2021届河北衡水金卷新高考仿真考试(三)数学(理)试题

河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴|2|z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 22. 已知cosθ−sinθ=34，则θ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 三象限D. 第四象限3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知log a 14<1，(14)a <1，a 14<1，则实数a 的取值范围为( )A. (0,14)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (14,1)5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( )A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值16. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 2√27. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果：实验号温度(℃)时间(min)催化剂用量(g)产量(kg) 18090531 280120654 380150738 48590653 585120749 685150542 79090757 890120562 990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为()A. 85℃120min7gB. 90℃120min6gC. 85℃150min6gD. 90℃150min7g8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是()A. [−π2,π6] B. [−π3,π3] C. [−π3,π6] D. [−π6,π6]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是()A. 获得A等级的人数增加了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是()A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B≠⌀，则a≤−6或a≥6D. 若a=3，则A∩B={x|−3<x<6}11.已知函数f(x)=cos2x1+sinx，则()A. f(x+π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k.如图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上、下底面的圆心，以1为上、下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为β，平面α//β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的是()A. 圆柱体N的体积为4πB. S2=2πS1C. 环体M的体积为8πD. 环体M的体积为8π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x2.若a2=5，则m=______ ．14.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则cos<a⃗,c⃗>=______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．16. 用M I 表示函数y =sinx 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0,a]≥2M [a,2a]，则a 的最大值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①√3acosB =bsinA ，②√3bsinA =a(2−cosB)，③cosC =2a−c 2b这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2，BC 边上的中线长为√7，____，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=3，a n =xa n−1+n −2(n ≥2)，其中x ∈R ．(1)若x =1，求a n ；(2)是否存在实数x ，y 使{a n +yn}为等比数列？若存在，求出S n ；若不存在，说明理由．19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．(1)通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ=64，δ2=169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2)，则P(μ−δ<X<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<X<μ+ 2δ)=0.9544，P(μ−3δ<X<μ+3δ)=0.9974．20.将长(AB)、宽(BC)、高(AA1)分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一：如图(1)传统的十字捆扎；方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A1E=FB=BG=HC1=C1I=JD=DK=LA1=1．(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；(2)求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E的方程．22.(1)若0<a≤1，判断函数f(x)=asin(1−x)+lnx在区间(0,1)内的单调性；(2)证明：对任意n≥2，n∈N∗，sin215+sin2110+⋅⋅⋅+sin21n2+1<ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z2+1=0，得z2=−1，则z=±i，当z=−i时，|z−1|=|−i−1|=√(−1)2+(−1)2=√2；当z=i时，|z−1|=|i−1|=√12+(−1)2=√2．综上，|z−1|=√2．故选：C．由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由cosθ−sinθ=34，平方得：sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=169，则1−2sinθ=169，即sin2θ=−79<0，则2kπ+π<2θ<2kπ+2π，k∈Z，即有kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．故选：D．将已知等式平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ=−79<0，可得kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，分类讨论即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，T n是其前n项之积，a5⋅a6=a7，∴a1q4⋅a1q5=a1q6，解得a1q3=1，∴T7=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6⋅a7=a17q21=(a1q3)7=1．故选：A．由a5⋅a6=a7，解得a1q3=1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：①由log a14<1，得a>1或0<a<14，②由(14)a<1，得a>0，③由a14<1，得0<a<1，∴当log a14<1，(14)a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14，故选：A．由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：BF与D1E分别为截面与两个平行平面的交线，由面面平行的性质定理可得，BF//D1E，同理可得D1F//BE，所以四边形BED1F为平行四边形，所以D1F=BE，又Rt△A1D1F≌Rt△CBE，所以A1F=CE=12，即F为A1B1的中点，截面在A1B1C1D1，ABB1A1上的投影如图所示，则S平行四边形D1EB1F =S A1B1C1D1−S△A1D1F−S△B1C1E=1−12×12×1−12×12×1=12，同理可得，S平行四边形A1EBF =12，故截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为定值1．故选：D．利用面面平行的性质定理得到BF//D1E，D1F//BE，从而可得D1F=BE，推出F为A1B1的中点，然后分别求解两个平行四边形的面积，即可得到答案．本题考查了平行投影及平行投影的应用，面面平行的性质定理的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题，6.【答案】A【解析】解：因为圆(x−1)2+y2=r2的圆心为(1,0)，半径为r，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，因为在圆(x−1)2+y2=r2上到直线x−y+3=0的距离为√2的点恰有一个，所以r=2√2−√2=√2．故选：A．求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，∴14⋅2πω=π4，∴ω=2．结合五点法作图可得2×2π3+φ=3π2，求得φ=π6，∴f(x)=3sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π3,π6]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)的解析式，进而求出它在[−π2,π2]上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得A等级的人数为0.28a，2020年获得A等级的人数为0.48a，故A正确；2018年获得B等级的人数为0.32a，2020年获得B等级的人数为0.80a，获得B等级的人数增加了0.8a−0.32a0.32a=1.5倍，故B正确；2018年获得D等级的人数为0.08a，2020年获得D等级的人数为0.12a，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得E等级的人数为0.02a，2020年获得E等级的人数为0.04a，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，分别算出获得各个等级的人数，即可得到结论．本题考查统计图和频率分布图的运用，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B≠⌀时，△>0即a2−4(a2−27)>0，解得−6<a<6，故C错误，当a=3时，B={x|x2+3x−18<0}={x|−6<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<3}，故D错误，故选：AB．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V=π×12×4=4π，故A正确；由图可知，S1=2√1−ℎ2⋅4=8√1−ℎ2，S2=πr外2−πr内2，其中，r外2=(4+√1−ℎ2)2，r内2=(4−√1−ℎ2)2，故S2=16√1−ℎ2⋅π=2πS1，故B正确；环体M的体积为2π⋅V柱=2π⋅4π=8π2，故C错误，D正确．故选：ABD．直接由圆柱体积公式求得N的体积判断A；分别求解S1，S2判断B；由祖暅原理求出环体M的体积判断C 与D．本题考查圆柱体积的求法，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】−1【解析】解：因为(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，所以a2=C52+mC51=10+5m=5，解得m=−1，故答案为：−1．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】2√1313【解析】解：根据题意，a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，即a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则|c⃗|2=(2a⃗−3b⃗ )2=13，即|c⃗|=√13，a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(2a⃗−3b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =2，则cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2√13=2√1313，故答案为：2√1313．根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，进而求出|c⃗|和a⃗⋅c⃗的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．15.【答案】y=±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF2|−|MF1|=|MF2|−|MN|=|NF2|=2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|=a，又|F1F2|=4|OP|，可得2c=4a，即c=2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故答案为：y=±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13π12【解析】解：①当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，∴sina≥2舍去；②当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，∴1≥2sina，∴sina≤12，∴a≥5π6，∴5π6≤a≤π；③当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，∴1≥2sin2a且2a≤2π+π2，∴sin2a≤12，∴2π≤2a≤2π+π6，∴a≤π+π12=13π12；④当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=M[a,2a]=1，舍去；综上所述：a max=13π12．故答案为：13π12．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：①√3acosB=bsinA，由正弦定理得，√3sinAcosB=sinBsinA，因为sinA>0，所以√3cosB=sinB，即tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3；②√3bsinA=a(2−cosB)，由正弦定理得，√3sinBsinA=sinA(2−cosB)，因为sinA>0，所以√3sinB=2−cosB，所以即2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为√3sinB+cosB=2，B为三角形内角，所以B=π3；③cosC=2a−c2b，由余弦定理得，cosC=2a−c2b =a2+b2−c22ab，整理得，b2=a2+c2−ac，故cosB=12，因为B为三角形内角，所以B=π3；因为c=2，BC边上的中线长为√7，△ABD中，由余弦定理得，cos60°=4+BD2−74BD，解得BD=3，BC=6，△ABC的面积S=12AB⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．【解析】由已知所选条件结合正弦定理，同角基本关系及辅助角公式或余弦定理进行化简可求B，然后结合余弦定理求出BD，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)当x=1时，a n=a n−1+n−2(n≥2)，所以a n−a n−1=n−2，a n−1−a n−2=(n−1)−2，a n−2−a n−3=(n−2)−2，.......，a2−a1=2−2，所以a n−a1=(n+...+2)−2(n−1)，整理得a n=n2−3n+82，(首项符合通项)，故a n=n2−3n+82．(2)假设存在实数x，y使{a n+yn}为等比数列故a n+y n=x[a n−1+y n−1]，整理得a n =xa n−1+(xy −y)n −xy ， 故{xy −y =1xy =2，解得{x =2y =1，所以a n +n =2×[a n−1+n −1]， 即a n +nan−1+(n−1)=2，当n =1时，a 1+1=4，所以存在x =2，y =1使数列{a n +y n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 整理得a n =2n+1−n ， 故S n =4×(2n −1)2−1−n(n+1)2=2n+2−n(n+1)2−4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和构造新数列的应用求出数列的通项公式；(2)利用存在性问题的应用和方程组的解法求出x 和y 的值，进一步求出数列的通项公式和前n 项和公式． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造新数列，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为学生笔试成绩X 服从正态分布N(μ,ξ2)，其中μ=64，ξ2=169，μ+2ξ=64+2×13=90，所以P(X ≥90)=P(X ≥μ+2ξ)=12(1−0.9544)=0.0228， 所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114人； (2)Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y =0)=(1−34)×(1−23)2=136，P(Y =3)=34×(1−23)2=112，P(Y =5)=(1−34)××C 21×23×(1−23)=19， P(Y =8)=34×C 21×23×(1−23)=13，P(Y =10)=(1−34)×(23)2=19，P(Y =13)=34×(23)2=13， 故Y 的分布列为：所以数学期望为E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712．【解析】本题考查了正态分布的应用以及离散型随机变量的期望方差和分布列问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)利用正态分布给出的数据即可求解；(2)由已知先求出Y 的取值，然后求出对应的概率即可求解．20.【答案】解：(1)方案②更省彩绳．理由如下：方案①中彩绳的总长度为l =2×(4+3)+4=18，方案②中彩绳的总长度为m =2×√5+6×√2<2×2.5+6×1.5=14， ∴l >m ，故方案②更省彩绳．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(3,1，1)，F(3,3，0)，K(1,0，0)G(2，4，0)，I(0,3，1)，J(0,1，0)， ∴KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JG ⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JI ⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面EFK 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y +z =02x +3y =0，令y =1，则x =−32，z =2，∴m⃗⃗⃗ =(−32,1，2)， 同理可得，平面GIJ 的法向量为n ⃗ =(−32,1，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=94+1−4√94+1+4×√94+1+4=−329，由图可知，平面EFK 与平面GIJ 所成角为钝角， 故平面EFK 与平面GIJ 所成角的余弦值为−329．【解析】(1)方案①中彩绳的总长度为l=2×(4+3)+4=18，利用勾股定理，求得方案②中彩绳的总长度为m=2×√5+6×√2<14，比较l和m的大小，即可得解；(2)以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面EFK和平面GIJ的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，即可得解．本题考查长方体的结构特征，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB⋅k AC=y1x1+m ⋅y1x1−m=19，故x12=9y12+m2，代入①式可得(9m2−1n2)y12=0．又A为双曲线上任意一点，故9m2−1n2=0，所以m=3n，双曲线的渐近线方程为y=±13x．(2)由椭圆E的离心率e=ca =√1−b2a2=2√33，可得a=3b，故椭圆方程为x29b2+y2b2=1，即x2+9y2=9b2(b>0)．设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.②不妨设直线PM的方程为y=13(x−x0)+y0，与椭圆方程x2+9y2=9b2联立，消去y，利用②式整理得x2+(3y0−x0)x−3x0y0=0，即(x−x0)(x+3y0)=0，故x M=−3y0，从而y M=13(x M−x0)+y0=−13x0.所以M(−3y0,−13x0)．而直线PN的方程为y=−13(x−x0)+y0，同理可求得N(3y0,13x0)．于是PM2+PN2=5可得(−3y0−x0)2+(−13x0−y0)2+(3y0−x0)2+(13x0−y0)2=5，整理得x02+9y02=94．结合②式可得b2=14，所以椭圆E的方程为x2+9y2=94，即49x2+4y2=1．【解析】(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1，通过斜率乘积推出x12=9y12+m2，得到m=3n，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a=3b，椭圆方程为x29b2+y2b2=1，设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(1−x)+lnx(0<x <1)，∴f′(x)=−acos(1−x)+1x ，0<x <1⇒0<1−x <1⇒0<cos(1−x)<1，又0<a ≤1， ∴−1<−acos(1−x)<0，且0<x <1时，1x >1，∴f′(x)>0∴f(x)=asin(1−x)+lnx 在区间(0,1)内单调递增；(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)<f(1)，即sin(1−x)+lnx <0， ∴sin(1−x)<ln 1x，令1−x =1n 2+1，则x =1−1n 2+1，1x=n 2+1n 2，∴当0<sin1n 2+1<ln n 2+1n 2=ln(1+1n 2)<ln2(n ∈N ∗)，令φ(x)=ln(1+lnx)−x ，x >0，φ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减， ∴φ(x)<φ(0)=0， 即ln(1+x)<x(x >0)， ∴0<ln(1+1k 2)<1k 2<1k(k−1)(k >1)，∴当n ∈N ∗，且n ≥2时，0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ， ∴sin1n 2+1<ln2n(n−1)=(1n−1−1n)ln2，∴对任意n ≥2，n ∈N ∗， sin 215+sin 2110+⋅⋅⋅+sin 21n 2+1<(ln2)(1−1n)<ln2．【解析】(1)可求得f′(x)=−acos(1−x)+1x ，依题意，可判得f′(x)>0，从而可判断f(x)在(0,1)内的单调性；(2)由(1)知sin(1−x)<ln 1x ，令1−x =1n 2+1，可分析得0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ，累加可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法与推理证明，属于难题．。

数学（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 已知复数z 知足，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】【分析】D复数知足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，应选 D.2. 已知全集，会合为A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】化简会合A、 B，利用补集与交集运算即可获得结果【详解】因为.，所以或.所以.应选 B.【点睛】此题考察会合的交并补运算，考察不等式的解法，属于基础题3. 若命题p为：为.A.B.C.D.【答案】 C【分析】【剖析】依据全称命题的否认为特称命题即可获得结果.【详解】依据的构成方法得，为. 应选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否认为. 存在性命题的一般形式是，，其否认为.4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有以下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其粗心为“官府陆续差遣1984 人前去修建堤坝，第一天派出64 人，从次日开始每日派出的人数比前一天多8 人，修建堤坝的每人每日赋发大米 3 升”，在该问题中的 1984 人所有差遣到位需要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】 B【分析】【剖析】利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可获得结果.【详解】依据题意设每日派出的人数构成数列，剖析可得数列是首项. 公差为8 的等差数列，设1984 人所有差遣到位需要n 天，则. 解得 n=16. 应选 B.【点睛】此题考察等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考察推理能力与计算能力，属于基础题 .5.以下图，分别以正方形 ABCD两邻边 AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O．若向正方形内扔掷一颗质地平均的小球 ( 小球落到每点的可能性均同样 ) ，则该球落在暗影部分的概率为A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】计算正方形与暗影的面积，依据面积概型公式获得答案.【详解】法一：设正方形的边长为 2. 则这两个半圆的并集所在地区的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为. 故选C.法二：设正方形的边长为域的面积为2. 过O作 OF垂直于 AB，OE垂直于 AD.则这两个半圆的并集所在区，所以该质点落入这两个半圆的并集所在地区的概率为，应选 C.【点睛】解决几何概型问题常有种类有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点简单造成失分，在备考时要高度关注：（ 1）不可以正确判断事件是古典概型仍是几何概型致使错误；（2）基本领件对应的地区测度掌握禁止致使错误；（ 3）利用几何概型的概率公式时 , 忽略考证事件能否等可能性致使错误 .6. 已知定义在R 上的函数知足：(1) ；(2)为奇函数；(3) 当时，图象连续且恒成立，则的大小关系正确的为A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先明确函数的周期性、奇偶性与单一性，把问题转变为在上利用单一性比较大小的问题 .【详解】因为，所以函数是周期为 2 的周期函数 . 又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数，又由当时，图象连续，且恒成立，得函数在区间（-1，1）内单一递加，而.所以.应选 C.【点睛】此题综合考察了函数的图象与性质，波及到周期性、单一性、对称性，利用单一性比较大小，解题重点怎样把自变量转变到同一个单一区间上，属于中档题.7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】 B【分析】【剖析】作出几何体的直观图，察看截去几何体的结构特色，代入数据计算．【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为 2 的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体，以下图，该几何体的表面三角形有，，，，，，由对称性只要计算，的大小，因为，. 所以该几何体的表面积为.应选 B.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思虑方法：1、第一看俯视图，依据俯视图画出几何体的直观图； 2、察看正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再依据三视图进行调整.8.以下图，边长为 2 的正方形 ABCD中， E 为 BC边中点，点 P 在对角线 BD上运动，过点 P 作 AE的垂线，垂足为F，当最小时，A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】由图易知向量所成角为钝角 , 联合题意可知当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，确立点P 的地点，从而获得结果.【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形联合易知点 P 在点 D时,最小（以下图），在三角形 ADE中，由等面积可知，所以，从而. 所以.应选 D.【点睛】此题考察了平面向量数目积的定义及运算，向量的线性运算，考察了数形联合的思想，考察了计算能力，属于中档题.9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右极点分别为A、B，过点的直线与双曲线 C的右支交于P 点，且的外接圆面积为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】由可知：，从而易得，利用正弦定理可得外接圆的半径，获得的外接圆面积 .【详解】因为，所以，由已知得 A（-1.0 ），B（1，0），（2，0），且，所以，在三角形 ABP中，由正弦定理得 . ，所以三角形APB的外接圆的面积为. 应选 C.【点睛】此题考察了双曲线的简单几何性质，平面向量数目积的几何意义，正弦定理，考察了推理论证能力，计算能力，属于中档题.10.利用一半径为 4cm的圆形纸片 ( 圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法以下：(1)以 O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3) 以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的极点落在大圆上( 如图 ) ；(4)将正方形 ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的极点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】设小圆的半径为，连 OD. OH.OH与 AD交于点 M，表示正四棱锥的体积，利用导数研究函数的最值，即可获得结果.【详解】设小圆的半径为，连 OD.OH. OH与 AD交于点 M，则. 因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，以下图，.所以记，所以令，易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。

全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= . 本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率.16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，. （1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得.试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且.（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）. （1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以. 【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）. 即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。

河北省衡水中学2021届高三数学下学期（5月）第三次联合考试试题 理（含解析）总分150分．考试时间120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上相应的位置． 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔 迹签字笔写在答题卡上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3B. 3iC. 4D. 4i【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3.以下统计表和分布图取自《清华大学2021年毕业生就业质量报告》.则下列选项错误的是（ ）A. 清华大学2021年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2021年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2021年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2021年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D 【解析】根据统计表和分布图中的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为80.4%，硕士生选择就业的比例为89.2%，所以判断正确.B. 根据统计表，本科生就业率17.3%, 硕士生的就业率为为89.2%.判断正确.C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海；本科生的就业城市相对比较分散.判断正确.D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的本科生占18.2%，而硕士生和博士生分别占43.0%、51.2%， 所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D【点睛】本题考查对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，属于基础题.4.若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ） A. 4B. C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号， 此时，min 219a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5.要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤B. 4x y +C. 6x y +D.6x y + 【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可；【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6.若{}n a 是公比为()0q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若{}n a 是递增数列，则10a <，0q <B. 若{}n a 是递减数列，则10a >，01q <<C. 若0q >，则4652S S S +>D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项,,A B C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项,,A B C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误；B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，()1110n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7.为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9.如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ = 所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩所以23 mn=故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10.区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A.13B.24C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△ 故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x-+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)rr rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =， 所以其一个焦点化为()10,3F p ，所以221133134p FF p p =+==，所以2p =. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.16.已知函数()(2)1xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为_________.【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】把()0f x <转化为(2)1xkx k e x +<+，即1(2)xx k x e ++<，然后，利用数形结合法求解即可.【详解】由()(2)10xf x kx k e x =+--<得，(2)1xkx k e x +<+，即1(2)x x k x e++<，在平面直角坐标系中画出函数g()(2)x k x =+和1()+=xx h x e 的图象如图所示，为了满足不等式()0f x <的解集中恰有三个整数，只需要满足(2)(2)(3)(3)h g h g >⎧⎨⎩，解得324354k e e<故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用数形结合，求参数范围的问题，本题采用数形结合法求解，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，属于中档题 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ==【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质，可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则25cos BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒.【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD 的一个法向量为()111,,n x y z =， 平面ABD 的一个法向量为()222,,m x y z =则00CD n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00BD m BA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11100x y z =⎧⎨+=⎩，2220x y z -=⎧⎨=⎩，令121,1y x ==可得(0,1,1),(1,1,0)n m =-= 所以1cos ,2n m n m n m⋅<>==由图知，二面角B AD C --的平面角为锐角，所以二面角B AD C --的大小为60︒. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19.2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2021年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】（1）易知c =，设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)，所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数()2,()ln xf x e xg x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<. 【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可.【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <.因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x <方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0t H t t e t =-+> 则1()tH t e t '=-，则()00010t H t e t '=-=则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+<所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x <（2）证明：令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减.由题意得()()()ln 2x h x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln ln x x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减.所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.(二)选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+ 【解析】【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=可算出MN k =MN 的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D 建立方程求解即可.【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --.所以直线MN 的方程为21y x =+.曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ，所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-=设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-.（1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】【分析】 （1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解.【详解】解：（1）由题意得 35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -；当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x < 综上，解集为1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立.②当[1,1)x 时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x =+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数，所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-.因为()()f x g x 恒成立，所以7(1)x a x --，即76111x ax x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数，所以min ()(3)2G x G ==，所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上） 1.若集合A ={0,1,2,3}，B ={x ︳21,x m m A =-∈}，则A B =（ ）A. {0,3}B. {1,3}C. {0,1}D. {3}【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案. 【详解】{1,1,3,5}B =-,{0,1,2,3}{1,1,3,5}{1,3}A B ⋂=⋂-=,【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题. 2.若sin 0,sin 20αα><，则α是第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式以及sin 0α>，可得cos 0α<，由此可得α是第二象限角. 【详解】因为sin 22sin cos 0ααα=<，且sin 0α>， 所以cos 0α<， 所以α是第二象限角. 故选：B【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了正弦函数与余弦函数的符号规则，属于基础题.3.已知命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<，则⌝P 是（ ）A. ,sin 10xx R e x ∃∈-+≥ B. ,sin 10xx R e x ∀∈-+< C. ,sin 10xx R e x ∀∈-+≥ D. ,sin 10x x R e x ∃∈-+≤【答案】C 【解析】 【分析】“存在”改为“任意”，“小于”改为“大于等于”即可得到. 【详解】因为命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<， 所以p ⌝：,sin 10xx R e x ∀∈-+≥故选：C【点睛】本题考查了存在量词的命题的否定，属于基础题. 4.函数3()log (1)f x x =+的定义域为（ ） A. [1,1]-B. [1,1)-C. (]1,1-D. (1,1)-【解析】 【分析】利用偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列不等式组解得结果即可.【详解】由22010x x ⎧-≥⎨+>⎩解得11x -<≤，所以定义域为(]1,1-， 故选：C【点睛】本题考查了求含偶次根式和对数符号的函数的定义域，偶次根式的被开方非负与真数为正数是求定义域时，经常碰到的，需要牢固掌握，属于基础题. 5.已知4tan()30απ+-=，则cos2α的值为（ ） A.725B. 725-C.925D. 925-【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求得3tan 4α=，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将cos2α化为正切的形式，代入正切值即可得到.【详解】因为4tan()30απ+-=，所以3tan 4α=， 所以222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+221tan 1tan αα-==+ 2231()743251()4-==+. 故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的余弦公式以及同角公式，弦化切是解题关键，属于基础题.6.函数3log 2,0()5,0xx x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A. 0m <B.112m << C. 102m <<D. 0m ≤或1m【答案】A 【解析】 【分析】先求充要条件为1m 或0m ≤，再根据充分不必要条件的概念以及四个选项可得答案. 【详解】先求充要条件：因为当0x >时，令3log 20x -=，解得9x =符合，所以当0x ≤时，令50x m -=，则此方程无解，因为0x ≤时，051x <≤，所以1m 或0m ≤ ， 所以 3log 2,0()5,0xx x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充要条件是1m 或0m ≤， 根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A. 故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，考查了函数的零点，属于基础题. 7.已知1sin()124πα+=，则17cos()12πα-的值等于（ ）A.14 B. 14-C.4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】分别根据诱导公式三，二，五转化为sin()12πα-+，结合已知可得答案.【详解】因为17cos()12πα-=5cos()12παπ--5cos()12ππα=+- 5cos()12πα=--cos[()]212ππα=--+ sin()12πα=-+14=-.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式三，二，五，属于基础题.8.已知34xyk ==，且212x y+=，则实数k 的值为（ ）A. 12B.C. D. 6【答案】D 【解析】 【分析】将34x y k ==化为对数式，再倒过来，利用对数的运算法则即可得到答案. 【详解】由34x y k ==得3log x k =，4log y k =，所以1log 3k x=，1log 4k y =，所以212log 3log 4log 362k k k x y+=+==， 所以236k =，又0k >， 所以6k =. 故选：D【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，考查了对数的运算法则，属于基础题.9.已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<，133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．10.设有限集合A =123{,,,}n a a a a ，则称123A n S a a a a =++++为集合A 的和.若集合M ={x ︳2,N ,6x t t t *=∈<},集合M 的所有非空子集分别记为123,,,k P P P P ，则123k P P P P S S S S ++++=（ ）A. 540B. 480C. 320D. 280【答案】B 【解析】 【分析】求出{2,4.6.8.10}M =后，分别求出含有2,4,6,8,10的子集个数，然后可求得结果. 【详解】{2,4.6.8.10}M =，其中含有元素2的子集共有4216=个，含有元素4的子集共有4216=个，含有元素6的子集共有4216=个，含有元素8的子集共有4216=个，含有元素10的子集共有4216=个，所以123k P P P P S S S S ++++(246810)16480=++++⨯=.故选：B【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了集合的子集个数的计算公式，属于基础题. 11.设(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且cos tan (1sin )βαβ=-，则下列式子中为定值的是（ ）A. βα+B. 2αβ-C. 2αβ-D. 2αβ+【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式切化弦后，利用两角差的余弦公式以及诱导公式变为cos()cos()2παβα-=-，再根据余弦函数cos y x =在[0,]π上为递减函数可得到结果. 【详解】因为cos tan (1sin )βαβ=-， 所以sin cos (1sin )cos αββα=-， 所以cos cos sin sin sin αβααβ=-， 所以cos()sin αβα-=， 所以cos()cos()2παβα-=-，因为(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-， 所以0αβπ<-<，022ππα<-<，因为cos y x =在[0,]π上为递减函数， 所以2παβα-=-，即22παβ-=（定值），故选：C【点睛】本题考查了同角公式切化弦，考查了两角差的余弦公式，考查了诱导公式，考查了余弦函数的单调性，属于中档题.12.已知函数()log 2(0,1)m f x x m m =->≠，若a b c d >>>且()()()()f a f b f c f d ===，则11111111a b c d +++----的值为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 4m【答案】A 【解析】 【分析】不妨假设1m ，作出函数()f x 的图像，根据图像可得21a ->，021b <-<，021c <-<，122d <-<，根据已知可得log (2)log (2)log (2)log (2)m m m m a b c d -=--=--=-，进一步可得13a d -=-，13c b -=-，122b d-=-，再将所求式子化为221(2)11(2)dd=+--+-+-，化简可得答案.【详解】不妨假设1m，作出函数()f x的图像如下：由图可知321a b c d>>>>>>，所以21a->，021b<-<，021c<-<，21d->，因为()()()()f a f b f c f d===，且1m，所以log(2)log(2)log(2)log(2) m m m ma b c d-=--=--=-，所以22a d-=-，22b c-=-，(2)(2)1b d--=，所以13a d-=-，13c b-=-，122bd-=-，所以111111111133a cb d d b+++=+------1111b d++--1111()()3131b b d d=+++----22(3)(1)(3)(1)b b d d=+----22224343b b d d=+-+--+-2222(2)1(2)1b d=+--+--+221(2)11(2)d d =+--+-+- 2222(2)2(2)1(2)1d d d -=+----+ 22228824343d d d d d d -+=+-+-+- 22288243d d d d -+-=-+ 2=.故选：A【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。

2021年4月2021届高三全国卷Ⅲ衡水金卷先享题信息卷（三）理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷满分150分。

考试用时120分钟。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－3<x≤2}，则(∁UA)∩B＝A. B.{－2} C.{－2，0} D.{－2，0，4}2.若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为A.－52B.－52i C.12D.523.若双曲线C：2xm－y2＝1(m>0)的焦距为25，则C的渐近线方程为A.x±y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0 .D.x±19y＝04.下图是我国2016年第一季度至2020年第二季度部分城市各季度建筑面积规化供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是A.各季度供应规划建筑面积的最大值超过25000万平方米B.各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米C.2019年各季度供应同比有增有减D.2020年第一季度与2019年第一季度相比，供应同比下降幅度超过10%5.已知函数f(x)＝4x ＋2sinx ，则使不等式f(m ＋1)＋f(1－2m)<0成立的实数m 的取值范围为A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)6.我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯＝1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为A.30.8贯B.39.2贯C.47.6贯D.64.4贯7.执行如图所示的程序框图，如果输入x 1＝1时，输出的值为y 1，输入x 2＝－2时，输出的值为y 2，则2y 1y 为A.19B.13C.3D.9 8.对于问题“已知关于x 的不等式ax ＋b>0的解集为(－1，＋∞)，解关于x 的不等式ax －b<0”，给出一种解法：由ax ＋b>0的解集为(－1，＋∞)，得a(－x)＋b>0的解集为(－∞，1)，即关于x 的不等式ax －b<0的解集为(－∞，1)。

2021年高三第三次模拟考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，集合，则图中阴影部（A）（B）（C）（D）2．已知i为虚数单位，则（A）（B）（C）（D）3．已知是第四象限角，且，则（A）（B）（C）（D）4．已知实数满足，则目标函数的最大值为（A ）-4 （B ）1 （C ）2 （D ）35. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于 （A ）0.977（B ）0.954（C ）0.628（D ）0.4776．等于 （A ）（B ）（C ）（D ）7．现有三个函数：①，②，③的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）②①③（D ）③②①8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则判断框内的条件可以是 （A ）（B ） （C ） （D ）OyxOyxOyx开始k=1 S =1S = 3S +2k = k +1 否输出S 结束是（第9题图）（第8题图）9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（A）20 （B）18 （C）（D）10．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是（A）（B）（C）（D）11．已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（A）（B）（C）（D）12．若存在直线l与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；②曲线和曲线是“相关曲线”；③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

2021届河北省衡水中学高三下学期三调（新高考）数学试题一、单选题1．已知全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，则必有（ ）A ．UM N ⊆B ．UM N ⊇C ．UUM N =D ．M N ⊆【答案】A【分析】根据全集、补集和子集的定义，作出Venn 图，即可得到答案.【详解】全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，作出Venn 图，如图所示，所以M N ⋂=∅， 即可得到UM N ⊆，A 正确；B. UM N ⊇，错误；C.UUM N =，错误；D. M N ⊆，错误. 故选：A ．【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出Venn ，得出集合之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C【分析】结合图象以及选项，确定正确选项.【详解】对于A 选项，图2中，用“1与12”可以测量11； 对于B 选项，图2中，用“4与17”可以测量13； 对于D 选项，图2中，用“0与17”可以测量17. 图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为15. 故选：C3．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二【答案】C【分析】求出20218除以7的余数，可得结论．【详解】2021202102021120202020202120212021202120218(71)777C C C C =+=⋅+⋅+⋯+⋅+，故它除以7的余数为202120211C =， 故经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，整除问题，考查运算求解能力． 4．复数z ∈C ，在复平面内z 对应的点Z ，满足11||21iz -+≤≤，则点Z 所在区域的面积（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】C【分析】设(),z x yi x y R =+∈，由模长公式得出点Z 所在区域对应的图形，然后再求面积.【详解】设复数(),z x yi x y R =+∈，又()()111121211i i i i i -+--==+111122z x y i i ⎛⎫-=-++= ⎪+⎝⎭由11||21z i -+≤≤，则22111422x y ⎛⎫⎛⎫≤-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以复数z 对应的点(),Z x y 在以1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，为圆心，1为内圆半径，2为外圆半径的圆环内.所以点Z 所在区域的面积为43πππ-= 故选：C5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]6,12B ．[]6,16C ．[]8,12D ．[]8,16【答案】C【分析】计算得出24PM PN PO ⋅=-，求出PO 的取值范围，由此可求得PM PN ⋅的取值范围.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC 、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO 取最大值4， 当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin233POπ==，所以，23,4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈.故答案为：[]8,12.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 6．若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝1315log ，c ＝152，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是（ ） A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (c )>f (a ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (a )>f (b )【答案】D【分析】先得出函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上的单调性，再比较对数式和指数式之间的大小，可得选项.【详解】因为函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b )<f (a )<f (c )． 故选：D.【点睛】本题考查对数式、指数式比较大小，根据函数的单调性得出函数值的大小关系，属于中档题.7．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=， 由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.8．已知实数,x y 满足221,01,01x y x y +=<<<<，当41x y +取最小值时，xy的值为（ ）A ．BCD ．1【答案】A 【分析】先设(0)x m m y =>，即x my =，结合题的条件，得到2211y m =+，将题中式子进行变形41414m x y my y my ++=+==到22816()817f m m m m m=++++，利用导数研究函数的最值即可得结果. 【详解】设(0)xm m y=>，即x my =，因为221,01,01x y x y +=<<<<， 所以2221m y y +=，所以2211y m =+，所以41414m x y my y my ++=+== 令22222222(4)(1)(816)(1)816()817m m m m m f m m m m m m m +++++===++++， 23338328(4)8'()282(4)(2)(4)m f m m m m m m m m+=+--=+-=-+，因为0m >，所以当0m <<'()0f m <，当m >时，'()0f m >()f m 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当m 时，()f m 取得最小值， 故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关与最值相联系的问题，在解题的过程中，(0)xm m y=>，将其转化为求关于m 的函数的最值问题解决是解题的关键.二、多选题9．下列命题中为真命题的是（ ） A ．若a b >，则1a b> B ．若22ac bc ≥，则a b ≥ C ．若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D ．若a b >，则1133a b >【答案】CD【分析】利用特殊值判断AB ；利用作差法判断C ；利用单调性判断D. 【详解】A 项，若1,1a b ==-时，a b >成立，1ab>显然不成立，错误； B 项，0,1,2c a b ===满足22ac bc ≥，但a b < ，错误； C 项，若0c a b >>>，则0,0,0c a c b a b ->->->，可得()()()0a b c a b c a c b c a c b --=>----，所以a bc a c b>--，正确； D 项，13()f x x =为单调增函数，若a b >，则1133a b >，正确； 故选：CD ．10．据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（ ）A ．到2050年已经退休的人数将超过30%B ．2050年中国46~55岁的人数比16~25岁的人数多30%C ．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D ．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为55191010⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC【分析】A ：根据饼状图直接判断即可； B ：根据饼状图的数据进行运算判断即可； C ：根据饼状图的数据进行运算判断即可； D ：根据二项分布的概率公式进行运算判断即可.【详解】由饼状图知2050年中国将有约32%的人已经退休，所以选项A 正确； 设46~55岁的人数为16x 人，16~25岁的人数为13x 人，则46~55岁的人数比16~25岁的人数多1613323%1313x x x -=≈，所以选项B 错误；25岁以上未退休的人口数占48%，已退休人口数占32%，所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以选项C 正确； 年龄在36~45岁之间的概率为110．从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为55510191010C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 错误， 故选：AC ．11．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值 【答案】ABD【分析】利用线面垂直的性质判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用同底不同高判断C ，求出体积判断D.【详解】由于1,AC BD AC DD ⊥⊥，1BD DD D =，故AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，所以A 正确；由于//EF BD ， EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故B 正确；由于三角形BEF 和三角形AEF 的底边都是EF ，而前者是B 到EF 的距离， 即1BB 的长为1，而后前者是A 到EF 的距离，作EM 垂直于底面，垂足为M ，所以11EM BB ==，连接AM ，由于在Rt AEM 中，AE 是斜边，即1AE EM BB >>，故C 错误；连结BD 交AC 于O ，由于AC ⊥平面11BDD B ，所以AO ⊥平面11BDD B ，22AO =，因为1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A -BEF 的体积为112234224⨯⨯=为定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，关键点是熟练掌握有关判断和性质，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.12．（多选题）已知数列{}n a 满足()()1211n n n n aa n +++=⋅-，其前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．m 为定值B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值【答案】BCD【分析】分析得出()()2122121k k k k a a k +++=⋅-，由已知条件推导出201911010S a ，11m a +=，可判断出ABC 选项正误，利用基本不等式可判断D 选项的正误.【详解】当()2n k k N *=∈，由已知条件可得()()2122121k k k k a a k +++=⋅-，所以，()()()201912320191234520182019S a a a a a a a a a a a =++++=+++++++11124682018250420181010a a a =-+-+--=+⨯-=-，则201911010S a ，所以，2019110101009m S m a +=+-=-，11m a ∴+=，由基本不等式可得211124m a ma +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当112m a ==时，等号成立，此时1ma 取得最大值14. 故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.【答案】5【分析】由题设条件化简得到2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，进而得sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，结合基本关系式，即可求解. 【详解】由3sin(2)sin 2αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()5tan αβα+=.故答案为：5.14．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：h ）如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要 ___________h ． 【答案】46【分析】进分析，甲应尽快让乙开始描绘，故甲按A ,C ,B 的顺序上漆即可. 【详解】甲应尽快让乙开始描绘， 甲先对原料A 上漆需要9小时，然后乙用15小时对原料A 描绘花纹，其中在这15小时描绘花纹的过程中，甲用10小时对原料C 上漆，用5小时对原料B 上漆，然后甲再对C 进行11小时的上漆，此时乙对原料C 描绘花纹11小时，还剩3小时完成原料C 的描绘，完成后再对原料B 描绘花纹8小时.所以完成这三件原料的描金工作最少需要915113846++++=小时. 故答案为：46.15．对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】【分析】先分析题意，把函数化简整理为()sin 4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∣，再利用三角函数的图像与性质求值域即可得到答案. 【详解】由22,22,a b a ba b b a a b-≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的分类讨论思想及处理新定义问题的能力，属于中档题.四、双空题16．已知点M 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，447MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为___________；若,MF MO 分别交双曲线C 于P 、Q 两点，记直线QM 与PQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅=___________． 【答案】4 -15【分析】首先根据题意得到74MO MF c ==，从而得到2c M ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到2224465160c a c a -+=，从而得到4e =；设()11,P x y ，由题知：()00,Q x y --，根据MO MF =得到1MP k k =-，再计算122=MP k k k k ⋅-⋅即可得到答案.【详解】设()00,M x y ，如图所示：因为4477MO MF OF c ===，所以74MO MF c ==. 所以02c x =，220735424c y c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3524c M c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2222451641cca b-=，整理得：22222244516b c a c a b -=， 4224465160c a c a -+=，即42465160e e -+=，解得214e =或216e =. 因为1e >，所以216e =，即4e =. 设()11,P x y ，由题知：()00,Q x y --，因为MO MF =，所以QM MP k k =-，即1MP k k =-，所以2210101012222101010=MP y y y y y y k k k k x x x x x x -+-⋅-⋅=-⋅=--+- 又因为()()221122222210102222002211101x y a b x x y y ab x y a b ⎧-=⎪⎪⇒---=⎨⎪-=⎪⎩， 所以22222210222210115y y b c a e x x a a--===-=-， 所以12=15k k ⋅-. 故答案为：4；15-.【点睛】方法点睛：求离心率的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的,a c 的值，再求离心率即可；2.齐次式法：根据题意得到,,a b c 的齐次式，再转化为关于e 的方程求解.五、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，设()n S n N *∈为数列{}na 的前n 项和，数列{}nb 是等比数列，0n b >，若11325233,1,12,2a b b S a b a ==+=-=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,nn nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，求数列{}n c 的前2n 项和． 【答案】（1）121,2n n n a n b -=+=；（2）21121321n n ++-+. 【分析】（1）依题意分别求出等差数列{}n a 的公差d 和等比数列{}n b 的公比q 即可求得通项；（2）求出111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，分组之后用裂项法和公式法求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．因为0n b >，所以0q >.依题意得2331234232q d d q d ⎧+++=⎨+-=+⎩，即26q d d q ⎧+=⎨=⎩，解得2d q ==或3dq （舍）．∴121,2n n n a n b -=+=． （2）由（1）可得(321)(2)2n n n S n n ++==+．∴2211(2)2n S n n n n ==-++． ∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，则()()21321242n n n T c c c c c c -=+++++++()1352111111122223352121n n n -⎛⎫=-+-++-+++++ ⎪-+⎝⎭()22212112112n n -=-++- 21121321n n ++=-+． 【点睛】方法点睛： 本题第（2）问考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18．如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）230（29+3【详解】(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， ∴AB 3在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°， ∴AC 3在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°， ∴BC 30则船的航行速度为3010=230360÷(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝310，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°310=20（3-1）由正弦定理得AD＝9+3 1319．如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB 的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值66？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM ⊂平面EMN ， 故平面EMN ⊥平面PBC ；（2）假设存在点N ，使得二面角B ﹣EN ﹣M 的余弦值66. 以E 为原点，EB ED EP ，，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PE =EB =2，设N (2，m ，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)， P (0，0，2)，C (2，2，0)，M (1，0，1)，(1,0,1)EM =，(2,0,0)EB =，(2,,0)EN m =，设平面EMN 的法向量为(,,)p x y z =，由.0.20m EM x z m EN x my ⎧=+=⎨=+=⎩，令x m =，得(,2,)p m m =--，平面BEN 的一个法向量为(001)n =，，， 故()()222006cos ,2001p n mp n p nm m ⋅+-===⨯+-+-⨯++ 解得：m =1，故存在N 为BC 的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．甲，乙，丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：①按照甲､乙､丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；②选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮.甲､乙､丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7.（1）求甲､乙､丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲､乙､丙三人得分总和X ，若1X ≤，则该团队无奖品；若23X ≤≤，则该团队获得20元的奖品；若47X ≤≤，则该团队获得50元的奖品；若8X ≥，则该团队获得200元的奖品.求该团队获得奖品价值Y 的期望. 【答案】（1）0.44；（2）40.451.【分析】（1）分别求得有一人第一次没有投中的概率，再对所求的概率求和可得答案； （2）甲，乙，丙三人得分总和X 的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，9.分别求得()1P X ≤，(23)P X ≤≤，(47)P X ≤≤，(89)P X ≤≤.根据期望公式可求得答案.【详解】（1）记“甲第一次投篮命中”为1A ，“甲第二次投篮命中”为2A ，“乙第一次投篮命中”为1B ，“乙第二次投篮命中”为2B ，“丙第一次投篮命中”为1C ，“丙第二次投篮命中”为2C .三人一共投篮5次，则有一人第一次没有投中，即概率()()()111111111P P A B C P A B C P A B C =++，()()()()1111110.60.50.30.09P A B C P A P B P C ==⨯⨯=，()()()()1111110.60.50.70.21P A B C P A P B P C ==⨯⨯=， ()()()()1111110.40.50.70.14P A B C P A P B P C ==⨯⨯=. 0.090.210.140.44P =++=，故三人一共投篮5次的概率为0.44.（2）甲，乙，丙三人得分总和X 的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，9.()()11100.40.50.30.06P X P A B C ===⨯⨯=，()()()121111211112(1)0.108P X P A A B C P A B B C P A B C C ==++=，()()()121211*********(2)0.0642P X P A A B B C P A A B C C P A B B C C ==++=，()()()()121212121111211112(3)0.1946P X P A A B B C C P A A B C P A B B C P A B C C ==+++=，()()12121290.0441P X P A A B B C C ===.故()10.168P X ≤=，(23)0.2588P X ≤≤=，(47)0.5291P X ≤≤=，(89)0.0441P X ≤≤=.则该团队获得奖品价值Y 的期望()0.16800.2588200.5291500.044120040.451E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】方法点睛：求随机变量概率分布列的步骤： (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出取各值时的概率； (3)列成表格； (4)检验分布列.注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布.再运用期望公式可求得随机变量的期望.21．已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B ，椭圆C 过点⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x -=或360x -=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【详解】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B 的距离d ==，即2234b a =．① 又椭圆C过点⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+． 由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△，当且仅当m =时取等号． （在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧） 故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，直线2A P 的方程为360x -=或360x -=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论．22．已知函数2()3(1)ln ,()4f x x a x g x x ax =-+=-+．（1）若函数()()y f x g x =+在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(,1]-∞-；（2）存在，实数(1,3)a ∈.【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出a 的取值范围； （2）函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切，且存在()f x 的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出答案．【详解】（1）∵2()()3()1ln 4y f x g x x a x x ax =+=-++-+在(0,)+∞上单调递增， ∴132a y x a x+'=-+-0≥在(0,)+∞上恒成立， 即222312(1)(1)222(1)1111x x x x a x x x x +-+-+-≤==+--+++， 易知)22(111y x x =+--+在(0,)+∞上为增函数，∴22(1122111)y x x =+-->--=-+， ∴1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-. （2）存在，理由如下，2()()3()1ln 4y f x g x x a x x ax =-=-+-+-，设2()3(1ln )4,0h x x a x x ax x =-+-+->，∴212(3)(1)()32a x a x a h x x a x x+-++-+'=--+=第 21 页 共 21 页 22(3)(1)(21)(1)x a x a x a x x x-+++---=-=-， 令()0h x '=，解得12a x +=或1x =， 当102a +≤，即1a ≤-时，由(0,1)x ∈，得()0h x '>；由(1,)x ∈+∞，得()0h x '<， ∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)20h x h a ==-=，解得2a =（舍去）. 当102a +>，即1a >-时，∵函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切，∴102a h +⎛⎫= ⎪⎝⎭或(1)0h =，由(1)20h a =-=，解得2a =；当102a h +⎛⎫=⎪⎝⎭时，可得23(1)111(1)ln 402222a a a a a a ++++⎛⎫-+-⨯-= ⎪⎝⎭+， 设12a t +=，则0t >，232ln (2140)t t t t t t --+--=，即222ln 40t t t t +--=， 设222ln 4,()0t t t t t t ϕ=+-->，∴222(1ln 2(ln ()))t t t t t ϕ'=+-+=-，再令()ln ,0m t t t t =->，∴11()1t m t t t-'=-=， 当01t <<时，()0m t '<，()m t 单调递减；当1t >时，()0m t '>，()m t 单调递增， ∴()(1)1m t m ≥=，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，∵(1)10,(2)44ln 20ϕϕ=-<=->，∴存在02)(1,t ∈，使得00()t ϕ=，即1(1,2)2a +∈，得(1,3)a ∈， 综上所述，存在实数(1,3)a ∈，使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切．【点睛】本题考查求参数的取值范围的问题，解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值，属于较难题.。

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（三）数学（理科）试题卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.设集合{}0A x x =>，{}22150,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（ ）A. {}1,2B. {}1,2,3C. {}1,2,3,4D. {}1,2,3,4,5【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算集合B,然后结合集合交集运算性质,即可.【详解】()(){}{}=3504,3,2,1,0,1,2B x x x x Z x -+<∈=----，,所以{}1,2A B =,故选A.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小. 2.若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ）A. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得z ，根据复数模的定义及运算即可求解. 【详解】复数z 满足(1)2z i ⋅+=， 则21iz =+， 由复数除法运算化简可得()()()2121111i z i i i i -===-++-， 由复数模的定义及运算可得z ==故选：B.【点睛】本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题. 3.已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2a =（ ) A. 7-25B.725C. 1-5D.15【答案】B 【解析】分析：利用诱导公式与二倍角的余弦公式，即可得结果. 详解：4cos -45πα⎛⎫= ⎪⎝⎭所以22472cos -22cos -12124525sin ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B. 点睛：本题主要考查诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题. 解答给值求值问题时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值. 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，根据条件1S ≤-成立，循环结束，可得出输出结论. 【详解】运行该程序，输入1i =，0S =，则110lglg 33S =+=； 11lg lg 1310S =>=-，不满足判断框，则1313,lg lg lg 355i S ==+=；11lg lg 1510S =>=-，不满足判断框，则1515,lg lg lg 577i S ==+=；11lglg 1710S =>=-，不满足判断框，则1717,lg lg lg 799i S ==+=； 11lg lg 1910S =>=-，不满足判断框，则1919,lg lg lg 91111i S ==+=；11lglg 11110S =<=-，满足判断框，输出9i =. 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.5.已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是（ ）A.56π B.23π C.3π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据b 的坐标计算b ，根据223a b +=得到1a b =，再代入夹角公式计算即可. 【详解】22cos sin 1b αα=+=，222(2)4412a b a a b b +=++=，即44412a b ++=，解得1a b =. 设a 与b 夹角为θ，则1cos 2a b a bθ==， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.【点睛】本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题.6.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6B. 21C. 27D. 54【答案】C 【解析】 【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7.已知,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by 过定点（ ）A. ()3,1B. ()1,3-C. ()1,3D. ()3,1-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到,a b 的关系式，再代入直线10ax by 由直线系方程得出答案.【详解】由,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解，联立280y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()6,2C ，622a b ∴+=，即31a b +=，所以13b a =-，代入10ax by ，得310ax y ay +--=， 即()310a x y y -+-=，由3010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，∴直线10ax by 过定点()3,1，故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属于中档题.8.设随机变量~(1,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈）A. 7539B. 7028C. 6587D. 6038【答案】C【解析】 【分析】由题意正方形的面积为1S =，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为1S =又由随机变量服从正态分布()~1,1X N ， 所以正态分布密度曲线关于1x =对称，且1σ=， 又由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，即()020.6826P X <<≈，所以阴影部分的面积为10.682610.65872S =-=， 由面积比的几何概型可得概率为10.6587SP S==，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是100000.65876587⨯=，故选C ．【点睛】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.设函数()2ln 1xf x x x =++满足()()()()0f a f b f c a b c <<<，若()f x 存在零点0x ，则下列选项中一定错误的是( ) A. ()0,x a c ∈ B. ()0,x a b ∈ C. ()0,x b c ∈ D. ()0,x c ∈+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，将函数的解析式变形为()22ln 1f x x x =-++，分析可得在其定义域上为增函数，结合()()()0f a f b f c <分析可得必有()()()0,0,0f a f b f c <>>或()()()0,0,0f a f b f c <<<，据此分析选项，即可得答案. 【详解】解：由()2ln 1x f x x x =++，得()22ln (0)1f x x x x =-+>+ 因为函数22,ln 1y y x x =-=+ 在(0,)+∞上均为增函数，所以()2ln 1xf x x x =++在(0,)+∞上为增函数， 若()()()0f a f b f c <，则必有()()()0,0,0f a f b f c <>>或()()()0,0,0f a f b f c <<<，若函数存在零点0x ，则()0,x a c ∈，或()0,x a b ∈或()0,x c ∈+∞ 所以选项C 不正确 故选：C【点睛】此题考查函数的零点判断定理，注意分析函数的单调性，属于中档题.10.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b 的关系，即可求解.【详解】不妨设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为(2,0)-，半径2r ，则圆心到渐近线的距离为2b d c==所以弦长2==，化简得：2243b c =， 即2224()3c a c -=， 解得2c a = 所以2ce a==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题.11.已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1a =，3a b c ++=，且sin cos sin cos 2c A B a B C +=，则ABC 的面积为（ ）A. 4B.4 C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sinA 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积.【详解】sin cos sin cos 2c A B a B C a +=，sin sin cos sin sin cos C A B A B C A ∴+=sin 0A ≠sin Ccos sin cos B B C ∴+=即sin()sin B C A +==3A π∴=或23A π=， 若23A π=，则,a b a c >>，故2a b c >+，与1,2a b c =+=矛盾，3A π∴=由余弦定理得22222cos ()31a b c bc A b c bc =+-=+-=1bc =∴1133sin 12224S bc A ∴==⨯⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.12.2,0()ln(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A. 21[,)e +∞ B. 1[,)e+∞C. [1,)+∞D. 211[,)e e【答案】A 【解析】 【分析】对于[1x ∀∈-，)+∞，均有()1(1)f x a x -+，在坐标系中，画出函数()1y f x =-与(1)y a x =+的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果．【详解】解：2,0()(1),0x x f x ln x x ⎧=⎨+>⎩，对于[1x ∀∈-，)+∞，则21,10()1(1)1,0x x f x ln x x ⎧---=⎨+->⎩，在坐标系中，画出函数()1y f x =-与(1)y a x =+的图象，如图： 对于[1x ∀∈-，)+∞，均有()1(1)f x a x -+，就是函数(1)y a x =+的图象都在()1y f x =-图象的上方， 则(1)1y ln x =+-可得1(0)1y x x '=>+，设切点坐标(,)m n ， 可得111nm m =++，可得1n =，此时(1)11ln m +-=，解得21m e =-， 所以切线的斜率为：221111e e=-+．可得21ae ． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线斜率的求法，函数与方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．二、填空题13.若抛物线()220y px p =>的准线经过直线1y x =+与坐标轴的一个交点，则p =______.【答案】2 【解析】 【分析】首先得出抛物线的准线方程，然后即可分析出其经过直线1y x =+与坐标轴的交点，解出即可. 【详解】抛物线()220y px p =>的准线为2p x =-所以其经过直线1y x =+与坐标轴的交点为1,0所以12p-=-，即2p = 故答案为：2【点睛】本题考查的是由抛物线的方程得准线方程，较简单.14.已知二项式()1nx +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则()2111nx x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为______. 【答案】16 【解析】 【详解】【分析】由已知求得n ，写出6(1)x +二项展开式的通项，由x 的指数为0或2求得r 值，则答案可得．【详解】(1)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，6n ∴=．6(1)x +展开式的通项为166()r r r rr T C x C x +==，∴令0r =，6(1)x +展开式的常数项为061C =；令2r ，6(1)x +展开式的2x 项为222615C x x =则21(1)(1)n x x++展开式中常数项为1111516⨯+⨯=． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查两个二项式的乘积的指定项，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15.关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =在区间5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题序号都填上） 【答案】②③ 【解析】 【分析】由三角函数解析式，结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解. 【详解】解：对于①，令()0f x =，即23x k ππ+=，则126x k ππ=-，则1212,22k k mx x m Z ππ--==∈，即12x x -必是2π的整数倍，即①错误； 对于②，令222232k x k πππππ-≤+≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭5,1212k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即()y f x =在区间5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，即②正确； 对于③，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-，当0k =时，6x π=-，即()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即③正确；对于④，令232x k πππ+=+，解得212k x ππ=+，解2126k πππ+=-，k 无整数解，即④错误，综上可得正确的命题的序号是②③， 故答案为：②③.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了运算能力，属基础题.16.在几何体P ABC -中，PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且2AB BC ==，AB BC ⊥，则P ABC -的外接球的表面积等于__________． 【答案】28π3【解析】由题意，取,AB PB 的中点E F ，，连接,AF PE ，且AF PE M ⋂=，则点M 为正三角形PAB 的中点，1333ME PE ==，易证PE ⊥平面ABC ，取AC 中点D ，连接ED ， 作OD ∥PE ，OM ∥ED ，连接OA ，则OA 为外接球的半径，又33OD ME ==，122AD AC ==，则22213OA OD AD =+=， 所以外接球的表面积为22128433S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，从而问题可得解.点睛：此题主要考查简单组合体的表面积的计算，以及三棱锥外接球半径的求问题，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题的过程中，常以三棱锥为基础，构造出长方体（或是正方体），则该长方体的体对角线即为此三棱锥的外接球的直径，再根据球的表面积公式进行运算即可.三、解答题17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如下的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[)120,150的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率. 【答案】（Ⅰ）118，128，见解析；（Ⅱ）5234. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据中位数的概念可得出中位数值，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可； （Ⅱ）由分层抽样的概念可得应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合结合相互独立事件同时发生的概率公式确定出概率即可. 【详解】（Ⅰ）根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：1221141182+=， 乙班抽出同学分数的中位数：1281281282+=. 乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平； 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. （Ⅱ）根据茎叶图可知： 甲、乙两班数学成绩为优秀人数分别为10、14，其中140分以上的有2人，3人，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人.设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A ，则()2334283115710145234C C C C P A C C ⋅⋅=⋅=. 故，抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234.【点睛】本题主要考查由茎叶图求中位数，排列组合求概率，相互独立事件同时发生的概率，属于中档题.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()211n n b a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n T .求证：14n T <. 【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知242n n n S a a =+构造211142n n n S a a +++=+，两式相减化简可得.（Ⅱ）求出()221144121n b n n n ==+++，放缩()1111()4141n b n n n n <=-++利用裂项法求和可得.【详解】（Ⅰ）已知，242n n n S a a =+，①所以，211142n n n S a a +++=+，②②－①得，22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1120n n n n a a a a +++--=；因为10n n a a ++>，所以，12n n a a +-=.由211142S a a =+得，12a =，故{}n a 为等差数列，公差2d =.因此，()2122n a n n =-⨯=. （Ⅱ）因为，()()22111111()441414121n b n n n n n n n ==<=-+++++所以，11111111111(1)()()...()4242343441n T n n <-+-+-++-+ 111(1)414n =-<+. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项及用裂项法求和.已知n S 求n a 的三个步骤:(1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写．用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．19.如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，90APB ∠=︒，M ，N 分别是CD ，PB 的中点.（1）求证：//CN 平面PAM ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角等于60︒，求二面角M AP C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（211133【解析】 【分析】（1）利用平行四边形判定法则，证明CN 平行ME ，然后结合直线与平面平行判定，即可．（2）建立直角坐标系，分别计算两平面的法向量，然后结合向量数量积，即可．【详解】（1）取线段AP 中点E ，连结EN ，EM ，因为E ，N 分别是PA 、PB 的中点，所以//EN AB 且12EN AB =， 正方形ABCD 中，M 是CD 的中点.所以//CM AB 且12CM AB =， 所以//CM EN 且CM EN =， 故四边形CNEM 为平行四边形， 从而//CN ME ，又因为CN ⊄平面PAM ，ME ⊂平面PAM ，所以//CN 平面PAM .（2）过P 作PO AB ⊥于O ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面ABCD ，又PA ⋂平面ABCD A =，从而AO 为直线PA 在平面ABCD 内的射影， 故PAO ∠为直线PA 与平面ABCD 所成角，所以60PAO ∠=︒.如图，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB ，OP 所在的直线 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则()0,1,0A -，(3P ，()4,1,0M ，()4,3,0C ，()4,2,0AM =，(3AP =，()4,4,0AC =.设()111,,m x y z =，()222,,n x y z =分别为平面APM 和APC 的法向量，则00m AM m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111142030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令123y =得()3,23,2m =--，00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222244030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令23y =()3,3,1n =--， 11133cos ,719m n m n m n ⋅===⋅ 所以二面角M AP C --11133. 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定和二面角计算方法，难度较大．20.已知ABC 的两个顶点坐标是(3,0)B -，(23,0)C ，ABC 的周长为843+O 是坐标原点，点M 满足2OA AM =-.（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于,P Q 两点，若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ △面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22104x y y +=≠；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）8AB AC BC +=>,点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.利用定义法求点A 轨迹方程，利用2OA AM =-求出点M 的轨迹E 的方程即可.（Ⅱ）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠与点M 的轨迹E 的方程联解，利用根与系数关系与直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列建立方程求出12k =±，再求出弦长PQ =.点O 到直线l的距离d ==运用三角形面积公式建立关于m 的表达式求出最值.【详解】（Ⅰ）已知8AB AC BC +=>，所以，点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）. 因为，28a =，c =，所以，4a =，2b =.所以，点A 的轨迹方程为()2210164x y y +=≠.设(),M x y ，()00,A x y .由2OA AM =-得，0022x x y y =⎧⎨=⎩，又22001164x y +=.故，点M 的轨迹E 的方程为()()22221164x y +=，即()22104x y y +=≠.（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()()()222222641614116410k m kmk m =-+-=-+>△，即22410k m -+>，且122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+，故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.∵直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，∴()2221212121212k x x km x x my y k x x x x +++⋅==， 即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±. 由0>，及直线,OP OQ 的斜率存在，得202m <<，∵12PQ x =-==，点O 到直线l 的距离d ==.112OPQ S PQ d =⋅==≤△，当21m =时取等号，此时直线l 的方程为112y x =±±，OPQ S 的最大值为1.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解. 21.已知函数()ln f x x x =，()212g x x =. （Ⅰ）求函数()f x 在[](),10t t t +>上的最值；（Ⅱ）若对0b a >>，总有()()()()[]m g b g a f b f a ->-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）①当101t t e<<+<时，满足条件的t 不存在； ②当101t t e <<<+即10t e <<时，()min 11()f x f e e ==-；③当11t t e ≤<+即1t e≥时，()()min ln f x f t t t ==（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）解出导函数方程的根，讨论根与给定区间关系，分类讨论函数单调区间，从而求出函数最值. （Ⅱ）对()()()()[]m g b g a f b f a ->-进行等价变换构造新函数()2ln 2m h x x x x =-，解决恒成立问题；分离参数ln 1x m x +≥，不等式恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数()ln 1x x xϕ+=，利用导数求()x ϕ最值可解.【详解】（Ⅰ）因为()ln 1f x x '=+；令()ln 10f x x '=+=得，1x e=. 当1(0,)x e∈时，0f x ，()f x 单调递减； 当1(,)x e∈+∞时，0f x，()f x 单调递增.①当101t t e <<+<时，满足条件的t 不存在； ②当101t t e <<<+即10t e <<时，()min 11()f x f e e ==-；③当11t t e ≤<+即1t e≥时，()()min ln f x f t t t ==.（Ⅱ）因为，()()()()[]m g b g a f b f a ->-等价于()()()()mg b f b mg a f a ->-，令()()()2ln 2m h x mg x f x x x x =-=-， 因为0b a >>，总有()()()()[]m g b g a f b f a ->-成立，所以，()h x 在0,上单调递增.问题化为()ln 10h x mx x '=--≥对()0,x ∈+∞恒成立.即ln 1x m x+≥对()0,x ∈+∞恒成立. 令()ln 1x x xϕ+=，则()2ln x x x ϕ-'=.由()2ln 0x x x ϕ-'==得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减，()()max 11x ϕϕ==，故m 的取值范围是：[)1,+∞.【点睛】本题考查利用函数的单调性求最值及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤: (1)求()f x '；(2)确定()f x '在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点、以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）求线段AB 的中点P 的直角坐标；（2）设点M 是曲线C 上任意一点，求MAB △面积的最大值.【答案】（1）9,44P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭（2）4 【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，设A 、B 的参数分别为1t 、2t ，利用韦达定理求出线段AB 中点P 对应的参数，代入直线l 的参数方程可求得点P 的直角坐标；（2）利用弦长公式求得AB ，求出圆心到直线l 的距离，由此可求得圆C 上的点M 到直线l 距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得MAB △面积的最大值.【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程可化为24cos ρρθ=，化为直角坐标方程得()2224x y -+=， 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：2213242t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t -=， 设A 、B 的参数分别为1t 、2t，由韦达定理得：12t t +=，于是1222P t t t +==-. 设()00,P x y，则0093412x y ⎧⎛==⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯= ⎪ ⎝⎭⎩，故点P的直角坐标为9,44P ⎛- ⎝⎭； （2）由（1）知：12t t +=，123t t ⋅=-， 所以，12AB t t =-==，又直线l 的普通方程为30x --=，圆心()2,0C 到直线l 的距离为12d ==，圆的半径2r .所以，点M 到直线l 的距离的最大值为max 52h d r =+=. 因此，MAB △面积的最大值为：max 15224S AB h =⋅==. 【点睛】本题弦的中点坐标的求解，同时也考查了三角形面积最值的求解，涉及直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23.已知不等式21211x x m ++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a 、b 、c 满足a b c M ++=，求证：13222a b b c+≥++【答案】（1）[]3,1-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出2121x x ++-的最小值，由此可得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（2）由题意可得1a b c ++=，可得出()()222a b b c +++=，可得出()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，利用基本不等式可证得结论. 【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()212121212x x x x ++-≥+--=，所以，12m +≤，解得31m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]3,1-；（2）因为，1M =，所以，1a b c ++=，()()222a b b c ∴+++=， 所以，()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()321214422222a b b c b c a b ⎡+⎡⎤+=++≥⨯+=+⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣. 即13222a b b c+≥+++【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

2021 年一般高等学校招生全国一致考试模拟试题理数〔一〕第一卷〔共 60 分〕一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1.会集，，，那么〔〕A. B. C. D.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕学* 科*网...A. B. C. D.5. 点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.6.函数那么〔〕A. B. C. D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.8.函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向右平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.10.某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 3212. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________ ．14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为 __________ ．16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为 __________ ．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，.又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；.〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．21. 函数，其中为自然对数的底数.〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于0的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1. 会集，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】会集，故，会集表示非负的偶数，故，应选 C.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】，依照两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，应选 A.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数【答案】 D【解析】，为常数，应选 D.4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色局部的面积与梯形的面积相等，那么所求的概率为，应选 A.5.点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】由，解得点，又，那么的中点坐标为，于是，，那么，解得或〔舍去〕，应选 D.【方法点睛】此题主要观察双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的观察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，进而求出 ; ②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④依照圆锥曲线的统必然义求解．此题中，依照的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6.函数那么〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，应选 D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，应选 C.8. 函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移B. 可由函数的图象向右平移C. 可由函数的图象向右平移D. 可由函数的图象向右平移个单位而得个单位而得个单位而得个单位而得【答案】 B【解析】，因为函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，因此函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，应选 B.9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】令，得，而常数项为，因此张开式中剔除常数项的各项系数和为，应选 A.10. 某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为终究面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，应选 C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点观察学生的空间想象能力和抽象思想能力以及外接球的表面积，属于难题. 三视图问题是观察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热点 . 观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的重点，不仅需注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不相同地址对几何体直观图的影响 .11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】 C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又〔当且仅当时取等号〕，的最小值为，应选 C.12. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】 B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递加，故，依题意得，即实数的取值范围是，应选 B.【方法点睛】此题主要观察分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题 .解决这类问题的重点是理解题意、正确把问题转变成最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：〔1〕只需；〔2〕，只需；〔3〕，只需；〔4〕，，.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出拘束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，获取最小值，且，，故答案为.【方法点晴】此题主要观察线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔 1〕作出可行域〔必然要注意是实线还是虚线〕；（2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数，最先经过或最后经过的极点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，那么由等比数列的性质，知，那么，由与的等差中项为，知，得，即，那么，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，那么五棱锥的体积，，得或〔舍去〕，当时，单调递加，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔 1〕由及正弦定理化简可得即，进而得．又，因此，由余弦定理得；〔 2〕由，得，因此．试题解析：〔1〕由及正弦定理得，即，在中，，因此．又，因此．在中，由余弦定理得，因此．〔2〕由，得，因此．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】 (1)见解析 (2)【解析】试题解析：〔1〕连接，，，与的交点为，连接，那么，由正方形的性质可得，进而得平面，，又，因此；〔 2〕由勾股定理可得，由〔 1〕得因此底面，因此、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设〔〕，求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，进而可得结果 .试题解析：〔 1〕连接，，，因为，，因此和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，那么，又四边形是正方形，因此，而，因此平面．又平面，因此，又，因此．〔2〕由，及，知，于是，进而，结合，，得底面，因此、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，那么，，，，，，，，由，易求得．设〔〕，那么，即，因此．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，那么，解得或〔舍去〕，因此当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】此题主要观察利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立合适的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔 4〕将空间地址关系转变成向量关系；〔 5〕依照定理结论求出相应的角和距离 .19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．【答案】 (1)(2)〔3〕的分布列为01234∴．【解析】试题解析：〔 1〕直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；〔 2〕①∵遵从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，依照独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，进而可得分布列，进而利用二项分布的希望公式可得的数学希望 .试题解析：〔 1〕所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．〔2〕①∵遵从正态分布，且，，∴，∴ 落在内的概率是．②依照题意得，；；；；．∴的分布列为01234∴．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．【答案】 (1)(2)存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题解析：〔 1〕由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正.方形面积为可得，解方程组即可的结果；〔2〕由得，依照韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果 .试题解析：〔 1〕由可得解得，，所求椭圆方程为．〔2〕由得，那么，解得或．设，，那么，，设存在点，那么，，因此．要使为定值，只需与参数没关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21.函数，其中为自然对数的底数 .〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有 3 个零点，求实数的取值范围．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔1〕函数在区间上单调递加等价于在区间上恒建立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒建立，可得，综合两种情况可得结果；〔 2〕，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅调，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性谈论的零点，进而可得结果．试题解析：〔 1〕，当函数在区间上单调递加时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得．综上所述，实数的取值范围是．〔2〕．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅一，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此在区间内恰有两个零点．由〔 1〕知，当时，在区间上单调递加，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；因此．令，得，记的两个零点为，〔〕，因此，，必有，．由，得，因此，又，，因此．综上所述，实数的取值范围为．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于 0 的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】 (1)，(2)，【解析】试题解析：〔 1〕先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；〔 2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长 .试题解析：〔 1〕圆：〔是参数〕消去参数，得其一般方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．〔2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】此题观察圆的参数方程和一般方程的转变、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转变以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，即可把参数方程化为一般方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转变即可 .23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．【答案】 (1)(2)见解析【解析】试题解析：〔 1〕对分三种情况谈论，分别求解不等式组，尔后求并集，即可得不等式的解集；〔 2〕先利用根本不等式建立的条件可得，因此. 学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...试题解析：〔 1〕此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．〔2〕∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。

河北衡水中学2021-2021学年度 高三下学期数学第三次摸底考试〔理科〕必考局部一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，那么集合MN 等于〔 〕A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈假设12z z i -=+，那么1zi+等于〔 〕 A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，假设33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，那么此数列的前5项和5S 等于 〔 〕 A ．1213 B ．41 C ．1193 D ．24194. 1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，假如线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，那么该双曲线的离心率e 等于〔 〕A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- 〞是“A B =〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，那么()3f 的取值范围是〔 〕A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如，一个简单几何体的正视和侧视都是边长为2，那么其底面周长为〔 〕A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜测：任给一个正整数x 假如x 是偶数，就将它减半；假如x 是奇数，那么将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +〞“31x +〞猜测的一个程序框，假设输出n 的值为8，那么输入正整数m 的所有可能值的个数为〔 〕A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，那么展开式中3x 项的系数为〔 〕A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a a a a a na a +++++=对任何的正整数n 都成立，那么1250111a a a ++的值为〔 〕 A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，假设172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，那么m n +等于〔 〕A ．32 B ．2 C. 52 D 12.偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进展调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，那么ˆa= ．14.将函数()2cos2f x x x =-的象向右平移m 个单位〔0m >〕，假设所得象对应的函数为偶函数，那么m 的最小值是 ．15.两平行平面αβ、间的间隔 为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，假设异面直线AB 与CD 所成角为60°，那么四面体ABCD 的体积为 ．16.A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，那么AB 的值为 ． 三、解答题 ：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如，ABC ∆关于AC 边的对称形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.〔1〕求BC 边的长； 〔2〕求cos ACB ∠的值.18.如，圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体〔它们的底面重合〕，圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.〔1〕求证：平面ABD ⊥平面ODE ； 〔2〕求二面角B AD O --的正弦值．19.如，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳〔剪刀、石头、布〕比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开场，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，假如一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏完毕，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．〔1〕求游戏完毕时小华在第2个台阶的概率； 〔2〕求X 的分布列和数学期望．20.如，62P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．〔1〕求椭圆E 的离心率； 〔2〕假设23AB =PQ ．21. 函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．〔参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， 〕〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考局部请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． 〔1〕平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； 〔2〕求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲 实数a b 、满足223a b ab +-=． 〔1〕求a b -的取值范围； 〔2〕假设0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：〔1〕因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-=，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以3BC =〔2〕由〔1〕知BE =所以222cos22AB BE AE B AB BE +-===，所以sin B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos B BAC B BAC =∠-∠==18.解：〔1〕依题易知，圆锥的高为5h ==，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B =，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．〔2〕如，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．那么()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，那么()12,41,15u =-． 可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =， 所以4182cos ,582u v u v u v=== 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：〔1〕易知对于每次划拳比赛根本领件共有339⨯=个，其中小华赢〔或输〕包含三个根本领件上，他们平局也为三个根本领件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢〞为i A ；事件“第i 次划拳小华平〞为i B ；事件“第i 次划拳小华输〞为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏完毕时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏完毕时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． 〔2〕依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：〔1〕依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E的离心率e ===； 〔2〕依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,r AB ==，所以原点到直线AB 的间隔为1d ===， 因为点P 坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为12y k x ⎛-=-⎝⎭，即102kx y k --+=，所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ的方程为2x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y并整理，得234210x --=， 设Q 点坐标为()11,x y1x +=1x =，所以13017PQ =-=．21.解：〔1〕因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． 〔2〕因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e --++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++．令12x x t e e -=+，那么有10t e b t -++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，那么121t t =，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+的根． 由〔1〕知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如，根据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：〔1〕因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=．〔2〕设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕，代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 那么()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：〔1〕因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，那么034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；〔2〕由〔1〕知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。

衡水金卷高三第三次联合质量测评数学（理科）本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟注意事项：l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则 B ⋂为A ．∅B ．{}12x x -<≤C ．{}4x x -<<3D ．{}42x x -<≤3．若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+≤⌝为A ．[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>B ．[),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>C ．[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>D ．(),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A ．14B ．16C ．18D ．205．如图所示，分别以正方形ABCD 两邻边AB 、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点O ．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A ．328π- B.8π C ．28π+ D ．68π- 6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()2f x f x +=；(2) ()2f x -为奇函数；(3)当()1,1x ∈-时，()f x 图象连续且()0f x '>恒成立，则()1511,4,22f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系正确的为A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8+B ．12+C ．8+D ．18+8．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，点P 在对角线BD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为F ，当AE EP ⋅最小时，FC =A ．2334AB AD + B ．3243AB AD + C ．4355AB AD + D ．3455AB AD + 9．已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12F F 、，左、右顶点分别为A 、B ，过点1F 的直线与双曲线C 的右支交于P 点，且22cos ,AP AP AF AF ABP =∆，则的外接圆面积为A B ． C ．5π D ．10π10．利用一半径为4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O 为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD ；(3)以正方形ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合．问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A B C D ．11．已知椭圆()2210,0x y C a t a t a+=>>+：两个焦点之间的距离为2，单位圆O 与,x y 的正半轴分别交于M ，N 点，过点N 作圆O 的切线交椭圆于P ，Q 两点，且PM MQ ⊥，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为 ABC1 D．3-12．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭，两个等式：0,04444f x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的实数x 均恒成立，且()3016f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调，则ω的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年衡水中学首发 高考押题试卷新编附答案第三套数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}13A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}13x x -<< C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1-2.已知复数312z i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．3655i - D ．3655i +3.函数()()sin 0,2f x A x A πω⎛⎫=+Φ>Φ< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4. 已知圆锥的高为55面积为（ ）A ．4πB ．36π C. 48π D ．24π5.抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，点()0,2A ，若线段AF 的中点B 在抛物线上，则BF =（ ） A ．54 B ．52C.22 D ．3246.直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是 （ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 3,3⎡⎤-⎣⎦ D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积 （ ）A ．60πB ．75π C. 90π D ．93π8.中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12:00到12:30，在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天12:20打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（ ） A ．25 B ．13 C.15 D ．169.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ，x 的值分别为3，3.则输出v 的值为 （ ）A ．15B ．16 C. 47 D ．4810.若函数()xe f x （ 2.71828e =…是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（ ）A ．()2x f x -= B ．()2f x x = C.()3x f x -= D ．()cos f x x =11.函数35cos 24sin 0,2222y x x x ππ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为 （ ） A ．13- B ．0 C.13D ．1 12.已知函数()2sin 1f x x π=+，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．m C.2m D ．4m第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量a ，b 是两个不共线的向量，若3a b -与a b λ+共线，则实数λ= ．14.设x ，y 满足约束条件2311x x y y x ≤-⎧⎪+≤-⎨⎪≥-+⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值是 ．15.已知ABC △满足22BC AC =34C π=，()sin 1sin 2cos AB A B =+，则AB = ． 16.2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影.小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A 、B 、C 、D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是C ； 乙说：第2个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是D ； 丙说：第4个盒子里面放的是D ，第2个盒子里面放的是C ； 丁说：第4个盒子里面放的是A ，第3个盒子里面放的是C. 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半.” 可以推测，第4个盒子里面放的电影票为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S = 记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=. （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.18.已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表： 游客数量（百人）[)0,100[)100,200[)200,300300≥拥挤等级优良拥挤严重拥挤该景区对6月份的游客量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求a ，b 的值； 游客数量（百人）[)0,100[)100,200[)200,300[]300,400天数 a1041频率b13 215 130（Ⅱ）估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：（Ⅲ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.19. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且10PB =（1）求证：BD PA ⊥； （2）求四棱锥P BFED -的体积.20. 已知函数()()ln 1f x x a x =--，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 在点()()1,1f 点处的切线方程； （Ⅱ）当1x ≥时，()ln 1xf x x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 21.已知右焦点为(),0F c 的椭圆222:13x y E a +=关于直线x c =对称的图形过坐标原点. A 是椭圆E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN △的面积； （Ⅱ）当2AM AN =32k <<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14AB =α的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集； （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当,m n P ∈时，42mn m n +>+.衡水中学2021年高考押题试卷数学（文）参考答案一、选择题1-5:CDDBD 6-10: BBDDA 11、12：AB二、填空题13.13- 14.8或D三、解答题17.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72139d +=，解得1d =. 所以{}n a 的通项公式为n a n =[]1lg10b ==,[]11lg111b ==,[]1lg1012n b ==0.110.1.10100.2.1001000.3.1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩（Ⅱ）因为所以数列{}n b 的前1000项和为190290031=1893⨯+⨯+⨯. 18.解（Ⅰ）15a =，151302b ==（Ⅱ）310解析：（Ⅰ）游客人数在[)0,1000范围内的天数有15天，故 15a =，151302b == （Ⅱ）由题可得游客人数的平均数为50151501025043501=12030⨯+⨯+⨯+⨯（百人）（Ⅲ）从5天中任选两天的选择方案方法有：()()()()()()()()()()1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,5 共10种，其中游客拥挤等级均为优的有()()()1,41,54,5，共3种，故所求的概率为310. 19.解析：（Ⅰ）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CE 的中点. ∴//BD EF ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴EF AC ⊥， ∴EF AO ⊥,EF PO ⊥，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AOPO O =，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ，∴BD PA ⊥ （2）解：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==，在RT BHO ∆中，BO ==在PBO ∆中，22210BO PO PB +==，∴PO BO ⊥. ∵PO EF ⊥，EFBO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ，梯形BFED 的面积()12S EF BD HO =+⋅=∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=. 20.【解答】解：（Ⅰ）∵()()ln 1f x x a x =--，∴()1f x a x'=-，∴()10f =，()11f a '=-，∴函数()f x 在点()()1,1f 点处的切线方程为()()11y a x =--.（Ⅱ）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥， 则()ln 12g x x ax '=+-，()1122axg x a x x-''=-=， ①若0a ≤，则()0g x ''>，∴()g x '在()1+∞上单调递增， ∴()()1=120g x g a ''≥->， ∴()g x 在()1+∞，上单调递增， ∴()()10g x g ≥=，∴()2ln 101x x a x x --≥+，即()ln 01xf x x -≥+，不符合题意. ②若102a <<，则当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>， ∴()g x '在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()()1120g x g a ''≥=->，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10g x g ≥=，∴()2ln 101x x a x x --≥+，即()ln 01xf x x -≥+，不符合题意. ③若12a ≥，则当()1,x ∈+∞上时，()0g x ''≤， ∴()g x '在()1,+∞上单调递减， ∴()()1120g x g a ''≤=-≤， ∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()()10g x g ≤=，∴()2ln 101x x a x x --≤+，即()ln 1xf x x ≤+，符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)试题分析：（Ⅰ）试题解析：（Ⅰ）由题意得椭圆M 的焦点在x 轴上，∵椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，∴2a c =，∵223a c =+，∴2334a =，解得24a =.∴椭圆M 的方程为22143x y +=.设()11,M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又()2,0A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.（2）将直线AM 的方程()()20y k x k =+>代入22143x y +=得 ()2222341616120k xk x k +++-=.由()2121612234k x k -⋅-=+得()21223434k x k-=+，故12AM =+=. 由题设，直线AN 的方程为()12y x k=-+，故同理可得21243AN k =+.由2AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=. 设()324638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，()()22121233210f t t t t '=-+=-≥，所以()f t 在()0,+∞单调递增，又260f=<，()260f =>，因此()f t 在()0,+∞有唯一的零点，且零点k在)22k <<.22.【解答】解：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+， ∴曲线C 的极坐标方程是+4cos ρθ可化为：2=4cos ρρθ，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程()2224x y -+=得：()()22cos 1sin 4t t αα-+=，化简得22cos 30t t α--=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，∴12AB t t =-==∵AB=.∴cos 2α=±. ∵[)0,απ∈， ∴4πα=或34πα=. ∴直线的倾斜角4πα=或34πα=. 23.【解答】（Ⅰ）解：()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，由()f x 的单调性及()4f x >得，241x x >⎧⎨≥⎩或241x x ->⎧⎨≤-⎩，解得2x >或2x <-.所以不等式()4f x >的解集为{}22x P x x =><-或. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知2m >，2n >，所以24m >，24n >，()()()()222244440mn m n m n +-+=-->，所以()()2244mn m n +>+，从而有42mn m n +>+.。