机构学和机器人学2运动学中的向量法
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向量法解决立体几何问题总结(一)
向量法解决立体几何问题总结(一)向量法解决立体几何问题前言立体几何问题在数学中起到重要的作用，理解和解决立体几何问题对于提升数学思维和解决实际问题都有着积极的影响。
传统的解决方法包括使用平面几何、几何画法等，但这些方法在处理复杂的立体几何问题时可能面临一些困难。
向量法作为一种新的解决方法，在解决立体几何问题方面具有独特的优势和应用空间。
正文1. 什么是向量法向量法是一种几何运算方法，通过定义和运算向量的方式，对立体几何问题进行求解。
向量法帮助我们将几何问题转换为向量问题，进而使用向量的性质和运算来解决。
在向量法中，我们可以通过坐标表示向量，进行向量加减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
2. 向量法解决立体几何问题的优势•空间直观：向量法将立体几何问题转化为向量问题，使得问题的空间特性更加直观可见。
通过绘制向量图形，我们可以更好地理解问题，有助于从几何角度进行分析。
•简化问题：通过向量法，我们可以将复杂的立体几何问题简化为向量运算问题，减少了繁琐的计算步骤和猜测过程，提高了问题解决的效率。
•统一性：向量法具有统一的运算法则和性质，使得不同类型的立体几何问题可以采用相似的解决思路和方法。
这为解决立体几何问题提供了一种通用的框架，提升了问题解决的一致性和可重复性。
3. 向量法解决立体几何问题的应用案例•平面与直线交点：通过将平面和直线的方程转化为向量形式，可以求得它们的交点。
这样的应用可以用于计算平面与光线的交点，进而用于光线追踪、计算机图形学等领域。
•空间线段位置关系：通过向量的数量乘法和点乘运算，可以判断两个空间线段之间的位置关系，如重叠、相交、平行等。
这样的应用可以用于计算机辅助设计、机器人运动规划等领域。
•图形投影：通过向量的点乘运算，可以求得一个图形在另一个图形上的投影。
这样的应用可以用于计算机图形学、建筑设计等领域。
结尾向量法作为一种新的解决立体几何问题的方法，在数学和工程领域都有着广泛的应用。
运动学矢量法一般解题方法(修改稿)
运动学概念及矢量法解题一般方法（132492629群主）运动学是定律描述物体运动状态和过程的数学理论。
学生在学习运动学知识时，一定要掌握一般解题方法；在掌握一般解题方法后，再学习一些技巧；而不要反过来，否则，技巧越多，需要记忆的越多，最后负担过重，弄巧成拙。
下面，我讲讲运动学解题的基本方法。
一、基本概念1、矢量位移、速度、加速度，都是矢量，因为它们都有大小和方向。
2、位置矢量由坐标原点向位置点作有向线段，如右图，O A 、OB都是位置点A 、B 的位置矢量。
位置矢量有大小，有方向。
如O A，大小就是OA 的长度，方向就是由O 指向A 。
3、位移一段时间内质点位置矢量的变化量，就是位移。
如右图中，AB就是位移矢量。
位移是矢量，既有大小，又有方向。
大小，就是起点至终点的（直线）距离；方向，就是起点朝着终点的指向。
位移，就是一条起点指向终点的线段。
【点睛】位移只与两点有关：起点，终点。
前面说过，位移是有方向的。
通常，方向要事前进行设定。
如上图，向右的方向（数轴方向）被设定为正方向。
左图Δx = x 2 – x 1 ＞ 0，表示物体位移方向与数轴方向一致；右图Δx = x B – x A ＜ 0，表示物体位移方向与数轴方向相反。
4、速度速度是矢量，既有大小，又有方向。
从公式可以看出，速度的方向，就是位移方向。
5、加速度加速度是矢量，既有大小，又有方向。
加速度方向，和速度的改变Δv 方向一致。
右图，位移（数轴）方向为右向，速度的方向也是右向；上图的汽车加速度为右向，即a ＞0；下图的汽车加速度为左向，即a ＜0。
二、学会看懂图像（匀速、匀变速直线运动）1、位移时间图像都告诉你什么？①（横轴）时间： 甲的起始时刻0s ，结束时刻25s；乙的起始时刻10s ，结束时刻25s 。
②（纵轴）位置： 甲的初始位置矢量20m ，结束位置矢量40m ；乙的位置矢量0m ，结束位置40m 。
③ 位移：甲的位移20m ，乙的位移40m 。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人复习题及参考答案
课程考试复习题及参考答案机器人学导论一、名词解释题：1.自由度：2.机器人工作载荷：3.柔性手：4.制动器失效抱闸：5.机器人运动学：6.机器人动力学：7.虚功原理：8.PWM驱动：9.电机无自转：10.直流伺服电机的调节特性：11.直流伺服电机的调速精度：12.PID控制：13.压电元件：14.图像锐化：15.隶属函数：16.BP网络：17.脱机编程：18.AUV：二、简答题：1.机器人学主要包含哪些研究内容？2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？4.机器人控制系统的基本单元有哪些？5.直流电机的额定值有哪些？6.常见的机器人外部传感器有哪些？7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。
8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。
11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？12.仿人机器人的关键技术有哪些？三、论述题：1.试论述机器人技术的发展趋势。
2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。
3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。
4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的？6.试论述工业机器人的应用准则。
四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）：1.已知点u的坐标为[7,3,2]T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v；（2）绕y轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿z轴平移7个单位得到点t。
求u, v, w, t各点的齐次坐标。
xyzOuvwt2.如图所示为具有三个旋转关节的3R 机械手，求末端机械手在基坐标系{x 0,y 0}下的运动学方程。
【机械原理课程设计】向量法运动分析
单位
数据
mm
70
mm
200
mm
315
度
60
度
120
mm
70
mm
320
mm
225
mm
150
mm
60
转/分
100
• 偏置直动滚子从动件盘形凸轮中升程h＝28mm， 偏距e＝12mm，基圆半径r＝30mm，滚子半径 r＝10mm，[α]＝30°，从动件运动规律：凸 轮转过60°时，从动件以余弦加速度运动规律 上升，其后转过30°从动件保持不动，再转过 60°时，从动件以余弦加速度运动规律返回原 处，其后又转过230°从动件保持不动。凸轮 与曲柄共轴以逆时针回转。
平面机构运动分析
（矢量方程图解法）
•矢量方程的图解法
•同一构件上各点间的运动关系
•两构件瞬时重合点间的运动关系
§3
用矢量方程图解法分析平面机构的运动 b
A
一、矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
AB C
a
B
x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
2
无ak 1 2 B 3
3
无ak
1
2 3
有ak B 有ak
2 B 3 1
1 B
3有ak 2
2
B 有a k 3
2 1 B 3 有ak
1
B
1
例 求图3-5所示机构的运动关系（P52） B 解：1）以长度比例尺L作机构位置图 2）速度分析 求Vc、 2 （第一类问题） VB2 4 D 2 3 C
D
//EF VD5
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
基于向量法解决机器人正向运动学教学难题
摘 要 ： 为解 决机 器人 正向运 动 学教 学 中大学 生对位姿 矩 阵 以及 刚体 变换 难 以理 解 的难题 ， 以
向量 法建 立 了刚体 的位姿 矩 阵 ， 并 以 向 量 法推 导 了刚 体 绕 空 间任 意 轴 线 旋 转 的 变 换 矩 阵 ． 以 此
为基础 ， 证 明 了矩 阵左乘 和右 乘所 对应 的 不 同刚体 运 动 ， 最终 利 用 矩 阵右 乘 导 出 了 Ｄ－ Ｈ 变换 矩阵， 从 而建 立机 器人 学正 向运动 学方 程． 关 键词 ： 向量 ；矩 阵 ； 机 器人 ；正 向运动 学 ；教 学法 中图法 分类 号 ： ＴＰ ２ ４ 文献 标识 码 ： Ａ
第 ３ １卷
第 ４期 பைடு நூலகம்
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖ０ １ ． ３ ｌ Ｎｏ ． ４
Ａｕ ｇ． ２０ １ ３
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ １ ４ １ ８，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
２ ０ １ ３ 年 ８月
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ５ ８ １ Ｉ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ １ ４ ７ — ０ ５
基 于 向 量 法 解 决 机 器 人 正 向运 动 学 教 学 难 题
荆 学 东
机器人机构学的数学基础引用
机器人机构学的数学基础引用机器人机构学是机器人学中的一个重要领域，它研究机器人的结构、运动及其控制等问题。
机器人机构学的研究需要运用到一定的数学知识。
本文将就机器人机构学的数学基础进行引用和总结。
一、向量和矩阵机器人机构学中常用向量和矩阵来表示机器人的位置、姿态、运动等信息。
向量是一个具有大小和方向的量，可以用来表示位置、速度、加速度等物理量。
矩阵则是由多个向量组合而成，可以用来表示变换、旋转、平移等变换。
在机器人机构学中，常用齐次坐标系来表示机器人的位置和姿态。
二、三角函数三角函数是机器人机构学中常用的数学工具。
在机器人运动学中，三角函数可以用来描述机器人的角度、朝向、运动路径等信息。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例如，正弦函数可以表示机器人关节的位置，余弦函数可以表示机器人末端执行器的位置。
三、相似变换和仿射变换相似变换是机器人机构学中常用的一种变换方式，它保持物体的形状不变但可以改变物体的大小和位置。
相似变换需要用到欧氏变换、即平移和旋转。
在机器人机构学中，常用相似变换来描述机器人的运动学结构。
仿射变换也是机器人机构学中常用的一种变换方式，它可以改变物体的形状和大小，而且可以进行平移、旋转和剪切等操作。
在机器人机构学中，仿射变换常用于描述机器人末端执行器的位置和姿态。
四、李群和李代数李群和李代数是机器人机构学的重要数学工具。
李群是一种数学对象，它描述了物体的对称性和运动规律。
李代数则是对李群进行线性化的结果，它可以求出物体在某一点的切空间。
在机器人机构学中，李群和李代数可以用来描述机器人的变换及其群结构。
总结：机器人机构学的数学基础涉及到向量和矩阵、三角函数、相似变换和仿射变换以及李群和李代数等领域。
这些数学概念和工具可以帮助机器人机构学家更加准确地描述机器人的位置、姿态、运动及其控制方式，从而为机器人的应用研究提供有力的数学支撑。
机器人第2章数学基础-矢量变换
a (b c)
a (bc)
a (bc) 0
矢量微分和积分 r r(t) x(t) y(t) z(t)T
dr d (xi) d ( yj) d (zk)
dt dt
dt
dt
T
rdt xdt ydt zdt
2.2 矩阵基础
1 矩阵定义 2 运算 3 特征值和特征向量 （4 矩阵分解 ）
2
旋转矩阵
r ArP
旋转矩阵(Rotation Matrix)
A E u sin 2u2 sin2
2
u u1
u2
u3 T
sin 2sin cos
22
A E 2u sin (Ecos u sin )
2
2
2
定义欧拉参数 (Euler Parameters)
cos -sin
Rot(z,
)
sin
cos
1
1
1
Rot(x,
)
cos -sin sin cos
1
cos
sin
Rot(y, )
1
-sin cos
1
1
矢量运算
矢量的叉积(Cross Product)
a
b
azby aybz azbx axbz
aybx axby
i jk ax ay az bx by bz
反对称矩阵记法
a (bc)
a (bc) 0
矢量微分和积分 r r(t) x(t) y(t) z(t)T
dr d (xi) d ( yj) d (zk)
dt dt
dt
dt
T
rdt xdt ydt zdt
2.2 矩阵基础
1 矩阵定义 2 运算 3 特征值和特征向量 （4 矩阵分解 ）
2
旋转矩阵
r ArP
旋转矩阵(Rotation Matrix)
A E u sin 2u2 sin2
2
u u1
u2
u3 T
sin 2sin cos
22
A E 2u sin (Ecos u sin )
2
2
2
定义欧拉参数 (Euler Parameters)
cos -sin
Rot(z,
)
sin
cos
1
1
1
Rot(x,
)
cos -sin sin cos
1
cos
sin
Rot(y, )
1
-sin cos
1
1
矢量运算
矢量的叉积(Cross Product)
a
b
azby aybz azbx axbz
aybx axby
i jk ax ay az bx by bz
反对称矩阵记法
机器人学第二章(数学基础)
v
y
o(o′ ) u′
y
x
o
w″
u″
y
-3 o 4 x y
u x
x
解2：用计算的方法 根据定义1，我们有：
T Trans(4 , 3 , 7) R(y, 90 ) R(Z,90
)
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
4 3 7 1
（2-20）
y
cos
， j
v
在z轴上的投影
sin
,
kw
在y轴上的投影为
j y sin
， k w 在z轴上的投影为
z
k z cos
，所以有：
i x jv j y jv k z jv ix k w jy k w kz kw
i i x R(x, ) j y i k z i
w
已知： Puvw Pu i u Pv j u Pw k w P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P Pv v y
P x Puvw i x i x ( Pu i u Pv j v Pw k w )
P y Puvw j y j y ( Pu i u Pv j v Pw k w )
x
o
(O ')
Pu u
P z Puvw j z j z ( Pu i u Pv j v Pw k w )
图 2 -4
i x k w P j y k w Pv k z k w Pw
用矩阵表示为:
Px i x i P j i y y Pz k z i
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r2 sin2 d sind
由此解得：
s in d
r2 d
s in 2
c os d
r1
r2 cos2
d
所以：
tan d
r2 sin 2 r1 r2 cos 2
（2-19）
由式（2—17）计算θd，很容易判别θd的象限， 当矢量 d 可确定后，由于：
r3ei3 deid r4ei4 消去θ4 （2-20）
如图铰链四杆机构，假设量各d。杆长度为r1、r2、r3、r4输
入角θ2 已知rB，可r列2e出i2独立r位3e置i2和3方）θ4利程。用r：1矢量rd4和eri4求4 出矢量r3，（解出2-θ136）
位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。
首先确定对角线d 的长度：
r2ei2 deid
r1
（2-17）
(d 3 ) 有两个可能解，根据连续条件确定一个。 取（2—20）的虚部得：
r3 sin3 d sind r4 sin4
sin 4
r3
sin3
r4
d sin d
（2-22）
同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。
（2）速度分析
由位置方程
r2ei2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r3eie3
r1
r4ei4
进行求导：
a aaˆ aaˆ
a aaˆ 2aaˆ aaˆ
式中：
aˆ ei (i sin cos) j sin
（2-13） （2-14）
aˆ ei sin(i2 ) 2iei cos ei (cos sin 2 )
j(sin cos 2 )
（2-15）
§2-2 利用复数向量进行机构的运动分析
则矢量 a 可写成：
a
a(ei
sin
j cos)
（2-11）
式中θ为矢量 a在复平面（O—RI平面）上的投影
与实轴R间夹角， 为 a 与J 轴的夹角。
J虚
矢量 a 可看成长度a与单位向量 aˆ
的乘积。由式2—11
则单位向量：
I虚
aˆ ei sin j cos （2-12）
O
R实
a
a
aˆ ，其一阶导数，二阶导数为:
的方向，它们是
r2
、
r3
分、 别r4表的示方向r2转2过、2r3所3得、，ra24
是已知的。
r22iei2 r33iei3 r44iei4
分别为它们的矢量大小（模）， ei、 iei 为单位方向矢。
二阶导数：d 2 dt 2
(rei )
rei
r(ei
i) (r r)iei
r(iei i)
(r r2 )ei (r 2r)iei （2-10）
继续求导可求出高阶导数。
三、空间矢量的复数表示 取坐 标系O—RIJ，矢量 a 如图，R为实轴，I、J为虚轴，
aei( ) aei a 相当于矢量 转过1800。
（2-4）
3） e i是单位矢量 ei 的共轭矢量
ei ei (cos i sin )(cos i sin ) cos2 sin 2 1
4）两个有用公式
cos ei ei
2
sin i ei ei
2 cos( ) cos cos sin sin
机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸 的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件 任一运动变量的变化规律。
运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。 其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级 机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式， 而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。
（2-5）
（2-6） （2-7）
sin( ) sin cos cos sin （2-8）
5）复数矢量的微分
设矢量
r
re i
，表示某一点相对于固定参考系坐标
原点的位置，则一阶导数：
dr d (rei ) dt dt
rei r(ei i) r ei r i ei
（2-9）
等式右边可看作二个复数矢量 rei 、 riei 其中 r 、 r
二、复数矢量的表示
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
a如 图aaˆ的自aO由ei矢量a(aco的s表示i 为sin：x
于是矢量
a
的分量分别为：
a
x
) ax
、 ay
iay
1）向量 a 与单位矢量
ei 相乘：
ei (aei ) aei( )
d (rei ) r ei r i ei
dt
由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式） 矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：
r22iei2 r33iei3 r44iei4 （2-23）
r22iei2 r33iei3 r44iei4
该式由相对运动速度多边形图示说明为：
iei2 、 iei3 、 iei3
表示向量 a 逆时针转过一个 角。
2）向量 a 与虚数单位i的乘积：
（2-2）
iaei
a(i cos
sin ) acos(
) i sin(
2
2
)
i( )
ae 2 a 相当于矢量 转过900。
（2-3）
同理：i(iaei ) a( cos isim ) acos( ) i sin( )
移项，两边分别乘以各自的共轭复数：
(r3ei3 deid )(r3ei3 deid ) r4ei4 r4ei4
r42 r32 d 2 2r3dei(d 3 )
取（2—21）实部得：
（2-21）
r42 r32 d 2 2dr3 cos( d 3 )
c os ( d
3)
r32
d 2 r42 2dr3
一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题思路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：
(deid
)(deid
)
(r1
r2ei2
)(r1
r2ei2
)
d 2 r12 r22 r1r2 (ei2 ei2 )
或： d r12 r22 2r1r2 cos2
（2-18）
将式（2—17）分解为实部和虚部，得：
r2 cos2 r1 d cosd