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数值方法简明教程作业集答案

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数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)

数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值方法简明教程作业集答案

数值方法简明教程作业集答案

数值计算方法简明教程第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。

2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。

4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。

令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。

5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。

6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。

则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。

而11010<<-δ，故计算过程稳定。

《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案

《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案
其中 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 5 ， (ϕ 0 , ϕ1 ) = (ϕ1 , ϕ 0 ) = 5327 ， (ϕ1 , ϕ1 ) = 7277699 ， ( f , ϕ 0 ) = 271.4 ，
532 a= = 0.9726 547 b = 285 = 0.05 2 ( f , ϕ1 ) = 369321.5 ，解之得 5696 ，∴ y = 0.9726 + 0.05 x .
yn = yn −1 + hf ( xn −1 , yn −1 ) = yn −1 + h ⋅ ( axn −1 + b)
故 yn −1 = yn −2 + h ⋅ ( axn − 2 + b)
LL y1 = y0 + h ⋅ ( ax0 + b)
将上组式子左右累加，得
yn = y0 + ah( x0 + L + xn −2 + xn −1 ) + nhb = ah(0 + h + 2h L + ( n − 2) h + (n − 1) h) + nhb
第一章 题 12 给定节点 x0 = −1 ， x1 = 1 ， x2 = 3 ， x3 = 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1） f
(4)
f ( x) = 4 x3 − 3 x + 2 f ( x) = x 4 − 2 x3 ( x) = 0 ，
1.5
5 ≈ × 9
8 8 5 8 + × + × 2 2 3 9 4 + ( 0 + 1) 9 3 4+− + 1 4+ + 1 5 5 = 3.141068 .

数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)

数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

林福民《《数理方法简明教程》第四章课后习题答案

林福民《《数理方法简明教程》第四章课后习题答案

z的负一次幂所对应的系数之和为： 1 1 1 1 ... 4! 5! 6! 7! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ...) ( ) 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 0! 1! 2! 3! 1 1 1 1 1 e 1 ( ) e 1 0! 1! 2! 3! 3 Re sf (0)
d 2a 1 cos

2
2
d (2 ) d 0 2a 1 cos 2a 1 cos(2 )
d 1 dz z z 1 ( 2a 1 )iz 2

d 1 2 a sin 2 0
2
2
2a 1 cos 2
0 c

dz 2 i Re sf ( zi ) 1 [ 4 a 2 ( z z )] iz c
f ( z)
1 1 2 z[( z z ) 4a 2] z (4a 2) z 1
1
z 2a 1 (2a 1) 2 1
z 2a 1 (2a 1) 2 1 1
Re sf ( z )

1 2 (2a 1) 2 1
a sin
0
2
d
2

2 i Re sf ( zi )

(2a 1) 1
2


2 a2 a
(4) （光信息 1001
许世松输入）
解:
f ( z)


(1) k k n 3 z n! n 0 k 0
留数是洛朗级数展开中负一次幂所对应的系数,即

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程课后习题答案

；
；
。
【解】（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令时等式精确成立，可解得：
即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则
2、（p.96，习题25）设已给出的数据表，
x
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值，并估计误差。
【解】已知，用三点公式计算微商：
，
用余项表达式计算误差
3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。
；
（2），而，实际误差为：。
由,可知，则余项表达式
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
【解】构造残差xx函数如下：
，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
：，
：，
解方程组（1）和（2），得
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。
，，取；
，，取；
【解】（1）；
（2）。
2、（p.124，题2）取，用xx方法求解初值问题，。
【解】xx格式：；化简后，，计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2

《数值分析简明教程》第二版（王能超编著）课后习题答案高等教育出版社

《数值分析简明教程》第⼆版（王能超编著）课后习题答案⾼等教育出版社0.1算法1、（p.11，题1）⽤⼆分法求⽅程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由⼆分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取⾃然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即⾄少需2、（p.11，题2）证明⽅程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯⼀个实根；使⽤⼆分法求这⼀实根，要求误差不超过21021-?。

【解】由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(⼜010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯⼀实根.由⼆分法的误差估计式211*1021212||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取⾃然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即⾄少需⼆分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有⼏位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-?=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程 - 课后答案

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

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第四章 1． 取=100、=121用线性插值时，10.7143； 取=100、=121、=144用二次插值时，10.7228。
2．选取插值节点为：=1.4、=1.5、=1.6，1.9447。
3．利用，并注意 当时，对，，故有
而时，，故有 ，
4. ==
5. 用反插值法得根的近似值=0.7092；
6. 令 可求得0.2498（或0.2289）。
2. 解：（1）左矩形公式
第六章
将f(x)在a处展开，得 两边在[a,b]上积分，得 由于（x-a）在[a,b]上不变号，故有，使 从而有 （2）右矩形公式 将f(x)在b处展开，并积分，得 （3）中矩形公式 将f(x)在处展开，得 两边在[a,b]上积分，得
3. 解：（1）求积公式中含有三个待定参数A-1、A0、A1，故令求积公式 对f(x)=1、x、x2准确成立，即 解得 A-1=A1=h/3, A0=4h/3 显然所求的求积公式（事实上为辛浦生公式）至少具有两次代数精确 度。又有 故 具有三次代数精确度。 （2）求积公式中含有两个待定参数x1、x2，当f(x)=1时，有 故令求积公式对x、x2准确成立，即： 解得， 显然 当求积节点取x1=0.68990，x2=-0.12660或x1=-0.28990，x2=0.52660时， 求积公式具有两次代数精确度。 （3）求积公式中含有一个待定参数α，当f(x)=1、x 时，有 故令求积公式对f(x)=x2成立，即： 得 α=1/12。 显然： 故具有三次代数精确度。
4. 解：函数值表格
x 1 7/6
8/6
9/6
10/6 11/6
2
f(x) 0 0.15415 0.28768 0.40547 0.51083 0.60614 0.69315
T6=1/2×1/6[0+2×(0.15415+0.28768+0.40547+0.51083+0.60614)+0.69315]≈0.38514 S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]≈0.38629
欧拉预-校法
3. 计算结果如下： （8.32）的
0.1 0.2 0.3
（8.34）的
4．计算结果如下： 四阶R-K解
（8.37）的
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5．参照欧拉预-校格式的证明。 6. 对在，，处进行Lagrange插值，得插值多项式， 然后在区间上积分，
即可得到所要结果。 7. ，，，。
2
0.46559
0.005
3
0.46557
0.00002
根的近似值为0.4656。 6．
证明：
当时，当时，
因此，对于，当时，，牛顿迭代法收敛，当时，
，从起，牛顿序列收敛到。
第三章 1． x1=2，x2=1，x3=1/2 2． 3． L = ， U =
y1 =14, y2 = 10, y3 = 72 x1 =1, x2 =2, x3 =3 4. x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.00 5. B的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1 (E－B1)-1B2的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1. 6. x(5)=(0.4999, 1.0004, -0.4997)T 7.∣a∣>2
4．设有位有效数字，由2.4494……，知的第一位有效数字=2。 令 可求得满足上述不等式的最小正整数=4，即至少取四位有效数字，故
满足精度要求可取2.449。
5. 答：（1） ()的相对误差约是的相对误差的1/2倍； （2） 的相对误差约是的相对误差的倍。
6． 根据 =
注意当时，，即。 则有
7．设，， 由，
即当有初始误差时，的绝对误差的绝对值将减小倍。而，故计算过程稳 定。
8. 变形后的表达式为： （1）= （2）= （3） （4）==
1．绝对误差限, 对分8次
n
隔根区间
第二章
1
[1.5，2.5]
2.0
2
[2.0，2.5]
2.25
3
[2.25，2.5]
2.375
4
[2.25，2.375]
2.3125
5 [2.25，2.3125] 2.28125
5. 解：
令，得N≥2.54. 取N=3,则至少要取2N+1=7个节点处的函数值。
6. 解：按照事后误差估计公式 计算列表如下：
等
k分 2k
0 1 0.92073549
1 2 0.93979328
0.94614588
2 4 0.94451352 0.00157341 0.94608693 0.00000393<10-5
数值计算方法简明教程
第一章 1 =1.7； =1.73； =1.732 。
2． 有效数字 的位数
1
四位
2
三位
3
四位
4
四位
5
六位
注：本题答案中相对误差限是用定义所求得的结果，也可以用相对误差 限与有效数字的关系求得。
3． （1） 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） 0.50517； （3） 0.50002。
6 [2.28125，2.3125] 2.296875
7 [2.296875，2.3125] 2.3046875
8
[2.296875， 2.30078125
2.3046875]
满足精度要求的根近似值为2.30。
的符号 + + +
2． (1) 隔根区间[0, 0.8]； (2) 等价变形 ； 迭代公式。 (3) 收敛性论证：用局部收敛性定理论证。 (4) 迭代计算：
7. 解：采用极坐标系，令x=2cos，y=sin，则椭圆的周长为
由于，因此I有一个整数，故要求结果有四位有效数字，需截断误差 ≤1/2×10-3。列表计算如下：
k 等分2k
01 12 24 38 4 16
2．356194 2．419921 2．422103 2．422112 2．422112
2．441163 2．422830 2．422115 2．422112
详解： 由题义知，所采用的是三点等距插值，由误差公式： 令 由 得： 得 的驻点为：
故， 所 = ，
2． 正规方程组为 = ，
3． 取对数
相应的正规方程组为 = ，
4．正规方程组为 = ，
第五章
1. 解：运用梯形公式： 误差： 运用辛浦生公式： 误差：
3.5615
6
3.5615
相应近似特征向量为 = 2258 ， 1268 ， 2258 ） ，（ ）
3 8 0.94569086 0.00039245<10-3 0.94608331 0.00000024
因此，由梯形公式得I≈T8=0.94569086,精确到10-3；由辛浦生公式得到 I≈S2=0.94608693，精确到10-5。若取I≈S4=0.94608331，则精确到10-6。 精确到10-3的结果为 I≈0.946.
0
0.4
1
0.4700
2
0.4253
3
0.4541
4
0.4356
5
0.4475
6
0.4399
7
0.4448
8
0.4416
9
0.4436
10
0.4423
11
0.4432
满足要求的近似根为0.443。
3． (1) ； (2) ； (3) ；
4． 牛顿迭代公式为： 列表计算
n
0
0.4
1
0.47013
0.07
第八章 1.
u=u
0
(1 , 1 , 1)
4.0000
1
(4 , 2 , 4)
3.5000
2
( 14 , 8 , 14 )
3.5714
3 4
( 50 , 28 , 50 ) ( 178 , 100 , 178 ) ( 634 , 356 , 634 )
3.5600 3.5618
5
( 2258 , 1268 , 2258 )
故取I=2.422113，周长为l =4I=9.688。
2．421608 2．422067 2．422112
2．422074 2．422113
8.（1）：取h=0.1，三点公式取，得 （2）：取h=0.2， 三点公式取，得 注：精确解为。
第七章
1. 计算结果为：
2. 计算结果如下： 梯形法
0.1 0.2 0.3