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大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B)()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小; （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小。
3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C)函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D)函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B)222x+（C ）1x - （D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分)5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
大学一年级专业考试试卷202X-202X 学年 1 学期 《高等数学》 课程 闭 卷（时间120分钟，总分100分）班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共12分）1、函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导在D 内相等的( )条件.(A)充分 (B) 必要 (C)充分必要 (D) 无关2、对函数2(,)f x y x xy =+，原点(0,0) ( ).（A ）不是驻点 （B ）是驻点却不是极值点 （C ）是极大值点 （D ）是极小值点 3、若连续函数()f x 满足20()()ln 22x tf x f dt =+⎰，则()f x =（ ） （A ）ln 2xe （B ）2ln 2xe （C ）ln 2xe + （D ）2ln 2xe +4、下列等式中，不是差分方程的是（ ）（A ）22x x y y ∆-= （B ）2x x x y y e -+= （C ）20x y ∆= （D ）33x x y y x ∆+=5、设a 为常数,则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑( ).（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性取决于a 的值 6、下列级数中条件收敛的是（ ）. （A ）11(1)1n n n n ∞-=-+∑ （B）n ∞= （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）111(1)ln()n n n n ∞-=+-∑ 二、填空题（每小题3分，共24分） 1、若22(,)x yf x y xy x xy y++=++,则(,)f x y = . 2、设(,)z x y 由方程333z xyz a -=确定,则zx∂∂= . 3、更换积分次序2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰.4、设区域22{(,),0}D x y x y y x =+≤≥，则二重积分(,)DI f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为I = .5、级数()112nn n x n∞=-⋅∑的收敛域为 .6、1(44)4nn n x x ∞=-≤≤∑的和函数()S x = .7、微分方程2xy y '-=-的通解为 .8、一阶差分方程120x x y y ++=的通解为x y = .三、计算题（每小题7分，共14分） 1、设()y z xy xf x =+，其中f 具有连续导数，求z z x y x y∂∂+∂∂.2、设(2)(ln ,)z f x y x y C =-∈，求22,,z z zx y x ∂∂∂∂∂∂.四、计算题（每小题7分，共14分） 1、计算二重积分Dydxdy x⎰⎰,其中D 是由直线y x =,2y x =及1x =,2x =所围成的闭区域.2、利用极坐标计算Dσ⎰⎰,其中D 为圆环形区域22224x y ππ≤+≤.五、计算题（每小题7分，共14分） 1、判别级数211(1)ln 1nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性，若收敛, 指出是条件收敛或是绝对收敛.2、把函数()ln(),(0)f x a x a =+>展开成关于x 的幂级数，并确定展开式成立的范围.六、应用题与计算题（每小题8分，共16分） 1、已知某生产商的生产函数为3144(,)100f x y x y =, 其中x 表示劳动力的数量,y 表示资本数量. 且每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元, 该生产商的总预算是50000元, 问该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力和投入资本, 以使生产量最高.2、求微分方程22xy y y e '''+-=的通解.七、证明题（6分）设正项级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛，证明1n nn u v∞=∑绝对收敛..试卷答案及评分标准一、单项选择（共12分，每小题2分）1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 二、填空（共24分，每小题3分）1、2x x y - ； 2、2yzz xy- ； 3132y - 4、sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； 5、[1,3)-； 6、4xx-； 7、2y cx =+ 8、12xx y C ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭三、计算题（共14分，每小题7分）1、解： 2()()()()()z y y y y y yy f xf y f f x x x x x x x∂''=++⋅-=+-∂-------------（3分）1()()z y yx xf x f y x x x ∂''=+⋅=+∂----------------------------------------------（2分） 2()z z yxy xy xf x y x∂∂+=+∂∂----------------------------------------------------（2分） 2、解：12ln x z y f f ''=⋅+ ----------（2分）12y x z f f y''=- ----------------（2分） 11121222ln (ln )ln xx z y f y f f y f ''''''''=+++-----------------（2分） 2111222ln 2ln f y f y f ''''''=++--------------------（1分）四、计算题（共14分，每小题7分）1.解：221x x Dyy dxdy dx dy xx =⎰⎰⎰⎰ -------------------（3分）2132xdx =⎰ -------------------（2分）94=-------------------（2分）2.解：220sin sin Dd r rdr πππσθ=⋅⎰⎰⎰⎰-------------------（4分）22cos rd r πππ=-⎰ -------------------（1分）()222cos cos r r rdr πππππ=--⎰26π=- -------------------（2分）五、计算题（共14分，每小题7分）1.解：2221111(1)ln()ln(1),nn n n n n ∞∞==+-=+∑∑ -------------------------（2分）22221ln(1)11,ln(1)lim1,1n n n n n n →∞+→∞+=且221111ln(1)n n n n ∞∞==∴+∑∑且收敛收敛； ---------（3分）∴原级数为绝对收敛 --------（2分）2.解：()ln ln(1)x f x a a=++-------（2分）1(1)ln(1) (11)1n n n x x x n +∞=-+-<≤+∑=10(1)ln(1) (11)1n n n x x xa a n a+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+-<≤+∑= -------（3分） ()()110(1) ()ln 1n n n n x f x a a x a n a+∞+=-∴=+-<≤+⋅∑---------（2分）六、计算题（共16分，每小题8分）1.解：目标函数3144(,)100f x y x y =在约束条件150********x y +=下的极值问题 作拉格朗日函数3144(,,)100(150********)L x y x y x y λλ=++-------（3分）11443344751500252500150250500000x y L x y L x y L x y λλλ--⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪=+-=⎪⎪⎩； -----------------------------（3分） 25050x y ⇒== --------------------（2分）故该生产商雇佣250个劳动力和投入50个单位资本, 可使生产量最高. 2.解： 212110,1,2r r r r +-=⇒=-=特征方程：2 -------------（2分） 1212,x xY c e c e -∴=+对应齐次方程的通解 ----------------（2分）*,x y Ae =设特解形式为-----------------------------------（1分） 1,*x A y e =∴=代入原方程解得 --------------------（1分）1212*.x xx y Y y c e c ee -=+=++通解为---------------（1分）七、证明题（本题6分）解：， 222n n n n u v u v +≤证明： -----------（3分）211n n n n u v ∞∞==∑∑2又由和都收敛1n n n u v ∞=∴∑收敛， -----------（2分）1n n n u v ∞=∴∑绝对收敛 -----------（1分）。
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分， 共16分）1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B)(0)1f '=（C)(0)0f '= （D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
(A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; （B ）()()x x αβ与是等价无穷小;(C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小。
3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ )。
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值; （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； (D ）函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A)22x （B ）222x +（C)1x - (D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x Ax ，A 为常数。
《高等数学》试卷（一）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =12．函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）.（A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x⎛⎫-+⎪⎝⎭8．xxdx e e-+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x xe eC --+ （D ）ln()x xe eC -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx xππ-+⎰（B ）44arcsin x x dx ππ-⎰（C ）112x xe edx --+⎰（D ）()121sin xx x dx -+⎰10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21x y x =-的垂直渐近线有条.4．()21ln dx x x =+⎰.5．()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ①21limxx x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭②()2sin 1limxx x x x e→--2．求方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰②()0a >⎰③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高等数学》试卷（一）参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．3- ３． ２ ４．arctan ln x c + ５．２三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++ ②ln ||x C +③()1xex C--++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =(B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x fx →=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且0)(0>'x f ， 则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12x xe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211x y x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a>⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yxey y '=-3.①3sec 3x c + ②)lnx c + ③()222xx x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高等数学》试卷3（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21MM （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x yx y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）.A.p 1<B.1≤pC.1>pD.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x-11 B.x-22 C.x-12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________.5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤yx D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()nn n nx ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y exz xy+++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x eyz xy+++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x xz . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R .5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷4（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21MM （ ）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6πB.4πC.3πD.2π3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n nna 是（ ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.cxe y = B.x ce y = C.x e y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242yx z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()yy xy y y y x yz y y y y x xz 3333223cossincos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,zxy xz yz zxy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xxeC e C y --+=221.四.应用题1.316.2. 00221x t v gtx ++-=.《高数》试卷5（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim_________________.25x x x x →∞+=+-6. 321421sin 1x x dx x x -+-⎰=______________.7.2_______________________.x td e dt dx-=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2.; 233lim 9x x x →-- 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x y x =+, 求(0)y '. 2. cos xy e=, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求d y d x.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xe dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x ty t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程xy y ex '+=满足初始条件()10y =的特解.《高数》试卷5参考答案一．1．(3,3)- 2.4a= 3.2x = 4.()x xe f e '5.126.07.22xxe- 8.二阶二.1.原式=0lim1x x x →=2.311lim36x x →=+3.原式=112221lim[(1)]2xx ex--→∞+=三.1.221,(0)(2)2y y x ''==+2.c o s sin xdy xedx =-3.两边对x 求写：(1)x y y xy e y +''+=+'x yx yeyxy y y x ex xy++--⇒==--四.1.原式=ln 2cos x x C -+2.原式=2221ln(1)()ln(1)[ln(1)]222x xx d x x d x +=+-+⎰⎰=222111ln(1)ln(1)(1)221221x xxx dx x x dxxx+-=+--+++⎰⎰=221ln(1)[ln(1)]222xxx x x C +--+++3.原式=12212111(2)(1)222xxe d x ee ==-⎰五.2sin ,1.,,122t dy dy t t x y dxdxπππ======且当时切线：1,1022y x x y ππ-=--+-=即法线：1(),1022y x x y ππ-=--+--=即六.1231014(1)()33Sx dx x x =+=+=⎰22211221(1)11()22V x dy y dy y y ππππ==-=-=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]xx e C x=-+由10,0x yC ==⇒=1xx y ex-∴=《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ c ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ a ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、zy zR x --, B 、zy zR x ---, C 、zy zR x ,--D 、zy zR x ,-6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnnx的收敛半径为（ ）A 、2B 、21 C 、1 D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnB 、∑∞=-1)1(n n)!2(2n xnC 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnD 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n xn9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
![(整理)大一高数试题及答案[1].](https://img.taocdn.com/s1/m/5745a4653c1ec5da50e27086.png)
大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
大一高数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+1的极值点是：A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C5. 曲线y=e^x与直线y=ln x的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是________。
答案：-12. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5)的值是________。
答案：03. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的驻点是________。
答案：x=-3或x=14. 曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程是________。
答案：y=x-15. 曲线y=e^x与y=x^2的交点坐标是________。
答案：(0,1)和(1,e)三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) [(x^2+1)/(x-1)]。
答案：-12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=1，极小值f(1)=0；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
3. 求曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程。
答案：y=-x+1四、证明题（每题15分，共15分）证明：函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
答案：略五、应用题（每题15分，共15分）1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.01x^2+0.5x+100，其中x为生产量（单位：千件）。
求该产品的成本最低时的生产量。
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题， 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
（A)(0)2f '= (B)(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D)()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
(A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小; （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ,A 为常数。
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2,1y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bb a ab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解 22l n l n l n (1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t-=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-1分 c o s s i n 1x x =- 1分 cos sin 1x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2f x d x f x d x +=++⎰⎰ 2分21sin(23)2x C =++ 4分 7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222c o s x V xd x πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π=2分 3 解 23624,66,y x x yx '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明 ()()()()()()b ba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。
1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0处有 (. 1 + x ，β ( x ) = 3 - 33 x ，则当x →1时（i0 x 是 f ( x ) 的一个原函数 ,x d x =7. n →∞ n (cos n + cos ⎰ x 2 arcsin x + 1大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分))（A ） f '(0) = 2（B ） f '(0) = 1 （C ） f '(0) = 0（D ） f ( x ) 不可导.2.设α ( x ) = 1 - x ）.（A ）α ( x )与β ( x ) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）α ( x )与β ( x )是等价无穷小；（C ） α ( x ) 是比 β ( x ) 高阶的无穷小； （D ） β ( x ) 是比 α ( x ) 高阶的 无穷小.3. 若 F ( x ) = ⎰ 0x (2t - x ) f (t )dt， 其 中f ( x ) 在 区 间 上 (-1,1) 二 阶 可 导 且f '( x ) > 0 ，则（）.（A ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极大值； （B ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极小值；（C ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y = F ( x ) 的拐点； （D ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y = F ( x ) 的拐点。
4.设 f ( x )是连续函数，且 f ( x ) = x + 2 ⎰1 0f ( t )dt , 则 f ( x ) = ( )x 2x 2（A ） 2（B ） 2 + 2（C ） x - 1（D ） x + 2 .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）2 5. l x →m( 1 +3 x) sinx =.6. 已知 cos x.则⎰ f ( x ) ⋅ cos xlim π 2 π 2 2πn + + cos 2n - 1n π ) =.1 2 8. － 1 .三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y = y ( x )由方程 e x + y + sin( xy ) = 1确定，求 y '( x ) 以及 y '(0) .10.求 ⎰ 1 - x 7x (1 + x 7 ) d x .⎰ f ( x ) d x ．⎪g ( x ) = ⎰ f ( xt )dt M ( x , y ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x = x 所围成⎰ f ( x ) d x ≥ q ⎰ f ( x )dx⎰⎰ f ( x ) cos x dx = 0[0, π ]上连续，且 f ( x )d，02. 设函数 f ( x ) 在, ξ ，使 f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = 0.（提证明：在 0, π 内至少存在两个不同的点 ξ11.⎧ x e - x ， x ≤ 0 设 f ( x ) = ⎨ 求⎪⎩ 2 x - x 2 ， 0 < x ≤ 11- 3112. 设函数 f ( x ) 连续， 0g '( x ) 并讨论 g '( x ) 在 x = 0 处的连续性.lim f ( x ) = A ，且 x →0 x，A 为常数. 求13. 求微分方程 xy ' + 2 y = x ln x 满足 y(1) =-19 的解.四、 解答题（本大题 10 分）14. 已知上半平面内一曲线 y = y ( x ) ( x ≥ 0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线，该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）1. 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1 ] 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 q ∈ [0, 1] ，q 1.( ) π π x = 01 2.F ( x ) =x⎰f ( x )dx示：设0 ）( ) 2 + c5. .6. 2 x .7. 2 .8. .) s ' ( 原式 = ⎰ (1 - u ) du = 1 ⎰ ( 1 - 2 )du7 x = ⎡⎣ - xe - x - e - x ⎤⎦ 0+ ⎰ 0cos 2 θ d θ 令x - 1 = sin θ ) πg ( x ) = ⎰ f ( xt )dt = xt = u⎰ f ( u )duxf ( x ) - ⎰ f (u )du⎰ f (u )dux 2= lim解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1 cos xπ π e 6 3 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x + y ( 1+ y ' +c o xy ( xy ) + y = )y '( x ) = -e x + y + y cos( xy )e x + y + x cos( x y )x = 0, y = 0 ， y '(0) = -110. 解： u = x 7 6dx = du17 u (1 + u ) 7 u u + 1 1= (ln | u | -2ln | u + 1|) + c 7 1 2= ln | x 7 | - ln | 1 + x 7 | +C 7 711. 解：⎰ 1 -3 f ( x )dx = ⎰ 0 xe - x d x + ⎰ 1 2 x - x 2 dx-3 0= ⎰ 0xd (-e - x) + ⎰ 1 1 - ( x - 1)2 dx-3(-3-2= π- 2e 3 - 1412. 解：由 f (0) = 0 ，知 g (0) = 0 。
