数学建模(华中农业大学课件),数学实验

观点：“所谓高科技就是一种数学技术”
数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数 学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该 实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是 数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计 算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高 性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速 的发展，掀起一个高潮。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数 学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代 数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟） 所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
2、什么是数学建模? 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过 抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数 学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计 算机技术进行求解。
在实际过程中用那一种方 法建模主要是根据我们对研究 对象的了解程度和建模目的来 决定。机理分析法建模的具体 步骤大致可见右图。
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量、参数
建立数学模型并数学、数值地求解、确 定参数
用实际问题的实测数据等来检验该 数学模型
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生经济、社 会效益
数学建模与数学实验
数学建模简介
后勤工程学院数学教研室
数学建模简介
1.关于数学建模
2.数学建模实例
A.人口预报问题 B. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ C.双层玻璃的功效
3.数学建模论文的撰写方法
一、名词解释
1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据 特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到 一个数学结构。

和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。

进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆 柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分 为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直 于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系， 测量的油位高度 实际的油位高度 计算体积所需的高度
于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向 偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与 最准确的取值。
.
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本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进 行改进，得到第二个模型，就会生动）
推导时，公式若很长，可放在附录中 利用现成的软件计算模型数据 讨论误差
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B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。

华中农业大学建模基地
LINGO实验 LINGO实验
－注意事项－ 注意事项－
在模型的开头可以用“ 对模型命名； 在模型的开头可以用“TITLE” 对模型命名； 变量可以放在约束右端； 变量可以放在约束右端； 每行（目标，约束，说明语句）后增加 “；”； 每行（目标，约束，说明语句） 开头都是函数调用； ＠开头都是函数调用； 上下界限定用@BND（） 不计入模型的约束，也不能 （）,不计入模型的约束 上下界限定用 （） 不计入模型的约束， 给出其松紧判断和敏感性分析; 给出其松紧判断和敏感性分析 缺省假定所有变量非负；可在模型的“ 缺省假定所有变量非负；可在模型的“END”语句后用 语句后用 “@FREE（） ”将变量的非负假定取消; （） 将变量的非负假定取消 变量说明： （）;对整型变量说明 对0-1变量说明：@BIN（） 对整型变量说明：@GIN 变量说明 （） 对整型变量说明： （）； 模型由一系列语句组成，适当缩进，增强可读性。 模型由一系列语句组成，适当缩进，增强可读性。
华中农业大学建模基地
LINGO实验 LINGO实验
－求解器状态窗口－ 求解器状态窗口－
LP，QP，ILP，IQP，PILP， ， ， ， ， ， PIQP，NLP，INLP，PINLP ， ， ， 变量数量 模型类型 当前解状态 当前目标函数值 Ob Infe Ite T 约束不满足的总量 目前为止的迭代次数 T Type Obj N B-and-B Global Multistart N 非零系数数量 可直接求 解的变量 不作为决 策变量。 策变量。 Class T N In 约束数量 "Global Optimum", "Local Optimum", "Feasible", "Infeasible“(不可行 不可行), 不可行 "Unbounded“(无界 无界), 无界 "Interrupted“(中断 中断), 中断 "Undetermined“(未确定 未确定) 未确定

在概率模型中，我们需要确定随机变量的概率分布和参 数，并使用最大似然估计等方法来估计参数。
概率模型可以分为离散概率模型和连续概率模型，常见 的概率分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。
概率模型的应用非常广泛，例如在统计学、保险精算、 可靠性工程等领域都有广泛应用。
优化模型
优化模型是一种寻找最优解的 数学模型，通过找到满足一定 约束条件下目标函数的最优值
教学目标和内容
教学目标
通过数学建模教学，学生应掌握数学 建模的基本概念、方法和技能，能够 运用数学建模解决实际问题，并培养 创新思维和合作精神。
教学内容
包括数学建模的基本概念、建模方法 、常用数学软件和工具、案例分析等 ，以及实践环节和项目式学习等内容 。
02 数学建模基础知识
数学建模的基本概念
股票价格预测模型。通过分析股 票价格的历史数据，建立股票价 格预测模型，预测未来股票价格
的走势。
案例三
最优路径问题。给定起点和终点 以及一些中间节点，寻找一条最 优路径，使得路径总长度最短或
花费时间最少。
05 数学建模教学反思与展望
教学反思
教学内容的反思
总结了数学建模教学中涉及的主要知识点，包括数学建模的基本概念、建模过程、 常用数学方法和模型等。
数学建模的定义
数学建模的步骤ຫໍສະໝຸດ 数学建模是指通过数学语言和工具， 对现实世界的问题进行抽象、简化， 并建立数学模型的过程。
数学建模通常包括问题分析、建立模 型、求解模型和模型验证等步骤。
数学建模的意义
数学建模是解决实际问题的重要手段， 能够帮助学生理解数学在实际生活中 的应用，提高解决问题的能力。
数学建模的基本步骤
关系和变化规律。

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数学建模的六个环节
六个环节各自的含义
（5）讨论和验证：根据模型求解的结果，讨论得到的解是 否和情况相符。模型的各个环节都可能影响模型的结果，例 如假设是否合适，归结为数学问题时推理是否正确，求解所 用的方法是否恰当，数据是否满足一定的精确度要求等等， 都应该在讨论的范围之内。
数学建模理论与实践
—— 数学建模概论
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本讲主要内容
数学建模的基本含义 数学建模的六个环节 数学建模的学习建议
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数学建模的基本含义 数学建模的六个环节 数学建模的学习建议
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数学建模的含义
数学模型的起源
1980年4月，美国数学教师协会（NCTM）公布了一份指 导80年代学校数学教育的纲领性文件《关于行动的议程》。 该文件指出：“80年代的数学教育大纲，应当在各年级都介 绍数学的应用，把学生引进到问题解决中去”；“数学课程 应当围绕问题解决来组织，数学教师应当创造一种使问题解 决得以蓬勃发展的课堂环境。” “必须把问题解决作为学校数学教育的核心”。
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数学建模的含义
数学建模是一个“迭代”的过 程
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数学建模的含义
传统的应用题与数学建模的关系
当前应用题教学的主要变化趋势是：问题的来源更生活化， 更贴近实际；条件和结论更模糊；可用信息和最终结论更有 待学生自己去挖掘；数据量或信息量趋于海量。因此，当前 应用题教学的发展趋势是逐步向数学建模过渡。数学建模要 从应用做起，从应用题的改革做起。
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数学建模的含义
一个简单的实例

2 •• • •
以行星为坐标原点建立活动架标， 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ = − sinθ • i + cosθ j • 由于2r w+ r w = 0 •• 因此得出
a = ( r − rw )er
2
再将椭圆方程 两边微分两次， 两边微分两次，得
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
也就是说行星的加速度为
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 人口模型、 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等 流模型、 济模型、
§1.4 数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 后，就在国际性的竞 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 赛（美国大学生数学 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 建模竞赛） 建模竞赛）中交出了 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 非常出色的研究论文， 非常出色的研究论文， 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 夺得了特等奖兼 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 INFORMS奖 INFORMS奖2项（1999 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 2003年各一项 年各一项）、 年、2003年各一项）、 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 22项一等奖 18项二 项一等奖、 22项一等奖、18项二 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 等奖的好成绩。 等奖的好成绩。 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。

02
通过数学实验，可以发现和解决数学理论中的问题，推动数学
理论的发展和完善。
数学实验在科学、工程、经济等领域有广泛应用，为解决实际
03
问题提供有效的工具和方法。
数学实验的常用工具
MATLAB
一种常用的数学计算软件，具有强大的数值 计算、矩阵运算和图形绘制等功能。
Python
一种通用编程语言，广泛用于科学计算、数 据分析和机器学习等领域。
02
03
相互促进
两者都是为了解决实际问题或探 究数学问题而进行的方法和工具。
数学建模为数学实验提供理论指 导，而数学实验可以验证数学建 模的正确性和有效性。
区别
目的
数学建模的主要目的是建立数学模型，描述实际问题中变 量之间的关系；而数学实验则是通过实验手段来探究数学 规律或验证数学结论。
应用领域
数学建模广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等； 而数学实验则更多应用于数学教育和研究领域。
简化模型
在保证模型精度的基础上，对模型进行必要 的简化。
求解模型
求解方法选择
根据模型的特点选择合适的数值计算方法或解 析解法。
编程实现
利用编程语言实现模型的求解过程。
误差分析和收敛性判断
对求解过程进行误差分析，判断求解方法的收敛性和稳定性。
模型验证与优化
数据拟合与检验
将模型结果与实际数据进行对比，检验模型的准确性和适用性。
问题分析
明确问题定义
对问题进行深入理解，明确问题的目标、约束条件和 相关参数。
收集数据和信息
收集与问题相关的数据和背景信息，为建立模型提供 依据。
确定主要影响因素
分析问题中起决定性作用的关键因素，忽略次要因素。

记 为
y01x E 0 ,D 2 固 定 的 未 知 参 数 0、 1称 为 回 归 系 数 ， 自 变 量 x也 称 为 回 归 变 量 .
Y 0 1 x ， 称 为 y 对 x 的 回 归 直 线 方 程 .
一元线性回归分析的主要任务是：
1 、 用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 0 、 1 和 作 点 估 计 ； 2 、 对 回 归 系 数 0、 1作 假 设 检 验 ；
ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 ,x ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 x
和 ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x,x ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x x
1 2
k n
y 0 1 x 1 . .k x . k 称 为 回 归 平 面 方 程 .
线 性 模 型 (Y,X ,2In)考 虑 的 主 要 问 题 是 ：
返回
（ 1） 用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 未 知 参 数和 2 作 点 估 计 和 假 设 检 验 ， 从 而 建 立 y与
26.04.2021
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（Ⅰ）F检验法 当 H 0成 立 时 ，FQ e/U n (2)~F（ 1， n-2）
n
其 中 U y ˆiy2（ 回 归 平 方 和 ） i 1
故 F>F 1(1,n2)， 拒 绝 H 0 ， 否 则 就 接 受 H 0 .
（Ⅱ）t检验法
当 H 0 成 立 时 ， T L ˆ x e ˆ 1 x ~ t （ n - 2 ）
（ 4） 倒 指 数 曲 线 y=aeb/x 其 中 a>0，
（ 5 ） 对 数 曲 线 y = a + b l o g x , x > 0 （ 6 ） S 型 曲 线 y a 1 b x 解 例 2 .由 散 点 e 图 我 们 选 配 倒 指 数 曲 线 y = e b a /x