四川省绵阳市2014届高三第三次诊断性考试数学(理)试卷及答案
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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无线；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
1. 已知集合1xxM，xxxN2，则NM
A.1 B.1,1 C.1,0 D.1,0,1
2. 复数25i的共轭复数是
A.i2
B.i2
C.i2
D.i2
3. 执行如右图所示的程序框图，如输入2x，则输出的值为
A.9
B.9log8
C.5
D.5log8
4. 已知向量)1,3(a，)2,1(b，)1,2(c.若),(Ryxycxba，则yx
A.2 B.1 C.0 D.21
5. 已知命题axRxp＞sin,:，若p是真命题，则实数a的取值范围为
A.1＜a B.1a C.1a D.1a
6. 已知]2,2[a，则函数12)(2axxxf有零点的概率为
A.21 B.31 C.41 D.51
7. 若抛物线xyC4:21的焦点F恰好是双曲线)0,0(1:2222＞＞babyaxC的右焦点，
且1C与2C交点的连线过点F，则双曲线2C的离心率为
A.12 B.122 C.223 D.226
8. 已知函数)0(sin)(＞wwxxf的一段图像如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点O重
合，B是)(xf的图像上一个最低点，C在x轴上，若内角CBA,,所对边长为cba,,，
且△ABC的面积S满足22212acbS，将)(xf右移一个单位得到)(xg，则)(xg
的表达式为
A.)2cos()(xxg
B.)2cos()(xxg
C.)212sin()(xxg
D.)212sin()(xxg
9. 为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5
个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，
每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有
A.48种 B.42种 C.36种 D.24种
10. 已知)()(Rxexxfx，若关于x的方程01)()(2mxmfxf恰好有4个不相等
的实数根，则实数m的取值范围为
A.),2()2,1(ee B.)1,1(e C.)11,1(e D.),1(ee
11. 某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的表面积为_____.
12. 二项式102)2(xx展开式中的常数项是_______.
13. 已知幂函数)(xfy的图像经过点)22,21(，则
)5(lg)2(lgff_________.
14. 已知实数yx,满足yxxy21，且1＞x，则)2)(1(yx的最小值为_______.
15. 已知有限集naaaaA...,,,321(n≥2).如果A中元素),...,3,2,1(niai满足
nnnaaaaaa......211，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合)251,251(是“复活集”；
②若Raa21,，且21,aa是“复活集”，则421＞aa；
③若Naa21,，则21,aa不可能是“复活集”；
④若Nai，则“复合集”A有且只有一个，且n=3.
其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号）
16.（本小题满分12分）
已知nS是等比数列na的前n项和，693,,SSS成等差数列.
（Ⅰ）求数列na的公比q；
（Ⅱ）证明：)(,,36Nkaaakkk成等差数列.
17.（本小题满分12分）
绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：
甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33
乙 10 30 47 27 46 14 26 10 44 46
（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）从甲、乙两块试验田中棉花株高在[30,40]中抽4株，记在乙试验田中取得的棉花苗株数为，求的分布列和数学期望E（结果保留分数）.
18.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点),(),,(2211yxByxA在单位平面上，∠xOA=α，
∠AOB=π4，且α∈(π6，π2).
（Ⅰ）若cos(α+π3)147，求1x的值；
（Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=aAB21在直角梯形ACEF中，90,21//ECAACEF，已知二面角E-AC-B是直二面角.
（Ⅰ）求证：AFBC；
（Ⅱ）当在多面体ABCDEF的体积为2833a时，求锐二面角D-EF-B的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的焦点坐标为0,11F,0,1F,过2F垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且3AB.
（Ⅰ）求椭圆形的方程；
（Ⅱ）过1F点作相互垂直的直线21,ll，分别交椭圆于4321,,,pppp试探究432111pppp是否为定值？并求当圆边形4321,,,pppp的面积S最小时，直线2,1ll的方程.
21.（本小题满分14分）
已知函数xaxxfln有且只有一个零点，其中a＞0.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的,0x，有2kxxf成立，求实数k的最大值；
（III）设xxfxh，对任意2121,1,xxxx，证明：不等式121212121xxxxxhxhxx＞恒成立.
绵阳市高2011级第三次诊断性考试
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分，共50分．
1．D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．C
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．22 12．180 13．12 14．9+42 15．①③④
提示：第15题：易判断①是正确的；
②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；
③不妨设A中a1(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
三、解答题：共75分．
16．解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2 S9=S3+S6．
当q=1时，即得1111836aaa，解得a1=0，不成立．……………………………3分
当1q时，即得9361112(1)(1)(1)111aqaqaqqqq，
整理得：63210qq，即3232()10qq，
解得：1q（舍去），或342q． …………………………………………………7分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3612qq，
∴ 12133111(1)kkkkkaaaqaqaqq1651122kkaqqaq，
∵ 56122kkaaq，
∴ 362kkkaaa，即ak，ak+6，ak+3（k∈N*）成等差数列．…………………12分
甲 乙
17．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．
根据茎叶图可得统计结论如下：
结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．
结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分
（Ⅱ）ξ的取值为0，1．
44451(0)5CPC，1314454(1)5CCPC，
∴ ξ的分布列：
ξ 0 1
P 51 54
………………………………………………………11分
14401555E．………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有12coscos()3xx，， ……………………2分
∵ 7cos()()31462，，，
∴ 321sin()314， ………………………………………………………………4分
∴ 1coscos()cos()cossin()sin333333x，
∴ 1277x． …………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由1siny，得11111cossinsin224Sxy．
又5()()62326由，，得，，于是2sin()3y，
∴ 2221112cos()sin()sin(2)223343Sxy， ………………8分
∴ 12112()sin2sin(2)443fSS
=1122sin2(sin2coscos2sin)4433
=33sin2cos288 9 1 0 4 0
5 3 9 0 1 2 7 6
3 2 1 7 3 0
4 7 6 4 6
