三角形全等的判定三：边边边判定公理

三角形全等的判定1课题：全等三角形的判定（一）教学目标：1、知识目标：（1）熟记边角边公理的内容；（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等.2、能力目标：(1) 通过“边角边”公理的运用，提高学生的逻辑思维能力；(2) 通过观察几何图形，培养学生的识图能力.教学重点：学会运用公理证明两个三角形全等.教学难点：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件.教学过程：1、公理的发现（1）画图：（投影显示）教师点拨，学生边学边画图.（2）实验让学生把所画的剪下，放在原三角形上，发现什么情况？（两个三角形重合）这里一定要让学生动手操作.（3）公理启发学生发现、总结边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）作用：是证明两个三角形全等的依据之一.应用格式：强调：1、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.2、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.3、平面几何中常要证明角相等和线段相等，其证明常用方法：证角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等地.证线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质.2、公理的应用（1）讲解例1.学生分析完成，教师注重完成后的总结.分析：（设问程序）“SAS”的三个条件是什么？已知条件给出了几个？由图形可以得到几个条件？解：（略）（2）讲解例2投影例2：例2如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求证：学生思考、分析，适当点拨，找学生代表口述证明思路让学生在练习本上定出证明，一名学生板书.教师强调证明格式：用大括号写出公理的三个条件，最后写出结论. （3）讲解例3（投影）证明：（略）学生分析思路，写出证明过程.（投影展示学生的作业，教师点评）（4）讲解例4（投影）证明：（略）学生口述过程.投影展示证明过程.教师强调证明线段相等的几种常见方法.（5）讲解例5（投影）证明：（略）学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论.师生共同讨论后，让学生口述证明思路.教师强调解题格式：在“证明”二字的后面，先将所作的辅助线写出，再证明. 3、课堂小结：(1)判定三角形全等的方法：SAS(2)公理应用的书写格式(3)证明线段、角相等常见的方法有哪些？让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

镇巴县中小学（幼儿园）
教学重点
让学生掌握边边边公理的内容公理利用边边边证明两个三角形全等 教学难点
灵活运用SSS 识别两个三角形是否全等 教学准备
PPT 课件 教学方法
讲练结合
镇巴县中小学（幼儿园）
教 学 活 动 流 程 设 计
修订与补充
_ huoyejiaoan
_
续页 1
_ 活 页 教 案
【应用迁移】. 如下图，△ABC是
一个刚架，AB=AC，AD是连接A
与BC中点D的支架。

五、当堂训练
【学以致用】如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB, 试说明△ABC ≌△ADC.
镇巴县中小学（幼儿园）_huoyejiaoa
n _
_F
E
D C
B
A
六、小结
1、三个角对应相等的两个三角形，不一定全等。

2、三条边对应相等的两个三角形一定全等
3.边边边公理在应用中用到的数学方法:
证明线段(或角)相等转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
七、作业
习题19.2 第一题
19.2.4 全等三角形的判定(s.s.s.)
如果两个三角形的三边对应相等，那么两个三角形全等。

简写为S.S.S. (或边边边）
数学符号表达式:
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF （S.S.S.）
教 学 反 思 与 随 笔
镇巴县中小学（幼儿园）
导 学 案 设 计
达成情况
续页
3
_活 页 教 案。

三角形的全等判定一、证明三角形全等的思路全等三角形的判定公理及推论（1）边角边公理（SAS ） （2）角边角公理（ASA ） （3）角角边推论（AAS ） （4）边边边公理（SSS ） （5）斜边、直角边公理（HL ）二、全等三角形的应用证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。

三、例题分析例1：如图，∆ABC 是一个屋顶钢架，AB=AC ，D 是BC 中点。

求证：AD BC ⊥ 分析：要证明AD BC ⊥，就必须证出∠1=∠2，才能知道∠1=∠2=90︒，可得AD BC ⊥。

怎么才能证出∠1=∠2呢，从题目条件可看出，只要证出∆ABD 和∆ACD 全等即可，分析一下这两个三角形全等条件够吗？显然可利用“边边边”公理可证。

证明：在∆ABD 和∆ACD 中()()()AB AC AD AD BD DC ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知公共边已知 ∴∆ABD ≌∆ACD （SSS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∴∠=∠=︒11290BDC （平角定义） ∴AD BC ⊥（垂直定义）例2：已知：如图，AB=AD ，BC=DC 。

求证：∠B=∠D 。

分析：要证∠B=∠D ，显然在∆ABC 和∆ADC 中。

若∆ABC ≌∆ADC ，就必然得出∠B=∠D 。

如何证明∆ABC 和∆ADC 全等呢，全等条件具备哪些呢？已知AB=AD ，BC=DC 只差一个条件，就可以用“边边边”公理了。

同学们自己想一想，为什么不选择“边角边”公理呢？这样只要连结AC 便是公共边。

证明：连结AC 在∆ABC 和∆ADC 中()()()AB AD BC DC AC AC ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知已知公共边∴∆ABC ≌∆ADC （边边边）∴∠B=∠D 同学们想一想，能不能连结BD 两点呢，目前来说，还不行，等以后学习面多了，自然也是可证明的，只是我们在添加辅助线时，尽量保留下已知条件和要证明的结论的完整性。

全等三角形判定公理以及推论一、全等三角形判定公理1. SSS（边边边）公理- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 作用：当我们知道两个三角形的三条边分别相等时，就可以直接判定这两个三角形全等。

这是全等三角形判定中最基本的一种方法，不需要考虑角的大小。

2. SAS（边角边）公理- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

这里的角必须是两条边的夹角。

- 作用：如果已知两个三角形有两条边相等且这两条边所夹的角也相等，就可以判定它们全等。

在实际解题中，经常需要通过已知条件找出对应的边和角是否满足该公理。

3. ASA（角边角）公理- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在△ABC和△DEF中，∠B = ∠E，BC = EF，∠C = ∠F，那么△ABC≌△DEF。

这里的边是两个角的夹边。

- 作用：当我们知道两个三角形有两个角以及这两个角的夹边相等时，可以判定这两个三角形全等。

在证明三角形全等时，如果能找到这样的角和边的关系，就可以使用该公理。

4. AAS（角角边）推论- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 例如：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，那么△ABC≌△DEF。

这里是两个角相等，并且其中一个角的对边相等。

- 作用：在有些情况下，当我们知道两个三角形的两个角相等，且其中一个角的对边相等时，可以使用该推论判定全等。

它是ASA公理的一种延伸，在证明过程中可以根据已知条件灵活运用。

5. HL（斜边、直角边）公理（适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 例如：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，那么Rt△ABC≌Rt△DEF。

()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧HL AAS ASA SAS SSS 斜边、直角边角角边角边角边角边边边边第十二章 全等三角形第二节 三角形全等的判定☆要点回顾1、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°。

2、平行线的性质及判定：内错角相等，两直线平行。

3、有一个角是90°的三角形为直角三角形。

概念图：三角形全等的条件知识点一：边边边公理（SSS ）1、三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”。

2、要证明两个三角形全等，应设法确定这两个三角形三条边对应相等。

3、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

4、书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并且用大括号将它们括起来，如：在△ABC 和△A'B'C'中，∴△ABC ≌△C B A '''（SSS ）。

典型例题：【例1】如图，已知AD=CB,AB=CD.求证：AD ∥BC 。

解析：欲证AD ∥BC ⇒∠ADB=∠CBD ⇒△ABD ≌△CDB.⎪⎩⎪⎨⎧''=''=''=C B BC C A AC B A AB知识点二：边角边公理（ＳＡＳ）1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”2、“ＳＡＳ”指判定两个三角形全等的条件是两边及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是两已知边的夹角而不是其中一边的对角。

3、在列举两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等。

４、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

典型例题：【例2】如图，已知Ｅ、Ｆ是线段ＡＢ上的两点，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ，求证，DF＝CE解析：先证明ＡＦ＝ＢＥ，在用“ＳＡＳ”证明两个三角形全等。

【例3】如图，Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｂ在一条直线上，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＦ＝ＤＥ，（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ；（２）求证：ＡＥ∥ＣＦ。