第二章单自由度系统——理论
2-1引言
单自由度系统是更进一步研究振动的基础。一些单自由度系统的例子表示在图2-1中。
虽然这些系统在外表上不同，但它们都可以用图1-1所示的一般模型表示。这里我们使用四种方法：（1）能量法；（2）牛顿第二定律；（3）频率响应法；（4）叠加
原理。
由于振动是一种能量交换现象，所以首先介绍简单的能量法。应用牛顿第二定律，单自
由度系统由一个二阶运动微分方程描述。如果激振是一解析表达式，那么，方程能够用“经
典”的方法求解。如果激振是任意函数，可用叠加原理求得系统的运动。频率响应法假定激振是正弦的，而且在感兴趣的频率范围内研究系统的性质。
注意，一个系统以它自己的方式振动，而与分析方法无关。应用不同方法的目的是为了
寻求最方便的方法来表示系统的特征和描述它的固有性质。我们把牛二和叠加原理作为时间
域分析来对待，轩为一质量的运动是时间的函数，例如以时间作为独立变量的微分方程的解。
频率响应法假定激振和系统响应都是正弦的而且具有同样的频率，因此，它是一种频率域分
析。时间响应是直观的，但是在频率域内描述一个系统更方便。
值得注意的是，时间域分析和频率域分析肯定是相关的，因为它们是考虑同一问题的不
同方法。事实上，被作为时间域技术来对待的叠加原理是研究线性系统的基础。由叠加原理
导出的褶积积分可以应用于时间域或频率域。我们在这里仅仅介绍这个非常重要的原理的一
个方面，而不讨论相关的方法。时间分析和频率分析的数学相关性并不是新东西。然而，直到最近几年来，电子计算机、测试设备和试验技术的进步，它才在实际中得到应用。
2-2自由度
一个振动系统的自由度个数是确定这个系统状态所必需的独立的空间坐标个数。我们定
义状态为这个系统的所有质量的几何位置。如这些质量的相互关系只需要一个空间坐标就完
全确定，那么就说这个系统具有一个自由度。
对于空间一个刚体的完全确定需要六个坐标，即三个确定直线运动的坐标和三个确定旋
转运动的坐标。然而，通常一系统中的质量受约束仅仅以一定的方式运动，因此，约束限制
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
自由振动微分方程：
设它为：
可得如下主振型方程
（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得
可化为
）可化为
）就有着相同的形式。 柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有 或
两种系统矩阵之间有着互逆关系：
、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。
振型问题。鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。
征方程。对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程：
（4-20） 的特征根，亦称矩阵的特征值。特征值与系统固有频率之间有如下关系：
可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有
上述结论。
半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征矢量。这样，对于任何一个自由度系征矢量）。 统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。事实上，按逆阵的表示，有
中各列与充其量只相差一个常数乘子。 统中，有，。求系统的主振型。
（4-23）
中第三列正是取为基准的主振型：
第三章 两自由度系统振动
§3-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]
6 第二章 单自由度无阻尼系统的振动
单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m为质量元件（或惯性元件），k为线性弹簧，C为线性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动
图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m的静平衡位置为坐标原点，取x轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，kmg，故有静位移
δ=mg/k （a）
当系统处在位置x处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：
mgxkxm)( (b)
式中:22/dtxdx是质量的加速度，将（a）式代入（b）式；则得 kxxm 即
0kxxm （2-1）
注意，上式中-kx是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
