高中数学第二章数列数列复习1导学案教师版苏教版必修Word版

2.1 数列（2）教学目标：1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2．掌握数列通项公式的写法．教学重点：掌握数列通项公式的写法．教学难点：掌握数列通项公式的写法．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、复习1. 分别用列表法、图象法表示数列：我国参加6次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32．2. 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－3，试写出这个数列的前4项．3. 已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．二、例题剖析例1. 写出下列数列的一个通项公式：（1）1，4，9，16，…，（2）－1，3，－5，7，…，（3）13，45，97，169，…；（4）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯，…；（5）1，3，1，3，…；（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．例2. 判断数列｛2n－1｝的单调性，并说明理由．例3. 试判断下列各数是否是数列｛5n＋4｝的项，并说明理由：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

§2.3.1等比数列的概念 第 1 5 课时一、学习目标（1）明确等比数列的定义，初步掌握等比数列的通项公式；（2）会解决知道n q a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题；（3）培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识。

二、学法指导1．等比数列必须是从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数。

若从第3或第4项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，则不能断定这个数列是等比数列。

2．类比思想的应用三、课前预习1．如果一个数列从 起，每一项与它前一项的 等于 ，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示。

2．思考等比数列与等差数列的联系与区别课堂探究等比数列的概念☆问题情境：（1）“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”（2）“细胞分裂”探究：1．什么是等比数列？探究：2．等比数列的通项公式：若等比数列}{n a 的首项为1a ，公比是q ，则11-=n n q a a （推导） 注：（1）一个等比数列可以由首项和公比来唯一确定。

)0(≠q（2）在n q a a n ,,,1四个基本量中，“知三求一”数学运用：例1：判断下列数列是否为等比数列：（1）1，1，1，1； （2）0，1，2，4，8；（3）11111,,,,24816-- .例2：求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a （2）.21,,,4c b -例3：（1）在等比数列{}n a 中，是否有211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）？ （2）在数列{}n a 中，对于任意的正整数n （2n ≥），都有211n n n a a a -+=⋅，那么数列{}n a 一定是等比数列吗？．例4：在等比数列{}n a 中，（1）已知13a =，2q =-，求6a ；（2）已知320a =，6160a =，求n a ．（3）983是等比数列Λ,3,3,3,121147中的第几项？四、巩固训练（一）当堂练习（47页书后练习）（二）（补充选做）1、等比数列}{n a 中，8,1842==a a ，则________1=a ，公比.________=q2、将100,50,20加上相同的常数，使它们成等比数列，则其公比为_________________五、反思总结。

数列【知识网络】【学法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证． 2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设的技巧与解方程组的技巧． 3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化． 4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课 等差数列【考点指津】1．理解等差数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2．掌握等差数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差中项的性质．3．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． 【知识在线】1．依据等差数列定义，若记等差数列{}n a 前n 项和为n s ，*N n ∈，则下列表述不能恒成立的是 （ ） A.1+n a ＝n a ＋d (d 为常数)B.2+n a － 1+n a ＝1+n a －n aC.1+n a ＋1-n a ＝2n aD.1+n s －n s ＝ 1+n a2．等差数列{}n a 中，2a ＋5a ＝19， S 5 ＝40，则1a ＝ ．和A.5a ＋15a B.10a ＋11a C.2a ＋102a D. 102a4．集合M ＝{,,7N n n m m ∈=且m ＜100＝中的元素个数为 ，这些元素的和为 ．5．已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求该三角形的三边之比． 1．C 2．2 3．B 4. 15，735 5. 3:4:5【讲练平台】例1 在等差数列{}n a 中，4a ＝9，9a ＝－6，求满足54=n s 的所有n 的值． 分析 已知4a 、9a ，依据通项公式，可求1a 及d ，也可依据9a ＝4a ＋d 5，先求d 再求1a ，然后将1a ．d 的取值代入n s ，求n ． 略解 方法一：设{}n a 的公差为d ．⎩⎨⎧-=+==+=68931914d a a d a a 解之，得⎩⎨⎧-==3181d a由2)1(541dn n na s n -+==，得4=n 或9． 方法二．由d a a 549+=即d 596+=-得3-=d ，由18)3(39341=-⋅-=-=d a a ，再由54=n s 得4=n 或9=n ．点评 等差数列的通项公式．求和公式涉及五个基本量，即1a ．d ．n a ．n s ．n ，结合两个公式可“知三求二”．等差数列的求和公式有两种表达方式，通项公式也有多种变式，如md a a n n m +=+，运用时要分析已知条件特征，灵活选择．例2．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和的比为())(32:13++n n ，求1515:b a分析 已知条件不足以求出15a ．15b 的具体值，只有设法运用性质，291152a a a +=，而)(22929129a a s +=类似理解15b ，可望求解． 解29292912911515')(21)(21s s b b a a b a =++=而618832921293'2929=+⨯+⨯=s s 6188:1515=∴b a 点评 在等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，特殊地，若k m 21=+，则k m a a a 21=+，由此进一步得到，若12-=k m ，m k s ma 1=类似这样的灵活变形，还可以进一步深入，这类引申与拓展，无需记忆，关键在于理解过程与方法． 例3 已知实数a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明a c b +，b c a +，cba +也成等差数列．分析 由a ，b ，c 倒数成等差数列，可得b 用a ，c 表示的表达式，我们将其代入bca cb a ac b +⋅-+++2化简．目标证其为0．（该证法读者自己完成）从结论特征分析入手，a c b +，b c a +，cba +，表达形式和谐对称，各项均加1时，便成为a 1，b 1，c1的各项同乘以()c b a ++，以此为突破口，可望更方便证得．证明 因a 1，b 1，c 1成等差数列，故ca b 112+=，当a ＋b ＋c ≠0时，两边同乘以()c b a ++ ，得c cb a ac b a b c b a +++++=++)(2， 2()a c b c a bb ac +++=+， cba b c a a c b +++∴,,成等差数列． 若a ＋b ＋c ＝0，a c b +，b c a +，c ba +，各项均为－1，也成等差数列．点评 一般情况下，证明数列{}n a 是等差数列，只需证d a a n n =-+1．对于三项数列要证其等差，则通常证明中间一项的两倍等于首末两项的和．注意，无论采纳那一种方法，多项式（分式）的变形，一定要有目标．例4 一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和．（1） 若这个数列前n 项和最大，求n 的值． （2） 求该数列前14项的和．分析 （1）113s s =，说明第4项到第11项之和为0，因数列首项为正，故必然有一项为正且其后面一项为负，找到这一正．负分界项，便得到n 的值．（2）113s s =，显然不能求出1a ．d 的具体值，为此，只有设法探求14s 与它们的关系．解 （1）由已知113s s =，得01110654=+++++a a a a a ΛΛ， 087105114=+==+=+a a a a a a ΛΛ．因数列首项为正，故公差0<d ，且07>a ，08<a ，所求n 的值为7．（2）设{}n a 首项为1a ，公差为d ，113s s =,即d a d a 2)111(11112)13(3311-+=-+，01321=+d a ． 故0)132(72)114(14141114=+=-+=d a d a s ．点评 等差数列求最值问题，关键在于找到正负分界项，一般很少采纳目标函数法．本题第2问采纳设而不求，整体代换的策略，这一方法的应用可作一般化推广．变题 在等差数列{}n a 中，已知前n 项和n s 满足下列条件之一时，分别求q p s + （1）q p s s q p ≠=,； （2）q p p s q s q p ≠==,,． 答：（1） 0， （2） ()q p +-．【知能集成】基础知识：等差数列的定义．性质．通项公式．求和公式．基本技能：常用公式，性质的变式应用，三个数成等差数列的证明方法． 基本思想：求公差．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．【训练反馈】1． 5和15之间插入n 个数，使它们成等差数列，且它们的和为100，则n 的值为 （ ）A.16 B .18 C.20 D.22 2．一个等差数列的第5项等于10，前3项和等于3，那么它 的首项与公差分别是 ( A ）A.－2,3B.2,－3C.－3,2D.3,－2 3．等差数列{}n a 的前k 项和为30，前2k 项和为100，则它的 前3k 项和为（ C ）A.130B.170C.210D.2604．等差数列{}n a 的公差为2，509741-=+++a a a ΛΛ，则9963a a a ΛΛ++等于（D ）A.－50B.50C.16D.825．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若5418a a -=，则8s 等于 （ A ） A.72 B.36 C.18 D.144 6．在数列{}n a 中，141-=a ，且2331-=+n n a a ，则当前n 项 和n s 取最小值时，n 的取值为 ．21或227．一等差数列，前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，则该数列的公差为 ．d ＝5 8．对于首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a ，记)(121n n a a a nb +++=ΛΛ，则数列{}n b 前n 项和为 ．11(1)4na n n d +-9．一个等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若189=s ，240=n s ，)9(304>=-n a n ，则n 的值为 ．1510．已知数列{}n a 的前n 项和C Bn An s n ++=2，求证{}n a 成等差数列的条件是C ＝0．11．已知数列{}n a 前n 项的和)(10*2N n n n s n ∈-=，又n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T ． 12．已知数列{}n a ，211=a ，前n 项的和为n s ，且)2(021≥=+⋅-n a s s n n n ，试判断数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 1是否是等差数列，说明你的理由．【训练反馈】1．B 2.A 3.C 4.D 5.A 6. 21或227. 5 提示：一方面运用基本量思想可列方程组，另一方面利用比例性质，先求偶数项和，再求奇数项和，由d s s 6=-奇偶，得5=d ．8. nd n na )1(411-+．9. 15 提示：由9s 求5a ，用45-+n a a 表示n s ，进而求得n ．10.略 11.提示：先判断数列{}n a 前多少项为正，然后进行能够分类讨论 ．答：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=)6(5010)5(1022n n n n n n T n 12．提示：2≥n 时，用n n n a s s =--1，可证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，注意要说明S n ≠0,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 1 不是等差数列，理由是如211=a ，412-=a ，1213-=a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n na 1不成等差数列．第2课 等比数列【考点指津】1． 解等比数列的概念，能判断一个数列是不是等比数列．2． 握等比数列的通项公式，前n 项和公式，并能正确运用于解题． 3． 解等比数列的性质，并学会灵活运用等比中项性质解决相关问题． 4． 会用联系的观点看待等差数列与等比数列，能用类比的方法处理一些与等差数列类似的问题． 【知识在线】1．ac b =2是c b a ,,成等比数列的 （ B ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．等比数列{}n a 中，3,21==q a ，则满足1000>n s 的最小的n 值是 ．74．已知{}n a 是等比数列，且812,,0756453=++∈>+a a a a a a N n a n ， 则64a a +＝ ．95．已知数列{}n a 的通项公式为nn na 2=，试利用错位相减法，求该数列的前n 项的和 ． [222n nnS +=-] 【讲练平台】 例1 求和：n x x x ++++Λ21其中R x ∈．分析 和式表面上看是一个等比数列，可用等比数列求和公式作答．但因R x ∈，引发分类讨论．略解 当0=x 时，原式＝0；当1=x 时，原式＝n ＋1；当10≠≠x x 且时，原式xx n --=+111．点评 等比数列的各项不能为0，自然公比也不为零；等比数列的求和公式应分两种情况，当公比1=q 时，1na s n =，当1≠q 时qq a s n n --=1)1(1．因此，当已知数列的公比为字母时，要注意分类讨论． 变题 求和：n x n x xx )1(432132++++++Λ答：当x ＝0时，原式＝1； 当x ＝1时，原式＝2)2)(1(++n n ；当x 10≠≠x 且时，用错位相减法，得原式＝x x n x x n n -+---++1)1()1(1121． 例2 在等比数列{}n a 中，126,128,66121===+-n n n s a a a a , 求项数n 和公比q 的值．分析 由于n n a a a a 112=-，n a a 与1的和、积均已知，故1a ．n a 可求，代入前n 项和公式，求得q ，再代入通项公式求出n ．解 因{}n a 是等比数列，故n n a a a a 112=-＝128，结合1a ＋n a ＝66，可知1a ，n a 是方程0128662=+-x x 的两根，解方程，得64,221==x x ．故2,64,64,211====n n a a a a 或． 当64,21==n a a 时，12611=--=qqa a s n n ，得q ＝2． 又因为1164,64,故6n n a a q n -===． 当2,641==n a a 时，12611=--=q q a a s n n ， 1261264=--qq， 得q ＝21，又因为6,2,211===-n q a a n n ． 综上所述，6=n ，公比212或=q ．点评 等比数列求和公式既可用1a ．q ．n 表示，也可用1a ．n a ．q 表示，运用时可依据题目条件特征加以选择．本题实质已知三个方程，另有两个隐含方程（通项公式．求和公式），求等比数列的基本量1a ．q ．n ．n a ，求解方法是比较常规的典型的解方程组法． 例 3 若数列{}n a 前n 项和可表示为a s n n +=2，则{}n a 是否可能成为等比数列？若可能，求出a 值；若不可能，说明理由．分析 判断{}n a 是否成等比数列，关键看通项公式，由求和公式到通项公式，重点看1a 是否适合)2(1≥-=-n s s a n n n ，若适合，则可能成等比；不适合，一定不成等比，有条件地适合，这一条件就是求a 值的依据．解 因{}n a 的前n 项和a s n n +=2，故1a ＝a s +=21,)2(1≥-=-n s s a n n n ， a n ＝2n ＋a －2n －1－a ＝2n －1(2≥n )．要使1a 适合2≥n 时通项公式，则必有1,220-==+a a ， 此时)(21*-∈=N n a n n ，22211==-+n nn n a a ， 故当a ＝－1时，数列{}n a 成等比数列，首项为1，公比为2，1-≠a 时，{}n a 不是等比数列．例4 已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T ＞k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．分析 要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T ＞k n s 具体化．因此，可首先从探求n T 与n s 的关系入手，寻求突破口．解 因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列，故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T ＝n b b b +++Λ21＝（a 1＋a 2＋…＋a n ）（q －kq 2）＝n s )(2kq q -．依题意，由n T ＞k n s ，得n s )(2kq q -＞ k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s ＞0；当－1＜q ＜0时，由01>a ，1－q ＞0,1－nq ＞0,所以n s ＝01)1(1>--qq a n ． 综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s ＞0恒成立 ． 由①式，可得k kq q >-2， ② 即q qq q k q q k +=+<<+111,)1(22． 由于21≥+qq ，故要使①式恒成立，k ＜－21．点评 本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k ＜)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值．【知能集成】基础知识：等比数列的定义、性质．等比数列的通项公式与求和公式． 基本技能：指数式、分式的变形运算．对定义、公式严谨性的理解与处理． 基本思想：运用等比数列定义，求和公式时的分类讨论思想．处理等差．等比数列类似问题时的类比思想． 【训练反馈】1. 等比数列{}n a 中，a 1＋a 2＝30,a 3＋a 4＝60,则公比q ＝2. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n s ,公比为2，===k k k s s s 则,8190,51032 ，k ＝ ．3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若9632s s s =+，则公比q ＝ ．4. 已知下列命题：①若{}n a 为等比数列，m ．n ．p ．q 均为正整数，m ＋n ＝p ＋q ，则q p n m a a a a =；②5105105-+与是的等比中项； ③常数数列是公比为1的等比数列；④等比数列的项数作自变量，各项对应值视为函数值，则等比数列的图象是分布在指数函数图象上的一群孤立的点． 其中正确的命题序号有 ．5．设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅Λ等于 （ B ）A. 102B.202C.162D.1526．等比数列{}n a 中，公比q 1≠，它的前n 项和为M,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 2前n 项和为N ，则NM的值为 （C ） A.2n q a 21 B.1121-n q a C.21121-n q a D.2121-n q a7．如果数列{}n a 的前n 项和)23(21n n n n s -=，那么这个数列 （B ）A.是等差数列但不是等比数列；B.是等比数列不是等差数列；C.既是等差数列又是等比数列；D.既不是等差数列又不是等比数列．8．在等比数列{}n a 中，对于*∈N n ，12-=n n s ,则22221n a a a +++Λ的值等于（D ）A.2)12(-nB.312)12(-nC.212)14(-nD. 31（4n －1） 9．若方程0100522=+-=+-n x x m x x 与的四个实根适当排列后， 恰好组成一个首项为1的等比数列，则m : n 的值为（D ）A. 4B. 2C.21 D. 4110．已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，又有数列{}n b ，它满足关系11a b =，对n ∈N ＋, 有n n n n n a a b n s a -==+++11,．求证：{}n b 是等比数列，并写出它的通项公式．[12n nb =] 11．{}n a 为等比数列，公比1≠q ，且nn a a a T a a a s 111,2121+++=+++=ΛΛ， 求{}n a 的前n 项之积．1. q=± 22. 30， 43. 243-4. ①② 5．B 6．C 7.B 8.D 9.D 10．解n=1时，11a b ==1s =21．2≥n 时，1,11-=+=+--n s a n s a n n n n ，两式相减，得121=--n n a a ．同理121=-+n n a a ，故21,211==++n n n n b b b b (2≥n )．又41,43,2122222=-===+a a b a s a 而， 于是2112=b b ．∴)(211*+∈=N n b b n n ．∴{}n b 为等比数列，公比21=q ，通项公式为：nn b 21=． 11．提示：分别写出S ．T 用q a a n ,,1表示的表达式，得n a a Ts1=，进而得{}n a 前n 项的积为2)(nT s ．第3课 等差数列与等比数列【考点指津】综合运用等差数列、等比数列知识，提高运算能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题能力，形成较为完整的知识网络． 【知识在线】 1．数列{}na 中，a 15＝10,a 45＝90，若{a n }是等差数列，则a 60＝ ；若{a n }是等比数列，则a 60＝ ． 2．等差数列{}na 的公差d ≠0，若a 1，a 3,a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为（ D ）A. 107B. 710C.1316D.16133．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且 0＜ log m (ab)＜1 ，则m 的取值范围是 （ A ） A. m ＞8 B. m ＞1 C. 1＜m ＜8 D.m ＞8或0＜m ＜1 4．公差不为0 的等差数列{}na 和递增的等比数列{}nb ．已知a 1＝b 1＝1，3a ＝3b ，7a ＝5b ，若m a ＝9b ，则m ＝ ．315．公差不为零的等差数列的第4，7，16项恰是某等比数列的第4，6，8项，求该等比数列的公比．提示：可设等差数列的首项与公差，并将首项用公差来表示，进而求公比．也可设等比数列的公比为q ，等差数列公差为d ，第4项为a ，从而⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq daq aq 39224两式相除，得q 2=3，q=3±．【知识在线】1．130, ± 270 2．D 提示：有a 1、a 3、a 9成等比数列，可知a 1=d ． 3. A 提示：先解方程组，可得a=2，b=4． 4．31提示：依据3a =3b , 7a =5b 求得公差d=21，公比q= 2 ，再解方程m a =9b ，求m ．【讲练平台】例1 有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．分析 四个数中，已知第四个数，而前三个数成等差数列，可设成只含两个基本量a 、d 的对称形式，结合其和为48及后个三数成等比数列，求出a 、d ．解 设前三数分别为a －d ，a ，a ＋d （d 为公差），由题知，前三数和为48，即（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝48．解得 a ＝16．又后三个数成等比数列，即16，16＋d ，25成等比数列，所以（16＋d ）2＝16×25解之，得 d ＝4，或d ＝ －36．因四个数均为正数，故d ＝ －36应舍去，所以所求四数依次是12，16，20，25．点评 若已知等差数列的三数之和或四数之和，可分别设a －d ，a ，a ＋d 与a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ；若已知成等比数列的三数之积或四数之积，可分别设为q a,a,aq 与33,,,aq aq q a q a ，类似这样的假设，有利于减少运算量． 变题四个数，前三数成等比数列，其和为19；后三数成等差数列，其和为12，求此四数．答：所求四数为9，6，4，2或25，－10，4，18．例2 设{}na 和{}nb 分别是等差数列和等比数列，且1a ＝1b ＞0，2a ＝2b ＞ 0 ,若a 1≠a 2，试比较{}n a 和{}n b 的大小（n ∈N＋,n ＞2）．分析：要比较{}na 与{}nb 的大小，一般考察其差的正负，但因既有等差又有等比,a n －b n 的表达式将含有1a 、d 、q 、n 四个量，不便判断，为此，进步用条件a 2＝b 2减少一个基本量．解： 设{}na 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，显然，q ＞0．∵2a ＝2b ＞ 0，∴1a ＋d ＝1a q ， 即1a （q －1）＝d ．∴n a －n b ＝1a ＋（n －1）d －1a 1-n q ＝1a ＋1a （n －1）（q －1）－1a 1-n q ． ∵1a ≠2a ，∴q ＝12b b ＝12a a≠1． 若q ＞1,则n a －n b ＝1a （1－q ）[ qq n ---111－（n －1）]＝1a (1－q)[(1＋q ＋2q ＋…＋2-n q )－(n －1)]． ∵1＋q ＋2q ＋…＋2-n q ＞n －1，1－q ＜0，∴n a ＜n b ． 若0＜q ＜1，则 1＋q ＋2q ＋…＋2-n q ＜n －1，1－q ＞0 ，n a －n b ＜0，亦有n a ＜n b ．综上所述，n ∈N,且n ＞2时，n a ＜n b ．点评：本题采纳作差比较法，总体思路比较自然，但在实施过程中，等比数列求和公式的逆向变形才是成功的关键．例3 设n s 是等差数列{n a }前n 项的和．已知 313s 与414s 的等比中项为515s ,313s 与414s 的等差中项为1，求等差数列{n a }的通项公式． 分析 等比中项、等差中项两部分条件可转化为关于首项1a 和公差为d 的两个等式，求出1a 、d,即可写出通项公式．解 设等差数列n a 的首相为1a ，公差为d ，由题意知234534111(),34511 2.34s s s s s ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将3s ＝d a 331+,d a s 6414+=,d a s 10515+=代入上式并化简，得2350,52 2.2ad d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解之，得0,1;d a =⎧⎨=⎩或12,54.d a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故n a ＝1，或n a ＝n n 512532)1(5124-=--． 经验证n a ＝1时，5s ＝5,n a ＝n 512532-时，5s ＝－4均适合题意．故所求等差数列的通项公式为n a ＝1，或n a ＝n 512532-．点评 等差中项、等比中项是两个非常重要的概念，复习目标应达到灵活运用层次．本题考虑到等比数列各项均不为零，故需验证5s 是否为0，而d ＝0这一特殊情况不能随意舍去．例*4 设数列{n a }的首项1a ＝1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t ＞0,n ∈ N,n ≥2)．（1） 求证数列{n a }是等比数列；（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n≥2)，求b n ．分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s =＝1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得t t a 3322+=， 于是t t a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n ＝3,4，……）， 两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ． 于是，得tt a a n n 3321+=-（n ＝3,4……）． ……② 综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为tt 332+的等比数列． （2）解 由（1），得321332)(+=+=t t t t f ，32)1(11+==--n n n b b f b即321=--n n b b ． 所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ． 点评 要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求． 【知能集成】等差数列与等比数列的基础知识有机融合是高考的热点．本课数例说明，求解综合题，首先要善于从宏观上整体上把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后，在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨． 【训练反馈】1．若正数c b a ,,成等比数列，z y x ,,成等差数列，则c y x b x z a z y lg )(lg )(lg )(-+-+-的值为 （ A ）A.0B.1C.2D.－1 2．已知b x a ,,和c y b ,,成等差数列，而c b a ,, 成等比数列，且0≠xy ，则yc x a +的值等于 （ D ） A.1 B.2 C.3 D.43．z y x lg ,lg ,lg 成等差数列是z y x ,,成等比数列的 （ A ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4．若正项等比数列{}n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++ 等于（ A ） A ．215- B ．215+ C ．21D ．215± 5．已知+∈R b a ,，A 是a 、b 的等差中项，G 是的a 、b 的等比中项，则（ C ） A ．AG ab ≤ B ．AG ab ≥ C ．AG ab ≤ D ．AG ab >6．三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则c b a ,,＝ ． 4∶1∶(－2)7．已知A 与B 的等差中项为8π，A tan 与1的等差中项m ，B tan 与1的等差中项为n ，则m 、n 的等比中项为 ．2+8．已知数列1,1,2,……，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对各项相加得到的，则该数列前10项的和为 ．978 9．若数列{}n a 是等差数列，若数列{n b }满足， n b ＝na a a n+++Λ21(*n n ∈),则{n b }也为等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{n c }是等比数列，且n c ＞0(*n n ∈)则有 时，数列{n d }也为等比数列．d n =10．在7个数组成的数列中，奇数项的数组成等差数列，偶数项的数组成等比数列，首末两项与中间项的和等于27，奇数项的和减去偶数项的积等于42，试求中间项的值．11．数列{}n a 是等差数列，公差0≠d ，{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11=k ，52=k ，173=k ．（1）求k n ；（2）证明：1321--=+++n k k k n n Λ12．已知函数x x f a log )(=（1,0≠>a a ），若数列2，)(1a f ，)(2a f ，…)(n a f ，42+n （n ＞0,且n ∈N ）成等差数列． （1） 求等差数列的公差d 的值．（2） 求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n s ．（3） 令n b ＝n a f(n a )，且a ＞1，试比较n b 与1-n b 的大小．【训练反馈】1．A 提示：设公差为d ． 2. D 3. A 4. A 5. C 6. 4:1:(－2) 7.22±8. 978 .9．n n n c c c c d Λ321= 10．提示：设7个数依次为x －3d ，qy，x －d ，y ，x+d ，yq ，x+3d ，列方程组，其中d,q 可以“设而不求”．答：中间项y=2 11．提示：由1a ，5a ，17a 成等比数列得1a =2d ，q=3．分别依据等差数列通项公式与等比数列通项公式，写出n k a ，比较后得k n =1321-⋅-n .第（2）问实质是求{n k }前n 项和，可转化为一个等比数列前n 项和与n 的差． 12．提示：（1）由2n+4是等差数列的第n+2项，可求公差为2．（2）由f(n a )为等差数列的第n+1项，求得n a =22+n a (a>0且a ≠1)，进而求得2241)1(aa a s n n --=．（3）nb =(2n+2) 22+n a ，n n b b n n 11+=- ， 12>a , 1->n n b b ．第4课 数列的通项公式与数列求和【考点指津】1．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

2.1 数列（一）学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理(1)按照________排列的____________称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的________．(2)数列的一般形式可以写成________________，简记为________，其中a1称为数列{a n}的________(或称为________)，a2称为________，…，a n称为________．知识点二通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？知识点三 数列的分类思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二 数列的通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1nn ＋12n －12n ＋1，n ∈N *.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n }． (1)求a n ＋1； (2)求a 2n .反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练 2 已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n n＋2(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．1．下列叙述正确的是________．①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列；②数列0,1,2,3，…可以表示为{n}；③数列0,1,0,1，…是常数列；④数列{nn＋1}是递增数列．2．37是数列{3n＋1}的第________项．3．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．4．已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n－1·n2n－1，则a1＝________；a n＋1＝________.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和结构(绝对值)特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．答案精析问题导学知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理(1)一定次序一列数项(2)a1，a2，a3，…，a n，…{a n} 第1项首项第2项第n项知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜测第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．知识点三思考(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．梳理(1)有穷无穷题型探究例1 解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n＝－1n＋1n，n∈N*.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N *.(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N *.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N *.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)， 79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *.例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解(1)a n＋1＝－1n＋1[n＋1＋1] [2n＋1－1][2n＋1＋1]＝－1n＋1n＋22n＋12n＋3.(2)a2n＝－12n2n＋12×2n－12×2n＋1＝2n＋14n－14n＋1.跟踪训练2 10解析∵1n n＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10. 当堂训练1．④ 2.12 3.a n＝n＋1，n∈N*4．1 －1n n＋12n＋1。

S n 与a n 之间的关系探究江苏省淮安中学 丁军▎教材分析本节课教学内容为苏教版高中数学必修5第二章《数列》第一节《数列的通项》的探究与扩展内容，本节课内容的教学应安排在讲授完等差数列与等比数列后进行，此时学生已经对数列相关问题的常见处理方法有了一定的了解，同时对数列通项公式中的“n ”的任意性有初步的把握，本章节的内容可以起到承上启下的作用，促进对等差与等比数列的前n 项和公式的理解，同时为下面的数列求和方法提供一些操作方式上的指引。

▎教学目标分析知识与技能：理解n S 与n a 的关系，并能熟练地应用；过程与方法：通过对题目的观察、体验，培养学生的观察能力和准确利用公式的能力；情感态度与价值观：通过对具体问题的探究，激发学生的学习兴趣，强学好数学的自信心。

▎教学重难点分析重点：n S 与n a 的关系及其应用；难点：能敏锐的观察出n S 与n a 的关系，并能准确的运用关系解题。

▎教学流程设计问题1：对于数列{}n a ，前n 项和n S 的意义是？学生作答：12...n n S a a a =+++问题2：前面我们学习了等差数列与等比数列的前n 项和公式，那么如果已知数列{}n a 前n 项和n S ，如何求其所对应的通项公式n a ？设计意图：引出以下n S 与n a 关系：11,1=,2n n n a n a S S n -=⎧⎨-≥⎩ 探究1：数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足41n n S =+，求{}n a设计意图：n S 与n a 关系的直接运用，由学生自主完成，投影学生解题过程并分析其中的注意点，特别是1n =与2n ≥分开讨论的必要性，为变式1做好理论基础准备。

简析：1n =时，15a =；2n ≥时，134n n a -=⋅综上所述：15,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩变式1：等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足4n n S a =+，求a设计意图：进一步强调1n =与2n ≥分开讨论的必要性，如果不将1n =与2n ≥分开讨论，本题将会得到一个“永远成立”的等比数列，其错误原因就是1n =时所得到的1a 也必须适合2n ≥时求得的数列{}n a 的通项公式。

§2.1数列第9 课时一、学习目标1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。

2．探索并掌握数列的几种简单表示法。

二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。

利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。

１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。

（２）可重复性：数列中的数可以重复。

（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。

２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。

３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。

三、课前预习１．叫做数列，叫做这个数列的项。

２．叫做这个数列的通项公式。

３．叫做有穷数列，叫做无穷数列。

４．数列的表示方法有：、、。

四、课堂探究例1．已知数列的第n项na为21n-，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（１）1nnan=+；（２）2(1)2n na-=．例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15；（2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-；（4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……；（6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业32P习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式a n=．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n=．3．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25，215，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；。

习题课(一) 求数列的通项公式学习目标n 项和S n 与a n 的关系求通项公式的方法．知识点一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式思考 你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2): 0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．答案 数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是a n ＝(－1)n，故数列(2)的通项公式是a n ＝(－1)n＋1.梳理 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托根本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系． 知识点二 利用递推公式求通项公式思考 还记得我们是如何用递推公式a n ＋1－a n ＝d 求出等差数列的通项公式的吗？ 答案 累加法．梳理 递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．知识点三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式 思考 如何用数列{a n }的前n 项和S n 表示a n ?答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.梳理 当S n 或S n 与a n 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n 讨论．1．数列可由其前四项完全确定．(×)2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n 任意赋值．(√) 3．{S n }也是一个数列．(√)类型一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)12，23，34，45，56，…； (3)2，52，134，338，8116，…；(4)12，16，112，120，130，…. 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式a n ＝4＋(－1)n .(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝nn ＋1.(3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋116，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12n －1.(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，15×6，…，所以它的一个通项公式为a n ＝1n (n ＋1).反思与感悟 这类数列通常是由根本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想根本数列，再考察它与根本数列的关系．跟踪训练1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(6n －5)．(2)数列化为14，37，510，713，916，…，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －13n ＋1.(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－19，…，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n ＋1)2－12n ＋1.类型二 利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)， 即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ≥2)，a 1＝1也符合上式．∴a n ＝n (n ＋1)2.(2)由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1， 代入上式得(n －1)个等式累乘之， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n(n ≥2)，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n (n ≥2)，a 1＝23也符合上式．∴a n ＝23n.反思与感悟 型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )．第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来． 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n .第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．累乘法类似．跟踪训练 2 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (1)22n n-n a =(n ∈N *)解析 由a n ＋1＝2na n ，得a n ＋1a n＝2n， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝21×22×23×…×2n －1，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)(经历证a 1＝1也符合)(n ∈N *)．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1 (n ＝2,3,4，…)，求{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，这n －1个等式累加得， a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋22且a 1＝1也满足该式，∴a n ＝n 2－n ＋22(n ∈N *)．命题角度2 构造等差(比)数列例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n . 考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，那么t ＝－3. 故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．(1)(1)(1)22212,22---===n n n n n n n a a 故令b n ＝a n ＋3，那么b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.反思与感悟 型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )． 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1.第三步 写出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1的通项公式．第四步 写出数列{a n }通项公式．跟踪训练3 数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 设a n ＋1＋x ×5n ＋1＝2(a n ＋x ×5n)，①将a n ＋1＝2a n ＋3×5n代入①式，得2a n ＋3×5n＋x ×5n ＋1＝2a n ＋2x ×5n，等式两边消去2a n ，得3×5n＋x ×5n ＋1＝2x ×5n，两边除以5n，得3＋5x ＝2x ，那么x ＝－1，代入①式得a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)．②由a 1－51＝6－5＝1≠0及②式得a n －5n≠0，那么a n ＋1－5n ＋1a n －5n ＝2，那么数列{a n －5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，那么a n －5n ＝2n －1，故a n ＝2n －1＋5n (n ∈N *)．类型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式例4 数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2a n －4，n ∈N *，那么a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n ＋1解析 因为S n ＝2a n －4，所以S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，那么a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.反思与感悟 S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式．第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式．第三步 假设求出n ≥2时的{a n }的通项公式，那么根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进展验证，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．如果求出的是{a n }的递推公式，那么问题化归为类型二．跟踪训练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 (1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2·3n －2.于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.1．等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.考点 等比数列的通项公式 题点 数列为等比数列求通项公式 答案 2n解析 ∵{a n }单调递增，∴q ＞0， 又a 25＝a 10＞0，∴a n ＞0，q ＞1， 由条件得2⎝⎛⎭⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，∴q ＝2或q ＝12(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9， ∴a 1＝q ＝2，故a n ＝2n.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，那么a 1＝________，S 5＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 1 121解析 a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，即a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么此数列的通项公式a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.证明{a n }是等比数列，并求其通项公式． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 所以{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.1．不管哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为根底．2．利用数列前假设干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜测，是否对所有项都适用还需论证．3．待定系数法求通项，其本质是猜测所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜测成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项．4．使用递推公式或前n 项和求通项时，要注意n 的取值范围．一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，那么a 100的值是________． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 9902解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n ，那么这个数列的第n 项为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案12n －1解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1. ∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝______________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 2＋ln n解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 得a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×…×n n －1＝ln n ，即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2(经历证a 1＝2也符合)．4．数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，那么此数列的通项公式a n ＝__________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案n2n －1解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2， 即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2na n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2na n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝n2n －1.5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 2n－1解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，即a n ＝2n－1.6．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：那么第8行中的第5个数是________．考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式 答案 132解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，那么第8行中的第5个数是127＋5＝132.7．假设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，那么数列{a n }的通项公式为________________． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 a n ＝4n －2解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列．∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式．∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n(n ∈N *)，那么b n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列， ∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法 题点 累乘法求通项 答案 n 解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n (经历证a 1＝1也符合)． 10．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，那么a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 那么a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，那么{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 即a n ＝－2a n －1，又a n ≠0，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 二、解答题12．S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3， ∴当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. ∴a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，∴2n a n －2n －1a n －1＝2， ∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2S n －2S n －1－2n ＋1，∴S n ＝2S n －1＋2n －1，①∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6， ∴a n ＋2≠0.∴a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 又a 2＋2a 1＋2＝2，也满足上式， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋2＝3·2n －1， ∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.三、探究与拓展14．假设在数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，那么它的通项公式a n 为________________．考点 递推数列通项公式求法题点 其他递推数列问题答案 a n ＝123n －解析 由题意知a n >0且a n ≠1，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，且lg a n ≠0，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝lg 123n －.即a n ＝123n －.15．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－3a n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4的值；(2)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列(1)解 a 3＝4a 2－3a 1＝13，a 4＝4a 3－3a 2＝40.(2)证明 ∵a n ＋2＝4a n ＋1－3a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )．又a 1＝1，a 2＝4，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，那么{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，3为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n ＋1－a n ＝3n ， 那么当n ≥2时，a n －a n －1＝3n －1， 故a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1＝1－3n 1－3＝3n －12. 又a 1＝1适合上式，故a n ＝3n －12，n ∈N *.。

学习札记第15、16课时 数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】 （一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。

数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（ ）d=k a +（ ）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

③n n n n n s s s s s 232,,-- 成 数列。

等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记部分无理数列、含阶乘的数列等。

3. :适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。

5.常用结论1） 1+2+3+...+n = _________ 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3）_________n +++=L 33312 4） ___________n ++++=L 22221235） __________()n n =+11(_______)()n n =+11226） (______)()p q pq q p =<-11【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。