【考研数学精品推荐】2013年考研数学二真题及答案
- 格式：docx
- 大小：224.80 KB
- 文档页数：8
2013年考研数学二真题及答案
2013 年考研数学二真题及答案
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１ ．设 cos x 1 xsin(x), (x) ，当 x 0 时， x （ ） 2
（
（ A）比 x 高阶的无穷小
C）与 x 同阶但不等价无穷小 （B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1 1 详解】显然当 x 0 时 cos x x x
x 1 sin ( ) ~ 2 , sin ( ) ~ x x x ，故应该选（~ ( ) 【 2
2
2 2 ．已知 y f x是由方程 cosxy ln y x 1确定，则 lim n f 1
（ ） n n
（ A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
【
【 分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．
y' 详解】将 x 0代入方程得 y f (0) 1，在方程两边求导，得 sin(xy)(y xy') y
x 0, y 1，知 y' (0) f ' (0) 1．
2 f ( ) f (0) 2
n n lim n f 1
2 lim 2 f '(0) 2 ，故应该选（A）． 2 n n
n
sin x, x [0, ) x ３ ．设 f (x) ， F(x) f (t)dt 则（ ） 2, x [,2 ] 0
（
（ Ａ） x 为 F(x)的跳跃间断点． （Ｂ） x 为 F(x)的可去间断点．
Ｃ） F(x)在 x 连续但不可导． （Ｄ） F(x)在 x 可导．
x 【 详解】只要注意 x 是函数 f (x) 的跳跃间断点，则应该是 F(x) f (t)dt 连续点，但不可0
选（Ｃ）．
1
(x 1) 1
1 , 1 x e f xdx收敛，则（ ４ ．设函数 f (x) ，且反常积分 ）
, x e
xln 1 x
（
【 A） 2 （B） a 2 （C） 2 a 0 （D） 0 2dx 1 e
e 详解】 f (x)dx dx ， (x 1) 1 xln 1 x 1 1
dx 1 dt e1 e t 1 其中 当且仅当 11时才收敛； 1 0 2013年考研数学二真题及答案
1 1
1 1 而第二个反常积分 dx ln x |1 ，当且仅当 a 0 才收敛． xln 1 x lim ln x e
x
f xdx才收敛，故应选（Ｄ）． 从而仅当 0 2时，反常积分
y x z z y x y ５ ．设函数 z f xy，其中 f 可微，则 （ ） x
2 2 （ A） 2yf '(xy) （B） 2yf '(xy) （C） f (xy) （D） f (xy) x x
x z z y x y x
y y y 2 1 【 详解】 f (xy) f '(xy) f (xy) yf '(xy) 2yf '(xy) ．应该选（A）． x 2 x x
( , ) | D x y x y 1 的第 k 象限的部分，记 I (y x)dxdy ，则（ ） ．设 D 是圆域 2 2 6 k k
D
k
（ A） I 0 （B） I 0 （C） I 0 （D） I 0 1 2 3 4
【 详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
k 1 k 1 3 I (y x)dxdy d (sin cos)r 2 dr (sin sin)d 2 2 k k1 (k1) 0 D
k 2 2
k 1 sin cos | 2 k1 3 2
2 2 所以 I I 0, I , I ，应该选（B）． 1 3 2 4 3 3
7 ．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（
（
（
（ A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．
B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．
C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．
D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．
【 详解】把矩阵 A，C 列分块如下： A , , , ,C , , , ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知
1 2 n 1 2 n b b b (i 1,2, ,n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同
i1 1 i2 2 in n i
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1 2 0 0 8 ．矩阵a b a 与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是 1 a 1 0 0 0
（ A） a 0,b 2 （B） a 0 ，b 为任意常数
2 2013年考研数学二真题及答案
（ C） a 2,b
0
2 0 0 （D）
a 2，b
为任意常数
1 a 1 2
0 0
【 详解】注意矩阵0 b 0 是对角矩阵，所以矩阵 A=a b a 与矩阵0 b 0 相似的充分必要
0
0 0
1 a 1 0 0
0
条件是两个矩阵的特征值对应相等．
1 a
E A a b a (
a 1 1
2 (b 2) 2b
2a 2
)
1
从而可知 2b 2a 2b ，即 a 0 ，b
为任意常数，故选择（B）． 2
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24
分.
把答案填在题中横线上）
1
ln(1 x)
x 9
． lim2 ．
x0 x
x(x1 x2
o(x2
) 1 1 xln(1x)
ln(1 x)
x ln(1 x) 2 1 x x lim lim 【 详解】 lim2
lim1 ex 0 x2 ex 0 x2 e ． 2
x 0
x x 0 x
dx x t
e dt
，则 y f (x)的反函数 x f 1 (y) 在 y 0处的导数 1 0．设函数 f (x) 1
|
． y0 1 dy
【 详解】由反函数的求导法则可知
dx
dy 1 1 |
．
y0
dy
1 e1 |x1 dx
6 11．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos
3
t 为参数，则 L
所围成的平面图形的面积 6
为
【 ．
2 1
2 1
2 1 A r 2
d cos 3d
2 cos 2 tdt 详解】
6
6
3 12
0 6 6
所以．答案为 ．
1 2
x
arctant 1 2．曲线上 对应于t 1处的法线方程为 ．
y ln 1 t
2
t
t
1 1 1 2
2 【 详解】当t 1时， x ,
y ln 2， y'|
| 1，所以法线方程为
t1
t1 4 2
1
t
1 1 y ln 2 1(x )，也就是 y x ln 2
0 ． 2 4 2 4
3 2013年考研数学二真题及答案
y e3x xe2x , y e x
xe2x , y
xe2x 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足 1 3．已知 1
2 3
y(0) 0, y' (0)
1方程的解为
．
【 详解】显然 y
y e3x
和
y y ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由 1 3 2 3
y C e3x C e
xe2x ，其中C ,C 为任意常数．把初始条件代入可得 x
解的结构定理，该方程的通解为 1 2 1 2
C 1,C 1，所以答案为 y e3x
e
x xe2x 1 2
1 4 ． 设 A a 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， A 为 其 行 列 式 ， A 为 元 素 a 的 代 数 余
子 式 ， 且 满 足 ij ij ij
A
a
0(i, j
1,2,3)，则 A
= ．
ij ij
详解】由条件 A a 0(i, j 1,2,3)可知 * 0
A A T
，其中 A*为 A 的伴随矩阵，从而可知 【 ij
ij
A* A*T
A A ，所以 A 可能为 1或 0．
31
n,r(A) n 但由结论 ( ) 1, ( ) 1 r A * r A n 可知， A A* T 0可知 r(A)
r(A*)
,伴随矩阵的秩只能为 3，所以
0 ,r(A)
n 1
A 1.
三、解答题
1 5．（本题满分 10 分）
当 x 0时，1 cos xcos 2xcos 3x与 ax n 是等价无穷小，求常数 a,n ．
【
【 分析】主要是考查 x
0时常见函数的马克劳林展开式．
1 1 详 解 】 当 x 0 时 ， cos x 1 x 2 o(x ) 2 ， cos 2x 1 (2x) 2 o(x 2 )
1 2x 2
o(x ) ， 2
2
2
1 9 cos 3x 1 (3x) 2 o(x 2 ) 1
x
2
o(x
) ， 2
2 2
1 9 所以1 cos cos 2 cos 3x 1 (1 x x x 2 o(x ))(1 2 2 x 2 o(x ))(1 2 x 2 o(x )) 7 2 x o(x2 )
， 2
2 2
由于1 cos xcos 2xcos 3x与 axn 是等价无穷小，所以
a 7,n 2．
1 6．（本题满分 10 分）
3 x
，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V ,V 分别是
D 绕 x 轴和 y 轴旋转
x y 设 D 是由曲线 y
一周所形成的立体的体积，若10V
V ，求 a 的值． x y
【 详解】由微元法可知
2 5 3 a a V
x y dx x dx a
； 2 3 3
5 0 0
4
