2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质

1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；

2.理解并运用圆周角定理及其推论；

3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；

4.理解并运用圆内接四边形的性质.

考点1：圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB󰷽，读作圆弧

AB或弧AB

。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

考点4：垂径定理的应用

考点5：圆心角的概念

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心

角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距

相等。FE

DCBAO推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心

距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

考点6：圆角角的概念

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周

角=12圆心角）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直

径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点7：圆内接四边形C

BAODC

BAO

C

BAO

C

BAO圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，∵四边ABCD是内接四边形

∴180CBAD180BD

DAEC



【题型1：垂径定理及推论】

【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主

桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A．20mB．28mC．35mD．40m

【答案】B

【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，

设主桥拱半径为Rm，

∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，

∵OC是半径，OC⊥AB，

∴AD＝BD＝AB＝（m），

在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，

∴（）2+（R﹣7）2＝R2，

解得R＝≈28．

故选：B．

E

DC

BA

1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点

D，连接OA，则OE的长度为1．

【答案】1．

【解答】解：如图，连接OB，

∵∠ACB＝60°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，

∵OD⊥AB，∴＝，∠OEA＝90°，

∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，

∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，

∴OE＝OA＝×2＝1，

故答案为：1．2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则B

D的长为（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【解答】解：∵AD＝CD＝8，

∴OB⊥AC，

在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，

∴OB＝10，

∴BD＝10﹣6＝4．

故选：B．3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧

靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于10cm．

【答案】10．

【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，

如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，

则∠OEC＝90°，

∵餐盘与BC边相切，

∴点E为切点，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，

∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），

设餐盘的半径为xcm，

则OA＝OE＝xcm，

∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，

在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，

即82+（x﹣4）2＝x2，

解得：x＝10，

∴餐盘的半径为10cm，

故答案为：10．

【题型2：圆周角和圆心角】

【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

【答案】D

【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，

∴∠AOB＝80°．

故选：D．

1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【答案】C

【解答】解：∵∠C＝30°，

∴∠AOB＝2∠C＝60°，

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，

故选：C．2．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）

A．95°B．100°C．105°D．110°

【答案】D

【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，

∴∠AOB＝110°，

故选：D．

【题型3：弧、弦、圆心角】

【典例3】（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（）

A．20°B．40°C．50°D．80°

【答案】B

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝90°，

∵∠BAC＝50°，

∴∠ABC＝40°，∵＝，

∴∠D＝∠ABC＝40°，

故选：B．

1．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（）

A．25°B．30°C．35°D．40°

【答案】A

【解答】解：解法一：如图，连接OC，

∵∠ADC＝115°，

∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，

∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，

∴∠BAC＝∠BOC＝25°，

故选：A．

解法二：∵∠ADC＝115°，

∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，

故选：A．2．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）

A．32°B．42°C．48°D．52°

【答案】A

【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，

∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，

∴∠B＝∠C＝32°．

故选：A．

3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（）

A．140°B．120°C．110°D．70°

【答案】A

【解答】解：连接OC，如图：∵∠BAC＝35°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，

∵C为的中点．∴＝，

∴∠AOC＝∠BOC＝70°，

∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，

故选：A．4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度

数是（）

A．20°B．18°C．15°D．12°

【答案】C

【解答】解：∵∠ACB＝60°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，

∵∠AOB＝4∠BOC，

∴∠BOC＝30°，

∴∠BAC＝∠BOC＝15°．

故选：C．

【题型4：圆内接四边形】

【典例4】（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠B