2013年考研数学二真题及答案

2013年考研数学二真题及答案

一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)．

(1)．

0limlnxxx＿＿＿＿＿＿.

(2)． 函数()yyx由方程222sin()0xxyexy所确定,那么dydx＿＿＿＿＿＿.

(3)． 设11()(2)(0)xFxdtxt,那么函数()Fx的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.

(4)． tancosxdxx＿＿＿＿＿＿.

(5)． 曲线()yfx过点1(0,)2,且其上任一点(,)xy处的切线斜率为2ln(1)xx,那么()fx＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．

(1)． 当0x时,变量211sinxx是

( )．

(A)． 无穷小 (B)． 无穷大

(C)． 有界的,但不是无穷小 (D)． 有界的,但不是无穷大

(2)． 设2|1|,1,()1 2, 1,xxfxxx 那么在点1x处函数()fx

( )．

(A)． 不连续 (B)． 连续,但不可导

(C)． 可导,但导数不连续 (D)． 可导,且导数连续

(3)． 2,01,()1, 12,xxfxx 设1()()xFxftdt(02)x,那么()Fx为 ( )．

(A)．31,013,12xxxx (B)． 311,0133,12xxxx

(C)． 31,0131,12xxxx (D)． 311,01331,12xxxx

(4)． 设常数0k,函数()lnxfxxke在(0,)内零点个数为

( )．

(A)． 3 (B)． 2 (C)． 1 (D)． 0

(5)． 假设()()fxfx,在(0,)内()0,()0fxfx,那么()fx在(,0)内

( )．

(A)． ()0,()0fxfx (B)． ()0,()0fxfx

(C)． ()0,()0fxfx (D)． ()0,()0fxfx

三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．

(1)． 设2sin[()]yfx,其中f具有二阶导数,求22dydx.

(2)． 求2lim(100)xxxx.

(3)． 求401cos2xdxx.

(4)． 求30(1)xdxx.

(5)． 求微分方程2(1)(2cos)0xdyxyxdx满足初始条件01xy的特解.

四、(此题总分值9分)．

设二阶常系数线性微分方程xyyye的一个特解为2(1)xxyexe,试确定常数,,,并求该方程的通解.

五、(此题总分值9分)．

设平面图形A由222xyx与yx所确定,求图形A绕直线2x旋转一周所得旋转体的体积.

六、(此题总分值9分)．

作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.

七、(此题总分值6分)．

设0x,常数ae,证明()aaxaxa.

八、(此题总分值6分)．

设()fx在[0,]a上连续,且(0)0f,证明：20()2aMafxdx,其中0max|()|xaMfx.

答案

一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)．

(1)．【答案】：0

(2)．【答案】：222222cos()2cos()2xyexxyyxyxy

(3)．【答案】：104x

(4)．【答案】：1/22cosxC

(5)．【答案】：222111(1)ln(1)222xxx

(5)．【答案】：(C)．

三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．

(1)．222sin[()]cos[()]()2yfxfxfxx,

22cos[()]()2yfxfxx

2222cos[()]()2cos[()]()2fxfxxfxfxx

22cos[()]()(2)fxfxx

2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)fxfxxfxfxx

22cos[()]()2fxfx.

()()dyfugxdx 或 dydydudxdudx.

(2)．应先化简再求函数的极限,

2222(100)(100)lim(100)lim100xxxxxxxxxxxx

22100100limlim11001001xxxxxxx.

因为0x,所以

22100100100limlim50111110011001xxxxx.

(3)．先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.

2444000sec1tan1cos222xxxdxdxxdxx

4440001111sintantan(0)22242cosxxxxdxdxx

4400111cosln(cos)82cos82dxxx

1121[ln(cos)ln(cos0)]lnln282482284.

(4)．用极限法求广义积分.

2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)xxdxdxxxdxxx

12200121(1)(1)lim22(1)bbxxxx

221111lim02(1)222bbb.

(5)．所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是

2222cos, 1011xxyyxxx,

通解为 2222112cos[]1xxdxdxxxxyeedxCx

2222(1)(1)112cos1dxdxxxxeedxCx

221sincos11xCxdxCxx.

代入初始条件 01xy,得 2sin0101C,所以 1C.所求特解为 2sin11xyx.

四、(此题总分值9分)．

要确定常数,,,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.

对于特解2(1)xxyexe,有

222(1)2(2)xxxxxyeexeexe,

2222(2)4(2)4(3)xxxxxxxyexeeexeexe,

代入方程xyyye,得恒等式

2224(3)2(2)(1)xxxxxxxexeexeexee,

化简得

2(42)(32)(1)xxxxeexee,

比拟同类项系数,得

4203210,

解之得3,2,1.

于是原方程为32xyyye,所对应的齐次微分方程320yyy的特征方

程为2320rr,解之得 121,2rr.

所以微分方程32xyyye的通解为

2*222121212(1)xxxxxxxxxyceceyceceexececexe.

五、(此题总分值9分)．

利用定积分求旋转体的体积,用微元法.

222xyx等价于22(1)1xy.

解法一：考虑对y的积分,那么边界限为

2111xy与2(01)xyy,

如右图所示.当yydy时,

2212(2)(2)dVxdyxdy

222(211)(2)yydy

2221(1)yydy.

所以 122021(1)Vyydy.

对于1201ydy,令sinyt,那么cosdytdt,所以

21222200001111cos(1cos2)sin22224ydytdttdttt；

对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33yydyydy,

所以 12201121(1)243Vyydy.

解法二：取x为积分变量,那么边界限为

212yxx与2(01)yxx,

如右图所示.

当xxdx时,

1222(2)()2(2)(2),dVxyydxxxxxdx

所以1202(2)(2)Vxxxxdx.

令1xt,那么1,xtdxdt,所以

120(2)(2)xxxxdx

021(1)2(1)(1)(1)ttttdt02221111ttttdt.

再令sint,那么cosdtd,

所以 00222212111(cossincossin1)costtttdtd

00002222222cossincossincoscosdddd

00002222221(1cos2)coscossinsincos2dddd

000330222211cossinsin2sin2233