北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_12

数据的数字特征

教学目标

1、知识与技能

（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．

（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．

在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释．2

3、情感态度价值观

通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性．

教学重点、难点

教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差．

教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据．

教学设计：

（1）教法构想

本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息．

（2）学法指导

学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合．

课时计划：2课时

教学过程：

一、【情景引入】

提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：

这到底是怎么了？（学生思考交流）

教师点出课题：数据的数字特征

二、【探求新知】

数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征．

请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考．

1、平均数、中位数、众数

某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：

职 务 董事长 副董事长 董 事 总经理 经 理 管理员 职 员

人 数 1 1 2 1 5 3 20

工 资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500

（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从

5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？

（4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？

税务官呢？工会领导呢？

通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同人 员 小明 小明弟 亲戚 领工 工人

周工资 2400 1000 250 200 100

人 数 1 1 6 5 10

合 计 2400 1000 1500 1000 1000 的统计数据，并且有着各自的特点．

平均数：一般地，对于N个数Nxxx,,,21，我们把NxxxN21叫做这N个数的算术平均数，简称平均数．平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标．它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据．

众数：一组数据中出现次数最多的数据．众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量.

注意：（1）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l、3中，

2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．

（2）如果出现个数一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以

不止一个或者没有．

中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个数据的平均数）．中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数据大，对于非对称的数据集，中位数更能实际地描述数据的中心．某些数据的变动对它的中位数影响不大．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．

注意：（1）求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到大或从大到小都可以．

（2）在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．

在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:

（1）中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；

（2）众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也可

能相等．如,在数据6、6、6、6、6中,其众数、中位数、平均数都是6．

（3）众数和中位数可以代表数据分布的大体趋势，缺点在于并没有对数据中的其它值加以利用．到底用什么统计量来刻画数据，需要结合数据的特点及你想要说明的问题进行选择．不同的人立场不同，会选择不同额统计量来说明他的观点，这也就是我们要对统计结论进行批判性思维的原因．

2、极差、方差

甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件．为了检验产品的质量，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，结果如下：

甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2

39.8

乙 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0

39.9

那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离散情况呢？

方法1、极差

甲：40.2-39.8=0.4（mm），乙：40.1-39.9=0.2（mm）；

方法2、方差

甲：1022111400.02610iisx，乙：1022211400.00610iisx；

方法3、

甲：404039.84039.840100.14mm，

乙：4040404039.940100.06mm；

方法4、

甲：333404039.84039.840100.005mm

乙：3334040404039.940100.0006mm

那么，在刻画数据的离散程度时，这个统计量应该满足哪些原则呢？

（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；

（2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；

（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值也大．

极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差．

极差=最大值—最小值

极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能细致地反映测量值彼此相符合的程度．极差是总体标准偏差的有偏估计值，当乘以校正系数之后，可以作为总体标准偏差的无偏估计值，它的优点是计算简单，估算大致范围时用它.

极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的，极差不一定也大．

方差，是一组数据据内，每个数与平均数的差数的平方和．

方差是表现数据的离散程度的（波动情况），方差越小，数据的离散程度越小，也就越接近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.

计算公式：设在一组数据,,12nxx,x…中，x是它们的平均数，则方差为：

2222121[()()()]nSxxxxxxn

3、标准差

方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画数据离散程度的一种理想度量应该具有与原始数据相同的单位，因而引入标准差，标准差更能反映数据的离散程度．

标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量．标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度．测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值， 与测量资料具有相同单位． 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的，标准差未必相同．标准差的意义：标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确．

注：以上各量都带单位．

三、【知识应用】

例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶10次，每次命中的环数分别是：

甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；

乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． （1）分别计算以上两组数据的平均数；

（2）分别求出这两组数据的方差；

（3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计图，并估计这两名战士的

射击情况．

解：（1）7107768甲x（环），7105776乙x（环）

（2）22221[(87)(67)(77)]3.010s甲（环2）

22221[(67)(77)(57)]1.210s乙（环2）

（3）因为甲x乙x，所以说明甲、乙两名战士的平均水平相当．

又因为甲2s乙2s，所以说明甲战士射击情况波动大．

故乙战士比甲战士射击情况稳定．

四、【课堂练习】

1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量

如表所示：

鞋的尺码（cm） 30 28 20 23 21 25

销售量（双） 5 1 2 3 5

4

指出这组数据的众数、中位数、平均数．

解：30cm，21cm的鞋各出现5次，故众数为30cm，21cm；

求中位数时应注意，在排列数据时应考虑每一个数出现的次数，本题

中共有20514352个数据，第10位数据为23，第11位

数据是25，

故中位数22423＝24(cm) ．

平均数为6.2420254215233202281305(cm)

2、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：

分 数 0 1 2 3 4 5

人 数 4 7 10 x 8 y

请参照这个表解答下列问题：