高数下册第十章习题详解 10

第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L I xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是24cos I ππθ-=⎰24cos (1d ππθθ-==⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ==，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==． 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ ． （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LA BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解习题十21. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中:ln()dxy，,[ln()]dxy，,,,,,DD(1)D表示以(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形;(2)D表示矩形区域. {(,)|35,02}xyxy,,,,解:(1)区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112,，,xy从而 0ln()1,，,xy2故有 ln()[ln()]xyxy，,，2所以 ln()d[ln()]dxyxy，,，,,,,,,DD(2)区域D如图10-2所示.显然，当时，有. (,)xyD,xy，,3图10-2 从而 ln(x+y)>12故有 ln()[ln()]xyxy，,，2所以 ln()d[ln()]dxyxy，,，,,,,,,DD2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值: (1); IxyDxyxy,，,,,,,4d,{(,)|02,02},,,D22(2); IxyDxyxy,,,,,,sinsind,{(,)|0,π,0π},,D 2222(3). IxyDxyxy,，，,，,(49)d,{(,)|4},,,D 解:(1)因为当(,)xyD,时，有, 02,,y 02,,x206因而 . 04,,xy从而 2422,，,xy故 2d4d22d,,,,，,xy,,,,,,DDD即 2d4d22d,,,,，,xy,,,,,,DDD而 (为区域D的面积)，由=4 σσd,,,,,D得 . 84d82,，,xy,,,D22(2) 因为，从而 0sin1,0sin1,,,,xy22 0sinsin1,,xy22故 0dsinsind1d,,,,,xy,,,,,,DDD22即 0sinsindd,,,xy,,,,,,,DD2而 ,,π222所以 0sinsind,,xy,π,,D22(3)因为当时，所以 (,)xyD,04,，,xy2222 9494()925,，，,，，,xyxy22故 9d(49)d25d,,,,，，,xy,,,,,,DDD22即 9(49)d25,,,,，，,xy,,D2而 ,,,,π24π22所以 36π,，，,(49)d100xy,π,,D3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值:22222(1) ()d,{(,)|};axyDxyxya,，,，,,,,D222222(2) axyDxyxya,,,，,d,{(,)|}.,,,D22解:(1)在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以(0，0，a)为顶点的圆锥的体积，所以()d,axy,，,,,D2071223 axya,，,,()dπ,,D3222(2)在几何上表示以原点(0，0，0)为圆心，以a为半径的上半球的体积，故axy,,d,,,D22223 axya,,,,dπ.,,D312224. 设f(x，y)为连续函数，求.fxyDxyxxyyr,,,，,,lim(,)d,{(,)|()()}00,,2Dr,0rπ解:因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得，,(,),,,D2 fxyfrf(,)d(,),,,,,,,,,,π(,),,D又由于D是以(x)为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，，y(,)(,),,,,xyr,00000112fxyrff,,,,,,,,lim(,)dlimπ(,)lim(,)22,,Drrr,,,000rrππ于是: ,,ffxylim(,)(,),,00,,,xy(,)(,)005. 画出积分区域，把化为累次积分: fxy(,)d,,,D(1); Dxyxyyxy,，,,,,{(,)|1,1,0}2(2) Dxyyxxy,,,,{(,)|2,}2(3) Dxyyyxx,,,,{(,)|,2,2}x解:(1)区域D如图10-3所示，D亦可表示为. yxyy,,,,,,11,0111,y所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,,,,,,Dy01,22(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y的交点为(1，-1)，(4，2)，区域D可表示为 . yxyy,,，,,,2,12图10-3 图10-422y，所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,,2,,,,Dy,122(3)区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为(2，1)，区域Dy,y,xx2082可表示为 ,,,,yxx2,12.x图10-522x所以. fxyxfxyy(,)dd(,)d,,2,,,,D1x6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序:22yelnx(1); (2) ; d(,)dyfxyxd(,)dxfxyy2,,,,0y10πsinx132,y(3) ; (4) ; d(,)dxfxyyd(,)dyfxyxx,,,,,0sin0y21233yy,(5) . d(,)dd(,)dyfxyyyfxyx，,,,,00102解:(1)相应二重保健的积分区域为D:如图10-6所示. 02,2.,,,,yyxy图10-6xD亦可表示为: 04,.,,,,xyx2224yx所以d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy, x2,,,,00y2(2) 相应二重积分的积分区域D:1e,0ln.,,,,xyx如图10-7所示.图10-7209yD亦可表示为: 01,ee,,,,,yxeln1ex所以 d(,)dd(,)dxfxyyyfxyx,y,,,,100e(3) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-8所示. 01,32,,,,,,yyxy图10-8 D亦可看成D与D的和，其中 122D: 01,0,,,,,xyx11D: 13,0(3).,,,,,xyx2212,,yxx13213(3)2所以. d(,)dd(,)dd(,)dyfxyxxfxyyxfxyy,，,,,,,,y00010 x(4) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-9所示. 0,,,,,xyxπ,sinsin.2图10-9 D亦可看成由D与D两部分之和，其中 12D: ,,,,,,10,2arcsinyyxπ;1D: 01,arcsin,,,,,yyxyπarcsin.2πsin0xyπ1π,arcsin所以d(,)dd(,)dd(,)dxfxyyyfxyxyfxyx,，x,,,,,,0sin12arcsin0arcsin,,,yy2(5) 相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成，其中 12D:01,02,,,,,yxy D:13,03.,,,,,yxy 12如图10-10所示.210图10-10xD亦可表示为: 02,3;,,,,,xyx2123323yyx,,所以 d,dd(,)dd(,)dyfxyxyfxyxxfxyy，,，，x,,,,,,0010027. 求下列立体体积:2222(1)旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围;222(2)旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围.解:(1)由二重积分的几何意义知，所围立体的体积2222V=其中D: {(,)|}xyxyax，,()ddxyxy，,,D22由被积函数及积分区域的对称性知，V=2， ()ddxyxy，,,D1其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得 1acos,πππacos,11334444222. Vrrraa,,,,,,,,2dd2dcosdπ,,,,000042320(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22 Vxyxy,，()dd,,,D2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-112D可表示为: ,,,,,11,1.xxy112222所以 Vxyxyxxyy,，,，()ddd()d2,,,,Dx,111111188，，23246 xyyxxxxx,，,，,,,d()d.,,,,,,112333105，，x8. 计算下列二重积分:2112x1(1) dd,:12,;xyDxyx,,,,,,2Dyxxy2(2) D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围; edd,xy,,D22(3) D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形; xyxy,dd,,,D . (4) cos()dd,{(,)|0xyxyDxyxxy，,,,,,π,π},,Dx222222xxxx3解:(1) ddddddxyxyxxxx,,,,,，，1,,,,,,22111Dyyy1xx2119，，42 ,,,xx.,,424，，1(2) 积分区域D如图10-12所示.图10-122D可表示为: 01,0.,,,,yxyxxx2211yyxyyy所示 edddedded()xyyxyy,,,,,,,,0000Dy2yx1111yyy ,,,,,yyyyyyyyed(e1)dedd,,,,000001111111yyy2 ,,,,,,yyyyyydedeed.,,,0000220(3) 积分区域D如图10-13所示.212图10-13 D可表示为: 01,.,,,,,xxyxx211x，，xyy222222所以ddddarcsindxyxyxxyyxyx,,,,，,,,,,,,,,00Dx22x，，,x11ππ1π23 ,,,,xxxd.,022360ππππ(4)cos()dddcos()d[sin()]dxyxyxxyyxyx，,，,，x,,,,,Dx00ππ,，,,,,[sin(πxxxxxx)sin2]d(sinsin2)d ,,00π11，，,,.coscos2xx，,,2，，209. 计算下列二次积分:1ysinx(1)dd;yx,,0yx yy1yy1xx2(2)dedded.yxyx，111,,,,y224sinx解:(1)因为求不出来，故应改变积分次序。

第十章重积分9 5y2D2-1 O i T-2图 10 - 1数，故/, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y1 )3 dcr.fh i)i又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2+ j2 ) 3dcr =2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 .Dy 1)：从而得/, =4/ 2 .( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJjf/ ( x, y)da = 0；D如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于：c 是奇函数，即/ ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则= 0.D?3.利用二重积分定义证明：( 1 ) jjda= ( 其中(7为的面积 ) ；IJ(2)JJ/c/(X , y) drr = Aj | y’ (A: ， y) do■( 其中A ：为常数 ) ；o n(3 ) JJ/( x,y)clcr =JJ/( x,y)drr+jJ/( x ,y)dcr,其中/) =/)!U /) 2，， A 为两个I) b\lh尤公共内点的 WK域 .证 ( 丨 ) 由于被枳函数. / U,y) =1 , 故山二t 积分定义得n "9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,= l i m cr = a.A — 0n( 2) / ( , )( Ic7 = lim ^ Ji x ji)1 n= A lim y/ ( ^ ( , i7, ) A ( 7- , = kf{ x, y) Aa.A- ° 台? { !( 3) 因 为 函 数 / U ， y) 在 闭 区 域 / ) 上 可 积 ，故 不 论 把 ￡? 怎 样 分 割 ，积 分 和 的 极 限 总是 不 变 的 . 因 此 在 分 割 D 时 , 可 以 使 和 / ) 2 的 公 共 边 界 永 远 是 一 条 分 割 线 .这 样 fix. y) 在 A U D 2 上 的 积 分 和 就 等 于 & 上 的 积 分 和 加 D 2 上 的 积 分 和 ， 记 为^/(^, , 17,) A , = ^/( ^, , 17,) A C T , + ^/(^, , 17,) A ,.CT CT/) ( , ", l ： )U0 令 所 有 的 直 径 的 最 大 值 A - 0, 上 式 两 端 同 时 取 极限 ， 即 得 Jf( x, y) i\a = jj f( x,y)da + JJ/( xf y)da.p,un } V, n ；4. 试 确 定 积 分 区 域 / ) ， 使 二重 积 分][(1 - 2x 2 - y 2 ) d? l y 达 到 最 大 值 . SaI)解 由 二 重 积 分 的 性 质 可 知 ， 当 积 分 区 域 / ＞ 包 含 了 所 有 使 被 积 函 数 1 - 2. v 2- V 2大于 等 于 零 的 点 ， 而 不 包 含 使 被 积 函 数 1 - 2/ - y 2小 于 零 的 点 ， 即 当 ￡? 是 椭 圆 2/ + y 2= l 所 围 的 平 面 闭 区 域 时 ， 此 二 重 积 分 的 值 达 到 最 大 .& 5. 根 据 二 重 积 分 的 性 质 ， 比 较 下 列 积 分 的 大 小 ：( 1) Ju+ y) 2山 7 与 J[ U ， 其 中 积 分 区 域 D 是 由 x 轴 、 ^ 轴 与 直 线 A + . 、 =D I) 1 所 围 成 ；( 2) J(x + 7) 2如 与 ■ ， 其 中 积 分 区 域 0 是 由 圆 周 (. r- 2)2+ (. v-l) 2= t) n 2 所 围 成 ；( 3 ) I' MA ； + y)( lor与 ! " [ In(X + y) ] 2 ( 1 ( 7 ，其中 Z ＞是三角形闭 K 域，三顶点分别为l) "(1 ， 0) ， (1 ，1) ， (2,0);( 4) Jpn(:r +y)dcr与I n(:t+ ) ] 2 fW ，其中 / ) = |(.r ,. v) | 3 ， 0彡、彡y1.i ) i)解 ( 1) 在积分 K 域 0 上，故有(x + j) 3 ^ (x + y) 2 .根据二重积分的性质 4 ，可得J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)0 D( 2) 由于积分区域0 位于半平面 | ( A:， V ) | .V + ? 、彡 1 1 内，故在 / ) | : &(.f + y) 2彡 ( A + y) 3? 从『("? J( v + ＞ ) ： drr ^ jj ( x + y) \l f r.第 十 章 重 积 分 9 7( 3) 由 于 积 分 区域 D 位 于 条 形 区 域 1 U ， ) | 1 彡 1 + 7 彡 2 丨 内 ， 故 知 区 域 / ) 上 y 的 点 满 足 0 彡 InU + y) 彡1， 从 而 有 [ lnU + y ) ] 2彡 lnU +. y ). 因 此 jj [ ln( A: + y) ]2( Jo- ^ + y)d( 4) 由 于 积 分 区 域 / ) 位 于 半 平 面 丨 ( x ， y) | . v+ y 彡 e|内 ，故 在 Z) 上 有 ln( x+ y) 彡 1， 2 In (:c + ) ' ).因 此从 而 ： In (-v + ) ' ) ] 彡 Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^Jln( x + y) da.i) a 3 6. 利 用 二 重 积 分 的 性 质 估 计 下 列 积 分 的 值 ：(1) / = |^ 7( 文 + 7 )心，其中 /)= \ (x ,y) 1,0 1|； n( 2 ) / = j ^ ^ sin^d o ■ ， 其 中 / ) = j ( : ) | 0 ^ ^ ^ ,0 ^ y ^ 1 ; sin A ,y TT TT i)( 3) / = J*(A ： +y + l ) d( 7, 其 中 />= { {x,y) | 0 ^ x^ l , 0 ^ j ^ 2 [ ；it( 4) / = J(x 2+ 4y 2+ 9 ) ? ， 其 中 D = 2 2 ^ 4|. do x + y I)解 ( 1 ) 在 积 分 区 域 D 上 ， 0 矣 ; < : 矣 1 , 0英 y 矣 1 , 从 而 0 矣 巧 ? ( * + y ) 矣 ? 又 ￡? 2 的 面 积 等 于1, 因此( 2 ) 在 积 分 区 域 / ) 上 ， 0 矣 sin J: 矣 1 ,0 ^ sin 1， 从 而 0 彡sin 2A ： sin 2y 彡 1， 又 0 的面 积 等 于 TT 2, W 此( 3 ) 在 积 分 K 域 " 上 有 ^ x+y + ? 4 , / ) 的 而 积 等 于 2 , 因 此( 4 ) W 为 在 积 分 K 域 / > ? 上有 0矣 ; t 2 + y 2苳 4, 所 以 有 9 ^ + 4 r 2+ 9 ^ 4( x + y ) + 9 矣 25.2 23 4 I) 的 酣 枳 等 于4TT ， W 此3 6 2+ 9 ) (Ur ^ lOO - ir .TT ^ [ [ ( x + 4/二重 积分的 计算 法. ^ 1. 计 算 下 列 二 甩 积 分 :--于区是域9 8 (. 43 A COS)可用JC 2 2 2 2 r 2 -x JC+ 2 x 2 3 2 2 2 ) 围dx 成 的j 闭20区 域 ； 3 +不等式表示为 | ( 4 m2| )(1:lD< 3 x( 十 +2)y)(;x+dcrda3x4，=-y+其VI+x 中y)y"d(T+是)3xyv"=cos(da 由-两f=.dxfvy 坐+i>标](vl~(文轴X)dx 及-h=+直V3线.r)dx-Xdv+-V+2 、xv-、=2x)2ch 听. b cos .v —rus TT rTI 卜 ( [ ｛高等数学＞ TT. fh( 第七叛 )下册习题全第- ) + ) ] Q( ) ^ = ^J V ( ^sin 2.v sin .v <1 3 0sin^ V(.t ^ Ay ： , 0 .t ；( 3 J jj( x J 2 + v ) 7 T ，. 其 中 D = ( X v) 0 ^ A :^ 1 . 0 ^ v ^ 1 + 3 x da x ,u 1 X( -( 4 ) jjxcas( 的 三 角 形 闭& 2. _ 出枳分 ix: 域，斤x x( ( cos .v — 丄 (.<， s 2. v)X + Y j do ■ ， 其 中 Z > 是 顶 点 分 别 为 ( 0 . 0 j < 77 , 0 ) 和 ( 77 , 77 )i 卜 r): v 列 m 分 :--第 十 章 重 积 分 9 9 ( 1 ) J^ ^ do ■ ， 其 中 / ) 是 由 两 条 抛物 线 7 = v^,y = * 2所 围 成 的 闭 区 域 ； ( 2 ) D = 4 及 y 轴 所 围 成 的 右 半 闭 区 域 ；jfxy dcr, 其 中 D 是 由 圆 周 x 2 + J 22 I) (3 ) JV + 'dcr ， 其 中 / ) = I ( % ， ) ? ) | | A ； | + | J | ^ 1 ! ； D2矣矣(图- ).x ^ y^ J^, 0 x 1 10 2( 4 ) |" U 2 + / - x)<lo ? ， 其 中D解 ( 1) 0 可 用 不 等 式 表 示 为 D 是 由 直 线 y :l 、 y 二xh :2* 所 围 成 的 闭 区 域 . 于 是 ( 2 )D 可 用 不 等 式 表 示 为 0 ? ^ ^ / 4 - y 2 , - 2 矣 7 矣 2 (图1 0 - 3 ) ,( 3 ) 如 阁 I ( ) - 4 ， W = / U " 2， 其 中/>1 I ) 2= =-- ( x ,y ) - x -( x ,y ) |*-1^y+^Jc+1,-1^a;^|,因此--1 0 0 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解Ea3. 如 果 二 重 积 分 |/ ( . r, y) 心 办 的 被 积 函 数 / ( x ， v) 是 两 个 函 数/ ] ( O 及 ) 的 乘n积 ， 即 /(X ， y) = f\(x) ./ “y) ， 积 分 区 域 / ) = { (. V , ) I (1 ^ V ^ / > , r ^ , 证 叫y 这 个 二 重 积 分 等 于 两 个 单 积 分 的 乘枳 ， 即|*/|U) -/ 2 (r) fl atly = [ J/, (. v)(l.v] - [ [/ ： ( > ) ^v]- 证 Jj. /1 ( x ) ? .,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J ( v )■ . / ： t ^ ] l ^ x *在 上 式 右 端 的 第 一 次 单 枳 分f / , ( .V ) ?/2 ( .V ) dv中,./ ,( A .)1Jfu t 变招 : 、无关， nn见为常数提到积分5 外， W 此上式“端笏T第十章重积分 1 0 1 而在这个积分中，由于 f/ 2 ( y) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到? f 2 < ,y) ^ xAy= [ | / 2( y) dj] - [ Jn / , (x)dx ]证毕 .^4. 化二重积分/= Jf(x ， y )daI)为二次积分 ( 分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分 ) ，其中积分区域￡>是:( 1 ) 由直线及抛物线y2 = 4 x 所围成的闭区域；( 2 ) 由 x 轴及半圆周 / + y2 = r2(y 英 0) 所围成的闭区域；( 3 ) 由直线 y = x，； c = 2 及双曲线： K = ^ - ( * > 0 ) 所围成的闭区域；X( 4 ) 环形闭区域IU ， y) | 1 + y2^ 4(.解 ( 1 ) 直线y= x 及抛物线 y2 = 4; c的交点为 ( 0, 0 ) 和 ( 4 , 4 ) ( 图 1 0 - 6).于是fixf( x, y) dy,/ = j[ dy^ / ( * ， y) tk.( 2 ) 将 / ) 用不等式表示2/ 化为如下的先对y、' fyO^ y^ r - x2， - r ^ W/ ?，于是可将后对 * 的二次积分：r/ = J ( 1文 Jf(x ,y)(\y ；2 2 2 2 如 将 0 叫 不 等 式 表 示 为 ~ Vr - y ^ x^ Vr - y, 0 各 / ?， 则 可 将 / 化 为 如 卜 的先 对* 、后 对 y 的 二 次 枳 分 ：--( 3) 如图 10- 7.( 2, 21).0于2是:条边界曲线dr 两两相交，先x,y)求dx得. 3 个交点为 ( 1 , 1 ) ， 2, y 和一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解| dxj[f(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序 . 本题中的积分区域 / )的上、下边界曲线均分别由—个方程给dy (i_/(^,y) + tlj /( x ,y)dx.出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对 y、后对^ 的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分 .需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数 /U , y) 的特点 .具体例子 n] ' 见教材下册第 1 44 页上的例 2.?\/4dx J\x y y)dy + d.vl / (. r, v) d> -f( 1■y2/ ( A ： , y)clr +d.vl A -x/(.v Vv)dv.%/T/ (. v, v) d.v -f-v^ W". /4 厂/ ( , > ) d.v 、/4 -、?'- 、/ ( v , y)( l . \.-f ?I( 4 ) 将D 按图 10 - 8( a) 和图 10 - 8( 1 > ) 的两种不同方式則分为 4 块，分別得重 积1 0 3d.t.图 10 -8, 5. 设 / U ， Y ） 在 D上 连 续 ， 其 中/ ） 是 由 直 线; ==所 围 成 的 闭 区域 ， 证 明dx |f(x,y)Ay证 等 式 两 端 的 二 次 积 分 均 等 于 二 重 积 分 J/ U , y ） d o? ， 因 而 它 们 相 等 .I ）^ 6.改 换 下 列 二 次 积 分 的 积 分 次 序 ：(2) J) dj |： f(x,y)dx ；解 （ 丨 ） 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 J[ / U ， ; K ） （ ^ ， 其 中 o = 丨 h ， y ） 1°^ ^ ^广 2f yix -x 2 ( 4 ) | 叫 2 f{x, y)dy- , fix /-sin x(5) (lx\ f{x,y)Ay\ ( 6 ) I J(x, y) Ay.JO J - sinyr- " 0 ^ j ^ I （ . /> n|■改写为 | Uj ） | * 矣 y 矣 1， 0 ^ ^ I | （罔 10 - 9 ） ,于 是原 式 = 丄 <ixj/(x,y)dy.( 2 ) 所 给 一 . 次 枳 分 等 于 二 ' Ti 积 分 |/ U , y) 山 ， . K : 中 / ) = I|. y 2^ ^ < 2y,0 ^21. M I) njm 为 {u ’y) I 音 矣 j ^ 7^,0 ^ x 在 4)( 1 冬 1 1(> - I0) ， W 此原式 = J, xjy/ ( x, y) y.1 0 4 《高等数学＞ （第七版）下册习题全解( 3 ) 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 .其 中 D = : (. . ) | - 1 v v VU X ^ 1 - y 2,0 彡 > ? 彡 1 ; ? 又 D 可 表 示 为 ： ( JC ， )*) 丨 0 彡 y 彡 V 1 - . r 2 , - 1 = J ( 图 10 - 11) ， 因此 f 1 f V1 -X~ 原 式 =J ^ dxj / ( x,v) dy.( 4 ) 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分其 中 D = : (. v. v) ' 2 -h1彡 .r 彡 2 :. 又 D 可 表 示 为 ： ( A: , V ) | 2 - 1 彡 .t?彡 1 + Y 1 — v 2 , 0 :( 图s/lx - x % 故原 式 = 丄 d)jf(x % y)dx. ( 5 ) 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ］ |/ (. 10 ) ( 1^ , ) 1 : 中 / )= 1(. v. v) | 0 ^ v ^I)-y 2 ^ .V ^ 1$ 、 飞V 彡 110 - 12) ，x 彡 e | ? 又 / ) 可 表 示 为 | ( A : ， ＞ ? ) | e 、 彡 A? 彡 e ， 0 彡 、 彡 1 i ( |劄 10 - 1, 故原 式 = L ( I. 、 | ,./X . 、 ， .、 ) ( l. v.( 6 ) m 1 ( ) - 1 4, 将积分 | > < : 域 / ) 丧示为 / ), U/ ) 2 ，其中A) , = j U，、 ) | arcsin > ^--广 1 r ir - arcsin >1 一 , 一 彡 彡 | .于 T T - arcsin y ， 0 彡 y 彡 1 | ,D 2 = | (.r,2arcsi n 1 )'0 y) 原 式 = I dy/( x, y) dx.是 y1 0 5 第f( 十xy 章 重 积y) c\xJO Jarcsin )^ 7. 设 平 面 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 由 直 线 ;t = 2， y = 和 ; r 轴 所 围 成 ， 它 的 面 密 度/ x(. t, v) = x 2 + y 2, 求 该 薄 片 的 质 量 .解 D 如 图 1 0 - 15 所 示 . 所 求 薄 片 的 质M = jJ/ Lt( x 9 y) dcr = ^ 2 2dyj ( x + y ) dxrt dr Ay-x + xy r[ +(2 3 2”)+ ,1 2| 冬 | 1 0- 1 5 8. i | 灯 |l |四 个 平 而 A： = 0 ， y = 0 ， ;t =I ， v = I 所 闲 成 的 柱 休 被 平 面 z = 0 及 2.r + 3 y + z 6 藏 得 的 立 休 的 体 积 .Y = s i n A 的 反 闲 数 足 A =i i r r s?M y- - 1 x ( 子 ? 中 ， c\) ''i x E | o?? TT足 ih y - H in x = sin ( T T - x)"n! J TT - x ^ ar cKin y,从 ifii 得 T T - iin- Hin ~ 反 闲 数 ^y.解江力一 E J .它？？芪是； c 0:. S 二苎泛 7：省 ?。

一、单项选择题1---5 DCCCA 6---10 DBCAB 11---15 CDBDA 16---20 ABC CD 21—25 BCAA D 26---30 DAABB二、填空题1.1y x=2.312x x y C e C e =+3.2212x xy C e C xe --=+ 4. 2121cos 4x y e x C x C =+++ 5. 3121sin 3y x x C x C =+++ 6.22x y e =7. 3 8. 412112x C x C ++ 9. 1y x= 10.2.y x = 11.sin ln sin xy x y e==或 12.21122y x =+ 13.2x y e = 14.52sin 3220x y x x =-+++ 15. 42x y x=+ 三、计算题1. 求微分方程sin cos 0y x y x '-=的通解. 解 sin .y C x =其中常数C 可以是任意实数.2. 求微分方程 2331y y y x '''--=+的通解．解 通解为31213xx y C eC e x -=+-+3. 求微分方程220xy y x '+-=的通解及满足初始条件(2)2y =的特解. 解 方程的通解为 2Cy x =.特解为2244x y x =+ . 4. 求微分方程 543y y y x '''-+=的通解．解 通解为412121516xxx y C e C e+=++5. 求微分方程sin ln y x y y '=的通解及满足初始条件()2y e π=的特解.解 为原方程的通解ln ln sin y x C =+,特解为ln ln sin 1y x =- .6. 求微分方程 32y y y x '''-+=的通解．解 通解为212234xxx y C e C e+=++.7. 求微分方程3(2)2(1)xx y y e x '+-=+的通解及满足初始条件(0)1y =的特解. 解：通解为：22(2)(2)xy e x C x =+++ 特解为223(2)(2)4xy e x x =+-+ 8. 求微分方程 222y y y x '''-+=的一个特解． 解：特解为*22812y x x =++9. 求微分方程4(2)2(2)x y y x '+=++的通解及满足初始条件(0)1y =的特解. 解： 原非齐次线性方程的通解为：2221(2)(2)(2)2y x x x C x =++++特解为22211(2)(2)(2)24y x x x x =++++ 10. 求微分方程 2233y y y x '''-+=的一个特解． 解：特解为*24239y x x =++ 11. 求微分方程42xy y e '-=的通解.解 通解为 2212x x y e e C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.12. 求方程440y y y '''-+=的通解及满足条件()()001y y '==的特解。

高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。

d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。

3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。

x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

第10章 重积分内容总结一、计算二重积分的方法：(,)DI f x y d σ=⎰⎰1、利用直角坐标计算二重积分 d d x d y σ= (1)若12{(,)()(),}=≤≤≤≤D x y x y x a x b ϕϕ，则21()()(,)(,)=⎰⎰⎰⎰bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ(2)12{(,)()(),}=≤≤≤≤D x y y x y c y d ψψ，则21()()(,)(,)=⎰⎰⎰⎰dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ2、利用极坐标计算二重积分cos ,sin ,x y d d d ρθρθσρρθ=== (c o s ,s i n )DI f d d ρθρθρρθ=⎰⎰ (1)若12{(,)|,()()}=≤≤≤≤D ρθαθβϕθρϕθ，则21()()(cos ,sin )I d f d βϕθαϕθθρθρθρρ=⎰⎰(2)若{(,)|,0()}=≤≤≤≤D ρθαθβρϕθ，则()(cos ,sin )I d f d βϕθαθρθρθρρ=⎰⎰(3)若{(,)|02,0()}=≤≤≤≤D ρθθπρϕθ，则2()00(cos ,sin )I d f d πϕθθρθρθρρ=⎰⎰(4)若2222{(,)(),0}{(,)0,02cos }D x y x a y a y a πρθθρθ=-+≤≥=≤≤≤≤，则22cos 0(cos ,sin )a I d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰(5)若2222{(,)(),0}{(,)0,02sin }Dx y y a x a x a πρθθρθ=-+≤≥=≤≤≤≤，则2sin 0(cos ,sin )a I d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰二、计算三重积分的方法(,,)I f x y z dv Ω=⎰⎰⎰1、 利用直角坐标计算三重积分 d v d x d y d z= (1)投影法（先一后二） 若12{(,,)(,),(,)(,)}xy x y z x y D z x y z z x y Ω=∈≤≤ 其中12{(,),()()}xy xy D prj x y a x b y x y y x =Ω=≤≤≤≤ 则2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y I dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰(2)截面法（先二后一）若12{(,,)(,),}z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤则21(,,)zc c D I dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰2、利用柱面坐标计算三重积分c o s ,s i n ,x y z z ρθρθ===，dvd d dz ρρθ= (cos ,sin ,)I f z d d dz ρθρθρρθΩ=⎰⎰⎰几种特殊情况(1)若222{(,,)0,}{(,,)02,0,0}x y z z H x y R z R z H ρθθπρΩ=≤≤+≤=≤≤≤≤≤≤则20(cos ,sin ,)R HI d d f z dz πθρρρθρθ=⎰⎰⎰(2)若{(,,}{(,,)02,0,}x y z z H z H z H ρθθπρρΩ=≤=≤≤≤≤≤≤则20(cos ,sin ,)HHI d d f z dz πρθρρρθρθ=⎰⎰⎰(3)若Ω是由上半球面z =与上半锥面z =围成的闭区域即{(,,)02,0,z a z ρθθπρρΩ=≤≤≤≤≤≤则20(cos ,sin ,)aId d f z dz πρθρρρθρθ=⎰⎰(4)若Ω是由上半球面z =与旋转抛物面22x y z a+=围成的闭区域即2{(,,)02,0,z a z aρρθθπρΩ=≤≤≤≤≤≤则220(cos ,sin ,)aaId d f z dz ρπθρρρθρθ=⎰⎰⎰3、利用球面坐标计算三重积分2s i n c o s ,s i n s i n ,c o s ,s i n x r y r z r d v r d r d dϕθϕθϕϕϕθ==== 2(sin cos ,sin sin ,cos )sin I f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩ=⎰⎰⎰几种特殊情况(1)若Ω是球域2222{(,,)}{(,,)02,0,0}x y z x y z R r r R θϕθπϕπΩ=++≤=≤≤≤≤≤≤220sin (sin cos ,sin sin ,cos )RI d d f r r r r dr ππθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰(2)若Ω是球域22222{(,,)()}{(,,)02,0,02cos }x y z x y z R R r r R πθϕθπϕϕΩ=++-≤=≤≤≤≤≤≤ 222cos 2000sin (sin cos ,sin sin ,cos )R I d d f r r r r dr ππϕθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰(3)若Ω是由不等式2222()x y z R R ++-≤与222x y z +≤围成的闭区域4{(,,)02,0,02cos }}Ω=≤≤≤≤≤≤r r R πθϕθπϕϕ 22cos 2000sin (sin cos ,sin sin ,cos )R I d d f r r r r dr ππϕθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰。