概率论与数理统计-第5讲

概率论与数理统计第1章随机事件与概率第5讲全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0.设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量Ὅ例1分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式两两互斥B 表示产品为次品01 全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容O F (x )x1)O f (xx称满足上述条件的A1,A2,…,A n为完备事件组.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,A n是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有证明两两互不相容，得也两两互不相容；乘法公式B加法公式某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是：每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=Ὅ 全概率公式的关键数学模型完备事件组P (A i )P (B |A i ).设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮Ὅ例2件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.解分别表示邮件来自账户1、2、3B表示邮件为垃圾邮件全概率公式完备事件组甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？Ὅ例3解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的Ὅ例4占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求出这一概率为若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3表示“产品分别来自一、二、三厂”，则上式可以表示为：其中B1，B2，B3正是样本空间的一个划分.01全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.设A 1,A 2,…,A n 是完备事件组，则对任一事件B ，有贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B 已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.P ( A i ) ——先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B 的原因.（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋Ὅ例5白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.解记A={肝病患者}，{经"AFP" 检测呈阳性} ,B=由贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.Ὅ例6解A1=B=显然A1∪A2=“机器未调整良好”，“机器调整良好”，A2=“产品是合格品”，S，由题意，A1A2=∅由贝叶斯公式，有即机器调整良好的概率为97%.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分Ὅ例7别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式由贝叶斯公式同理故应从C元件开始检查.第5讲 全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，大 知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

第一讲 随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型1．试验，样本空间与事件.2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数中有利事件数A A P =)(3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=)(A P【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于；（2） 两数之和小于1且其积小于163. 一、 事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ⇔ Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ⇔ Φ=AB ,Ω=B A Y（3） A 与B 相互独立⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）.⇔ P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ⇔(|)(|)1P B A P B A += （0<P （A ）<1）.⇔P （B|A ） =P （B|A ） （ 0 < P （A ） < 1 ）注: 若（0<P （B ）<1）,则,A B 独立⇔ P （A|B ）=P （A ） （P （B ）>0）⇔ 1)|()|(=+B A P B A P （0<P （B ）<1）. ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1） ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1）（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）; P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.2. 重要公式 （1） )(1)(A P A P -=（2）)()()(AB P A P B A P -=-（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=Y)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y（4） 若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===ni i ni iA P AP 11)()(Y .（5） 若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(11in i n i iA P A P ∏==-=Y )](1[11ini A P ∏=--=.∏===ni i n i i A P A P 11)()(I .（6） 条件概率公式: )()()|(A P AB P A B P =（P （A ）>0）【例3】 已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝31, 试求P （B ）. 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）<21,且已知9()16P A B C =U U , 则P （A ）＝ .【例5】 设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0<P （C ）<1, 则 【 】（A ）P （A U B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A U B|C ）＝P （A U B ）. （C ）P （A U B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （A U B|C ）＝P （A U B ）. 【例6】 设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=, P （ABC ）＝116, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .【例7】 设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则【 】（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|A ）=0.（C ） A B ⊃. （D ） A B ⊂.【例8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0<P （C ）<1, 则不独立的事件为 【 】 （A ）B A +与C . （B ） AC 与C（C ）B A -与C （D ） AB 与C【例9】 设A ，B 为任意两个事件，试证P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤41. 三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1． 乘法公式：).|()|()|()()().|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P ΛΛΛ2． 全概率公式：11()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞∞====Φ≠=Ω∑U 3．Bayes 公式：11(|)()(|),,,.(|)()j j j i j i i iii P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞∞====Φ≠=Ω∑U A 4．二项概率公式:()(1),0,1,2,,.k kn k n n P k C P P k n -=-=L ,【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品;（3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品;【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为和, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .第二讲 随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布的概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数：∞+-∞=＜＜),≤ ()(x x X P x FF （x ）为分布函数 ⇔（1） 0≤F （x ） ≤1（2） F （x ）单调不减（3） 右连续F （x+0）=F （x ） （4）1)(,0)(=+∞=-∞F F3．离散型随机变量与连续型随机变量（1） 离散型随机变量∑∞=====1i 10,≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P ΛΛ分布函数为阶梯跳跃函数.（2） 连续型随机变量⎰∞-=xtt f x F d )( )(f （x ）为概率密度 ⇔ （1） f （x ）≥0, （2） ⎰+∞∞- f （x ）1d =x⎰=≤≤=<<bax f b X a P b X a P )()()(4．几点注意【 例1 】 设随机变量X 的分布函数为0,1,57(),11,16161, 1.x F x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩则2(1)P X== .【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A ）()()X X F x F x -=. （B ）()()X X F x F x -=-.（C ）()1()X X F x F x -=-.（D ）()2()1X X F x F x -=-.【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为0λ>的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 0λ>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【 例5】设随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧<-=.,0,1|||,|1)(其他x x x f 试求（1）X 的分布函数)(x F ; （2）概率)412(<<-X P .二、 常见的一维分布（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k XP k k .（2） 二项分布n k p p C k X P p n B k n k k n ,,1,0,)1()(:),(Λ=-==- .（3） Poisson 分布)(λP ：Λ,2,1,0,0＞,e !)(===-k k k XP k λλλ.（4） 均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧-=.,＜＜1)(:),(其他０，，　b x a a b x f b a U（5） 正态分布N （μ，σ2）：0,,eπ21)(222)(+∞<<∞->=--μσσσμ x x f（6） 指数分布⎩⎨⎧=-. ,0＞0,,e )(:)(其他x x f E x λλλ ＞0λ.（7） 几何分布.2110,)1()(:)(1Λ,,k ,＜p＜p p k XP p G k =-==- （8） 超几何分布H （N,M,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P nNkn M N k M Λ===--　. 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0<p<1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】 （A ） 2)1(3p p -.（B ） 2)1(6p p -.（C ） 22)1(3p p-. （D ） 22)1(6p p-.【例7】 设X ～Ｎ （μ, σ2）, 则 P （ X ≤1＋μ） 【 】 （A ） 随μ的增大而增大 . （B ） 随μ的增大而减小. （C ） 随σ的增大而不变 . （D ） 随σ的增大而减小. 【例8】 设X ～Ｎ （μ, σ2）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，有 【 】（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1()().2F a F a μμ-++=【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形2. 连续的情形3. 一般的情形 【例10】 设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=.,0,20,41,01,21)(其他x x x f X令),(,2y x F X Y=为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（Ⅰ） 求Y 的概率密度)(y f Y ;（Ⅱ）)4,21(-F . 第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y ）=P{ X x, Y y }, x（−, +）, y （−, +）的性质 F （x, y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x, y ）≤1 , x（−, +）,, y（−, +）;2） F （−, y ）= F （x, −）=0, F （+,+）=1;3） F （x, y ）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y ）关于x, y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P{X = x i , Y = y j } = p i j , i, j =1, 2 ,, p i j0,1=∑∑ijji p.边缘分布律 p i = P{X = x i }=∑jji p, i =1, 2 , ,pj= P{ Y = y j }=∑iji p, j =1, 2 , ,条件分布律 P{X = x i |Y = y j } =jj i p p •, P{ Y = y j | X = x i } =•i j i p p .二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f （x, y ）为联合概率密度 ⇔ 1f （x, y ）≥0,21=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(dxdy y x f .设（ X, Y ）~ f （x, y ）则分布函数: ⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度:⎰∞+∞-= ),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-= ),()(dx y x f x f Y .条件概率密度:)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =, )(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=22. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 F （x, y ）= F X （x ）F Y （y ）;p i j = p ipj（离散型）f （x, y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）【注】1 X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 f （X ）与g （Y ）也独立.2若X 1, , X m , Y 1, , Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数f （X 1, , X m ）与g （Y 1,, Y n ）也独立.3常数与任何随机变量独立.3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X, Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X, Y ）~ N （μ1 , μ2, 12 ,22, ）, − <μ1, μ2 < +,1>0,2> 0, | | <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:（ a ） X ~ N （μ1,12 ）, Y ~ N （μ2,22 ）（ b ） X 与Y 相互独立 X Y=0 , 即 X 与Y 不相关.（ c ） C 1X+C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 1212 + C 2222+2C 1C 2 12）.（ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝41, P （B|A ）＝21, P （A|B ）＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1（1） 试求（X, Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X, Y ）； （3） 计算 22(2,43)Cov XY +.【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y 3y⋅==i i p x X P }{1x812x81【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U,m in ,,m ax ==.（I ）求（U, V ）的概率分布;（II ）求（U, V ）的协方差Cov （U, V ）.【详解】（I ）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P XP Y X P 91=, 故（U, V ）的概率分布为:（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E . 故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov . 【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y XP .二、 二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性（1）若X~B （m, p ）, Y~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p ）. （2）若X~P （λ1）, Y~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.（3）若X~N （211,μσ）, Y~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）.一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n, 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),n ni i i i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠={min(,)0}__________.P X Y ≠=【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.（I ）求{}Y X P 2>；（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z .【详解】（I ）{}Y X P2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=. （II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z<0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 00)2(3231z z -=；当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=； 当2≥z时, 1)(=z F Z .故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二：⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ;当01z <<时, ⎰-=z Z dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为 ()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.第四讲 数字特征与极限定理考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X 和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .3．了解切比雪夫不等式.4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）离散型{}i i p x X P ==, ∑=iii px X E )(连续型)(~x f X , xx xf X E d )()(⎰+∞∞-=方差：[]222)()())(()(X E X E X E X E X D -=-=标准差：)(X D ,2. 期望的性质：1° )())((,)(X E X E E C C E == 2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若4° [])()(≤)(222Y E X E XY E3. 方差的性质：1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D 2°)()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与3° )()(2121X D C C X C D =+ 4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y XD ±+=±)()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=5°2()()C D X E X <-, )(X E C ≠【例1】设试验成功的概率为43, 失败的概率为41, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.【例3】 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2cos 21)(其他πx x x f 对X 独立地重复观察4次, 用Y 表示观察值大于3π的次数, 求2Y 的数学期望.【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 )(X g Y =离散型：{}i i P Xx p == ， ∑=ii ipx g Y E )()(连续型：~()X f x x x f x g Y E d )()()(⎰+∞∞-=2、二维的情形 ),(Y X g Z =离散型{}iji i p y Y x X P Y X ===,~),(,∑∑=jij jiipy x g Z E ),()(连续型),(~),(y x f Y X , y x y x f y x g Z E d d ),(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=【例5】 设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝22Y X + 的数学期望与方差.【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，21）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的数学期望与方差.三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：协方差 []))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --=相关系数 )()()Cov(Y D X D X,Y XY =ρ)(k X E k 阶原点矩[]kX E X E k ))((- 阶中心矩2、性质： 1°),(Cov ),(Cov X Y Y X =2° ),(Cov ),(Cov Y X ab bY aX = 3° ),(Cov ),(Cov ),(Cov 2121Y X Y X Y X X +=+4° |(,)|1X Y ρ≤5° 1)(1),(=+=⇔=b aX Y P Y X ρ )＞0(a 1)(1),(=+=⇔-=b aX Y P Y X ρ )＜0(a 3、下面5个条件互为充要条件：（1）0),(=Y X ρ（2）0)Cov(=X,Y （3）)()()(Y E X E XY E = （4）)()()(Y D X D Y X D +=+ （5）)()()(Y D X D Y X D +=- 【例7】设)2(,,,21>n X X X n Λ为独立同分布的随机变量, 且均服从)1,0(N , 记∑==ni iX n X 11,.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-= 求:（I ） i Y 的方差n iY D i ,,2,1),(Λ=；（II ） 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ; （III ） }.0{1≤+n Y Y P四、极限定理1. 切比雪夫不等式{}{}()()|()|,|()|<1-22D X D X P XE X P X E X εεεε-≥≤-≥或2. 大数定律3. Poisson 定理4. 中心极限定理列维—林德伯格定理: 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立同分布, 且2(),(),i i E X D X μσ== 1,2,,,i n =L L， 则对任意正数x ，有2-2lim dntixnX nP x tμ-∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑⎰棣莫弗—拉普拉斯定理: 设~(,),nB n pη（即X1，X2，…，X n，…相互独立, 同服从0一1分布）则有22lim dtxnP x t--∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭⎰.【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为.问银行于该日应准备多少现金才能以%的把握满足客户的兑换.【分析】若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥.【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，）所需支付现金为1000X，为使银行能以%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：(1000)()1000xP X x P X≤=≤5000.4xP⎛⎫-⨯⎪=≤=≤0.999(3.1).ΦΦ≈≥=即3.1,≥得 x≥ .因此银行于该日应准备234000元现金才能以%的把握满足客户的兑换.第五讲数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为.)(11212XXnSini--=∑=2. 了解2χ分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.3. 了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布1. 总体、个体与简单随机样本:2. 常用统计量:1° 样本均值 i ni X nX ∑==112° 样本方差 212)(11X X n S i ni --=∑=3° 样本标准差: S =4° 样本k 阶原点矩 11,1,2,n kk i i A X k n ===∑L5° 样本k 阶中心矩 11(),1,2,n kk i i B X X k n ==-=∑L3．分位数 4. 重要抽样分布（1）分布2χ （2） t 分布 （3） F 分布5. 正态总体的常用抽样分布:22,,,(,),n X X X N μσL 1设为来自正态总体的样本11nii X X n ==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑, 则 （1）2~,~(0,1).X X N N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）222221(1)1()~(1).ni i n S X X n χσσ=-=--∑（3）22211()~().ni i X n μχσ=-∑（4） ~(1).X t n - （5）X 与2S 相互独立, 且 μ=)(X E , 22)(σ=S E , nX D 2)(σ=.【例1】 设总体2~(,),X N μσ设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本, 且22111,()nni nii i X X S XX n====-∑∑，求21()n E X S .【例2】 设总体2~(,),X N μσ 设12,,,n X X X L 是取自总体X 的一个样本, 且221111,()1nni i i i X X S X X nn ====--∑∑，则 2()_________D S=.【例3】设随机变量~()(1),X t n n >, 则 21~________Y X=【例4】 设总体X 服从正态分布)2,0(2N , 而1521,,,X X X Λ是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量)(221521121021X X X X Y ++++=ΛΛ 的分布. 【例5】 设总体2~(,),X N μσ 设121,,,,n n X X X X +L 是来自总体X 的一个样本, 且*221111,()()nni i i i X X S X X nn====-∑∑，试求统计量的分布. 二、参数估计1. 矩估计2. 最大似然估计3. 区间估计4. 估计量的评选标准 【例6】设总体12~(,)X U θθ，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的样本，试求12,θθ的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=.,0,21,1,10,),(其他x x x f θθθ其中θ是未知参数)10(<<θ, n X X X ,,2,1Λ为来自总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值n x x x ,,2,1Λ中小于1的个数, 求：（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计.【例8】设总体X 的概率密度为36(),0,()0,xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他. n X X X ,,,21Λ为来自X 的简单随机样本，（1） 求θ的矩估计量ˆθ； （2） 判断θ的无偏性; （3） 判断θ的一致性. 三、假设检验1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设0H 为真，但拒绝了0H .第二类错误；原假设0H 为假，但接受到了0H .。

第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回的取两次，记A：第一次抽取，取到绿球B：第二次抽取，取到绿球则有P(B|A)=P(B)他表示A的发生并不影响B发生的可能性大小，即)P(AB)=P(A)P(BP(B|A)=P(B⟺)2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P AB=P A P B则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.两事件相互独立)P(AB)=P(A)P(B 两事件互斥AB =∅两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系互斥独立AB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B).A BP A=12,P B=12则P(AB)=0，而P(A)P(B)=1 4 ,故P(AB)≠P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立. AB3.三事件两两相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式൞P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),则称事件A，B，C两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式P AB=P A P B,P BC=P B P C,P AC=P A P C,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意:三个事件相互独立→三个事件两两相互独立三个事件相互独立↚三个事件两两相互独立推广：设A1,A2,⋯,A n是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<⋯<i k≤n，具有等式P(A i1A i2⋯A ik)=P(A i1)P(A i2)⋯P(A ik)则称A1,A2,⋯,A n为相互独立的事件n个事件相互独立→n个事件两两相互独立n个事件相互独立↚n个事件两两相互独立二、几个重要定理定理一：设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然.定理二：若A,B相互独立，则下列各对事件，ഥA与B，A与ഥB，ഥA与ഥB，也相互独立。

第 ×× 次课 2学时本次课教学重点：常用的统计量 本次课教学难点：总体，简单随机样本，统计量的概念。

本次课教学内容：第五章 数理统计的基础知识 第一节 数理统计的基本概念 教学组织： 一、引言在前五章中我们学习了概率论的基本内容，因为随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计规律性，所以在概率论的许多问题中，概率分布通常都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在此基础上得出来的。

然而，实际情况往往并非如此。

一个随机现象所服从的分布概型可能完全不知道，或者只知道其概型而不知其分布函数中所含的参数。

例如，某工厂生产的灯泡的寿命服从什么分布是不知道的。

再如，某厂生产的一件产品是合格品还是不合格品，我们知道它服从两点分布，但其参数p 却不知道。

那么怎样才能知道一个随机现象的分布或其参数呢？这就是数理统计所要解决的一个首要问题。

为了获得灯泡的寿命分布，我们从所有的灯泡中抽出一部分进行观察与测试以取得相关信息，从而做出推断。

由于观察和测试是随机现象，依据有限个观察与测试对整体所做出的推断不可能绝对准确，这个不确定性我们用概率来表达。

数理统计学的基本问题就是依据观测或试验所取得的有限信息对整体做出推断，每个推断必须伴有一定的概率来表明其可靠程度。

这种伴有一定概率的推断称为统计推断。

二、总体与随机样本 1、总体在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一数量指标(如灯泡的寿命这一数量指标)。

为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察。

我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为总体，总体中的每个对象称为个体。

总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。

容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无限总体。

例如，考察某批灯泡的质量，如这一批灯泡共有5000只，每个灯泡的寿命是一个可能的观察值，是一个个体。

所有5000只灯泡的寿命是一个有限总体。