固教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，其中第1，2，3，4题由学生抢答，第5题教师点名上台展示，再给予点评．1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3，则坡角α为( ) A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米，则他离地面的高度为( ) A ．25 3 米 B ．50米 C ．25米 D ．50 3 米3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，则此处大坝的坡角和高分别是________米．4．如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________．5．如图，已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处，测得点A 的仰角为60°，求AB 的高度．四、小结与作业 小结1．本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题． 2．本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想． 布置作业从教材相应练习和“习题24.4”中选取．本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题．在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识．第二十三章旋转23．1 图形的旋转第1课时旋转的概念及性质基础题知识点1 认识旋转现象1．下列运动形式属于旋转的是( )A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪2．(广州中考)将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )3．下列图形中，右边的图形不能通过左边的图形旋转得到的是( )4．将左图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )5．(雅安中考)如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA()A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45°6．如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时：(1)点B的对应点是________；(2)旋转中心是________，旋转角为________；(3)∠A的对应角是______，线段OB的对应线段是线段______．知识点2 图形旋转的性质7．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm2.8．(镇江中考)如图，将△OAB绕着点O逆时针旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°，若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________．9.(益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________．10．如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.中档题11．(巴彦淖尔中考)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BE＝CF，连接CE，DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°12.(桂林中考)如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( )A．70° B．35° C．40° D．50°13．(眉山中考)如图，△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在BC上，则∠B′C′B的度数为( )A．56° B．50° C．46° D．40°14.(哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕C点顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )A．6 B．4 3 C．3 3 D．315．(铁岭中考)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为________．16.(吉林中考)如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________度．17．(茂名中考)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)将△AED按逆时针方向至少旋转多少度才能与△CFD重合，旋转中心是什么？综合题18．(襄阳中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.(1)求证：BE＝CF；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．参考答案基础题1.C2.D3.D4.A5.C6.(1)点B′(2)点O ∠AOA′或∠BOB′(3)∠A′OB′7.48.20°9.60°10.(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，∴∠ABC1＝180°.∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°.∴∠A1BC＝60°.又AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形．∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°.∴AA1∥BC.∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1.∴∠A1AC＝∠C1.中档题11.D 12.C 13.C 14.A17.(1)证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴∠FCD＝90°.∴∠A＝∠FCD＝90°.又∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD(SAS)．(2)∵∠ADC＝90°，∴将△AED按逆时针方向至少旋转90度才能与△CFD重合，旋转中心是点D.综合题18．(1)证明：由旋转可知∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，AE＝AB.∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠BAE＝∠CAF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)∵四边形ACDE是菱形，AB＝AC＝1，∴AC∥DE，DE＝AE＝AB ＝1.又∵∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝45°.∵∠AEB＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∴∠BAE＝90°.∴BE＝AB2＋AE2＝12＋12＝ 2.∴BD＝BE－DE＝2－1.[随机事件]各位领导、评委老师，大家好！今天我说课的课题:九年级第26章概率初步第一课时[随机事件]，下面我将从以下几个方面进行说明。

24.4.3 解直角三角形【学习目标】1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。

2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.【学习重难点】掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。

【学习过程】一、课前准备1.计算: ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 22222．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）二、学习新知自主学习：1.坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．)2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．图25.3.6图25.3.5实例分析：例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）解：【随堂练习】1. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是 。

2.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4mBCD ．3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备的水管的长为（ ） A.17.5m B.35m C.335m D.70m4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．5.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ．【中考连线】河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12 B．4米C．5米D．6米【参考答案】随堂练习41、12、B3、D4、45、5中考连线A。