2016第十一章机械振动分析

大学物理课后答案第十一章汇总第十一章机械振动一、基本要求1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。

2.掌握描述简谐运动的运动方程某Aco(t0)，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。

能根据给出的初始条件求振幅和初位相。

3.掌握旋转矢量法。

4.理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。

二、基本内容1.振动物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。

如果物体振动的位置满足某(t)某(tT)，则该物体的运动称为周期性运动。

否则称为非周期运动。

但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。

振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。

一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。

2.简谐振动简谐振动是一种周期性的振动过程。

它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。

简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。

（1）简谐振动表达式某Aco(t0)反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。

但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量A、、0（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t对应地得到。

vAin(t0)Aco(t02)a2Aco(t0)2Aco(t0)（2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即Fk某，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。

机械振动分析机械振动是机械系统中普遍存在的一种运动形式，它对机械设备的性能、可靠性和寿命等都有着重要的影响。

因此，进行机械振动分析是了解并解决机械系统振动问题的关键步骤之一。

本文将对机械振动分析进行详细探讨。

一、机械振动的基本概念和分类机械振动是指机械设备在工作过程中由于内外部因素的作用而产生的周期性或非周期性的运动。

根据机械振动的特点和性质，可以将其分为自由振动和受迫振动两类。

自由振动是指机械系统在不受外界强制激励的情况下，由于初始的位移或速度而引起的自身振动。

自由振动的频率和振幅受到机械系统的固有特性决定。

受迫振动是指机械系统在外界强制激励的作用下，产生的与激励力有关的振动。

根据振动激励的特点，受迫振动可分为谐振和非谐振两类。

谐振是指激励力频率等于机械系统固有频率时产生的振动；非谐振则是指激励力频率与机械系统固有频率不等时产生的振动。

二、机械振动分析的目的和意义机械振动分析的主要目的是了解和解决机械系统中产生的振动问题。

通过振动分析，可以对机械系统进行设计优化，提高工作效率和稳定性；可以检测机械设备的正常工作状态，预测可能存在的故障；还可以减少机械系统对周围环境和人员的危害。

同时，机械振动分析还有助于优化机械系统的结构和材料选择，降低振动噪声；可以评估机械设备的可靠性和寿命，提前采取维护和修理措施；对于已发生故障的机械设备，还可以通过振动分析锁定故障位置和原因。

三、机械振动分析的方法和步骤机械振动分析的方法主要包括试验分析和数值模拟两种。

试验分析是通过采集机械设备振动信号的方式，通过对信号的处理和分析，了解机械设备的振动特性和问题。

试验分析的具体步骤包括：获得振动信号、信号处理、频谱分析、特征提取和问题诊断等。

数值模拟是利用计算机软件进行机械系统的振动仿真。

通过建立机械系统的数学模型，模拟系统在不同工况下的振动行为。

数值模拟的步骤包括建模、求解和分析结果等。

四、机械振动分析的指标和评估方法机械振动分析涉及多个指标和评估方法，常用的指标包括振幅、频率、相位和谱图等。

机械振动的分析与控制机械振动是指机械系统在运行过程中产生的周期性回旋或摆动现象。

它在各个工程领域中都扮演着重要的角色，但过大的振动会导致机器的破坏、降低工作效率，甚至危及人身安全。

因此，对机械振动进行分析与控制是非常关键的工作。

一、机械振动的分析机械振动的分析是为了了解和揭示振动性能的规律以及振动源造成的机理和影响因素。

针对振动的分析可以从以下几个方面展开：1. 振动特性分析振动特性分析是研究机械系统的固有频率、振型、振幅等特性参数的过程。

通过特性分析可以了解机械系统的固有振动频率，并确定振动模态，为后续的振动控制提供基础。

2. 动力学分析动力学分析旨在揭示机械系统振动性能与运动特征之间的关系。

通过建立运动方程，利用数学手段对机械系统进行动力学分析，并考虑各种扰动因素的影响，可以预测机械系统的振动行为，为进一步的振动控制提供理论依据。

3. 振动源诊断振动源诊断是通过振动测量数据对机械系统中振动源的类型、位置和严重性进行识别与分析。

通过定位振动源，可以进行精确的故障诊断与预测，为振动控制的针对性措施提供依据。

二、机械振动的控制机械振动的控制是通过采取合理的措施来减小或消除机械系统的振动问题。

针对振动的控制可以从以下几个方面展开：1. 结构优化结构优化是通过改变机械系统的结构参数，减小振动源的影响。

例如，通过增加刚度、改变振动阻尼器等措施，减小系统的振动幅值和频率，提高系统的稳定性和工作效率。

2. 主动控制主动控制是指采用主动力、主动负荷、控制系统等手段对机械系统进行干预，实现振动的主动抵消或调整。

例如，利用反馈控制、主动阻尼器、主动负载等技术，对振动进行实时调整，达到减小振动幅值的效果。

3. 被动控制被动控制是通过添加结构件、阻尼器等被动元件来减小机械系统的振动问题。

例如，添加减振器、隔振垫等被动装置来吸收或分散振动能量，减小振动对机械系统的影响。

4. 振动监测与维护振动监测与维护是保证机械系统长期稳定运行的重要环节。

第十一章 机械振动11-1 一质量为 m 的质点在力 F = - 2x 的作用下沿 x 轴运动．求其运动的周期．11-2 质量为 2 kg 的质点，按方程 x 0.2sin[5t ( /6)] (SI)沿着 x 轴振动．求： (1) t = 0 时，作用于质点的力的大小；(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置．(答案： 5 N ；10 N ，± 0.2 m (振幅端点) )11-3 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是 12 cm ，在距平衡位置 6 cm 处速度是 24 cm/s ，求(1) 周期 T ；(2) 当速度是 12 cm/s 时的位移．(答案： 2.72s ； 10.8cm )11-4 一个轻弹簧在 60 N 的拉力作用下可伸长 30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并 在它上面放一小物体，它们的总质量为 4 kg ．待其静止后再把物体向下拉 10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离， 则振幅 A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？(答案：小物体不会离开；2A g ，在平衡位置上方 19.6 cm 处开始分离)11-5 在竖直面内半径为 R 的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其 静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度 运动 . 试证：(1) 此物体作简谐振动； (2) 此简谐振动的周期 T 2 R/ g(1) 其初始位移 x 0 = 7.5 cm ，初始速度 v 0 = 75.0 cm/s ； (2) 其初始位移 x 0 =7.5 cm ，初始速度 v 0 =-75.0 cm/s ．(答案： x =10.6×10-2cos[10t-( /4)] (SI) ； x =10.6×10-2cos[10t+( /4)] (SI) )11-7 一轻弹簧在 60 N 的拉力下伸长 30 cm ．现把质量为 4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下 端并使之静止 ，再把物体向下拉 10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求(1) 物体的振动方程；答案： 2 m )mF11-6 一质点沿 x 轴作简谐振动，其角频率 下的振动方程：= 10 rad/s ．试分别写出以下两种初始状态(2) 物体在平衡位置上方 5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5 cm 处所需要的最短时间． (答案： x = 0.1 cos(7.07t) (SI)；29.2 N ；0.074 s ) 11-8 一物体放在水平木板上，这木板以 = 2 Hz 的频率沿水平直线作简谐运动，物体 和水平木板之间的静摩擦系数 s = 0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅 A max ．(答案： 0.031 m )11-9 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是 12 cm ，在距平衡位置 6 cm 处速率是 24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动 频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间 的静摩擦系数 为多少？(答案： 0.0653)11-10 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通 过 A 点时作为计时起点 ( t = 0 )，经过 2秒后质点第一次经过 B 点， 再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A 、 B 两点 具有相同的速率，且 AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A 点处的速率．11-11 在一轻弹簧下端悬挂 m 0 = 100 g 砝码时， 弹簧伸长 8 cm ．现在这 根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下 拉动 4 cm ，并给以向上的 21 cm/s的初速度 (令这时 t = 0 )．选 x 轴向下 , 求 振动方程的数值式．答案： x 0.05 cos(7t 0.64) (SI))11-12 一质点按如下规律沿 x 轴作简谐振动 ： x 0.1cos(8t 2 )3(SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．(答案： 0.25s ， 0.1 m ， 2/3， 0.8 m/s ， 6.4m/s 2)11-13 一质量为 0.20 kg 的质点作简谐振动，其振动方程为x 0.6cos(5t 21 ) (SI) ．求： (1) 质点的初速度；(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．(答案： 3.0 m/s ； -1.5 N )11-14 有一单摆，摆长为 l = 100 cm ，开始观察时 ( t = 0 ) ，摆球正好过 x 0 = -6 cm 处，并以v 0= 20 cm/s 的速度沿 x 轴正向运动，若单摆运动近似看成简谐振动．试求(1) 振动频率； (2) 振幅和初相．(答案： 0.5Hz ； 8.8 cm ， 226.8°或－ 133.2°)vxO O x答案：3) (SI) ； 3.93 10－2m/s ) 411-15 一物体作简谐振动， 其速度最大值 v m = 3×102 m/s ，其振幅 A = 2×102 m ．若 t = 0时，物体位于平衡位置且向 x 轴的负方向运动 . 求：(1) 振动周期 T ； (2) 加速度的最大值 a m ； (3) 振动方程的数值式．-21(答案： 4.19 s ；4.5×10-2 m/s 2；x = 0.02 cos(1.5t) (SI))211-16 一质点作简谐振动，其振动方程为 x = 0.24 cos(12 t 13 ) (SI)，试用旋转矢量23法求出质点由初始状态( t = 0的状态)运动到 x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间 t ．(答案： 0.667s )11-17 一质量 m = 0.25 kg 的物体， 在弹簧的力作用下沿 x 轴运动，平衡位置在原点 . 弹 簧的劲度系数 k = 25 N ·m -1．(1) 求振动的周期 T 和角频率 ．(2) 如果振幅 A =15 cm ，t = 0时物体位于 x = 7.5 cm 处，且物体沿 x 轴反向运动，求初 速 v 0 及初相 ．(3) 写出振动的数值表达式．－ 21答案： 0.63s ，10 s －1；－ 1.3m/s ， /3； x 15 10 2 cos(10t )311-18 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物 体经过位移为 A/ 2 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡 位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．11-19 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．答案： x 0.1cos(5 t/12 2 /3) (SI))11-20 一定滑轮的半径为 R ，转动惯量为 J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为 m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连， 如图所示．设弹簧的劲度系数为 k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴 的摩擦力及空气阻力．现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后 放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．11-21 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球， 弹簧被拉长 l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后， 该小球在竖直方向作振幅为 A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位(SI))答案： 12 )答案：kR 2 )J mR 2移处开始计时，写出此振动的数值表达式．答案： x 2 10 2 cos(9.1 t))11-22 一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动 (弹簧为原长时振动物体的位置取作 x 轴原点)．已知振动物体最大位移为 xm = 0.4 m 最大恢复力为 F m = 0.8 N ，最大速度为 v m = 0.8 m/s ，又 知 t = 0 的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选 x 轴方向相反．(1) 求振动能量； (2) 求此振动的表达式．11-23 质量 m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统， 按 x 0.5 cos(8 t 31 ) 的规律3作自由振动，式中 t 以秒作单位， x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量 E ；(4) 平均动能和平均势能．- 2 1 (答案： = 8 s -1，T = 2 / = (1/4) s ，A = 0.5 cm ， = /3；v4π 10 2sin(8πtπ) ，32 2 1- -a 32 210 2cos(8 t ) ；3.95×10 5J ，3.95×10 5J ) 311-24 一物体质量为 0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数 k = 25N ·m -1，如果起始振动时具有势能 0.06 J 和动能 0.02 J ，求(1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度．答案： 0.08 m ； 0.0566m ； 0.8m/s )11-25 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体， 当物体处于平衡状态时， 再 对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在 32 s 内完成 48 次振 动，振幅为 5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下 1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？(答案： 0.444N ； 1.07× 10- 2 J ，4.44×10-4 J ) 11-26 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量 m = 5 g 的小球，弹簧伸长 l = 1 cm 而平衡．经推 动后，该小球在竖直方向作振幅为 A = 4 cm 的振动，求(1) 小球的振动周期； (2) 振动能量．(答案： 0.201 s ； 3.92×10-3 J )11-27 一物体质量 m = 2 kg ，受到的作用力为 F = -8x (SI) ．若 该物体偏离坐标原点 O 的最大位移为 A = 0.10 m ，则物体动能的 最大值为多少？(答案： 0.04 J )答案： 0.16J ； x 0.4cos(2 t))OA11-28 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m，重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力 F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．答案：x 0.204 cos(2t ) (SI))11-29 两个同方向简谐振动的振动方程分别为2 3 2 1x1 5 10 2 cos(10t ) (SI), x2 6 10 2 cos(10t ) (SI) 44求合振动方程．(答案：x 7.81 10 2 cos(10t 1.48) (SI) )11-30 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x1 0.04cos(2 t 12 ) (SI), x2 0.03cos(2 t ) (SI)求此物体的振动方程．(答案：x 0.05 cos(2 t 2.22) (SI))。

本章整合知识建构专题应用专题一简谐运动的特点简谐运动涉及的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接的关系。

简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两个位置时，振子的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反，速度的方向不确定)。

运动时间也具有对称性，即在关于平衡位置对称的两段位移间运动的时间相等。

理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

简谐运动具有周期性，其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定。

理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。

【专题训练1】一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法中正确的是()。

A．振子在M、N两点受回复力相同B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同C ．振子在M 、N 两点加速度大小相等D ．从M 点到N 点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动专题二 简谐运动的图象及作用简谐运动的图象描述了振动质点的位移随时间的变化规律。

从图象中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：1．可以确定振动物体在任一时刻的位移。

如图所示，对应t 1、t 2时刻的位移分别是x 1＝＋7 cm 、x 2＝－5 cm 。

2．确定振动的振幅。

图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振幅是10 cm 。

3．确定振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知，OD 、AE 、BF 的时间间隔都等于振动周期T ＝0.2 s ，频率f ＝1T＝5 Hz 。

4．确定各时刻物体的振动方向。

例如图中在t 1时刻，物体正远离平衡位置运动；在t 3时刻，物体正向着平衡位置运动。

5．比较各时刻物体的加速度(回复力)的方向和大小。

例如在图中t 1时刻物体位移x 1为正，则加速度a 1为负，两者方向相反；t 2时刻，位移x 2为负，则加速度a 2为正，又因为|x 1|＞|x 2|，所以|a 1|＞|a 2|。

机械振动分析机械振动是指机械系统或其部件在运转过程中产生的周期性的物理现象。

事实上，振动是机械系统中普遍存在的现象，它可能对机械设备的安全性、性能和可靠性产生重要影响。

因此，对机械振动进行分析和评估是非常重要的。

本文将介绍机械振动的分析方法和应用。

一、机械振动的类型机械振动可以分为自由振动和受迫振动两种类型。

1. 自由振动自由振动是指没有外部激励的振动。

当机械系统受到扰动后，会出现自由振动，振动的频率和振幅由系统的初始条件决定。

自由振动的数学模型可以用二阶线性微分方程描述。

2. 受迫振动受迫振动是指机械系统受到外部激励而发生的振动。

外部激励可以是周期性的力、电磁力或其他形式的力。

受迫振动的频率由外部激励的频率决定，而振幅则由系统的特性和外部激励的幅值决定。

二、机械振动的分析方法机械振动的分析方法主要包括理论分析和实验分析两种。

1. 理论分析理论分析是通过建立数学模型和方程，利用力学和振动学的原理来描述和解释机械系统的振动行为。

常用的理论分析方法有等效刚度法、拉格朗日方程法、哈密尔顿原理等。

理论分析可以提供对机械振动进行详细的建模和预测。

2. 实验分析实验分析是通过实际测试和测量来获取机械系统的振动数据，然后对数据进行分析和处理。

实验分析可以采用各种传感器和测量设备，如振动传感器、加速度计、激光测振仪等。

通过实验分析，可以获取机械系统在不同工况下的振动特性，并对振动源和振动传播路径进行识别和评估。

三、机械振动的应用机械振动分析在工程中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 故障诊断通过对振动信号的分析，可以判断机械系统是否存在故障。

故障往往会导致机械系统振动特性的异常变化，通过分析振动数据可以识别出故障的类型和位置，从而提前预警和采取相应的维修措施。

2. 结构优化在设计机械系统时，通过分析振动特性可以评估结构的强度和稳定性。

通过优化结构参数和材料选择，可以减小机械系统的振动响应，提高系统的性能和可靠性。