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向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量的教育和心理学向量在教育和心理学中的应用向量是数学中的一种重要工具，在物理学、工程学、计算机科学等领域中得到广泛应用。
但是，向量在教育和心理学领域中也有着重要的作用。
一、向量在教育中的应用1. 统计学习理论统计学习理论是一种通过数学模型来研究数据分析和机器学习的方法。
其中，向量空间模型起着关键作用。
在这个模型中，每个样本可以用一个向量表示，不同样本之间的距离和角度可以用向量之间的夹角来度量。
通过这种方法，可以将大量的数据进行分类和预测，从而实现机器学习。
2. 数学教育向量也是数学教育中的一个重要内容。
在中学数学中，向量的基本概念和运算是必须掌握的内容。
向量的几何意义和应用可以帮助学生更好地理解数学概念。
同时，向量的坐标表示和运算可以用来解决许多实际问题，如三角形的面积计算、直线的交点求解等等。
3. 多元统计分析在大学教育中，向量还可以用于多元统计分析。
多元统计分析是一种利用多个变量来分析数据的方法。
其中，向量可以表示多个变量的行为和关系，通过向量之间的夹角和长度等指标，可以对数据进行分类、相似度比较等操作。
二、向量在心理学中的应用1. 人格测量在心理学中，向量可以用于人格测量。
人格是人内在的个性特征，它通过行为、情感、思考等方面的表现来体现。
通过将不同特征用向量表示，可以得到一个综合评估的向量，用来比较不同个体之间的差异。
这种方法可以帮助心理学家更好地理解和描述人格类型，从而更好地指导治疗和辅导。
2. 聚类分析在聚类分析中，向量的角度和长度可以用来比较数据之间的相似度。
通过聚类分析，可以将相似的数据分为一组，从而促进对数据的理解和应用。
3. 实验设计在心理学实验设计中，向量可以表示独立变量和依赖变量之间的关系。
例如，在比较实验中，可以将被试群体的反应用向量表示，通过向量之间的距离和角度比较不同条件下的实验结果，从而得到比较结果。
总结从以上分析可以看出，向量不仅在工程、计算机等领域有着广泛应用，而且在教育和心理学领域中也起着重要作用。
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
向量在中学中的应用问题研究报告一、引言向量是数学中的基本概念之一，它既有大小，又有方向，为解决许多实际问题提供了重要的工具。
在中学阶段，向量既是数学知识的重要组成部分，也是解决物理、工程等实际问题的重要工具。
本报告将探讨向量在中学中的应用问题，以期帮助学生更好地理解和应用向量。
二、向量的基本概念向量是一个有方向的量，表示物体运动或力的作用。
在数学中，向量可以用有向线段来表示，其大小（或长度）和方向分别由线段的长度和角度确定。
在中学阶段，学生需要掌握向量的加法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等基本概念和运算方法。
三、向量的应用1.力的合成与分解：在物理中，力是一个向量，可以用向量来表示。
力的合成与分解是向量的重要应用之一。
通过向量的加法，可以求出多个力的合力；通过向量的数乘和向量积，可以求出分力。
这为解决力学问题提供了重要的方法。
2.速度和加速度：速度和加速度是物理学中的重要概念，它们都是向量。
通过向量的数乘和加法，可以计算出物体在一段时间内的位移和速度变化，进而求出加速度。
这为解决运动学问题提供了重要的工具。
3.力的矩：在物理学中，力矩是一个向量，表示力对物体转动作用的量。
通过向量的数量积和向量积，可以求出力矩的大小和方向，进而研究物体的转动。
4.电路分析：在电路分析中，电流、电压、电动势等都是向量。
通过向量的加法、数乘和数量积，可以计算出电路中的电流、电压和电动势等参数。
这为解决电路问题提供了重要的方法。
四、结论通过以上分析可以看出，向量在中学中的应用非常广泛。
学生应该深入理解向量的基本概念和运算方法，掌握向量的加法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等基本运算，以便更好地应用于解决实际问题中。
同时，教师也应该注重向量的应用教学，通过实例让学生更好地理解向量的应用价值。
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
平面向量论文：对《平面向量》的理解向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
高中数学新教材将《平面向量》作为必修内容引入，所以这部分内容的教学对于我们中学教师来说是很重要的。
向量是既有大小，又有方向的量，是具有优良运算通性的体系，但向量所关注的不是“数”的简单扩大，而是“量与运算”的扩充，这对于学生更好地建立代数与几何的关系，尽早了解现代数学思想和方法将会打下一个坚实的基础。
向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合：一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。
同时，向量在物理等许多领域有非常重要的作用，因此，向量是解决数学问题和实际问题的有力工具，是中学数学的重要概念之一。
在中学数学中向量分“平面向量”和“空间向量”两章，本文就“平面向量”一章的教学重点和难点以及“平面向量”与代数、几何、三角等知识的交汇应用作一粗探。
首先通过物理背景或数学背景的介绍，使学生懂得向量是既有大小又有方向的量，而向量还可以进行加减法运算。
通过实例，使学生掌握向量与数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义及充要条件。
在教学中，我体会到平面向量的基本定理及坐标表示是全章的重要内容之一。
因为平面向量基本定理是说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，是向量线性运算的最高级体现。
该定理是平面向量坐标表示的理论基础。
而向量的坐标表示是平面向量的基本定理的直接应用，是一种重要的数学思想方法，即数形结合。
向量的坐标表示的引入，使向量的运算完全代数化，是数与形的完美结合。
这样很多几何问题的证明，就转化为学生熟知的代数运算。
这是向量的重要作用之一，也是学习向量的重要目的之一。
在平面向量数量积及运算律这一节，重点应使学生掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，并能运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，处理有关长度、角度和垂直的问题。
浅谈用平面向量求三角形面积新编中学数学教材在内容上增加了平面向量，这就给中学数学增加了一个全新的解题工具和方法，平面向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它是联系众多知训的桥梁，因此以平面向量为工具成为高考的一个亮点，本文就结合实例谈谈如何应用平面向量解决三角形面积：结论1：在ABC ∆中，()11,y x AB =，()22,y x AC =，则三角形ABC 的面积：122121y x y x S ABC -=∆ 证明：由()11,y x AB =，()22,y x AC =222221212121cos yx yx y y x x AC AB A +++==π<<A 0 A A 2cos 1sin -=∴ 故 22222121122122222212121211sin yx yx y x y x y x y x y y x x A ++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-=又ABC ∆的面积A S 21⋅=1221222221211221222221212121y x y x y x y x y x y x y x y x S ABC -=++-++=∴∆ 用上述结论可以解决很多问题。
例1、ABC ∆的三个顶点是()0,5-A ，()3,3-B ，()2,0C ，求ABC ∆的面积。
解：由()3,8-=AB ，()2,5=AC ， 得()231532821211221=⨯--⨯=-=∴∆y x y x S ABC 结论2：在ABC ∆中，m AC AB =⋅，且θ=，则三角形ABC 的面积：θtan AC S ABC⋅=∆证明：θθsin 21==∆S ABCθθθθtan cos sin cos 21AC =⋅=例2：已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA ，32=⋅AC AB且030=，则AOB ∆的面积为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）31 解：因32=⋅AC AB30=则ABC ∆的面积：1333221tan =⨯=⋅=∆θAC S ABC 又0=++OC OB OA ，可得O 为ABC ∆的重心∴AOB ∆的面积3131==∆∆ABC AOB S S 故选D 引申：在ABC ∆中，3=⋅BC AB ，ABC ∆的面积⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,23S ，则AB和BC 夹角的取值范围是（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππθ=⋅，由θθθtan 23tan 321tan =⨯⨯=⋅=∆AC S ABC 由题意得23tan 2323≤≤θ 1tan 33≤≤∴θ 解得46πθπ≤≤，故选B 结论3：平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于证明：设a ，b 的夹角为θ，由条件得b a =θcos2cos 1sin ==-=∴θθSOAB⋅=⋅=∴∆θ=例3、已知ABC∆中，向量()0066sin,24sin=BA，()0032sin,58sin3=BC，求ABC∆的面积。
浅谈向量在中学几何中的应用摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。
关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何一.平面向量在解析几何中的应用1.向量坐标与点的坐标向量坐标与点的坐标是不同的，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即()1,1OA x y =.例1（01天津）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,OA x y =，()22,OB x y =22121212124y y OA OB x x y y y y ∴⋅=+=+，又抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设直线AB 方程为12x my =+代入22y x =得2210y my --=，121y y ∴=-，故13144OA OB ⋅=-=-。
2.利用向量的数量积求夹角由cos ,a b a b a b ⋅=可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效. 例2．（04全国）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点，设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；解：抛物线的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =- 将1y x =-，代入方程24y x =，并整理得 2610x x -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则有126x x +=，121x x =()()()112,212121212,213OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++=-222112||||OA OB x y x =+⋅+==∴()3cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅==-⋅∴OA OB 与夹角的大小为arc cos41π-3.利用0a b a b ⋅=⇔⊥处理解析几何中有关垂直的问题例3．（04重庆）设0p >是一常数，过点()2,0Q 的直线与抛物线22y x = 交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）.试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.分析: 证抛物线顶点在圆H 的圆周上,即证OA OB ⊥,即证0OA OB ⋅= 解：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：2ay x =-.设()(),,,A A B B A x y B x y ｝，则其坐标满足222ay x y x =-⎧⎨=⎩消去x 可得 2240y ay --=，则24A B A By y a y y +=⎧⎨=-⎩⎪⎩⎪⎨⎧==+=++=+44)(,24)(422B A B A B A B A y y x x a y y a x x因此0,A B A B OA OB x x y y ⋅=+=⊥即OA OB ，故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H (),H H x y 是AB 的中点，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=.2,222a y y y a x x x B A H B A H由前已证，OH 应是圆H 的半径，且45||2422++=+=a a y x OH H H . 从而当a=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小.例4．（04安徽 春季）如图（1）,A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，,||2||AC BC BC AC ⊥=，求椭圆的方程.解:建立如图（1）的直角坐标系,则()2,0A ,设椭圆方程为22214x y b+=,点C 的坐标为(),m n ,则点B 的坐标为(),m n --.AC BC ⊥,∴0AC BC ⋅=,即()()2,2,20m n m n -⋅=, 图 （1） ∴ 2220m m n -+= ①2BC AC =,∴CO AC =,=∴ 1m =将m=1代入①,得n=1,∴()1,1C 代入椭圆方程得21114b +=,∴ 243b =,x故所求的椭圆方程为223144x y += 4.利用平行向量的等量关系式得到点坐标之间的关系例5．（04全国）设双曲线C ：()22210:1x y a l x y a-=>+=与直线，相交于两个不同的点A 、B ，设直线l 与y 轴的交点为P ，且5,12PA PB =求a 的值.分析:设A 、B 两点的坐标，由512PA PB =就得到了A 、B 两点坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得a 的值。
解：由双曲线与直线相交于两个不同的点，故知方程组22211x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解,消去y 并整理得： ()22221220a x a x a -+-= ①∴()2422104810a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩01a a <<≠解得 设()()()1,122,,,0,1A x y B x y p112255,(,1)(,1).1212PA PB x y x y =∴-=-125.12x x =由此得 由于12,x x 都是方程①的根，且210a -≠, 222222217252,.121121a a x x a a =-=---所以222228917,0,16013a x a a a -=>=-消去得,由所以 例6．（04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. 若2MQ QF =，求直线l 的斜率. 解：（I ）设所求椭圆方程是()222210x y a ba b +=>>由已知，得 1,,2c c m a == 所以2,a m b ==.故所求的椭圆方程是2222143x y m m+=（II ）设Q (),Q Q x y ，直线()():,0,l y k x m M km =+则点当2,MQ QF =时 ()(),0,0,F m M km -由于， 则(),Q Q MQ x y km =-，(),Q Q QF m x y =---，得()()22Q Q Q Q x m x y km y ⎧=--⎪⎨-=-⎪⎩，∴2,3Q m x =- 3Q km y =，222224299(,),13343m k m m kmQ m m -+=又点在椭圆上所以，k =±解得2MQ QF =-当时， 同理得Q y km =-，2,Qx m =-于是2222241,043m k m k m m +==解得， 故直线l 的斜率是0，±5．从直线的方向向量中得到直线的斜率在直线l 上任取两点()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--为直线l 的方向向量，当21x x ≠时，()()()212121211,1,y y AB x x x x k x x ⎛⎫-=-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，而k 即为直线l 的斜率.例7．（03 全国）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.分析：本题的关键是从直线的方向向量中求得过点P 的两条直线方程，用交轨法求得点P 的轨迹方程,据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：∵i =（1，0），c =（0，a ）， (,)c i a λλ+=，2(1,2)i c a λλ-=-, 因此，直线OP 和AP 的方程分别为y ax λ=和2y a ax λ-=-, 消去参数λ，得点(),p x y 的坐标满足方程()222y y a a x -=-,整理得 22221182a y x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫⎪⎝⎭……① 因为0a >所以得： （i）当2a =时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当0a <<时，方程①表示椭圆，焦点2a E ⎫⎪⎪⎭和2a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为合乎题意的两个定点； （iii ）当2a >时，方程①也表示椭圆，焦点10,2E a ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭和10,2F a ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪⎝⎝⎭为合乎题意的两个定点. 向量与解析几何的融合充分体现了数学中的数形结合思想,解决这类问D题的关键是利用向量的坐标表示,将问题中的形转化为数的关系,是解析几何新的解题思想.二.空间向量与立体几何用传统的综合推理法解立体几何问题往往需要较强的空间想象力，在解决角度、距离问题时技巧性较强，一旦思路受阻就只能放弃，新课程增加的空间向量利用代数的方法，为解决这些问题提供了通用方法。
其显著优点是减弱了推理论证的成份，用计算来代替论证，其缺点是计算量加大。
如果在解决问题的过程中推理论证与向量运算综合运用，则不失为一种好办法！方式的选择用向量解题有两种方式可供选择，一种是直接用向量代数式运算，一种是向量的坐标运算。
一般来说，用向量的坐标运算，思维及运算技巧更容易掌握，因而我们尽可能采用坐标运算方式。
坐标运算方式的弱点是要精确的写出各个点的坐标，准确无误地写出相关向量的坐标，坐标一错则全盘皆错，另外，有些情况下可能并不是很方便建立直角坐标系，此时不妨考虑用代数式运算，只是运算技巧相对要强一些。
1. 代数式运算方式用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基底，一般选其起点的三个不共面的向量构成基底，这样图形中任何其他向量总可以用这一组基来表示，把相关向量表示出来以后，就可用向量内积运算来讨论向量所成的角，特别是通过内积为零来证明线线垂直，用向量共线来说明线线平行等等。
例8.证明：若四面体的两对对棱垂直，则第三对对棱也垂直。
已知：四面体A BCD -中,.AB CD BC AD ⊥⊥求证：AC BD ⊥证明:选取从A 点出发的三条棱的方向向量构成一组基底，令向量AB a =，,,AC b AD c ==,,BC b a CD c b BD c a =-=-=-则 ()0AB CD a c b ⋅=⋅-=依题意有()0AD BC c b a ⋅=⋅-=，两式相减得：0b c a b ⋅-⋅= 图（2）()0AC BD b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅= 所以 AC BD ⊥即有AC BD ⊥命题得证。
