2018学年高中数学北师大版必修3教学案：第一章 §4 4.1 - 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差

　数据的数字特征4．1 & 4.2　平均数、中位数、众数、极差、方差　标准差

预习课本P25～31，思考并完成以下问题(1)什么是平均数、中位数、众数？ (2)什么是极差、方差、标准差？ (3)方差、标准差的计算公式是什么？　[新知初探]1．平均数、中位数、众数

(1)平均数

如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，xx1＋x2＋…＋xnn

叫作这n个数的平均数．(2)中位数

把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称

为这组数据的中位数．(3)众数

一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．[点睛]　如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这

几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组

数据没有众数．2．极差、方差、标准差

(1)极差

一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差．(2)方差

标准差的平方s2叫作方差．s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．1nxxx

其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．x

(3)标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝

.1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]

[点睛]　(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越

大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．

(3)标准差的大小不会超过极差．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变

化．( )(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映

了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( )(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( )

(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )

(5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据

的众数和中位数分别为( )A．84,68 B．84,78

C．84,81 D．78,81

解析：选C　将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.

3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测

试的平均成绩为________．

解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为

53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68.17

答案：68

4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为

＝11.8＋9＋10＋13＋155

由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]15

＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.15

答案：6.8中位数、众数、平均数的计算及应用

[典例]　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员

人数11215320

工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到

30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看

法．[解]　(1)平均数是

＝1 500＋(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 x133

091(元)，

中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是

′＝1 500＋(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 x133

788＝3 288(元)．

中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人

的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数

不能反映这个公司员工的工资水平．刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代

表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表

达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．　

[活学活用]

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2

人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别

是( )A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分

C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分

解析：选C　由题意知，该学习小组共有10人，

因此众数和中位数都是85，

平均数为＝87.100＋95＋2×90＋4×85＋80＋7510

2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘

知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使

他得出结论的是( )A．平均数 B．极差

C．中位数 D．方差

解析：选C　判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15

位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.

方差、标准差的计算与应用

[典例]　从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，

两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.

乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；

(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；

(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．

[解]　(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；

对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.(2)甲＝＝7，x7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410

s＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2甲110

2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s甲＝＝≈1.673.s2甲2.8

乙＝＝7，x9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710

s＝×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2乙110

2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，

s乙＝＝≈1.095.s2乙1.2

(3)∵甲＝乙，s甲＞s乙，xx

∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，

可以选择乙参赛．

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对

平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，

稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．

[活学活用]

某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：

甲组　60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；

乙组　85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；

(2)哪一组的成绩较稳定？

解：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，x110

方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2甲110

2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，

标准差为s甲＝＝≈10.91(分)．s2甲119

乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，x110方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2乙110

2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，

标准差为s乙＝＝≈8.67(分)．s2乙75.25

(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．

从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.

数字特征与统计图表的综合问题

[典例]　(1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知

识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )x

A．me＝mo＝ B．me＝mo＜xx

C．me＜mo＜ D．mo＜me＜xx

(2)如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和xB，样本标准差分别为sA和sB，则( )xA.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sBxxxxC.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sBxxxx

[解析]　(1)由条形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5

分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5，5出现次数最多，故mo＝5.

＝≈5.97.x2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030

于是得mo＜me＜.x

(2)观察图形可得：样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，

故A＜B，又样本B的波动范围较小，故sA＞sB.xx

[答案]　(1)D　(2)B