有理数的乘除法和乘方同步教学讲义

第3讲有理数的乘除与乘方（教师讲义）一、教学目标1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算，进一步掌握有理数的混合运算.二、例子【知识点一：乘法运算】【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸1111 12(2111)42612 -⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 03．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a_____0，b______0，|a|_____|b|.03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0【知识点二：除法运算】【例３】计算①(72)(18)-÷- ②11(2)3÷- ③13()()1025-÷ ④0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：①(72)(18)72184-÷-=÷= ②17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=- ③131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ④0(7)0÷-=【变式题组】 01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯ ⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯【知识点三：乘方运算】【例4】计算（1）323-； （2）()524-- （3）()()2332---； （4） －34÷241×(－32)2． 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：（1）原式= （2）原式=（3）原式= （4）原式=【变式题组】（1）8十(－3)2×（-2）3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⨯-)95()32()3()2(22（3） 332)3()31()1(-⨯--- （4）已知223(2),1x y =-=- 求2008xy 的值；解：∵223(2),1x y =-=- x=2或x=-2 y=-1⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-=当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-【知识点四：有理数的混合运算】【例５】计算[]24)3(23)5.01(1--⨯÷--- 【解法指导】先算乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。

有理数的加减乘除乘方运算一．加减运算 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. .有理数加法运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 加减混合运算技巧：把符号相同的加数相结合； 把和为整数的加数相结合；把分母相同或便于通分的加数相结合； 既有小数又有分数的运算要统一后再结合； 把带分数拆分后再结合； 分组结合； 先拆项后结合. 例题： 1.计算：（1）4+（﹣6）； （2）（﹣116）+（-23）；()a b a b -=+-a b b a +=+()()a b c a b c ++=++（3）-2-（﹣3.5）； （4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.2.计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5； （2）(−478)−(−512)+(−414)−(+3178)；（3）−200956−(+200823)−(−401834)+(−112)；（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）. 练习： 1．计算：（1）（﹣61）﹣（﹣71）﹣|﹣8|． （2）3﹣[（﹣3）﹣（+12）]．（3）2.75﹣（﹣3）﹣（+0.5）+（﹣7）．2．计算：（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）1+（﹣2）+|﹣2|﹣5；（3）﹣5﹣（+11）+； （4）．二． 乘除运算有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 多个有理数相乘：（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．00000ab ba（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.例题：1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；（3）11÷17×(−411)；（4）(−1.5)×45÷(−25)×34．2.计算：()()ab c a bc=()a b c ab ac+=+1（1）37×（﹣45）×712×58； （2）292324÷（﹣112）；（3）﹣5×（﹣115）+13×（﹣115）﹣3×（﹣115）.练习：1．﹣125×0.42÷（﹣7）2．观察下列解题过程． 计算：（﹣）÷（1﹣﹣）．解：原式=（﹣）÷1﹣（﹣）÷﹣（﹣）÷=（﹣）×﹣（﹣）×﹣（﹣）×=﹣+1+ =2你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．3．计算：（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3； （2）（﹣8）÷×（﹣1）÷（﹣9）． 三．乘方乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；（2）在中，叫做底数，叫做指数；（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂． 注意：，其底数为，；，其底数为，；，其底数为，； ，其底数为，； ，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算． 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写． 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方. 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 万，亿 . 例题：n n a n a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个n a a n n a a n n a a n a n ()224-=()2-()()()22224-=-⨯-=224-=-2()()222121224-=-⨯=-⨯⨯=-239=749⎛⎫⎪⎝⎭372333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭239=77323339777⨯==221391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51511010n a ⨯110a ≤<n n 101n -101410=810=1.一张纸的厚度为0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．2.若|x−2|+(y−2)2=0，则y x=__________．33.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；（2）用科学记数法表示出690000这个数；（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．练习：1．计算：﹣0.52+﹣|﹣22﹣4|﹣×．2．计算：﹣22×﹣27×﹣（﹣1）2015．3．﹣23+（﹣3）2﹣32×（﹣2）2．4．﹣22﹣（﹣3）3﹣（﹣2）﹣|﹣3|3．综合练习：1.若|a|=2，b=﹣3，c 是最大的负整数，a+b ﹣c 的值为_______．2.2.5+（﹣214）﹣1.75+（﹣12）=____．3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n 次后剩下的绳子的长度是_______ 米．5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．6.计算：（﹣0.5）+|0﹣614|﹣（﹣712）﹣（﹣4.75）．7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15． （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）养护过程中，最远处离出发点有多远？（3）若汽车行驶每千米耗油量为a 升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 8.计算下列各式：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （2）91819×15；（3）﹣100×18﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y 的平方等于它本身，求m 的值.。

有理数的乘除与乘方一、课堂目标1．理解有理数的乘除运算法则，会用法则及运算律进行计算．2．理解有理数乘方的概念，会结合有理数的四则运算法则进行混合运算．【备注】【目标解读】a.关联知识：有理数是整个初中数学知识的基础，有理数的概念及运算，直接影响后期式的运算、方程运算、函数运算的学习．b.本讲解读： 本讲重点内容是理解有理数乘除的运算法则，并能应用法则计算．难点是熟练准确的进行有理数乘除、乘方计算．c.能力素养：培养学生数感、运算能力．二、知识引入小学我们学过正数和0之间的四则运算，比如我们会计算 、、、、、 等等这样的算式；进入初中，正负数的引入导致了数系的扩充、因此初中的计算要分为两部分——符号与绝对值——进行讨论，所有的运算都要先定符号、再定数值；当我们遇到正数与负数、负数与0的四则运算，比如 、 等等，该如何定号和定值呢？【备注】【教法指导】上面的过渡语请教师先简单叙述、以便引出本节课要学习的内容，再进行后面的内容．通过小学的学习我们知道可以理解为（即个相加），所以；也知道可以理解为的相反数；那么完成下面填空：=__________=__________；__________=__________；__________=__________．填完空你发现有理数乘法计算过程中有什么规律吗？【备注】【教学建议】1、填空；；（可以理解成的相反数）．2、通过填空发现，两个正数相乘结果为正，两个负数相乘结果也是正；而一正一负两个数相乘结果为负．还可以在举几个类似的例子，带学生体会乘除的符号规律，有了这样的体会，就可以引入有理数乘法法则．三、知识讲解1. 有理数的乘法有理数乘法法则有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与 相乘，都得 ．【运算步骤】先确定积的符号，再求积的绝对值、即把两个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为 ．【推广】多个数相乘时，先确定积的符号：负因数有奇数个则积为负数、负因数有偶数个则积为正数，再求积的绝对值、即把每个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为 ．（简称：奇负偶正）【备注】【教学建议】请教师一定要强调运算步骤，并在后面的例题中详细展示：先写出积的符号、再写出绝对值相乘的算式、最后完成计算．经典例题1（1）（2）（3）（4）计算：．．．．【答案】（1）（2）（1）（2）（3）（4）【解析】【标注】（3）（4）．．．．【知识点】有理数乘法运算思路梳理知识点：1、2、 3、题目练习11.【标注】．【答案】 ; ;;【知识点】有理数乘法运算2.【解析】【标注】计算： ．【答案】．【知识点】有理数乘法运算（1）（2）3.填空：．（1）（2）【解析】【标注】 ．【答案】（1）（2）略．略．【知识点】有理数乘法运算4.【解析】【标注】【答案】; ; ; 略【知识点】有理数乘法运算（）有理数乘法运算律有理数乘法运算律（）乘法交换律：．（）乘法结合律：．（）乘法分配律：．【备注】【教学建议】1．交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数得位置，积相等．结合律：在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．分配律：有理数乘法中，一个数同两个的和相乘，等于把这两个数分别同这两个数相乘，再把积相加．2．【知识拓展】乘法结合律可以推广到三个以上的数，如．【易错点津】。

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算丰富多彩。

前面我们已经学习了有理数的加法、减法、乘法和除法，今天，让我们一起来探索有理数运算中的另一个重要内容——有理数的乘方。

想象一下，一个正方形的边长是 2，它的面积是 4；如果边长变成 2 的 2 倍，也就是 4，面积就变成了 16。

那如果边长是 2 的 3 次、4 次呢？这就涉及到了乘方的概念。

二、乘方的定义乘方，简单来说，就是求几个相同因数的积的运算。

比如 2×2×2 可以写成 2³，读作“2 的 3 次方”或者“2 的 3 次幂”。

其中 2 叫做底数，3 叫做指数，而整个 2³叫做幂。

再举个例子，5×5×5×5 可以写成 5⁴，底数是 5，指数是 4。

乘方运算的结果叫做幂。

一个数可以看作这个数本身的一次方。

例如，5 可以写成 5¹，指数 1 通常省略不写。

三、乘方的符号法则在有理数的乘方运算中，符号的确定非常关键。

当底数是正数时，无论指数是多少，幂都是正数。

例如，3²＝ 9，3³＝ 27。

当底数是负数时，指数为偶数时，幂是正数；指数为奇数时，幂是负数。

比如，（－2)²＝ 4，（－2)³＝－8。

这是因为负数乘以负数等于正数，而负数乘以正数等于负数。

四、乘方的运算计算有理数的乘方，就是先确定符号，再进行数值计算。

例如，（－3)³，先确定符号，因为指数 3 是奇数，所以幂是负数。

然后计算数值，3³＝ 27，所以（－3)³＝－27。

再比如，（－2)⁴，指数 4 是偶数，所以幂是正数。

2⁴＝ 16，所以（－2)⁴＝ 16 。

五、乘方的应用有理数的乘方在实际生活中有很多应用。

比如在计算面积和体积时，如果边长或棱长是用乘方表示的，就需要用到乘方运算。

在计算机科学中，二进制的运算也常常涉及乘方。

课堂检测一、乘方运算：(-2 )2 (-0.2)3 -(-2)4 0100二、乘除运算：（1）(-1)÷(-1 ) （2）17÷(-51) ÷（3）-4×8×(-2.5) ×1.25 （4）25× -(-25)× +25×(- ) 三、混合运算：－－3××（－１）÷（－１）．第2讲：有理数乘、除、乘方运算【考纲要求】1 有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

任何数与零相乘仍得零。

几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数为奇数个时，积为负；当负因数为偶数个时，积为正。

2．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。

0没有倒数。

3．有理数的乘法运算律：乘法的交换律：；乘法的结合律：；乘法的分配律：4．有理数的除法法则：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不为0的数仍得0。

0不能作除数。

5．有理数的乘方：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

即a ×a ×a ×…×a ×a ＝a n ，其中a 叫做底数，n 叫做指数，a n 叫a 的n 次幂或a 的n 次方。

正数任何次幂都是正数;负数的奇次幂为负数,负数的偶次幂是正数.【教学重难点】有理数的乘法法则，乘方法则，特别是几种乘方的形式【本讲命题方向】填空选择和计算题3~5%【典型题例精讲】【思维体验】1.有理数的乘法:【例1】计算:⑴ 计算()23⨯-的结果是（ ）（A ）6 （B ）6- （C ）1- （D ）5（2）(-41)×32 （3）1125×0.8（4）21×(-21)×31×(-31)×0 （5）0a c b <<<，则abc 与0的大小关系是（ ）．(A) 0abc < （B ）0abc = （C ）0abc > （D ）无法确定【例2】运用简便方法计算:⑴ -4×8×(-2.5) ×1.25 （2）25×43-(-25)×21+25×(-41)【变式训练】（1）( -41+61+81-121) ×(-24) （1）.211⨯+321⨯ +431⨯+ (201420131)【反思与小结】有理数相乘,先决定积的符号,再把绝对值相乘;带分数应先化成假分数;能约分的一定要约分.还要注意观察算式的结构,合理选用运算律.2.有理数的除法:【例3】1. 3-的倒数是（ ）．（A ）3- （B ）13- （C ）3 （D ）13－6的倒数是( )A ．6B ．－6C ．D ．－ 2.计算:⑴(-64)÷(-16) ⑵ (-274)÷92⑶(-1)÷(-131) ⑷17÷(-51) ÷21【变式训练】1.-0.25÷(-32)× (-152) 2. (31-215-143-72)÷(-421)【反思与小结】若被除式为和的形式(如上题3)可用乘法分配律简化运算. 3.有理数的乘方【例4】把下列各式写成乘方的形式: ⑴(-3)×(-3)×(-3)×(-3)⑵(-3.2) ×(-3.2) ×(-3.2) ×(-3.2)【例5】 1.计算：(-221)2 (-0.2)3 -(-2)4 0100 (-1)2n (n 为正整数) (-1)2n+1 (n 为正整数)【 例6】计算：（１）102， 103， 104， 105；（2）（－10）2， （－10）3， （－10）4， （－10）5； 1616（3）0.12 ，0.13 ，0.14 ，0.15 ；（4）（－0.1）2 ，（－0.1）3 ，（－0.1）4，（－0.1）5； 变式训练;1. （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2.下列计算正确的是（ ）（A ）880--=（） （B ）1212⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭（） （C ）011--=（） （D ）22-=- 3. 计算： 312(5)232⨯-+-÷． 4. ()()0332011422---+÷-【 例7 】计算下列各组式子（１）（—2）3 —23 —（—2）3（２）（—4）4 —44 —（—4）4（３）（—32）2 —（32）2 —322 3)2(2- 23)2(- （４）—（—0.25）4 （—412）3 —（—1.125）3【例8】 8m 长的木棒,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,如此截下去,第七次后剩下的木棒有多长?【变式训练】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合 在一起拉伸，再捏合,再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面 条．如下面的草图所示：这样捏合到第 次后可拉出128根细面条． 【基础限时训练】1.选择题: ⑴下列各数()2)2(,)2(,232--------中，负数的个数为（ ）()23--=3-39-9……A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 ⑵2012的倒数是（ ） （A ）12012 （B ） 12012- （C ） 2012 （D ）2012-2.填空题: ⑴22-的倒数等于⑵若a 与2互为相反数，则2a +等于⑶|2|--的倒数是 ⑷如果2a =，3b =，那么2a b 的值等于 ．3.计算:⑴ -32-(-2)2⑵323+(-132)2 （3）3100-399（4计算02212(2)2⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭4.比较下列各对数的大小：221；－2 －21；3 31；－3 －31；0.1与它的倒数;0.03与它的倒数;…对有理数a,你能探索出它与a 1的大小关系吗?【拔高限时训练】1下列计算正确的是（ ）A ．－3+2=1 B.2×(－5)=－10 C. |－3|=－3 D.21=12.如果一个整数减去－6是正数，减去－4是负数，则这个数减去9等于（ ）A. －4B. 4C. －14D. 14二、填空题3.. 比较大小：－56 ____－674. －2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是____三、解答题5. 计算：111125434236-+-+6计算：316×（317－713）×619÷1121.7. 计算：［53－4×（－5）2－（－1）10］÷（－24－24+24）【课后作业】（20-30分钟做完）1.157116×（－8）. 2.（＋335）＋（＋434）－（＋125）＋（－334）.3. （145－256－815）×（+60） 4.－24－３×22×（31－１）÷（－１31）．。

第2讲有理数的乘除法及乘方第1部分重难点分析、知识图解1.学习目标：理解有理数的乘除法、乘方的运算法则，能进行有理数的乘除法以及乘方的运算，解决实际问题。

学习重难点：灵活运用有理数的乘除法、乘方的法则解决运算问题。

2.知识图解：图解1：有理数的两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值有理数乘法法则相乘；任何数与0相乘，积仍为0。

的乘法倒数如果两个有理数的乘积为1，这两个数互为倒数有理数的乘交换律：a×b=b×a；结合律:a×b×c=a×(b×c)；法运算律分配律：a×(b+c)=ab+bc图解2：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝有理数有理数的对值相除；0除以任何一个不为0的数都等于0的除法除法法则除以一个数，等于乘以这个数的倒数有理数除法的应用图解3：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，用“a n”乘方的意义表示，a叫做底数，n叫做指数，a n读作a的n次幂有理数乘方的符号正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，的乘方负数的偶次幂是正数乘方的运算法则根据乘方的意义，可把乘方运算转化为乘法运算第2部分 教材详解知识点一、有理数的乘法法则(1) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2) 任何数与0相乘，积仍为0注意：1.当乘数中有负数时,必须用括号括起来2.一个数乘以1等于它本身,乘以-1等于它的相反数 有理数乘法运算步骤:1.确定积的符号 2.确定绝对值 例1 （1)计算下列各题:（－13）×（－6） (+45) ×（+2） （＋132）×（－151）89×1 89×(-1) 0×(-8)（2）各举一例加以说明：①两个有理数的和为正数，积为负数，那么这两个有理数是什么数？②两个有理数的和为负数，积为负数，那么这两个有理数是什么数？ 变式训练1；1.0×(－m )=_______,m ·0=_______.2.(－31)×73=_______,(－163)×(－916)=_______. 3.(－5)×(151)=_______，x ·x 1=_______.知识点二、确定多个有理数乘积的符号a.多个均不为0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负。

星海学校2010秋季班第三讲 有理数3(乘、除、乘方)（七年级上）知识网络：1、有理数的乘法法则（1）：两数相乘，同号得 ，异号得 。

任何数与0相乘， 。

注意：两个有理数相乘时，先确定 的符号，再把 相乘，带分数相乘时，要先把带分数化成 ，分数与小数相乘时，要统一成 或 。

2、有理数的乘法法则（2）：①几个有理数相乘，积的符号由 的个数决定，当 有 个时积为正，当有 个时积为负，并把 相乘；②如果有一个因数为0，积是 。

3、乘法运算律：1）乘法交换律： ；2）乘法结合律 ；3）乘法分配律 ；4、除法法则：1）两个有理数相除， 得正, 得负，并把 相除；0除以任何非0数都得0。

（适用于整除）；2）除以一个数等于乘以这个数的 。

（适用于不能整除、分数小数的除法运算）注意：零不能作 。

5、互为倒数： ；1）正数的倒数是 ，负数的倒数是 ， 0 。

注意:(1)倒数是它本身的数有：1和－1． (2)互为倒数的两个数的特征:①乘积为1； ②符号相同2）倒数的求法：整数 ；分数 ；小数 ；6、乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，记作an ，即a ×a ×a ×…×a=a n 这种运算就是乘方，它的运算结果叫_____，a 叫_____，n 叫_____ a n 读作____ _（或___ ___）7、乘方运算的符号规律：正数的任何次幂都是_______；负数的_______是正数，负数的_______是负数；0的任何次方是_______；1的任何次方是_______；—1的_______次方是_______，_______次方是_______；10n （n 为正整数）结果中的“0”的个数为_______。

8、规律：当底数大于1且指数相同时，底数越大幂越_______；底数相同时，指数越大幂越_______。

当底数大于0小于1且指数相同时，底数越大幂越_______；底数相同时，指数越大幂越_______。

有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。

（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。

积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。

（4）乘法交换律_________________________________________。

乘法结合律_________________________________________。

乘法对加法的分配律_________________________________。

【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。

第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯-【变式题组】01．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴ (72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷-【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】若实数a 、b 满足0a b a b+=，则ab ab ＝___________.【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴ 2008xy的值； ⑵求32008x y的值.【变式题组】01．若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【变式题组】01．武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小. 14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值. 15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.。

《有理数的加减乘除及乘方运算(教师版)》有理数的加减乘除及乘方运算学生姓名年级初一学科数学授课教师日期时段核心内容有理数的四则运算以及乘方运算课型一对一/一对N教学目标1、掌握有理数的加法法则，减法法则，乘法法则，除法法则；2、灵活运用加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律；3、正确理解乘方的意义，掌握乘方的符号规律；4、注意混合运算的顺序。

重、难点1、有理数的符号问题；2、有理数的四则运算法则的应用与准确度问题；3、正确理解乘方的底数、指数的概念，并合理运算。

课首沟通1、了解学生最近对所学的内容的掌握程度以及遇到的困难并进行解决。

2、对以前学生计算出现的典型错误再次强调。

3、了解学生的作业的完成情况。

知识导图课首小测1、下列运算中，正确的是（）A.（+6）+（-13）=+7B.（+6）+（-13）=-19C.（+9.05）+（-9.05）=18.1D.0.5+（-2.5）=2 【参考答案】D2、如果两个数的和是负数，那么（）A.这两个数都是负数B.这两个数中，一个为负数，一个为零C.一个数为正数，一个数为负数，并且负数的绝对值大于正数的绝对值D.以上三种情形都有可能存在 【参考答案】D3、把-1+（-2）-（+3）去括号后的结果是（）A.-1+2+3B.-1-1+3C.-1-2-3D.-1+2-3【参考答案】C4、若家用电冰箱冷藏室的温度是2℃，冷冻室的温度是-6℃，则冷藏室与冷冻室的温度相差（）A.3℃B.4℃C.8℃D.12℃ 【参考答案】C5、如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（）A 、符号相反B 、符号相反，绝对值相等C 、符号相反，且负数的绝对值较大D 、符号相反，且正数的绝对值较大 【参考答案】D【解析】两个有理数之积小于零，说明两数一正一负，其和大于零，说明正数的绝对值较大。

6、绝对值不大于4的所有整数的积等于（）A 、24B 、36C 、-36D 、0 【参考答案】D7、下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A 、2332和 B 、()3333--和C 、()2222--和 D 、323233-⎪⎭⎫⎝⎛-和【参考答案】B8、已知两个数的商是-3，被除数是212，则除数是。

《有理数的乘方》讲义一、引入在数学的奇妙世界里，我们经常会遇到各种各样的运算。

加、减、乘、除是我们熟悉的基本运算，而今天，我们要一起探索一种新的运算——有理数的乘方。

想象一下，你有一堆相同的数字，想要快速表示它们连乘的结果，乘方就是一个非常简洁有效的工具。

二、什么是有理数的乘方乘方的定义很简单：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

比如，2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³这个整体就叫做幂。

再举个例子，（－3)×（－3)×（－3)×（－3)可以写成（－3)⁴，这里－3 是底数，4 是指数。

要特别注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，比如 5×5 写成 5²，而 5×1 就直接写成 5 。

三、有理数乘方的运算规则（一）正数的乘方正数的任何次幂都是正数。

例如，3²＝ 9，3³＝ 27 ，不管指数是多少，只要底数是正数，结果都是正数。

（二）负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如，（－2)³＝－8 ，因为 3 是奇数，所以结果为负数；而（－2)⁴＝ 16 ，因为 4 是偶数，结果为正数。

（三）零的乘方0 的任何正整数次幂都是 0 。

这是因为 0 乘以任何数都等于 0 。

四、有理数乘方的运算在进行有理数乘方运算时，我们要先确定底数和指数，然后按照运算规则进行计算。

例如，计算 2³，就是 2×2×2 ＝ 8 ；计算（－4)²，就是（－4)×（－4) ＝ 16 。

对于较复杂的式子，比如（－2)³＋ 3²，我们要分别计算出乘方的结果，再进行加减运算。

（－2)³＝－8 ，3²＝ 9 ，所以（－2)³＋ 3²＝－8 ＋ 9 ＝ 1 。

有理数的乘除法讲义有理数的乘除法讲义一、有理数乘法法则有理数乘法法则可以概括为以下几条：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为零。

数字处理是在符号确定后进行的。

不要与加法法则混为一谈，错误理解为“同号取原来的符号”，如把(-2)×(-3)错误的做成“取原来的符号‘-’”，再把绝对值相乘，得-6.2.任何数与零相乘，都得零。

3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正。

此法则是法则1的推广，它告诉我们进行多个有理数相乘运算时，首先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘。

例如，(-3)(-2)(-8)，负因数的个数是3，为奇数，所以积为负，因此，(-3)(-2)(-8)=-3×2×8=-48；又如，(-3)(-2)(+8)，负因数的个数是2，为偶数，所以积为正，因此，(-3)(-2)(+8)=3×2×8=48.显然法则1是法则3的特殊情形。

注意：多个不为零的数相乘，先确定结果的符号，再算出结果的绝对值。

4.任何数乘以-1得它的相反数。

5.几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

此法则是法则2的推广，用字母可简单表示为：a×b×0=0.如(-28)×(-78)×0×91=0.二、倒数与负倒数有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。

乘积是-1的两个数互为负倒数。

既数a的倒数为1/a，负倒数为-1/a。

三、有理数运算规律：1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

乘法交换律可用字母简单表示为：ab=ba。

2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

乘法结合律可以用组合简单表示为：abc=(ab)c=a(bc)。

乘法交换律和结合律可以推广为：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个数相乘，积都不变。

全方位教学辅导教案时间：2019 年 9 月材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如b a 和a b ，即若设a:b=x ，则xa b 1=÷； 材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc ； 利用上述材料，请用简便方法计算：)1214131()601(+-÷-.有理数的乘方一.方法点拨“奇负偶正”口诀的应用类型(1)多重符号的化简:奇偶是指这个数前面的“-”的个数,正、负是指这个数的符号例如-[-(-5)]=-5,-[+(-5)]=5(2)有理数的乘法:当多个非零的有理数相乘时,这里的奇、偶是指因数中负因数的个数;正、负是指结果中积的符号.例如(-3)×(-2)×(-6)=-36,(-3)×(-2)×6=36.(3)有理数的乘方:这里奇、偶是指指数的奇、偶;正、负是指幂的符号.例如(-3)2=9,(-3)3 =-27.例6：计算：(1)(-3)2， (-3)3， ［-(-3)］5；(2)-32， -33， -(-3)5；结论：①.当0a >时，0na >； ②.当0a <时，20na>，210n a -<；③.当0a =时，0na =； ④当a 是任意有理数时，20na ≥.⑤()22nn a a =- ；()2121n n a a --=--例7．当a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：(1)、(a+b)2； (2)、a 2-b 2+c 2；(3)、(-a+b-c)2； (4)、a 2+2ab+b 2．21342+==21357164+++==2、某种细胞，每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个分裂成多少个？ 培优例题例8、（1）填空：21﹣20=2（ ），22﹣21=2（ ），23﹣22=2（ ）…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）运用上述规律计算：20﹣21﹣22﹣…﹣22017+22018。

有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。

（2）任何数字同0相乘，都得0。

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做______。

3.乘方 求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。

参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。

【答案】原式=（-27）×（-37） 【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】 （1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。

【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。