数学物理方程总结

试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为

2222)1(])1[(tuhxxuhxxE其中h为圆锥的高。

并求通解及它的初值问题：0:(),()utuxxt的解。

（1）证明：在圆锥形枢轴内取出],[xxx一小段来研究。端面丛向位移为),(txu

[,][(,),(,)]xxxuxtuxxt

在时刻t，端面的相对延伸为),(txu与),(txxu

根据胡克定律为),(txESux及),(txxESux由牛顿第二定律有合力为：

),(txxESux),(txESuxxSutt

又因为 2222[()tan]()()Srhxhxtan

2[()tan](,)xEhxxuxxt),(]tan)[(2txuxhExxuxhtt2]tan)[(

ttxuxhxuxhE22)()(

ttxuxhxuxhE22)()(

即：2222222222[(1)](1)1[(1)](1)E()xuxuExhxhtxuxuxhxahta令。 （5分）

（2）设(,)()(,)vxthxuxt（5分） 2()()xxvhxvuhx

2222222[(1)]()1[(1)](1)()xxuxhxvhxvxxuxhhxaht 2222221()()vuhxhxxat

∴ 2222221[()][()]hxuhxuxat （5分）

即：222221vvxat， 或22222vvatx

则其通解为：()()()hxuvFxatGxat （5分） 2．利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

).()(0022222xuxuxuatuatxatx )0()0(

解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)

令 x-at=0 得 )(x=F（0）+G（2x）

令 x+at=0 得 )(x=F（2x）+G(0)

所以 F(x)=)2(x-G(0).

G（x）=)2(x-F(0).

且 F（0）+G(0)=).0()0(

所以 u(x,t)=()2atx+)2(atx-).0(

即为古尔沙问题的解。

3．求解波动方程的初值问题

xtuuxtxututtsin|,0sin002222

解：由非齐次方程初值问题解的公式得

dddtxuttxtxtxtx0)()(sin21sin21),(

=tdtxtxtxtx0))](cos())([cos(21)]cos()[cos(21

=tdtxtx0)sin(sinsinsin

=tttxtx0)]sin()cos([sinsinsin

=xtsin

即 xttxusin),( 为所求的解。 5. 求解平面波动方程的柯西问题：

0||0202tttyyxxttuyxxuuuau

解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：

matddyxtatatyxu2222,21,,

matddyxta2222,

202220sin,cos21rdrdrtaryrxtaat

又 sincoscossin,cos2rryxrxryrx

222coscos2ryxryxxyxx

cossincos2sincos22xrrx

sincoscos23r

因为 2022020cos,0sin,0cosddd

.0sincos,0cos,0cossin20220320ddd

所以 atrdrdrtaryrx020222sin,cos

atatrtadrryxrtardryxx002223222232

又 atatatrtartardr00222222|

atatatrdrrtartarrtadrr002220222222232|

3302322232|32tartaa 4. 设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。

解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取txlAtxUsin),(，则),(txU满

0),0(tU，tAtlUsin),(令),(),(),(txvtxUtxu代入原定解问题，则),(txv满

)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin222222xlAxtvxvtlvtvtxlAxvatv

),(txv满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为xlnxXnsin)(，)2,1,0(n

故设)2(sin)(),(1nnxlntTtxv将方程中非齐次项txlAsin2及初始条件中xlA按xlnsin展成级数，得12sin)(sinnnxlntftxlA

其中 lnxdxlntxlAltf02sinsin2)(xlnnnsin1

其中 nlnnAxdxlnxlAl)1(2sin202

将(2)代入问题(1)，得)(tTn满足nnnnnnnATTtnAtTlantT)1(2)0(,0)0(sin)1(2)()(122

解方程，得通解2212)(sin)1(2sincos)(lantnAtlanBtlanAtTnnnn

由始值，得0nA 222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1lanalAlannlAnAanBnnnn

122sin)()(2)1({),(nntlanlanalAtxv xlntnlanlAnsin}sin1)()(2)1(22221

xlntnltlanalanlAnsin}sinsin{)()()1(21222

因此所求解为