四川省绵阳市高中高三第一次诊断性考试数学(理)试题(
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绵阳市高2012级第一次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DBDAC BACDA
10题提示：由≥对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤-ax．
若a=0，则ab=0．
若a>0，则ab≤a-a2x．设函数，求导求出f(x)的最小值为aaaafln2)1(ln22．
设)0(ln2)(22aaaaag，求导可以求出g(a)的最大值为，
即的最大值是，此时．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．-1 13．40 14．3021 15．①③④
15题提示：①容易证明正确．
②不正确．反例：在区间[0，6]上．
③正确．由定义：21020mmmxx得1)1(10020xmmxx，
又所以实数的取值范围是．
④正确．理由如下：由题知．
要证明，即证明： baabababababababln1lnln，
令，原式等价于01ln21ln2tttttt．
令)1(1ln2)(ttttth，则0)1(12112)(22222tttttttth，
所以0)1(1ln2)(htttth得证．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ) 2m·n-11cos2cossin22xxx
=)42sin(22cos2sinxxx． ……………………………6分
由题意知：，即，解得．…………………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
∵≤x≤，得≤≤，
又函数y=sinx在[，]上是减函数，
∴ )34sin(2127sin2)(maxxf …………………………………10分
3sin4cos23cos4sin2
=．…………………………………………………………12分
17．解：(Ⅰ)由题知解得，即．……………………3分
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分
① 若≥2，即m≤-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值；
②若，即时， g (x)在上单调递减，上递增，此时22)()(2minmmgxg，此时值不存在；
③≤1即m≥-1时， g (x)在上单调递增，
此时221)1()(2minmmgxg，解得m=1． …………………………11分
综上：． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos5ABCAB，，，
由余弦定理：ABCBCBABCBAACcos2222=52+22-2×5×2×=25，
． ……………………………………………………………………3分
又，所以562cos1sin2ABCABC，
由正弦定理：ABCACACBABsinsin，
得562sinsinACABCABACB．………………………………………6分
(Ⅱ) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，
则51coscosABCBCE，BE=2BD=7，CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理：BCECECBCECBBEcos2222．
即)51(5225492CBCB，
解得：． ………………………………………………………………10分
在△ABC中， 335145245cos222222ABCBCBABCBAAC，
即．…………………………………………………………………12分
19．解：(Ⅰ) 由，
得：，，)7()2()4(9223311211dadadada解得：．
∴，nnnnSn2322)12(2． …………………………………5分
(Ⅱ) 由题知．
若使为单调递减数列，则
-
=0)1224(2nnn对一切n∈N*恒成立， …………………8分
即： max)1224(01224nnnn，
又=322232)1)(2(22nnnnnnnn，……………………10分
当或时， =．
．………………………………………………………………………12分
20．(Ⅰ)证明： 由，得．…………………………1分
由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x ∴在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数， 于是在取得最小值． 又∵ 函数恰有一个零点，则， ………………… 4分 即．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln1ln01lnaaaaaaaaa于是，即，， ∴． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，在取得最小值， 由题意得≥0，即≥0，……………………………………8分 令，则， 由可得0 ∴在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即， ∴ 当0 ∴要使得≥0对任意x∈R恒成立， ∴的取值集合为……………………………13分 21．解：(Ⅰ)由得xxexmxnxmxfln)(()． 由已知得，解得m=n． 又，即n=2， ∴ m=n=2．……………………………………………………………………3分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln1(2)(xxxxexfx， 令，， 当x∈(0，1)时，；当x∈(1，+∞)时，， 又，所以当x∈(0，1)时，； 当x∈(1，+∞)时，， ∴的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+∞)．……8分 (Ⅲ) 证明：由已知有)ln1()1ln()(xxxxxxg，， 于是对任意， 等价于)1()1ln(ln12exxxxx， 由(Ⅱ)知，， ∴ )ln(ln2ln)(2exxxp，． 易得当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减． 所以的最大值为，故≤． 设，则， 因此，当时，单调递增，． 故当时，，即． ∴≤<． ∴ 对任意，． ……………………………………………14分
