绵阳市届高三第三次诊断考试数学试题及答案(理)

绵阳市高中2015届第三次诊断性考试（理工类）

本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）。第I卷1至2页，第B卷2至4

页．共4页．满分150分考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在

本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的

1.已知i是虚数单位，则32ii等于（ ）

A.－l＋i B. －1－i C. 1＋i D. 1－i

2.已知向量为非零向量，则的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.己知函数的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，

则的值为（ ）

A. 4 B. 2 C. 1 D.12

4.一机器元件的三视图及尺寸如图示（单位：dm），则该组合体的体积为（ ）

A. 80 dm3 B. 88 dm3 C. 96 dm}3 D. 112 dm3

5.若则下列不等式成立的是（ ）

A.答案A B.答案B C.答案C D.答案D

6.已知S为执行如图所示的程序框图愉出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（ ）

A.－20 B.20 C.－203 D.60

7.绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都到北京，则不同的出行安排有

A. 180种 B. 72种 C. 216种 D.204种

8.已知函数给出如下四个命题：

① f (x)在上是减函数；

②在R恒成么

③函数y＝f(x)图象与直线有两个交点．

其中真命题的个数为（ ）

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

9.己知四梭锥P-ABCD的各条棱长均为13, M, N分别是PA, BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长（ ）

A.5 B.6 C. 7 D.8

10.已知点是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足＝4，若AB

的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是

A.答案A B.答案B C.答案C D.答案D

第II卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可

先用铂笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第n卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．双曲线2x2－y2=8的实轴长为_______________.

12.设变量x, y满足则目标函数z=2x+y的最小值为 ．

13下图是绵阳市某小区100户居民2014年月平均用水鱼（单位：t）的频率分布直

方图的一部分，则该小区2014年的月平均用水t的中位数的估计值为

14.已知点，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P.

使得，则m的最大值为_________. 15.用｜S｜表示集合S的元素个数，由n个集合为元素组成的集合称为“n元集”，如果集

合A, B, C满足为最小相交“三元集”．给出下列命题：

①集合｛1，2}的非空子集能组成6个目“二元集”

②若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则3:

③集合(1，2. 3. 4)的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个书

④若集合｜M｜＝n，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有2n个．

其中正确的命题有____________．（请演上你认为所有正确的命题序号）

三、解容题：本大皿共5 4111.共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演NOW

16.（本小题满分12分）

商场决定对某电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销，即将该商品的售价提高100

元，但是购买此商品的顾客可以抽奖．规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若

中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为加元的奖金：

若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金。假设顾客每次中奖的概率都是13，设顾

客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量。

(1)求的分布列：

(U）若要使促销方案对商场有利，试问商场最高能将奖金数额m定为多少元？

17.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD, ∠ABC＝600，PA＝AB, E, F分别为BC, PC的中点．

（I）求证：AE⊥PD;

(II）求二面角E-AF-C的余弦值．

18（本小题满分12分）

已知函数的图象如图所示·

(I)求f（x)在R上的单调递增区间；

（II）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．

19.（本小题满分12分）

在公差不为0的等差数列成公比为a2的等比数列．

(I)求数列的通项公式；

(II)设数列满足

①求数列的前n项和为Tn：

②令，求使得成立的所有·的低

20.（本小题满分13分）

已知△ABC中，点A(－1，0)，B(1，0)，动点C满足，

C点轨迹为．

(1)试求曲线的轨迹方程；

(II)当时，过定点B (1, 0)的直线与曲线交于P，Q两点，N是曲线上不

同于P. Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．

21．（本小题满分14分）

设函数．

(I)设，求h(x)的单调区间；

(II)若存在成立，求取值范围·

绵阳市高2015届第三次诊断性考试 (理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DCBCD AABCB

10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．设AB中点为)2(tP，，于是tyyyyyyxxyykAB2444212221212121．

∴ 可设直线AB的方程为)2(2xtty，

联立方程：

，，xyxtty4)2(22 消去x得： 082222ttyy，∴ y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，

∴

)432(44)3284)(41(22222tttttAB

由21tkkkMPMPAB，得)2(2xttyMP：，

令0y时，得)04(，M，

∴ 2224)0()24(ttMP，

于是S△MAB228)4(2121ttMPAB．

令28tm，则mmmmS621)12(2132，

，，，20200)2)(2(236232mSmSmmmS

∴ 当2m时， (S△MAB)max=8，此时42t．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．4 12．37 13．2.02 14．6 15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ) 随机变量ξ的可能取值分别是：0，m，3m，6m元．

∴

278)32()0(3P；2712)32(31)(213CmP；

27632)31()3(223CmP；271)31()6(3mP；

ξ的分布列为：

…………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得：342716276327122780mmmmE， …………9分

若要使促销方案对商场有利，则34m<100，解得m<75．

即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m应低于75元．…12分

17．(Ⅰ) 证明：∵ PA⊥底面ABCD，AE底面ABCD，

∴ AE⊥PA． …………………………………1分

∵ 四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60º，∴ △ABC为等边三角形，

又 E是 BC中点，则AE⊥BC，由BC//AD，得AE⊥AD．……………………3分

又∵ PA∩AE=A，

∴ AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴ AE⊥PD． …………………………………5分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

设PA=AB=2，则A(0，0，0)，E(3，0，0)，C(3，1，0)，F(23，21，1)，

∴ AE=(3，0，0)，AC=(3，1，0) ，AF=(23，21，1)．…………7分

设平面EAF的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则，，0011nnAFAE 即，，02123031111zyxx令z1=1，可得n1=(0，-2，1)．…9分

设平面ACF的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则，，0022nnAFAC 即，，021230322222zyxyx令x2=3，可得n2=(3，-3，0)．………………………11分

设二面角E-AF-C的平面角为，则5153256cos2121nnnn，

又由图可知为锐角，所以二面角E-AF-C的余弦值为515．…………12分

18．解：(Ⅰ) 由图象知，2126561A，故312161b，

26322T，即T，于是由2，解得2．

∵

6131)62sin(21，且)22(，，解得6．

∴

31)62sin(21)(xxf．…………………………………………………4分

由22k≤62x≤22k，Zk，解得3k≤x≤6k，Zk，

即)(xf在R上的单调递增区间为Zkkk，，]63[．………………6分

(Ⅱ)由条件得：031)62sin(21)(00xxf，即32)62sin(0x．

∵

0)0()6(ff且)(xf在)60(，上是增函数，61)6(f>0，3143)4(f>0，)(xf在)46(，上是减函数，

∴

)60(0，x，∴

)26(620，x，……………………9分

∴

35)62(sin1)62cos(020xx， …………………………………10分