中考数学几何探究类压轴题解题技巧及中考真题模拟题汇编

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

中考压轴题之几何探究型解题技巧一、旋转引辅助线法：方法技巧：旋转引辅助线法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转到另一位置的一种引辅助线方法。

旋转法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。

旋转法常用于等腰三角形、等边三角形、及正方形等具有相等边的图形中。

旋转时要注意确定旋转中心，旋转方向及旋转角度的大小。

经典真题：1、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF ＝BE＋FD成立；（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；解：（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC 到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.解：2、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．3、请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；图（1）（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.二、与中点有关的辅助线的添加方法Q PF E DC B A 方法技巧：①有中线，可延长；②作斜边中线，利用斜边中线性质证题；③有中点，造中位；④有底中点，连中线（造中垂）；⑤倍长中线法造全等三角形；⑥等边三角形三边中点连线造等边三角形。

九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。

中考28汇编1．如图，在四边ABCD 中，BC=DC ，∠BAD+∠BCD=180°，AC ⊥BC ，O 是AB 的中点 （1） 如图1，求证：∠OCD=∠OBC（2） 如图2，E 是AC 上一点，连接OE 并延长交AD 于点F ，连接BD ，分别交AC 、OC 于点M 、N ，若∠FOC=3∠CBD ，BN DM 76，试探究线段OE 和EF 之间的数量关系，并证明你的结论。

DCAO NMFEDCBA（图1）（图2）2．△ABC ，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AD 上，∠CEB=90°，∠CED=∠CBA ，CE 的延长线交AB 于点F ，连接DF 。

（1） 如图1，求证：∠EFD=∠DBE ； （2） 如图2，若32cos =∠CAB ，DF 与BE 交于点G ，猜想GF 与DB 之间的数量关系并证明。

FEDCBAGFEDCBA（图1）（图2）3．已知，如图1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE与AB 相交于点F，AB与CD相交于点O，连接BE（1）求证：F为CE中点；（2）如图2，过点D作DG⊥BE于G，连接AE交DG于点H，连接HF，请探究线段HF与BC 之间的数量及位置关系，并证明你的结论。

OF EDC B A（图1）OGHFEDC BA（图2）4如图在四边形ABCD 中，连结BD 、AC 相交于F ，AB=BC ，AD=DE=DC ，∠ABC+∠EDC=180°，且AB AE AD ⋅=2。

（1） 如图1，求证：∠ADE=2∠DCA ；（2） 如图2，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，交AC 于点G ，连结EC 交BD 于点P ，交BH 于点Q ，若31tan =∠ACD ，试探究线段PE 与PQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

PG H QFEDCBAFEDCBA（图1）（图2）5．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，54sin =B ，作CH ⊥AB 于点H ，D 、K 分别为边AB 、AC 上的点，连接CD 、DK ，在射线DK 上取一点E ，使∠DCE=∠B ，且CE CD CK BC ⋅=⋅54。

专题04 几何压轴题1．（2021•广州）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB =，点E 为边AB 上一个动点，延长BA 到点F ，使AF AE =，且CF 、DE 相交于点G ．（1）当点E 运动到AB 中点时，证明：四边形DFEC 是平行四边形；（2）当2CG =时，求AE 的长；（3）当点E 从点A 开始向右运动到点B 时，求点G 运动路径的长度．【答案】（1）见解析；（2）34；（3）273【详解】（1）连接DF ，CE ，如图所示：，E 为AB 中点，12AE AF AB ∴==， EF AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，//EF CD ∴，EF AB CD ==，∴四边形DFEC 是平行四边形．（2）作CH BH ⊥，设AE FA m ==，如图所示，，四边形ABCD 是菱形，//CD EF ∴，CDG FEG ∴∆∆∽， ∴CD EF CG FG =， 2FG m ∴=， 在Rt CBH ∆中，60CBH ∠=︒，2BC =， sin 60CH BC ︒=，3CH =， cos60BH BC︒=，1BH =， 在Rt CFH ∆中，22CF m =+，3CH =，3FH m =+，222CF CH FH =+，即(22)2(3)2(3)2m m +=++，整理得：32280m m +-=，解得：143m =，22m =-（舍去）， ∴43AE =． （3）G 点轨迹为线段AG ，证明：如图，（此图仅作为证明AG 轨迹用），延长线段AG 交CD 于H ，作HM AB ⊥于M ，作DN AB ⊥于N ，四边形ABCD 是菱形，//BF CD ∴，DHG EGA ∴∆∆∽，HGC AGF ∆∆∽，∴AE AG DH HG =，AF AG HC HG =， ∴AE AF DH CH=， AE AF =，1DH CH ∴==，在Rt ADN ∆中，2AD =，60DAB ∠=︒．sin 60DN AD ∴︒=，3DN =．cos60AN AD ︒=，1AN =， 在Rt AHM ∆中，3HM DN ==，2AM AN NM AN DH =+=+=，3tan 2HAM ∠=， G 点轨迹为线段AG ．G ∴点轨迹是线段AG ．如图所示，作GH AB ⊥，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2AB =，//CD BF ∴，2BD =，CDG FBG ∴∆∆∽，∴CD DG BF BG=，即2BG DG =， 2BG DG BD +==，43BG ∴=， 在Rt GHB ∆中，43BG =，60DBA ∠=︒， sin 60GH BG ︒=，233GH =， cos60BH BG ︒=，23BH =， 在Rt AHG ∆中，24233AH =-=，233GH =， 423282()2()2339AG =+=， 273AG ∴=． G ∴点路径长度为273． 2．（2019•广州）如图，等边ABC ∆中，6AB =，点D 在BC 上，4BD =，点E 为边AC 上一动点（不与点C 重合），CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆．（1）当点F 在AC 上时，求证：//DF AB ；（2）设ACD ∆的面积为1S ，ABF ∆的面积为2S ，记12S S S =-，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B ，F ，E 三点共线时．求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）713- 【详解】（1）ABC ∆是等边三角形 60A B C ∴∠=∠=∠=︒ 由折叠可知：DF DC =，且点F 在AC 上60DFC C ∴∠=∠=︒DFC A ∴∠=∠//DF AB ∴；（2）存在，过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，6AB BC ==，4BD =，2CD ∴=2DF ∴=，∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，且在ABC ∆内部，∴当点F 在DM 上时，ABF S ∆最小，4BD =，DM AB ⊥，60ABC ∠=︒23MD ∴=ABF S ∆∴的最小值16(232)6362=⨯⨯-=- ()12336363362S ∴=⨯⨯--=-+最大值 （3）如图，过点D 作DG EF ⊥于点G ，过点E 作EH CD ⊥于点H ，CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆2DF DC ∴==，60EFD C ∠=∠=︒GD EF ⊥，60EFD ∠=︒1FG ∴=，33DG FG == 222BD BG DG =+， 2163(1)BF ∴=++，131BF ∴=-13BG ∴=EH BC ⊥，60C ∠=︒2EC CH ∴=，332EH HC EC == GBD EBH ∠=∠，90BGD BHE ∠=∠=︒BGD BHE ∴∆∆∽∴DG EH BG BH= ∴3321362EC EC =- 131EC ∴=-713AE AC EC ∴=-=-3．（2021•广州模拟）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =．（1）求A C ∠+∠的度数；（2）连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若1AB =，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AE BE CE =+，求点E 运动路径的长度．π【答案】（1）︒270；（2）见解析；（3）3【详解】（1）如图1中，在四边形ABCD中，360D∠=︒，30∠=︒，BA B C D∠+∠+∠+∠=︒，60∴∠+∠=︒-︒-︒=︒．3606030270A C（2）如图2中，结论：222=+．DB DA DC理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ∆．∠=∠=︒，60ABC DBQ∴∠=∠，ABD CBQ=，=，DB BQAB BCABD CBQ SAS∴∆≅∆，()∴=，A BCQ∠=∠，AD CQ∠+∠=∠+∠=︒，A BCD BCQ BCD270∴∠=︒，DCQ90222∴=+，DQ DC CQ=，DQ DB=，CQ DA222∴=+．DB DA DC（3）如图3中，连接AC，将ACE∆，连接RE．∆绕点A顺时针旋转60︒得到ABR则AER ∆是等边三角形，222EA EB EC =+，EA RE =，EC RB =，222RE RB EB ∴=+，90EBR ∴∠=︒，150RAE RBE ∴∠+∠=︒，210ARB AEB AEC AEB ∴∠+∠=∠+∠=︒，150BEC ∴∠=︒，∴点E 的运动轨迹在O 为圆心的圆上，在O 上取一点K ，连接KB ，KC ，OB ，OC ， 180K BEC ∠+∠=︒，30K ∴∠=︒，60BOC ∠=︒，OB OC =，OBC ∴∆是等边三角形，1OB OC BC ∴===，∴点E 的运动路径6011803ππ==． 4．（2021•天河区一模）如图，ABC ∆中，120BAC ∠︒，AB AC =，点A 关于直线BC 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）求证：四边形ABDC 是菱形；（2）延长CA 到E ，使得AB BE =．求证：22BC AC CE AC -⋅=；（3）在（2）小题条件下，可知E ，B ，D ，C 四点在同一个圆上，设其半径为a （定值），若BC kAB =，问k 取何值时，BE CE ⋅的值最大？【答案】见解析；【详解】（1）证明：如图1，连接AD ，交BC 于O ，A ，D 关于直线BC 对称，AD BC ∴⊥，OA OD =，AB AC =，OB OC ∴=，∴四边形ABDC 是菱形；（2）证明：解法一：如图2，延长AE 到F ，使EF BE =，连接BF ，AB BE =，AB BD CD AC BE EF ∴=====，BE CE EF CE CF ∴+=+=，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，同理得EBF F ∠=∠，BAE BEA ∠=∠，BAE ABC ACB ∠=∠+∠，BEA EBF F ∠=∠+∠，ABC ACB EBF F ∴∠=∠=∠=∠，ABC BFC ∴∆∆∽， ∴BC AC CF BC =， 2()()BC AC CF AC CE EF AC CE AC ∴=⋅=⋅+=⋅+，即22BC AC CE AC -⋅=；解法二：如图3，过点B 作BP CE ⊥于P ，AB BE =，AP EP ∴=，且AB AC BE ==，Rt BPC ∆中，222BC BP CP =+，在Rt BPA ∆中，222BA BP AP =+，2222222222()()BC AC BC AB BP CP BP AP CP AP ∴-=-=+-+=-，22()()()CP AP CP AP CP AP CP EP AC CE AC -=+-=+⋅=⋅，22BC AC CE AC ∴-=⋅，即22BC AC CE AC -⋅=；（3）解：如图4，连接AD 交BC 于M ，作CD 的垂直平分线交DA 的延长线于G ，连接CG ，由题意得：CG DG a ==，设DM x =，则GM a x =-，120BAC ∠︒，∴当120BAC ∠=︒时，如图5，ABD ∆和ADC ∆是等边三角形，AB AD AC ∴==，∴当点A 为圆心，即点A 与G 重合，此时1cos602x CD a =⋅︒=， 02a x ∴<， 四边形ABCD 是菱形，BC AD ∴⊥，2BC CM =，由勾股定理得：2222()2CM a a x x ax =--=-+，22222CD x x ax ax =-+=，222448BC CM x ax ∴==-+，222BE CD ax ==，由22BC AC CE AC -⋅=，得2222222239482464()44BE CE BC AC BC BE x ax ax x ax x a a ⋅=-=-=-+-=-+=--+， 02a x<， ∴当12x a =时，BE CE ⋅有最大值，此时223BC a =，222AB BE a ==， 故223BC AB =，所以3BC AB =，故3k =时，BE CE ⋅的值最大．5．（2021•越秀区一模）如图，在四边形ABCD 中，90A ADC ∠=∠=︒，10AB AD ==，15CD =，点E ，F 分别为线段AB ，CD 上的动点，连接EF ，过点D 作DG ⊥直线EF ，垂足为G ．点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，当点E 运动到点A 时，E ，F 同时停止运动，设点E 的运动时间为t 秒．（1）求BC 的长；（2）当GE GD =时，求AE 的长；（3）当t 为何值时，CG 取最小值？请说明理由．【答案】（1）55；（2）52；（3）见解析【详解】（1）如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则四边形ADHB 是矩形，10AB =，15CD =，5CH ∴=，又10BH AD ==， 222210555BC BH CH ∴=+=+=； （2）过点G 作MN AB ⊥，如图2，//AB CD ，MN CD ∴⊥，DG EF ⊥，EG DG =，()EMG GND AAS ∴∆≅∆，MG DN ∴=，设DN a =，GN b =，则MG a =，ME b =，点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，2BE t ∴=，102AE t =-，3DF t =，153CF t =-，AM DN =，AD MN =，10a b ∴+=，102a b t -=-，解得10a t =-，b t =，DG EF ⊥，GN DF ⊥，DGN GFN ∴∆∆∽，∴GN NF DN GN=， 2GN DN NF ∴=⋅，2210GN t NF DN t ∴==-， 又DF DN NF =+， 231010t t t t ∴=-+-， 解得55t =±，又03t ，55t ∴=-，10225AE t ∴=-=．（3）如图3，连接BD ，交EF 于点K ，//BE DF ，BEK DFK ∴∆∆∽，∴2233BK BE t DK DF t ===， 又10AB AD ==， 2102BD AB ∴==，3625DK BD ∴==， 取DK 的中点，连接OG ，DG EF ⊥，DGK ∴∆为直角三角形，1322OG DK ∴==， ∴点G 在以O 为圆心，32r =的圆弧上运动，连接OC ，OG ，由图可知CG OC OG -，当点G 在线段OC 上时取等号，AD AB =，90A ∠=︒，45ADB ∴∠=︒，45ODC ∴∠=︒，过点O 作OH DC ⊥于点H ， 又32OD =，15CD =， 3OH DH ∴==， 12CH ∴=， 22317OC OH CH ∴=+=，则CG 的最小值为3(172)-，当O ，G ，C 三点共线时，过点O 作直线OR DG ⊥交CD 于点S ， OD OG =，R ∴为DG 的中点，又DG GF ⊥，//OS GF ∴，∴点S 是DF 的中点，OC SC OG SF=， 32DS SF t ∴==，3152SC t =-， ∴31531723322t t -=， 23443t -∴=， 即当23443t -=时，CG 取得最小值为31732-． 6．（2021•天河区二模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，点E 是边AB 上的一点，点F 是边BC 延长线上的一点，且2AE CF =．连接AC ，交EF 于点O ，过E 作EP AC ⊥，垂足为P ．（1）求证：DAE DCF ∆∆∽；（2）求证：OP 长为定值；（3）记AC 与DE 的交点为Q ，当14PQ OP =时，直接写出此时AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6525- 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，4AB CD ==，90DAE DCB ∠=∠=︒， 90DCF ∴∠=︒， DAE DCF ∴∠=∠，2AE CF =，8AD BC ==，∴2AE AD CF CD==， DAE DCF ∴∆∆∽；（2）证明：如图1，过点E 作//EG BC ，交AC 于点G ，90AEG B ∴∠=∠=︒，AGE ACB ∠=∠，EOG FOC ∆∆∽，在Rt ABC ∆中，4AB =，8BC =，224845AC ∴=+=，EP AC ⊥，90AEP BAC ∴∠+∠=︒，90CAD BAC ∠+∠=︒，AEP CAD ∴∠=∠，1tan tan tan tan 2CAD ACB AGE AEP ∴∠=∠=∠=∠=，即12CD AE AP PE AD EG EP PG ====， 2EG AE ∴=，2AE CF =，4EG CF ∴=，设(0)AP m m =>，(0)OC n n =>，则2PE m =，4PG m =，EOG FOC ∆∆∽，∴4EG OG CF OC==， 44OG OC n ∴==，4445AC AP PG OG OC m m n n ∴=+++=+++=，455m n ∴+=，165445OP PG OG m n ∴=+=+=， 所以OP 是一个定值；（3）如图2，11165454455PQ OP ==⨯=，由（2）知：(0)AP m m =>，5AE m =，//AE CD ，AEQ CDQ ∴∆∆∽，∴AE AQ CD CQ=， ∴4555445455m m m +=--，解得：6525m =±， 054m <<，4505m ∴<<， 6525AP ∴=-． 7．（2021•白云区一模）不在射线DA 上的点P 是边长为2的正方形ABCD 外一点(P 在AB 左侧），且满足45APB ∠=︒，以AP ，AD 为邻边作APQD ．（1）如图，若点P 在射线CB 上，请用尺规补全图形；（2）若点P 不在射线CB 上，求PAQ ∠的度数；（3）设AQ 与PD 交点为O ，当APO ∆的面积最大时，求tan ADO ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）︒45；（3）123+ 【详解】（1）如图1，以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线CB 于点P ，连接BD ，//AD PB ，AD AB PB ==，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴点Q 与点B 重合．（2）如图2，连接QA ，QC ，QB ，BD ，四边形APQD 是平行四边形，AP DQ ∴=，//PQ AD ，//AP QD ，180PAD ADQ ∴∠+∠=︒，90PAB ADQ ∴∠=︒-∠，90PAB ADQ QDC ∴∠=︒-∠=∠，又AP QD =，AB CD =，()PAB QDC SAS ∴∆≅∆，45APB DQC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45ABD DBC ∴∠=∠=︒，45CQD CBD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点C ，点D ，点Q 四点共圆，90BCD BQD ∴∠=∠=︒，90BQD BAD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点D ，点A ，点Q 四点共圆，45AQD ABD ∴∠=∠=︒，//AP QD ，45PAQ AQD ∴∠=∠=︒；（3）四边形APQD 是平行四边形， 14APO APQD S S ∆∴=， ∴当APQD 的面积最大时，APO ∆的面积取最大值，APQD S AD =⨯点P 到AD 的距离，∴当点P 到AD 的距离最大时，APQD 的面积最大，如图3，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABE ，以E 为圆心，AE 为半径作ABP ∆的外接圆，延长CB 交E 于H ，过点E 作FE BH ⊥，交E 于P ，交DA 的延长线于F ，此时点P 到AD 的距离最大，EA EB =，90AEB ∠=︒，2AB =，45EAB ∴∠=︒，2AE =，45EAF ∴∠=︒，EF AF ⊥，45EAF FEA ∴∠=∠=︒，1AF EF ∴==，12PF ∴=+，()212APQD S AD PF ∴=⋅=⨯+最大，12142APQD APO S S ∆+∴==最大， 12tan 3FP ADO DF +∴∠==． 8．（2021•番禺区一模）如图，ABC ∆中，120A ∠=︒，AB AC =，过点A 作AO AC ⊥交BC 于点O ．（1）求证：13BO BC =； （2）设AB k =．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA =．连接DP ，求CPD S ∆．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ 在点Q 运动过程中，求2AQ OQ +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①2318CPD S k ∆=，②k 【详解】（1）证明：120A ∠=︒，AB AC =，30B C ∴∠=∠=︒，AO AC ⊥，90OAC ∴∠=︒，30BAO ∠=︒，BO AO ∴=，12AO CO =， 12BO CO ∴=， 13BO BC ∴=； （2）①如图：AB k =，AC k ∴=，Rt AOC ∆中，tanOA C AC =， 33OA k OB ∴==， 30C ∠=︒，2323OC OA k ∴==， 33CP OC OP OC OA k ∴=-=-=， 2CD DA =，3k DA ∴=，23DC k =， Rt AOD ∆中，33tan 333kAD AOD OA k ∠===， 30AOD ∴∠=︒，18060AOC OAC C ∠=︒-∠-∠=︒，30AOD DOP ∴∠=∠=︒，又OA OP =，OD OD =，()AOD POD SAS ∴∆≅∆，90DPO OAD ∴∠=∠=︒，DA DP =，3k DP ∴=， 213218CPD S CP DP k ∆∴=⋅=； ②以A 为顶点，AB 为一边，在ABC ∆外部作30BAN ∠=︒，过Q 作QN AN ⊥于N ，过O 作OM AN ⊥于M ，连接OQ ，如图：在Rt AQN ∆中，30BAN ∠=︒，12NQ AQ ∴=， 122()2AQ OQ AQ OQ +=+， 2AQ OQ ∴+最小，即是12AQ OQ +最小，故NQ OQ +最小，此时ON AN ⊥，Q 与Q '重合，N 与M 重合，OM 长度即是12AQ OQ +的最小值， 而由①知：33OA k =，60OAM OAB BAM ∠=∠+∠=︒， Rt AOM ∆中，sin OM OAM OA ∠=， sin 6033OMk ∴︒=，2k OM ∴=， ∴12AQ OQ +的最小值为2k ， 2AQ OQ ∴+的最小值是k ．9．（2021•花都区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，16BC cm =．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接AE ，动点M ，N 分别从点A ，C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿AE 、CB 向终点E ，B 运动，是否存在某一时刻t 秒(010)t <<，使MNC ∆的面积S 有最大值？若存在，求S 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）如图，直线DE 即为所求作．（2）过点M 作MH EC ⊥于H ． DE 垂直平分线段AB ，EA EB ∴=，设EA EB x ==cm ，则(16)EC x cm =-，在Rt ACE ∆中，222AE AC EC =+，2228(16)x x ∴=+-，解得10x =，//MH AC ， ∴EM MH EA AC =， ∴10108t MH -=， 4(10)5MH t ∴=-， 2214225(10)2()1025552MNC S t t t t t ∆∴=⨯⨯-=-+=--+， 502-<， 52t ∴=时，MNC ∆的面积最大，最大值为10． 10．（2021•越秀区校级二模）已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 是AB 的中点，P 是平面上的一点，且1DP =，连接CP（1）如图，当点P 在线段BD 上时，求CP 的长；（2）当BPC ∆是等腰三角形时，求CP 的长；（3）将点B 绕点P 顺时针旋转90︒得到点B '，连接AB '，求AB '的最大值．【答案】（1）3；（2）①13，②42+ 【详解】（1）如图1中，连接CD ．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=，AD DB =，1222CD AB ∴==，CD AB ⊥， 在Rt CDP ∆中，223PC PD CD =+=．（2）如图2中，1DP =，∴点P 在以点D 为圆心的D 上．①当PB PC =时，CD DB =，P ∴、D 都在线段BC 的垂直平分线上，设直线DP 交BC 于E ．90PEC ∴∠=︒，2BE CE ==，90CDB ∠=︒， 122DE BC CE ∴===， 在Rt PCE ∆中，22PC EC PE =+，当P 在线段PD 上时，1PE DE DP =-=，22125PC =+=，当P 在线段ED 的延长线上时，3PE ED DP =+=，223213PC =+=．②当PC BC =时，221PC CD PD BC +=+<，PC BC ∴≠，此种情形不存在；③当PB BC =时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接BB '．由旋转可知：PB PB ='，90BPB ∠'=︒，45PBB ∴∠'=︒，2BB PB ∴'=，∴2BB PB'=， AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，ABC PBB ∴∠=∠'，ABB CBP ∴∠'=∠， 4224BA BC ==， ∴BA BB BC PB '=， ∴BA BC BB PB ='， ABB CBP ∴∆'∆∽，∴2AB BA CP BC'==， 221PC CD DP +=+，∴点P 落在CD 的延长线与D 的交点处，PC 的值最大，2(221)42AB ∴'+=+．AB ∴'的最大值为42+．11．（2021•黄埔区二模）如图1，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，延长OD 到点G ，延长OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =，以OG ，OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）探究AG 与DE 的位置关系与数量关系，并证明；（2）固定正方形ABCD ，以点O 为旋转中心，将图1中的方形OEFG 逆时针转(0180)n n ︒<<得到正方形111OE F G ，如图2．①在旋转过程中，当190OAG ∠=︒时，求n 的值；②在旋转过程中，设点1E 到直线1AG 的距离为d ，着正方形ABCD 的边长为1，请直接写出d 的最大值与最小值，不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30n =；②见解析【详解】（1）AG DE ⊥，.AG DE =证明：如图1，延长ED 交AG 于点H ，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，OA OC OD ∴==，OA OD ⊥，90AOG DOE ∴∠=∠=︒，2OG OD =，2OE OC =，OG OE ∴=，在AOG ∆和DOE ∆中，OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOG DOE SAS ∴∆≅∆，AG DE ∴=，AGO DEO ∠=∠，90AGO GAO ∠+∠=︒，90GAO DEO ∴∠+∠=︒，90AHE ∴∠=︒，AG DE ∴⊥，故AG DE ⊥，AG DE =；（2）①在旋转过程中，190OAG ∠=︒有两种情况：（Ⅰ）n 由0增大到90过程中，当190OAG ∠=︒时，11122OA OD OG OG ===， ∴在1Rt OAG ∆中，11sin 2OA AG O OG ∠=='， 130AG O ∴∠=︒，OA OD ⊥，1OA AG ⊥，1//OD AG ∴，1130DOG AG O ∴∠=∠=︒，即30n =；（Ⅱ）n 由90增大到180过程中，当190OAG ∠=︒时，同理可求130BOG ∠=︒，118030150DOG ∴∠=︒-︒=︒，150n ∴=；综上所述，当190OAG ∠=︒时，30n =或150．②如图3，d 的最大值为116262222E H DE DH +=+=+=，如图4，d 的最小值为116262222E H DE DH -=-=-=． 理由如下：如图3、图4所示，连接11E G ，设直线1E D 交直线1AG 于H ，作正方形ABCD 的外接圆O ，仿照（1）的证明，可证得DE AG ⊥，即在旋转过程中，1190E HG ∠=︒保持不变，所以1d E H =． 在旋转过程中，1E H 的位置有以下两种情况：第一种情况，当1E H 在1OE G ∠内时，11145E G H OG A ∠=︒+∠，如图3所示，第二种情况：当1E H 在11OE G ∠外时，11145E G H OG A ∠=︒-∠，如图3所示， 1222OG OD BD AB ====，112E G ∴=．在Rt △11E HG 中，11111sin 2E H d E G H E G ∠==， 112sin d E G H ∴=∠， 所以，当11E G H ∠最大时，最大；当最小时，最小； 设点到的距离为，则， 由上式可知，当取最大值时，取最大值．在旋转过程中，当与相切，即时，取最大值．此时，取最大值，从而取最大值或最小值．由①可知，当时，，在（1）中，已证得，且，四边形为正方形，， ， 的最大值为， 的最小值为 d 11E G H ∠d O 1AG m 1sin 2m OG A OG ∠=m 1OG A ∠1E D O 190OAG ∠=︒m 1OG A ∠11E G H ∠190OAG ∠=︒130OG A ∠=︒11AOG DOE ∆≅∆90AHD ∠=︒∴AODH 22DH AO ∴==221126(2)()22DE AG ∴==-=d ∴116262E H DE DH +=+=d 116262E H DE DH -=-=12．（2021•从化区一模）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与点和点重合），连接，过点作交射线于点，连接，已知，，设的长为．（1）线段的最小值为 ． （2）如图，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度；（3）当点在运动的过程中：①试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由；②当为何值时，是等腰三角形？ABCD P AC C A PB P PF PB ⊥DA F BF 33AD =3CD =CP x PB P AC AP BF G FP H GH P FBP ∠FBP ∠x AFP ∆【答案】（1）；（2（3）见解析 【详解】（1）四边形是矩形，，，，，，，当时，最小，此时为斜边上的高，，即， ，； （2）如图：运动到的中点，，，中，， ， 是等边三角形，，又，，，，是的垂直平分线，3323GH ∴=ABCD 33AD =3CD =3AB CD ∴==33BC AD ==90ABC D ∠=∠=︒226AC AB BC ∴=+=BP AC ⊥BP BP Rt ABC ∆AC 1122ABC S AB BC AC BP ∆∴=⋅=⋅3336BP ⨯=⨯332BP ∴=P AC 6AC =3AP AB ∴==Rt ABC ∆tan 3BC BAC AB∠==60BAC ∴∠=︒ABP ∴∆3AB BP ∴==90BAF BPF ∠=∠=︒BF BF =()BAF BPF HL ∴∆≅∆AF PF ∴=BF ∴AP是中点，是中点，， 是等边三角形，是中点，， 在中，， 得， ， ； （3）①不会发生变化，，理由如下：过作于，交于，如图：，四边形是矩形，，，中，， ，中，， ，， ，， ，， 而，，G ∴AP H PF 12GH AF ∴=ABP ∆G AP 1302PBF PBA ∴∠=∠=︒Rt PBF ∆tan PF PBF BP ∠=tan303PF ∴︒=3PF 3AF ∴=32GH ∴=FBP ∠30FBP ∠=︒P MN AD ⊥M BC N MN AD ⊥ABCD MN BC ∴⊥3MN AB ==Rt ABC ∆3tan AB ACB BC ∠==30ACB ∴∠=︒Rt CPN ∆CP x =1sin302PN CP x ∴=⋅︒=3cos30CN CP x =⋅︒3332BN BC CN x ∴=-=-132PM MN PN x =-=-90BPF ∠=︒90FPM BPN PBN ∴∠=︒-∠=∠90PMF BNP ∠=∠=︒PMF BNP ∴∆∆∽， 在中，， ， ；②当在右侧时，过作于，交于，如图：由①知：，，，，， ， ， ， 中， 而，是等腰三角形，分三种情况：（一，则，解得（舍去）， （二，则，解得（大于6，舍去）或（此时，舍去），（三，则，解得或与重合，舍去）， 当在左侧时，如图： ∴13323332x PF PM BP BN x -===-Rt BPF ∆tan PF FBP BP∠=3tan 3FBP ∴∠=30FBP ∴∠=︒F A P MN AD ⊥M BC N PMF BNP ∆∆∽33PF BP =12PN x =333BN =132PM x =-∴3FM PN =36FM x ∴=23333AF AM FM BN FM x ∴=-=-=-Rt PFM ∆22222311()(3)39623PF FM PM x x x x =+=+-=-+6AP AC CP x =-=-AFP ∆)AP AF =263333x x -==33x =-)AP PF =216393x x x -=-+9x =92x =0AF =)AF PF =2213333933x x x -=-+3x =6(x P =A F A此时， 同理可得，综上所述，是等腰三角形，或．13．（2020•武汉模拟）在中，，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，若，求证：平分；（2）如图2，若，①求的值； ②连接，当的面积为．【答案】（1）见解析；（2）①773，② 【详解】（1）证明：连接， 由题意知，，，是等边三角形，，又，，，，平分；（2）解：①连接，作等边三角形的外接圆，23333AF FM AM x =-=-33x =AFP ∆3x =33x =ABC ∆120ABC ∠=︒AC C 60︒CD BD AB BC =BD ABC ∠2AB BC =BD AC AD 3ABC S ∆=ABCD 93AD 60ACD ∠=︒CA CD =ACD ∴∆CD AD ∴=AB CB =BD BD =()ABD CBD SSS ∴∆≅∆CBD ABD ∴∠=∠BD ∴ABC ∠AD ACD O，，，点在上，，，，在上截取，使，则为等边三角形，，，又，，，，设，则，，过点作于，在中，，， ， ， 在中， ， ，；②如图3，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 设，，，则由①知，，，在与中，，60ADC ∠=︒120ABC ∠=︒180ADC ABC ∴∠+∠=︒∴B O AD CD =∴AD CD =60CBD CAD ∴∠=∠=︒BD BM BM BC =BCM ∆60CMB ∴∠=︒120CMD CBA ∴∠=︒=∠CB CM =BAC BDC ∠=∠()CBA CMD AAS ∴∆≅∆MD AB ∴=1BC BM ==2AB MD ==3BD ∴=C CN BD ⊥N Rt BCN ∆60CBN ∠=︒30BCN ∴∠=︒1122BN BC ∴==33CN =52ND BD BN ∴=-=Rt CND ∆222235()()722CD CN DN =+=+=7AC ∴=∴377BD AC ==B D AC H Q 1CB =2AB =CH x =7AC =7AH x =-Rt BCH ∆Rt BAH ∆2222BC CH AB AH -=-即，解得，，，在中，，，为与的公共底，，，，，故答案为：．22212(7)x x-=--277x=2227211()77BH∴=-=Rt ADQ∆33217DQ AD==∴2127721BHDQ==AC ABC∆ACD∆∴27ABCACDS BHS DQ∆∆==32ABCS∆=734ACDS∆∴=37393244ABCDS∴=+=四边形93414．（2021•越秀区校级二模）如图1，已知正方形的边长为，点在边上，，连接，点、分别为、边上的点，且．（1）求点到的距离；（2）如图2，连接，当、、三点共线时，求的面积；（3）如图3，过点作于点，过点作于点，求的最小值．【答案】（1）1；（2）518；（3）见解析 【详解】（1）如图1中，过点作于．ABCD 42E BC 2BE =BD F G BD CD FG EF ⊥E BD AF A F G FDG ∆E EM BD ⊥M G GN BD ⊥N MN E EH BF ⊥H四边形是正方形，，，． 点到的距离为1．（2）如图2中，过点作的垂线分别交，于点，．，，共线，，，．设，且，，，， ，，即，ABCD 45DBC ∴∠=︒EH BD ⊥2sin 45212EHBE ∴=⋅︒=⨯=∴E BD F AD AD BC M N A F G 90EFG ∠=︒90AFE ∴∠=︒45ADF ∠=︒∴MF MD a ==AD MN =AM FN ∴=NFE AFM AFM MAF ∠+∠=∠+∠NFE MAF ∴∠=∠()AMF FNE AAS ∴∆≅∆MF EN ∴=32a a =-， ，， ， ．（3）如图3中，设，． 四边形是正方形，，，，，，，，， ，，，， ，，， 322a ∴=//FM DG ∴FM AM DG AD =∴32522242DG =1225DG ∴=112232182525DFG S ∆∴=⨯⨯=2CG y =MF x =ABCD 45CBD CDB ∴∠=∠=︒42CB CD ==28BD BC ∴==22DG y =EM BD ⊥GN BD ⊥90EMF EFG GNF ∴∠=∠=∠=︒4DN NG y ∴==-2BE =1BM EM ∴==7(4)3FN x y x y ∴=---=-+9090MFE GFN GFN FGN ∠+∠=︒∠+∠=︒MFE FGN ∴∠=∠EMF FNG ∴∆∆∽∴EM MF FN GN=， 整理得，△，，解得或，的最小值为，的最小值，观察图象可知，当的值最小时，的值最小，的最小值． 15．（2021•越秀区模拟）如图，四边形为矩形，，，点为边上一动点，过点作交直线于点，连接，．（1）若四边形为菱形，求的长；（2）若的面积为，求的面积； （3）当长为多少时，四边形周长有最小值？并求该最小值．【答案】（1）23；（2）42；（3）见解析 【详解】（1）四边形为菱形，，设, 四边形是矩形，, ,, , ； （2）四边形为矩形，∴134x x y y=-+-2(3)40x y x y -++-=02(3)4(4)0y y ∴+--425y -542y --y ∴25CG ∴852=-CG MN MN 81(942)422=---=ABCD 2AD =2CD =E AD E EF AC ⊥BC F CE AF AECF AE ABF ∆24CDE ∆AE AECF AECF AE EC ∴=AE EC x ==ABCD 90D ∴∠=︒222EC DE CD ∴=+222(2)(2)x x ∴=-+32x ∴=32AE ∴=ABCD，，， ， ，即：， ， ， 在中，， ，， 是的垂直平分线，，由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作交的延长线于点，四边形为矩形，，，四边形是平行四边形，，，，，，在中，， , ，2AB CD ∴==2BC AD ==90B D ∠=∠=︒ABF ∆2∴122AB BF ⨯⨯1222BF =12BF ∴=13222CF BC BF ∴=-=-=Rt ABF ∆222213(2)()22AF AB BF =++AF CF ∴=EF AC ⊥EF ∴AC AE CE ∴=32AE CE ==AF CE ∴=Rt CDE Rt ABF(HL)∴∆≅∆24CDE ABF S S ∆∆∴==C //CM EF AD M ABCD //AD BC ∴90ADC ABC BAC ∠=∠=∠=︒∴CFEM EM CF ∴=CM EF =EF AC ⊥CM AC ∴⊥90ACM ∴∠=︒Rt ACD ∆22222(2)6AC AD CD ++tan CD CM CAD AD AC ∠==∴263CM ∴=， , ，即，，延长至，使，过点作于点，连接，过点作交于点， 在中，，四边形是矩形，，，，，四边形是平行四边形，，， 四边形周长，当、、三点共线时，最小，即四边形周长最小， 此时，，，△，， ，此时，，四边形周长最小值为，故当时，四边形周长最小值为6． 3EF CM ∴==cos ADACCAD AC AM ∠==22(6)32AC AM AD ∴===3AE EM +=3AE CF ∴+=CD C '2DC CD '==C E 'F FG AD ⊥G BG E //EH BG BC H Rt EFG ∆2222(3)(2)1EG EF FG =-=-=ABFG AF BG ∴=FBG FAG ∠=∠//BG EH //EG BH ∴BGEH EH BG AF ∴==CHE FBG ∠=∠AECF 3AE AF CF CE AE EM BG CE AM EH C E C E EH =+++=+++=++'=+'+∴C 'E H C E EH '+AECF C ED CHE FBG FAG ∠'=∠=∠=∠90C DE FGA ∠'=∠=︒C D FG '=∴()C DE FGA AAS '≅∆111()(21)222DE AG AD EG ∴==-=-=13222AE AD DE ∴=-=-=222213()(2)22CE DE CD =+=+=∴AECF 33262+⨯=32AE =AECF16．（2021•花都区三模）为等腰三角形，，点为所在平面内一点．（1）若，①如图1，当点在边上，，求证：； ②如图2，当点在外，，，，连接，求的长；（2）如图3，当点在外，且，以为腰作等腰三角形，，，直线交于点，求证：点是中点．【答案】（1）①见解析；②132；（2）见解析 【详解】证明：（1）①，， ，，， ，， ；②如图2，以，为边作等边，等边，以，为边作等边，等边，连接，过点作，交的延长线于， ABC ∆AB AC =D ABC ∆120BAC ∠=︒D BC BD AD =2DC BD =DABC ∆120ADB ∠=︒2AD =4BD =CD CD D ABC ∆90ADB ∠=︒AD ADE ∆DAE BAC ∠=∠AD AE =DE BC F F BC 120BAC ∠=︒AB AC =30ABC ACB ∴∠=∠=︒BD AD =30ABD BAD ∴∠=∠=︒90DAC ∴∠=︒2CD AD ∴=2CD BD ∴=AB AC ABH ∆ACH ∆AD BD ADE ∆BDG ∆GH E EN DG ⊥GD N和都是等边三角形，，，，，，，，，点，点，点三点共线，，和都是等边三角形，，，，，，，，，，，， ， ， ．（2）连接，如图3所示：，，，， ，， 、、、四点共圆，，，BDG ∆ABH ∆4BD BG DG ∴===AB BH =60DBG ABH BGD ∠=∠=︒=∠ABD GBH ∴∠=∠()ADB HGB SAS ∴∆≅∆2AD GH ∴==120ADB BGH ∠=∠=︒180DGB BGH ∴∠+∠=︒∴G H D 426DH ∴=+=ADE ∆ACH ∆AC AH ∴=2AE AD DE ∠===60DAE CAH EDA ∠=∠=∠=︒DAC EAH ∴∠=∠()DAC EAH SAS ∴∆≅∆DC EH ∴=60BDG EDN ∠=∠=︒EN DG ⊥30DEN ∴∠=︒112ND DE ∴==33NE DN =7HN DH DN ∴=+=22349213EH EN NH ∴=+=+=213CD EH ∴==AF DAE BAC ∠=∠AD AE =AB AC =∴AD AE AB AC=ADE ABC ∴∆∆∽ADE ABC ∴∠=∠A ∴D B F 1801809090BFA ADB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒AF BC ∴⊥，，点是中点．17．（2021•越秀区校级四模）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（Ⅰ）这样的点唯一吗？（Ⅱ）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．①求线段长的最小值；②若，求线段的长．【答案】（1）①2，②；（2）见解析；（3；②【详解】（1）解：①设为圆心，连接，，，，又，是等边三角形，，即半径为2，故答案为：2；AB AC=BF CF∴=∴F BC2BC=30BAC∠=︒AAA BCB C⋯1)ABC∆A'30BAC∠'>︒ABCD 2AB=3BC=P CD4tan3DPC∠=PB23PCD PADS S∆∆=PD32+975-3272244PD DF PF∴=+=+=O BO CO30BCA∠=︒60BOC∴∠=︒OB OC=OBC∴∆2OB OC BC∴===②以为底边，，当点到的距离最大时，的面积最大，如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，，，，，的最大面积为， 故答案为：；（2）证明：如图，延长，交圆于点，连接，点在圆上，，，，，即；（3）解：①如图，当点在上，且时， ，，， ，为定值， 连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆， ABC ∆BC 2BC =∴A BC ABC ∆O BC E EO D BC A D ABC ∆1BE CE ∴==2DO BO ==223OE BO BE ∴=-=32DE ∴=+ABC ∴∆12(32)322⨯⨯+32+BA 'D CD D BDC BAC ∴∠=∠BAC BDC ACD ∠'=∠+∠'BAC BDC ∴∠'>∠BAC BAC ∴∠'>∠30BAC ∠'>︒P BC 32PC =90PCD ∠=︒2AB CD ==3AD BC ==4tan 3CD DPC PC ∴∠==PD Q PD Q 12PD当点在优弧上时，，连接，与圆交于， 此时即为的最小值，过点作，垂足为，点是中点，点为中点，即，，， ， ， 圆的半径为， ，即；②，，， ， 中边上的高中边上的高，即点到的距离和点到的距离相等，点在的平分线上， 如图，过点作，垂足为，平分，， 为等腰直角三角形，又，，∴P CPD 4tan 3DPC ∠=BQ Q P 'BP 'BP Q QE BE ⊥E Q PD ∴E PC 112QE CD ==1324PE CE PC ===39344BE BC CE ∴=-=-=22974BQ BE QE ∴=+=2252PD CD PC =+=∴Q 155224⨯=975975444BP BQ P Q -∴'=-'=-=BP 975-3AD =2CD =23PCD PAD S S ∆∆=∴23CD AD =PAD ∴∆AD PCD =∆CD P AD P CD ∴P ADC ∠C CF PD ⊥F PD ADC ∠45ADP CDP ∴∠=∠=︒CDF ∴∆2CD =2CF DF ∴==， ， ． 18．（2020•广州一模）如图①，在四边形中，于点，，点为中点，为线段上的点，且（1）求证：平分；（2）若，连接，当四边形为平行四边形时，求线段的长；（3）若点为的中点，连接、（如图②，求证：．【答案】（1）见解析；（2）510；（3）见解析 【详解】（1）证明：如图①，，， 是的中点，，在中，，在中，， ，，是等腰直角三角形，，，，即平分； （2）解：设， 四边形是平行四边形， ，4tan 3CF DPC PF ∠==324PF ∴=3272244PD DF PF ∴=+=+=ABCD AC BD ⊥E AB AC BD ==M BC N AM MB MN =BN ABE ∠1BD =DN DNBC BC F AB FN FM )MFN BDC ∠=∠AB AC =ABC ACB ∴∠=∠M BC AM BC ∴⊥Rt ABM ∆90MAB ABC ∠+∠=︒Rt CBE ∆90EBC ACB ∠+∠=︒MAB EBC ∴∠=∠MB MN =MBN ∴∆45MNB MBN ∴∠=∠=︒45EBC NBE MAB ABN MNB ∠+∠=∠+∠=∠=︒NBE ABN ∴∠=∠BN ABE ∠BM CM MN a ===DNBC 2DN BC a ∴==在和中，，，，在中，由，可得：，解得：（负值舍去）， ； （3）解：是的中点，在中，，，，，，即， ，．19．（2020•荔湾区一模）如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接． （1）若将沿折叠，点落在矩形的对角线上点处，试求的长；（2）点运动到某一时刻，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点分别落在点，处，若，，三点恰好在同一直线上，且，试求此时的长；（3）当点运动到边的中点处时，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点重合于点处，请直接写出到的距离．ABN ∆DBN ∆AB DB NBE ABN BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABN DBN SAS ∴∆≅∆2AN DN a ∴==Rt ABM ∆222AM MB AB +=22(2)1a a a ++=1010a =±1025BC a ∴==F AB ∴Rt MAB ∆MF AF BF ==MAB FMN ∴∠=∠MAB CBD ∠=∠FMN CBD ∴∠=∠12MF MN AB BC ==MF MN BD BC=MFN BDC ∴∆∆∽MFN BDC ∴∠=∠ABCD 4AB =3BC =P AB DP DAP ∆DP A A 'AP P P PE BC E DAP ∆PBE ∆DP PE A B A 'B 'P A 'B '2A B ''=AP P AB P PG BC G DAP ∆PBG ∆DP PG A B F F BC【答案】（1）或；；（2）1或3；；（3）【详解】（1）四边形是矩形，，，，分两种情况：①当点落在对角线上时，如图1所示：设，在中，，，由折叠的性质得：，，，，，，在中，，即：，解得：， ； ②当点落在对角线上时，如图2所示： 由翻折性质可知：，，，， ，，， ， 综上所述：的长为或； （2）①如图3所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，解得：，；32941613ABCD 4AB CD ∴==3AD BC ==90ABC BCD CDA BAD ∠=∠=∠=∠=︒A BD AP x =Rt ADB ∆90BAD ∠=︒2222435BD AB AD ∴=+=+=AP PA x ='=3AD DA ='=90DA P BAD ∠'=∠=︒532BA BD DA ∴'=-'=-=90BA P ∠'=︒4BP AB AP x =-=-Rt BPA ∆'222BP PA BA ='+'222(4)2x x -=+32x =32AP ∴=A AC PD AC ⊥90PAC APD ∴∠+∠=︒90BAC BCA ∠+∠=︒APD BCA ∴∠=∠90DAP ABC ∠=∠=︒DAP ABC ∴∆∆∽∴AD AB AP BC=33944AD BC AP AB ⋅⨯∴===AP 3294AP x =4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=42x x ∴--=1x =1PA ∴=②如图4所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，，；综上所述，的长为1或3；（3）作于，如图5所示：则的长就是到的距离，由翻折的性质得：，，、、共线，设，则，，在中，，即：，解得， ， ，， ， ， ， 到的距离为．APx=4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=(4)2x x ∴--=3x ∴=3PA ∴=PA FH CD ⊥H CH F BC 3AD DF ==BG FG =G F D BG FG x ==3DG DF FG x =+=+3CG BC BG x =-=-Rt GCD ∆222DG CD CG =+222(3)4(3)x x +=+-43x =413333DG ∴=+=//FH CG ∴DH DF CD DG=∴31343DH =3613DH ∴=361641313CH ∴=-=F ∴BC 161320．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）求平行四边形的面积；（2）当点、、三点共线时，设与相交于点，求线段的长；（3）求线段的长度的最小值．ABCD 13AD =25AB =DAB α∠=5cos 13α=E CD EA E αEF CF ABCD C B F EF AB G BG CF【答案】（1）300；（2）；（3 【详解】解（1）如图1，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，，在中， ，且， ，， ； （2）如图2，延长至，作，，，过点作于点，由（1）知，，， 11722BG ∴=6613DK AB ⊥K EA E αEF AEF α∴∠=AE EF =Rt DAK ∆5cos cos 13AK DAK AD α∠===13AD =5AK ∴=222213512DK AD AK ∴=-=-=2512300ABCD S AB DK ∴=⨯=⨯=平行四边形CD H AHD α∠=AHD ADH α∠=∠=13AH AD ∴==A AM DH ⊥M 12AM =225DM AD AM ∴=-=10DH ∴=。

2022年中考专题复习：几何探究压轴题1．如图1矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点(点E 不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ．(1)求证：ADE ∽ABF ；(2)若20AB =，10AD =设DE x =点G 到直线BC 的距离为y ． ①求y 与x 的函数关系式； ②当2413EC BG =时，x 的值为______； (3)如图2，若AB BC =，设四边形ABCD 的面积为S ，四边形BCEG 的面积为1S 当114S S =时，DE ：DC 的值为______．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB AC ==点D 为AB 边上－点，AD =点P 为BC 边上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DQ ，连接PQ ．(1)BD ＝______，DP 的最小值是______； (2)当∠BPQ ＝15°时，求BP 的长；(3)连接BQ ，若△BDQ 的面积为3，求tan ∠BDQ 的值．3．ABC 中，BD AC ⊥于点D ，点P 为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针方向旋转α，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．(1)观察发现：如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是__________；BC 与CE 的位置关系是__________； (2)猜想证明：如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，请写出BP 与CE 的数量关系及BC 与CE 的位置关系，并说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长4．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上一点，连接AP ，将线段P A 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM ．(1)问题发现如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是 ，∠ACM ＝ °． (2)探究证明当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明． (3)问题解决连接PC ，当△PCM 是等边三角形时，请直接写出ACPE的值．5．已知：在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上点，点G 在边AD 上，连接EG ，EG ＝DG ，作EF ⊥EG ，交边BC 于点F （图1）．(1)求证：AE+CF＝EF；(2)连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；(3)在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝△BEF的周长为24，求PK的长．6．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE∆绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点E在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求∆MNC周长的最小值．7．已知，BD是菱形ABCD的对角线，△DEF是直角三角形，∠EDF＝90°，∠DEF＝1∠A，连接BE，点G是BE2的中点，连接CG、BF．(1)当∠A＝90°时，①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系：②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接AC，记A与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）(2)当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系．8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF ＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；(2)如图②，若∠CDH+∠BFD12∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH 最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．9．正方形ABCD ，点E 在边BC 上，连AE ．(1)如图1，若1tan 3EAC ∠=，4AB =，求EC 长；(2)如图2，点F 在对角线AC 上，满足AF AB =，过点F 作FG AC 交CD 于G ，点H 在线段FG 上（不与端点重合），连接AH ．若45EAH ∠=︒，求证：EC HG =；(3)如图3，在（1）的条件下，G 是AD 中点，点H 是直线CD 上的一动点，连GH ，将DGH 沿着GH 翻折得到PGH △，连PB 交AE 于Q ，连P A 、PD ，当BP 最小值时，请直接写出PAD △的面积．10．如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)四边形BE 'FE 的形状是______；(2)如图②，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE 的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB ＝15，CF ＝3，求DE 的长．11．在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上运动，以DE 为边向右作等边DEF ，设AD kBE =．(1)如图1，求证：CEF BDE ∠=∠；(2)如图1，连接CF ，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；①2k =；②CF 平分ACB ∠；③AD ，BE ，CF 三条线段构成以AD 为斜边的直角三角形． (3)如图2，12k =，连接AF ，BF 当AF BF +取得最小值时，求AD AB 的值．12．如图①，在正方形ABCD 中，B 为边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DN ⊥AE 交AE 、AB 分别于点F 、N ．(1)求证：△ABE ≌△DAN ； (2)若E 为BC 中点，①如图②，连接AC 交DP 于点M ，求CM ：AM 的值； ②如图③，连接CF ，求tan ∠CFE 的值．13．如图，在等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AC ＝AB ，AD ＝AE ，连接BD ，点M 、N 分别是BD ，BC 的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE∆绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC＝5时，在ADE∆绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．14．矩形纸片ABCD中，AB=4．实践思考：(1)连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若AD AB，如图①．①BD=______，tan∠ADB=______；②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形；③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______；(2)若AD=1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数；拓展探究：(3)若AD=，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______．15．△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若sin ∠MCD ＝13，CD ＝4，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM 、DM 、CN ，若DM ∥CN ，求证：4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将△DPM 沿PM 翻折得到ΔD 'PM ，将△EQN 沿QN 翻折得到ΔE 'QN ，若AM ＝3DM ，BC ＝8，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD '+FE '的最小值．16．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线B D '于点E ，连接EF ．【探索发现】(1)填空：当60α︒=时，EBB ∠'= °；EFDB '的值是 ； 【验证猜想】(2)当0360α︒︒<<时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】(3)在（2）的条件下，若AB =BDE 是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的长．17．四边形ABCD 、点E 在直线BC 上，将ABE △翻折得到AFE △，点B 的对应点为点F 恰好落在直线DE 上，直线AF 交直线CD 于点G ．图1 图2(1)如图1、当四边形ABCD 是矩形时，求证：DA DE =；(2)如图2，当四边形ABCD 是平行四边形时，求证：ADG ∽DFG ；(3)若四边形ABCD 是平行四边形，且B 为锐角，:3:2BE CE =，请直接写出:AF GF 的值．18．在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长； (2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．19．在△ABC 和△AEF 中，∠AFE ＝∠ABC ＝90°，∠AEF ＝∠ACB ＝30°，12AE AC =，连接EC ．点G 是EC 中点，将△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图1，若E 恰好在线段AC 上，AB ＝2，连接FG ，求FG 的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在射线CE 上，连接BG ，证明：GB AB GC =+； (3)如图3，若AB ＝3，在△AEF 旋转过程中，当12GB GC -最大时，直接写出直线AB ，AC ，BG 所围成三角形的面积．20．如图，在正方形ABCD 中，点P 为CB 延长线上一点，连接AP ．(1)如图1，连接PD ，若60PDC ∠=︒，4=AD ，求tan APB ∠的值；(2)如图2，点F 在DC 上，连接AF ．作APB ∠的平分线PE 交AF 于点E ，连接DE 、CE ，若60APB ∠=︒，PA PC +=．求证：DE 平分ADF ∠；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 为AP 的中点，点M 为平面内一动点，且AQ MQ =，连接PM ，以PM 为边长作等边PMM '△，若2BP =，直接写出BM '的最小值．21．在边长为ABCD 中，点N 为BA 延长线上一点，连接DN ．(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明：DN BN+=；(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出2PN的值．参考答案：1．(1)证明：AE AF ⊥，90EAF ∴∠=︒，四边形ABC 都是矩形，90BAD ABC ABF D ∴∠=∠=∠=∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，FAB DAE ∴∠=∠，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ∴∽ ABF ．(2)①如图，作GH BF ⊥于H ．90GHF C ∠=∠=︒，//GH EC ∴，FG GE =，FH HC ∴=，22EC GH y ∴==，20DE EC CD AB +===，220x y ∴+=，110(020)2y x x ∴=-+<<． ②∵2413EC BG =， ∴可以设24EC k =，13BG k =，∵2EC GH =，∴12GH k =，∴BH =∴Ⅰ.510FH CH k ==+，∴1010FB k =+， ∵1102y x =-+， ∴2024x k =-，∵△ADE ∽△ABF ， ∴AD AB DE BF=， 即：102020241010k k =-+， 解得：1529k =， ∴22029x =； Ⅱ. ()()1111242EBG ECB BFE ECB S S S S S a b a b b a =+=+=-+-△△△△，1010FB k =-， 可得：102020241010k k=--， 解得：1519k =， ∴2019x =． 综上所述，220202919x =或． (3)如图，连接BE ，设DE =a ，CD=BC =b ，易证ADE ABF ≌，可得：==BF DE a ，∴)2222220a a b b a ab b b b DE DC ⎛⎫=-+-=+= ⎪⎝⎭=舍，∵2S b =，14S S =，∴2222b b a ab =--，∴220a ab b +-=， ∴210a a b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：)a b =舍，∴DE DC ． 2．(1)解：由题意可知：=-==BD AB AD当DP ⊥BP 时，由垂线段最短知DP 的长最小，如下图所示：∵∠B =45°，∠DPB =90°，∴△BPD 为等腰直角三角形，∴3==DP ， 故DP 的最小值是3．(2)解：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，则DM ＝MB ＝3，分两种情况讨论： 情况一：当Q 点在BC 左侧时，如下图所示：由旋转得，DQ=DP ，∠PDQ =90°，∴∠QPD =45°，∵∠BPQ =15°，∴∠BPD =30°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ；情况二：当Q 点在BC 右侧时，如下图所示：∵∠QPD =45°，∠BPQ =15°，∴∠BPD =60°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ，综上所述，BP 的值为33．(3)解：分别过点Q 、P 作AB 的垂线，垂足分别为点G 、H ，则BH=PH ，∠QGD =∠PHD =90°，∴∠QDG +∠DQG =90°，∠PDH +∠QDG =90°，∴∠DQG =∠PDH ，∵PD=QD ，∴△DGQ ≌△PHD （AAS ），∴QG=DH ，DG=PH ，∵△BDQ 的面积为3，∴132⋅=BD QG 且BD =∴DH QG ==分两种情况讨论：情况一：当点Q 在BC 左侧时，如上图所示：DG=PH=BH=BD+DH =∴1tan 4QG BDQ DG ∠===； 情况二：当点Q 在BC 右侧时，如下图所示：DG=PH=BH=BD-DH =∴1tan2QG BDQ DG ∠===； 综上所述：1tan 2BDQ ∠=或14． 3．（1）如图，连接AE ，∵BA=BC，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，∵PE=P A，且∠APE=α=60°，∴△APE为等边三角形，∴∠P AE=60°，AP=AE，∴∠BAC−∠P AC=∠P AE−∠P AC，∴∠BAP=∠CAE；在△BAP和△CAE中，AB ACBAP CAE AP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABP≌ΔACE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，∵BD⊥AC，BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∴∠ABP=∠ACE=30°，∴∠ACE+∠ACB=90°，∴BC⊥CE．故答案为：BP=CE，BC⊥CE；(2)（2）CEBP，BC⊥CE；理由：连接AE，由题意可知：ΔABC、ΔAPE均为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠P AE=45°，AC AE AB AP==∴∠BAP+∠P AD=∠CAE+∠P AD，即∠BAP=∠CAE；又∵AC AE AB AP=， ∴ΔBAP ∽ΔCAE ，∴CE CA BP BA==∠ACE =∠ABP ， ∵AB =BC ，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠CBD =∠ACB =45°=∠ACE ，∴∠BCE =∠BCA +∠ACE =45°+45°=90°，∴BC ⊥CE ，∴BC ⊥CE ，CE BP ；(3)（3）CE =2或14．如图，当点P 在BD 上时，连接AE ，∵AB =8，∴AD =BD ，∵AP∴在Rt ΔAPD 中，PD ，∴BP由（2）知：CE BP ，∴CE ；如图，当点P 不在BD 上时，连接AE ，同理可得DP∴BP∴CE ．综上：CE 的长为2或14．4． (1)CM =，45解法提示：∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． 由旋转知，90APM ∠=︒，即AC PM ⊥．易知DM AD CD ==，∴45ACM CMD ∠=∠=︒，∴DCM △为等腰直角三角形，∴CM ． ∵1122PE AB AC CD ===，∴CM =．(2)一定成立.证明：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，连接AE ，如图，则45EAC EAB ∠=∠=︒． ∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． ∴45AEP PAE ∠=∠=︒.∵PA PM =，90APM ∠=︒，∴APM △是等腰直角三角形，∴45PAM ∠=︒，∴EAC PAM ∠=∠，∴EAP CAM ∠=∠，∵2AE AC =，2AP AM =， ∴AE AP AC AM =， ∴~AEP ACM △△，∴45ACM AEP ∠=∠=︒，CM AC PE AE=∴CM =． (3)AC PE11． 解法提示：当PCM △是等边三角形时，分两种情况讨论．①当点P 在BC 上方时，如图，过点P 作PH CM ⊥于点H ，延长CM 交直线ED 于点F ．由（2）知45ACM ∠=︒，易得CDF 和PFH △均为等腰直角三角形． 设PH a =，则FH a =，CH =，∴CM =， 又由（2）知CM PE =∴PE ==，∵CF FH CH a =+=+，22AC CD ===，∴AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1AC PE ==． ②当点P 在BC 下方时，如图，连接AE ，同（2）易得~AEP ACM△△，∴PE APCM AM==ACM AEP∠=∠，∴PE=，45ACQ AED∠=∠=︒．过点P作PH CM⊥于点H，延长MC交直线ED于点Q．易得CDQ和PQH均为等腰直角三角形．设PH b=，则QH b=，CH=，∴CM，∴PE==．∵CQ QH CH b=-=，222AC CD==⨯=，∴AC b⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，∴AC1PE==．综上可知，ACPE11．5．(1)证明：如图4，连接DF，作DM⊥EF，垂足M．∵DM ⊥EF ，GE ⊥EF ，∴∠GEF ＝∠DMF ＝90°，∴DM ∥GE ，∴∠MDE ＝∠DEG ，∵DG ＝GE ，∴△GDE 是等腰三角形，∴∠GED ＝∠GDE ，∴∠GDE ＝∠EDM ，∵在△DAE 和△DME 中，90ADE MDE A DME DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△DME （AAS ），∴DM ＝AD ，AE ＝ME ，∵AD ＝CD ，∴DC ＝DM ，在Rt △DCF 和Rt △DMF 中，DF DF DM DC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DCF ≌Rt △DMF （HL ），∴CF ＝MF ，∴AE +CF ＝EM +MF ，∵EM +MF ＝EF ，∴AE +CF ＝EF ；(2)解：如图5，连接EK、ED．由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，∴∠ADE＝∠MDE＝12∠ADM，∠CDF＝∠MDF＝12∠CDM，∴∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝12∠ADM+12∠CDM＝12∠ADC＝45°，∵∠EAK＝45°，∴∠EAK＝∠EDK，∴A、E、K、D四点共圆，∴∠EAD+∠EKD＝180°，∴∠EKD＝180°﹣∠EAD＝90°，∴∠EDK＝45°，∴△EDK是等腰直角三角形，DE2＝2DK2，∵S四边形AEKD＝S△ADE+S△KDE＝S△AEK+S△KDA，∴12AD•AE+12DK•EK＝12AK•AE•sin∠EAK+12AK•AD•sin∠DAK，∴AD•AE+DK2＝AK•AE+AK•AD∵DK2＝12DE2＝12（AD2+AE2），∴AD•AE+12（AD2+AE2AK•AE AK•AD，∴2AD•AE+AD2+AE2•AE•AD，∴（AD+AE）2AK（AD+AE），∵AD+AE≠0，∴AE+AD；(3)解：∵△BEF的周长为24，∴BE+EF+BF＝24，由（1）知AE +CF ＝EF ，∴BE +AE +CF +BF ＝24，∴AB +BC ＝24，∴AB ＝BC ＝12，即正方形ABCD 的边长为12，∴AC ＝由（2）知AE +AD ，∵AK ＝，∴AE +AD 16，CK ＝AC ﹣AK ＝＝∴AE ＝16﹣AD ＝4．∵AE ∥CD ，∴△AEP ∽△CDP ， ∴41123AP AE CP CD ===，∴CP ＝34AC ＝34×∴PK ＝CP ﹣CK ＝＝6．(1)证明：∵△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，90ABC ∠=︒，∴旋转角为90°，即：∠FBE =90°，根据旋转的性质可得：BF =BE ，∠F =∠BEC ，∴∠F +∠BED =∠BEC +∠BED =180°，∴四边形BEDF 满足“直等补”四边形的定义，∴四边形BEDF 为“直等补”四边形；(2)①证明：如图1，过C 作CF ⊥BF 于点F ，四边形ABCD 为“直等补”四边形，AB =BC =5，CD =1，∴90,180ABC ABC D ∠=︒∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，BE AD ⊥，CF BF ⊥，90DEF ∴∠=︒，90CFE ∠=︒，∴四边形CDEF 是矩形，DE CF ∴=，1EF CD ==，90ABE A ∠+∠=︒，90ABE CBE +=︒∠∠，A CBF ∴∠=∠，90AEB BFC ∠=∠=︒，AB BC =，()ABE BCF AAS ∴∆≅∆，BE CF ∴=，AE BF =，DE CF =，BE DE ∴=，四边形CDEF 是矩形，1EF CD ∴==，ABE BCF ∆≅∆，AE BF ∴=，1AE BE ∴=-，设BE x =，则1AE x =-，Rt ABE △中，222(1)5x x +-=，解得4x =或3x =-（舍去），4BE ∴=；②如图2，延长CB 到点F ，使得BF =BC ，延长CD 到点G ，使得CD =DG ，连接FG ，分别与AB 、AD 交于点M 、N ，过G 作GH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，则5BC CF ==，1CD DG ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，FM CM ∴=，GN CN =，∴∆MNC 的周长CM MN CN FM MN GN FG =++=++=时取最小值，四边形ABCD 为“直等补”四边形，180A BCD ∴∠+∠=︒，180BCD HCG ∠+∠=︒，A HCG ∴∠=∠，又90AEB CHG ∠=∠=︒，ABECHG ∴∆∆， BE AE AB GH CH CG∴==， 5AB =，4BE =，3AE ∴=，4352GH CH ∴==， 解得85GH =，65CH =， 56+5FH FC CH ∴==，FG ∴=∴∆MNC 周长的最小值为7．(1)①∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，AB ＝CD ＝CB ，∠BCE ＝∠A ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，∴AD﹣DF＝CD﹣DE，即AF＝CE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE，在Rt△CBE中，点G是BE的中点，∴CG＝1BE，2BF，∴CG＝12BF；故答案为：CG＝12②①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接AC，记AC与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，连接GM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，∴CO⊥BD，CO＝DO＝BO，由①得：DE＝DF，设DE＝DF＝y，OG＝x，OE＝a，∵点G是BE的中点，∴EG＝BG＝a+x，OB＝OG+BG＝a+2x，∵OD＝OB，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即DE＝DF＝2OG，∵AC⊥BD，∠EDF＝90°，∴OA∥DF，∵DO＝BO，∴FM ＝BM ＝12BF ，DF ＝2OM ，∴OM ＝x ＝OG ，∵AC ⊥BD ，∴∠MOB ＝∠GOC ＝90°，∵OB ＝OC ，∴△MOB ≌△GOC （SAS ），∴CG ＝BM ＝12BF ，∴①中线段CG 与线段BF 的数量关系仍然成立；(2)过点C 作CN ⊥DB 于N ，连接GN ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝120°，∴DC ＝BC ，∠ADC ＝60°，∠A ＝∠BCD ＝120°，∠BDC ＝∠CBD ＝30°， ∴∠DCN ＝60°，∴DN ＝BN ＝12BD ， ∴CN BD = ∵点G 是BE 的中点， ∴12NG DE =，NG ∥DE ， ∴∠BNG ＝∠BDE ，∵∠BDE +∠BDF ＝90°，∠BNG +∠CNG ＝90°，∴∠BDF ＝∠CNG ，∵∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF ＝60°，∴DF，∴1DE NG DF == ∴NG CN DF BD=， ∵∠BDF ＝∠CNG ，∴△BDF ∽∠CNG ，∴CG CN BF BD = ∴BF ＝．故答案为：BF ＝．8．(1)如图1，作DM ⊥BC 于M ，∴∠BMD ＝90°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝15°，∴∠ABD ＝∠ABF ＝15°，∴∠DBM ＝45°，∴DM ＝BD •sin ∠DBM ＝2•sin45°=∴CD ＝2DM ＝；(2)CH =，理由如下：如图2，作HN //AB 交AC 于N ，作NM ⊥BC 于M ，∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cos∠NHC）＝2•（HN•cos30°）=，∵∠CDH+∠BFD12=∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD，∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD，∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CH=；(3)如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，∴点P在⊙O上运动，作∠BCR ＝30°，作HN ⊥CR 于N∴HN 12CH = ∴PH +HN 最小时，P 、H 、N 共线，且PHN 过点O ，故作OQ ⊥CR 于Q 交AB 于T ，作BT ⊥OQ 于T ，∵∠ABC ＝∠BCR ＝30°，∴AB //CR ，∴OQ ⊥BT ，作OB 的垂直平分线交OT 于M ，∴OM ＝BM ，设BT ＝x ，∴OM ＝BM ＝2BT ＝2x ，MT =，∴2x +）2+x 2＝22，∴x =∴BT 2）x =∵TQ ＝BR 12=BC 12=⋅，∴OQ =∴P ′Q ＝OQ ﹣OP ′2，∵2PH +CH ＝2（PH 12+CH ）∴2PH +CH 的最小值是：4．9．(1)解：过E 点作EH ⊥AC 于H 点，如下图所示：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠HCE=45°，△HCE为等腰直角三角形，设HE=CH=x，∵1tan3∠==EHEACAH，∴AH=3x，∴AC=AH+CH=4x，∵∠B=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²=AB²+BC²，∴16x²=16+16，解得x(负值舍去)，∴EH=HC∴2==EC．(2)证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：∵FG AC，∠CFG=90°，且AC为对角线，∴∠FCG=∠FCM=45°，∴△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM=CG，2CG CF，∴BM=BC-CM=CD-CG=DG，∵AF=AB，∴AF=AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG AG AF AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG=DG，∴BM=FG，∵∠BAC=∠EAH=45°，∴∠BAE=∠F AH，∵FG⊥AC，∴∠AFH=90°，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE=FH，∵BM=BE+EM，FG=FH+HG，∴EM=HG，∵EC=EM+CM，CM=CG，∴．(3)解：如下图3所示，∵G为AD中点，∴GA=GD，∵将△GDH沿GH翻折得到△GPH，∴GD=GP，∴GA=GD=GP，∴动点P在以G点为圆心，GD为半径的劣弧PD上运动，如下图4虚线所示，当B、P、G三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边可知：BP＞BG-GP，当且仅当B、P、G三点共线时有：BP=BG-GP，此时BP取得最小值，∵在(1)的条件下，正方形边长AD=4，∴AG=GD=GP=2，∴2216425BG AB AG，过P点作PM⊥AD于M点，则PM∥AB，∴△GMP∽△GAB，∴MP GPAB BG，代入数据：∴2 425 MP，∴455 MP，∴11458542255PADS AD PM．10．四边形BE ′FE 是正方形．理由如下：由旋转得，∠E ′＝∠AEB ＝90°，∠EBE ′＝90°，∵∠BEF ＝180°﹣∠AEB ＝90°，∴四边形BE ′FE 是矩形，由旋转得，BE ′＝BE ，∴四边形BE ′FE 是正方形．(2)CF ＝FE '，证明：如图2，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，则∠DGA ＝∠AEB ＝90°，∵DA ＝DE ，∴AG ＝12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠DAB ＝90°，∴∠BAE +∠DAG ＝90°，∵∠ADG +∠DAG ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAE ，在△ADG 和△BAE 中 ADG BAE AGD AEB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BAE （AA S ），∴AG ＝BE ；∵四边形BE ′FE 是正方形，∴BE ＝FE ′，∴AG ＝FE ′，由旋转得，AE ＝CE ′， ∴12AE ＝12CE ′，∴FE ′＝12AE ＝12CE ′，∴CF ＝FE '．(3)如图3，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，∵BE ＝FE ′，CF ＝3，∴AE ＝CE ′＝FE ′+CF ＝FE ′+3＝BE +3，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且AB ＝15，∴(BE +3)2+BE 2＝(15)2，解得，BE ＝9或BE ＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE ＝9+3＝12，由（2）得，△ADG ≌△BAE ，∴DG ＝AE ＝12，AG ＝BE ＝9，∴GE ＝AE ﹣AG ＝12﹣9＝3，∵∠DGE ＝90°，∴DE ＝11．(1)解：∵ABC 和DEF 都是等边三角形，∴60B DEF ∠=∠=︒，∵DEC B BDE ∠=∠+∠∴DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，∴CEF BDE ∠=∠；(2)解：命题：①⇒②．证明：如图，在BC 上取一点G ，使得BG BD =，连接DG ，FG ，取CG 中点H ，连接FH ，∵60B ∠=︒，BD BG =，∴BDG 为等边三角形，∴BD DG =，60BDG DGB ∠=∠=︒，又∵60EDF BDG ∠=∠=︒，∴BDE GDF ∠=∠，∵DE DF =，∴BDE GDF △△≌，∴60DGF B ∠=∠=︒，GF BE =，∴60FGC ∠=︒，又∵AB BC =，BD BG =，∴CG AD =，当2k =时，2AD BE =，∴2CG GF =，∵H 为CG 中点，∴HG HC FG ==，∴FGH 为等边三角形，∴FH GH HC ==，60FHG ∠=︒，∴30HCF HFC ∠=∠=︒，∴CF 平分ACB ∠，（结论②得证）(3)解：如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接CF ，∵12k =， ∴2BE AD =，又∵60ABC ∠=︒，∴12BM BE =， ∴BM AD =，∴2BE BM =，∴2DM AB BM AD AB BM BC BE CE =--=-=-=， ∵CEF BDE ∠=∠，DE EF =，∴DEM EFC △△≌，∴90FCE EMD ∠=∠=︒，即CF BC ⊥，作点A 关于直线CF 的对称点A '， ∴当A '，F ，B 三点共线时，AF BF +取得最小值．如图3，由轴对称可知：30A CF ACF '∠=∠=︒，AC A C '=，∴A C BC '=，120BCA '∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴30ABF CBF ∠=∠=︒，∴ABF CBF △△≌，∴90FAB FCB ∠=∠=︒，FA FC =，∴Rt FAD Rt FCE ≌，∴AD CE =，∴2BE BD AD ==， ∴123AD AD AB AD AD ==+． 12．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝DA ，∠B ＝∠DAN ＝90°， ∵DN ⊥AE ，∴∠AFN ＝90°，∴∠F AN +∠ANF ＝90°．∵∠ADN +∠ANF ＝90°，∴∠F AN ＝∠AND ，即∠BEA ＝∠AND ，∴在△ABE 和△DAN 中，BEA AND B DAN AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAN （AAS ）；(2)解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴//AB CD ，AB ＝BC ＝CD ．∵E 为BC 中点，∴BE ＝CE ＝12BC ，同（1）得：△ABE ≌△DAN （AAS ）， ∴BE ＝AN ＝12BC ，∴AN ＝12AD ＝12CD ，∵//AB CD ，∴△CDM ∽△ANM ， ∴2CM CD AM AN==； ②过点C 作CM ⊥DN 于M ，如图所示：设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，在Rt ABE△中，由勾股定理得：AE=，同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），∴BE＝AN＝a，AE＝DN．∵∠DAN＝90°，DN⊥AE，∴AN ADAFDN⋅==，∴NF=．∵CM⊥DN，∴∠CMD＝90°＝∠DAN，∴∠DCM+∠CDM＝90°．∵∠CDM+∠NDA＝90°，∴∠DCM＝∠NDA，∴△CDM∽△DNA，∴CM DM CDDA NA DN==，即2CM DMa a==解得：CM=，DM=，∴MF DN NF DM=--==，∴1tan2MFMCFCM∠===．∵DN⊥AE，CM⊥DN，∴//AE CM，∴∠CFE ＝∠MCF ，∴tan ∠CFE ＝tan ∠MCF ＝12．13．(1)解：如图1，延长MN 交AB 于点G ，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，MN CD ∴∥，且12MN CD ＝，AC AB AD AE ＝，＝， CD BE ∴＝，12MN BE ∴=， 90NGB A ∠∠︒＝＝，MN BE ∴⊥． 故答案为：12MN BE MN BE ⊥＝，． (2)成立，理由如下：∴如图2，连接并延长CD 交BE 于点H ，延长NM 交BE 于点G ，90CAB DAE ∠∠︒＝＝，90CAD BAE DAB ∴∠∠︒-∠＝＝，AC AB AD AE ＝，＝，CAD BAE SAS ∴∆∆≌（），CD BE ACD ABE ∴∠∠＝，＝，∵点M 、N 分别是BD 、BC 的中点，12MN CD MN CD ∴∥，＝， 12MN BE ∴＝； 90BCH CBH BCH ABE ABC BCH ACD ABC ACB ABC ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠︒＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝， 90CHB ∴∠︒＝，CD BE ∴⊥，90NGB CHB ∠∠︒＝＝；MN BE ∴⊥．(3)如图3，AD 在ABC ∆内部，AE 在ABC ∆的外部，且四边形DEMN 是平行四边形，由（2）得，1122CD BE MN CD MN CD BE ⊥，∥，＝＝， DE MN ∥，180EDN DNM ∴∠∠︒＋＝，DNM CDN ∠∠＝，180EDN CDN ∴∠∠︒＋＝，∴C、D、E三点在同一条直线上，＝，∴∠︒BEC90222＝，DE AD∴，DE＝，DE MN∴＝＝＝＝，CD BE MN DE22AC＝，5222∴＝＋＝，BC5550由222CE BE BC＋＝得，2250＋）＋（）＝，解得AD；如图4，AD、AE都在△ABC的外部，且四边形DENM是平行四边形，设BE交AC于点O，90∠∠︒∠＝＝＋，＝，＝，CAD BAE CAE AC AB AD AE≌（），∴∆∆CAD BAE SAS∴＝，CD CE∵M、N分别为BD、BC的中点，∴∥，MN CD∵四边形DENM是平行四边形，∴∥，DE MN∴点E在CD上，ACD ABE COE AOB＝，＝，∠∠∠∠＋＝＋＝，∴∠∠∠∠︒90ACE COE ABE AOB90BEC ∴∠︒＝，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，1122MN CD BE ∴＝＝， 22BE CD MN DE ∴＝＝＝， 2DE ＝，BE CD ∴＝＝，由222CE BE BC ＋＝得，2250（）＋（）＝，解得AD综上所述，AD 14．(1)解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，∵AB =4，AD =，∴AD∴8BD =，tan AB ADB AD ∠==故答案为：8②由①得：tan ∠ADB =， ∴∠ADB =30°，∴∠ABD =90°﹣∠ADB =60°，∵∠A =90°，△AGE 为等腰三角形，∴∠AEG =45°，由折叠的性质得：∠GEH =∠ABD =60°，∴∠DEH =180°﹣∠AEG ﹣∠GEH =180°﹣45°﹣60°=75°，∴∠DHE =180°﹣∠DEH ﹣∠ADB =180°﹣75°﹣30°=75°，∴∠DEH =∠DHE ，∴DE =DH ，∴△DHE 是等腰三角形，故答案为：等腰；③∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠BCD =∠ADC =90°，CD =AB =4，∴∠DCF =90°，由②得：∠ADB =30°，∴∠BDC =90°﹣∠ADB =60°，∵DF ⊥BD ，∴∠BDF =90°，∴∠CDF =90°﹣∠BDC =30°，∴CF =∴S △ACF 12=CF ×AB =，； (2) 解：∵∠A =90°，AM =AB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠AMB =45°，AM =AB =4，BM =∵AD =1）AB 4，∴DM =AD ﹣AM ，∴BM =DM ，∴∠DBM =∠BDM 12=∠AMB =22.5°； (3)解：∵AD =N 为边AD 的中点，∴AN 12=AD 作点N 关于AB 的对称点N '，则AN '=AN ，∵∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的半圆O 上，连接ON '交AB 于Q ，交半圆O 于P ，则OP =OB 12=BC ，QN =QN '，此时PQ ＋QN 的值最小=PQ ＋QN '=PN '，∵∠N 'AQ =90°=∠OBQ ，∠AQN '=∠BQO ，AN '=BO∴△AQN '≌△BQO （AAS ），∴QN '=QO ，AQ =BQ 12=AB =2，∴QN QO '=∴PQ ＋QN =PN '=2QO ﹣OP即PQ ＋QN 的最小值为故答案为：．15．(1)解：∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴AD ＝CD ＝12BC ＝4，AD ⊥BC ，∵sin ∠MCD ＝13，∴tan ∠MCD∴DM ＝CD •tan ∠MCD ＝4∴AM ＝AD ﹣DM ＝4在Rt △AMN 中，MN ＝sin sin 45AMAMANM ︒=∠(4＝2；(2)证明：如图1，连接BM 并延长交CN 于E ，∵∠BAC ＝∠MAN ＝90°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC ，即：∠BAM ＝∠CAN ，在△BAM 和△CAN 中，AB ACBAM CAN AM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAM （SAS ），∴∠MBA ＝∠ACN ，BM ＝CN ，∴点A 、B 、C 、E 共圆，∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°，∴EM 2+CE 2＝CM 2，∵DM ∥CN ，∴△BDM ∽△BCE ， ∴12BMDMBD BE CE BC ===，∴CE ＝2DM ，EM ＝BM ，∴EM ＝CN ，∴4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图2，∵AD ＝CD ＝12BC ＝4，AM ＝3DM ，∴DM ＝1，AM ＝3，MN ＝NE ＝12MN∵MD ′＝DM ＝1，NE ′＝NE∴点D ′在以M 为圆心，1为半径的圆上，点E ′在以N 作点M 关于BC 的对称点G ，连接GN 交BC 于F ，交⊙N 于E ′，则FD '+FE '的最小，在Rt △AGN 中，AG ＝DG +AD ＝1+4＝5，AN ＝3，∴GN∵DF ∥AN ，∴△GFD ∽△GNA ，∴GF GD GN AG=， 15=，∴GF∴MF ＝GF ∴FD '+FE '＝MF ﹣MD ′+FN ﹣NE ′＝GF +FN ﹣NE ′﹣MD ′＝GN ﹣NE ′﹣MD ′，即：min ()1FD FE ''+=-． 16．(1)解：当60α︒=时，点B '与点C 重合，∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，∴//AD BC ，60CBA ︒∠=，∵BE CD ⊥，∴BE AB ⊥，即90ABE ︒∠=，∴9030EBB CBA ︒︒'=-∠=∠，在t R DFC △和Rt BEC △中，DC BC DCF BCE DFC BEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴()DFC BEC AAS △≌△，∵FC EC =，∵60ECB ︒∠=，∴30CFE CEF ︒∠=∠=，∴B CFE E B '∠∠=，∴EF BE =，假设=CE m，则BE ，=2BC m ，∴EF BE DB BC ==' 故答案为：30(2) 解：当0360α︒︒<<时，（1）中的结论仍然成立． 证明：如图，连接BD ，∵AB AD AB '==， ∴1(180)9022a a AB B ︒︒'-=-∠=，1180(120)3022a AB a D ︒︒︒⎡⎤=--=+⎣⎦'∠， ∴180180(90)(30)6022E a a B AB D AB B B ︒︒︒︒︒''=-∠-∠=---+='∠， ∴30EBB ︒'∠=， ∵11(180)3022CB ABC BAD D ︒︒==-=∠∠∠，∴C EB D B B =∠'∠，∴FB E B CBD FB B B B ''+∠=∠+∠'∠，即=B EBF B D '∠∠，∴cos BF DBF BD ∠==cos BE EBB BB '∠==' ∴BF BE BD BB ='， 又∵=B EBF B D '∠∠， ∴FBE DBB '△△∽，∴EF BE DB BB =='' (3)解：连接AC ，BD 交于点O ，∵AC BD ⊥，1602BAO BAD ︒=∠=∠，∴sin OB AB BAO =⋅∠∴BD =∴sin DE BE BD DBE ==⋅∠= 由（2）可知30EBB ︒'∠= ∴tan 2EB BE EBB ''=⋅∠=， 分两种情况：①如图，当点E 在线段DB '上时，。

中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点 延长线于点P ，连接BC •（1） 求证： PCA B ；（2） 已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点 重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图， 四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的 长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线 理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ， 解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（角度问题）1．已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，连接BP DP 、．(1)若将AD 顺时针旋转30︒至AP ，如图1所示，求BPD ∠的度数？ (2)若将AD 顺时针旋转α度()090α︒<<︒至AP ，求BPD ∠的度数？(3)若将AD 逆时针旋转α度()0180α︒<<︒至AP ，请分别求出090α︒<<︒、90α=︒、90180α︒<<︒三种情况下的BPD ∠的度数（图2、图3、图4）．2．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ．(1)当点D 恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '与CBD '△全等时，旋转角a 的值．3．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=___ ___度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____ ．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为 ． ②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为 ．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，AB ＝12，CD ＝6，以CD 为边在四边形ABCD 内部作等边△PCD ，连接AP ，BP ．若△P AD 是△PBC 的“旋补三角形”，请直接写出△PBC 的“旋补中线”长及四边形ABCD 的边AD 长．5．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DFAE的值____ ___； (2)将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．6．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：CE EF =；(2)联结CF ，如果13DP CF =，求ABP ∠的正切值；(3)联结AF ，如果AF AB =，求n 的值．7．把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE ⊥AC 时，旋转角α＝ 度，AD 与BC 的位置关系是 ，AE 与BC 的位置关系是 ；（Ⅱ）当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数； （Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD 的面积最大．8．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =； （2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当△CBD 是等边三角形时，旋转角a 的度数是（a 为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG=CG 时，求点G 的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．10．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠==，点D 为AB 边上的一点，将BCD △绕点C 逆时针旋转90得到ACE △，易得BCD ACE ≌，连接BE ．(1)求BCE ACD ∠∠+的度数．(2)当5,BC BD ==BE CE 、的长．(3)如图2，在(2)的条件下，取AD 中点F ，连接CF 交BE 于H ，试探究线段BE CF 、的数量关系和位置关系，并说明理由．12．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_____ __．13．如图1，ABC 中，90,30,ACB B AD ∠=︒∠=︒是角平分线，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，45,CEF CF CD ∠=︒<、将CEF △绕点C 按逆时针方向旋转，使得EF 所在直线交线段AD 于点M ，交线段AB 于点N ．(1)当旋转75°时，如图2，直线EF 与AD 的位置关系是____ __，ANM ∠=__ ____°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE 旋转多少度时，AMN 中有两个角相等．14．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长； (2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F 三点在同一直线上时，求证：2OH OA +=； (3)如图3，菱形ABCD 中，=45ABC ∠︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A ＝1，PB PC ＝2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得AP C '△，连接PP '．利用这种变换可以求∠BPC 的度数，请写出推理过程； （2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB ＝90°，P A ＝2，PB PC ＝1．求∠APC 的度数．16．ABC 为等边三角形，AB ＝8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．(1)如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，BE ，直接写出NG 与BE 的数量关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30120α︒<<︒时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；(3)连接BN，在AEF△绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．18．如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA≌BFE；(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．参考答案：1．(1)135︒(2)135︒(3)45︒，45︒，45︒2．(1)30°(3)135°，315°3．(1)40，BE ＝AD(2)①存在，②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大4．(1)①3；②3.5(2)AD ＝12BC ，(3)339=AD5．2(2)2DF AE =，(3)α的值为30°或150°，6．(2)23；(3)307．（Ⅰ）45；垂直；平行；（Ⅱ）90BEC ∠=︒；（Ⅲ）90︒或270︒8．（2）15°；（3）存在，23,03M ⎫⎪⎭或()423,0- 9．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ； （4）点H 不在此抛物线上．10．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，11．(1)180BCE ACD ∠+∠=︒(2)BE =CE =(3)2BE CF =；BE CF ⊥，12．(2)①PB =；②413．(1)垂直，60(2)当CE 旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN 中有两个角相等14．(3)75︒15．（2）90°16．(1)2BE NG =(2)∠DNM 的大小是定值，为120°(3)17．(1)②18．(3)∠MPN 的值为定值，30°．。

第七部分专题拓展7.20 几何压轴题【一】知识点清单【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年贵州省遵义市-第12题-3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．D．【知识考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答过程】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．【总结归纳】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．2．（2018年内蒙古鄂尔多斯市-第6题-3分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE D．sin∠CBE【知识考点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【思路分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED＝90°，CE＝DE，于是可判断∠DAE＝30°，∠D＝60°，从而得到∠ABC＝60°；利用AB＝2DE得到S△ABE＝2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，则可计算出CH＝CE＝1，EH＝CH＝，利用勾股定理可计算出BE＝2；利用正弦的定义得sin∠CBE＝＝．【解答过程】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝2DE，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的说法正确；∵AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的说法正确；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，在Rt△ECH中，∵∠ECH＝60°，∴CH＝CE＝1，EH＝CH＝，在Rt△BEH中，BE＝＝2，所以C选项的说法错误；sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的说法正确．故选：C．【总结归纳】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．3．（2018年江苏省无锡市-第8题-3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【知识考点】矩形的性质；切线的判定．【思路分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答过程】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【总结归纳】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．4．（2018年山东省潍坊市-第6题-3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD=30°B．S△BDC=AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D=l【知识考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形的应用．【思路分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；【解答过程】解：由作图可知：AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，由作图可知：CB=CA=CD，∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，BD=AB，∴S △ABD =AB 2，∵AC=CD ， ∴S △BDC =AB 2，故A 、B 、C 正确， 故选：D ．【总结归纳】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2018年四川省南充市-第10题-3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH ⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连接HF ．下列结论正确的是（ ）A ．B ．EF=2 C ．cos ∠CEP=5D ．HF 2=EF•CF 【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 【思路分析】首先证明BH=AH ，推出EG=BG ，推出CE=CB ，再证明△CEH ≌△CBH ，Rt △HFE ≌Rt △HFA ，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【解答过程】解：连接EH ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD=AB═BC=AD=2，CD ∥AB ， ∵BE ⊥AP ，CH ⊥BE ， ∴CH ∥PA ，∴四边形CPAH 是平行四边形， ∴CP=AH ， ∵CP=PD=1， ∴AH=PC=1， ∴AH=BH ，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．【总结归纳】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题1．（2018年内蒙古鄂尔多斯市-第16题-3分）如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在▱ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD＝8，AB＝则AF＝．【知识考点】勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的性质．【思路分析】连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE＝BF＝CF＝AD，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH＝FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由题目中的结论得即可得到结果．【解答过程】解：如图2，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∴∠EAH＝∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝AD，BF＝BC，∴AE＝BF＝CF＝AD＝4，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝2，AP＝PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH（AAS），∴EH＝FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线，由a2+b2＝5c2得：AF2+EF2＝5AE2，∴AF2＝5×42﹣（2）2＝60，∴AF＝2．故答案为：2．【总结归纳】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2018年贵州省遵义市-第18题-4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．【知识考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答过程】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8﹣x，在Rt△EHB中，BH=x，EH=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即（8﹣x）2=（x）2+（6﹣x）2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案为：2.8．【总结归纳】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3．（2018年湖北省咸宁市-第16题-3分）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD2；其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）．【知识考点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；轴对称的性质；旋转的性质．【思路分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断；④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．【解答过程】解：①∵A、C关于直线OM'对称，∴OM'是AC的垂直平分线，∴CD=AD，故①正确；②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA，∴OA=OB=OC，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，∵∠MON=120°，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠E=60°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，由①得：CD=AD，∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD=CD，∴OC=OA=AD=CD，∴四边形OADC为菱形；故③正确；④∵CD=AD，∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，∴△ACD面积的最大值是：AC2==，故④正确，所以本题结论正确的有：①③④故答案为：①③④．【总结归纳】本题是圆和图形变换的综合题，考查了轴对称的性质、四点共圆的性质、等边三角形的判定、菱形的判定、三角形面积及圆的有关性质，有难度，熟练掌握轴对称的性质是关键，是一道比较好的填空题的压轴题．4．（2018年江苏省无锡市-第18题-2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．【知识考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．【思路分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．【解答过程】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．【总结归纳】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．5．（2018年江苏省苏州市-第18题-3分）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．【知识考点】垂线段最短；三角形中位线定理；菱形的性质；梯形．【思路分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答过程】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=（4﹣a），∴MN===，∴a=3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2．【总结归纳】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．6．（2018年辽宁省大连市-第16题-3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF 的长为．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得=，延长构建方程即可解决问题；【解答过程】解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴=，∴=，∴DF=6﹣2，故答案为6﹣2．【总结归纳】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2018年山东省潍坊市-第17题-3分）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y 于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按A B的长是．此作法进行下去，则20192018【知识考点】弧长的计算；规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．【解答过程】解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．【总结归纳】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．8．（2018年浙江省嘉兴市舟山市-第16题-4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．【知识考点】矩形的性质；勾股定理．【思路分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF=0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．【解答过程】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，①当AF=0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，则OP⊥BC，设AF=x，则BF=P1C=4﹣x，EP1=x﹣1，∵OP∥EC，OE=OF，∴OG=EP1=，∴⊙O的半径为：OF=OP=，在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，∴，解得：x=，∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，③当AF=4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．故答案为：0或1＜AF或4．【总结归纳】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题．三、解答题1．（2018年内蒙古鄂尔多斯市-第24题-12分）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝度．（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】如图3ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC 的面积．（4）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC 内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可；（2）【类比探究】：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题；（3）【解决问题】：如图3中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题；（4）【拓展应用】：如图4中，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；【解答过程】（1）【操作发现】解：如图1中，连接BD．∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°故答案为60．（2）【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．∵∠BAC＝∠PAD＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∵AB＝AC，AP＝AD，∴△PAB≌△ACD（SAS），∴BP＝CD，在△PCD中，∵PD+CD＞PC，又∵PA＝PD，∴AP+BP＞PC．∴PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】解：如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．（4）【拓展应用】解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC（旋转的性质），∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB+PC的最小值为；【总结归纳】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．2．（2018年湖北省襄阳市-第24题-10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=BC=．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得=、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；（3）证△AHG∽△CHA得==，设BC=CD=AD=a，知AC=a，由=得AH= a、DH=a、CH=a，由=可得a的值．【解答过程】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴=，GE∥AB，∴==，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=cos45°=、=cos45°=，∴==，∴△ACG∽△BCE，∴==，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴==，设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由=得=，∴AH=a，则DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴=得=，解得：a=3，即BC=3，故答案为：3．【总结归纳】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．3．（2018年湖南省湘潭市-第25题-10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．【解答过程】解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∴DM=OM=10②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，∴OF=10﹣x，∵AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2∴x=，∴AF=，∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴，∴，∴AD=∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于之间时，连接BC，∵C是的中点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述，∠CMD=45°【总结归纳】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．4．（2018年湖南邵阳市-第25题-8分）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OG=1，求ENGM的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE=GF，即可得证；（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得==；②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD 的条件均可以满足此条件．【解答过程】解：（1）如图1，连接AC，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，∴OE=GF，OE=GF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴=，∴△OGM∽△OEN，∴==．②添加AC=BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，∵AC=BD，∴OG=OE，∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴OG=OE、OM=ON，在△OGM和△OEN中，∵，∴△OGM≌△OEN（SAS），∴GM=EN．【总结归纳】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．5．（2018年江苏省淮安市-第26题-12分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；【解答过程】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=60°，解得，∠B=15°，故答案为：15°；（2）如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠A+∠BAE=90°，∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，∴CE=，∴BE=5﹣=．（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD ，∠CBF=∠CBD ， ∵∠ABD=2∠BCD ，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A 、B 、F 共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC ，∵∠F=∠F ， ∴△FCB ∽△FAC ， ∴CF 2=FB•FA ，设FB=x ， 则有：x （x+7）=122， ∴x=9或﹣16（舍弃）， ∴AF=7+9=16， 在Rt △ACF 中，AC===20．【总结归纳】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．6．（2018年江苏省无锡市-第27题-10分）如图，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上． （1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若11A E EC =，求nm的值．【知识考点】轨迹；旋转的性质．【思路分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出==，可得CE=由=﹣1推出=，推出AC=•，推出BH=AC==•，可得m2﹣n2=6•，可得1﹣=6•，由此解方程即可解决问题；【解答过程】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA1=n=1，在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，∴BA1=2HA1，∴∠ABA1=30°，∴旋转角为30°，∵BD==，∴D到点D1所经过路径的长度==π．（2）∵△BCE∽△BA2D2，∴==，∴CE=∵=﹣1∴=，∴AC=•，∴BH=AC==•，∴m2﹣n2=6•，∴m4﹣m2n2=6n4，1﹣=6•，∴=（负根已经舍弃）．【总结归纳】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2018年江苏省苏州市-第27题-10分）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD=3时，SS'=；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示SS'．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示SS'．【知识考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】问题1：（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则==，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：==，可得结论；（2）解法一：同理根据（1）可得结论；解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：=，分别表示和的值，代入可得结论；问题2：解法一：如图2，作辅助线，构建△OBC，证明△OAD∽△OBC，得OB=8，由问题1的解法可知：===，根据相似三角形的性质得：=，可得结论；解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=BC，可得=，得：S△ADC=S，S△ABC=，由问题1的结论可知：=，证明△CFM∽△CDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论．【解答过程】解：问题1：（1）∵AB=4，AD=3，∴BD=4﹣3=1，∵DE∥BC，∴，∴==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴=，即，故答案为：；（2）解法一：∵AB=4，AD=m，∴BD=4﹣m，∵DE∥BC，∴==，∴==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴===，即=；解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴=，∴===，即=；问题2：如图②，解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴，∴OA=AB=4，∴OB=8，∵AE=n，∴OE=4+n，∵EF∥BC，由问题1的解法可知：===，∵==，∴=，∴===，即=；解法二：如图3，连接AC交EF于M，∵AD∥BC，且AD=BC，∴=，∴S△ADC=，∴S△ADC=S，S△ABC=，由问题1的结论可知：=，∵MF∥AD，∴△CFM∽△CDA，∴===，∴S△CFM=×S，∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=+×S=，∴=．。