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解:由图可知, BP = 20 m, AB = 15 m
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
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Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
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, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
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(3)驻波中各点处质元的相位关系
相邻两个 波节之间各质元作振幅不尽相同、相位相同的谐振动
每个波节两侧的各个质元作振幅不尽相同的相位相反的谐振动
(4)驻波的能量特征
(i)当各质元达皆在各自的最大位移处时,各质元的能量全部为 势能. 驻波的势能集中在波节点附近(此处介质形变最大)
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2 2
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合振动的初相为
2 2 A1 sin(1 - r1 ) A2 sin( 2 - r2 ) P arc tan 2 2 A1 cos(1 r1 ) A2 cos( 2 r2 )
两相干波在同一均匀介质中传播,两相干波在相遇点的
波程差为 r2 - r1 r , 相位差与波程差的关系为
Δ 2 - 1 - 2 r2 - r1
0 - 2
由相位差形式的干涉条件可得
干涉相长、相消条件的波程差形式为
2 - 1 k , ( 相长干涉) 2 ( k 0,1, 2, r2 - r1 (2k 1) - 2 - 1 , ( 相消干涉) 2 2
r2 - r1 Δ 2 - 1 - 2 (2k 1) 合振幅为 A Amin A1 - A2
干涉恒减弱, 即相消干涉
若 A1=A2, 则合振幅为 A
( k 0,1, 2, )
=0, 质元静止不动
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8
干涉相长、相消条件的波程差形式如下:
A A1 - A2 0
故两波相遇的P 点处质元因两波相消干涉而不振动
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五.驻 波
驻波是特殊的干涉之例 在一条波线上的质元任意时刻排成的波形不沿波线 行进,呈驻定状态,称为驻波
1.驻波的形成
(1)在均匀、足够大、无吸收的介质中,两个等幅相干波 沿同一波线相向传播,在该波线上可能形成驻波 (2)在均匀、足够大、无吸收的介质中, 一个波与其自身 反向传播的反射波,沿同一波线相向传播并相干涉, 在该波线上可能形成驻波
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25
半波损失与介质性质、入射角大小等因素有关
两介质相比较, ρu 大者称波密介质, 小者称波疏介质 ( ρ—介质密度; u—波速; ρu—波阻 ) ρ1 u 1 如图
入射波 反射波
ρ2 u2
入射波 反射波
波疏介质
波密介质
1 u1 2 u2 时,有半波损失,反射位臵处形成波节 1 u1 2 u2 时,无半波损失,反射位臵处形成波腹
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(ii) 当各质元皆在各自的平衡位臵时,能量全部为动能 驻波的动能集中在波腹点附近 (此处质元的速度幅最大) (iii) 驻波的动能、势能在两相邻的波节之间相互转化,能量流动 但是,能量不能通过节点
驻波全局域的能流密度平均值(即 波强) I = 0
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3.弦线中的驻波
§10-5.波的叠加、干涉、驻波
一.波的叠加原理
在介质中,若干个振动不太强的波相遇,在相遇区任一点 处质元的振动,为这些波在该点引起该质元振动的线性 叠加 若介质是同一种均匀介质,则在相遇区内、外,各个波仍 保持原有的特性 (如 频率、波长、振动方向等)不变 (此称为 波的独立传播性 ) • 可将复杂的波分解为一系列简谐波的叠加
(1)弦线中形成的驻波对弦线长度L的限制
• 弦线两端皆为固定点时,对L的限制
Ln 2
(n 1, 2 )
• 弦线一端为固定端,另一端为自由端 时,对弦线长度L的限制
L (2n 1) 4
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(n 0,1, 2 )
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(2)驻波的简正模式、简正频率
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)
9
r2 - r1 当 φ1=φ2 时,相位差为 Δ 2 2
干涉相长、相消条件的波程差形式为
( 相长干涉) k , r2 - r1 (2k 1) , ( 相消干涉) 2
( k 0,1, 2,
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2.驻波的波形
y
负向波
u
t=0时刻的合成波形
正向波
u
x
y
u
负向波
正向波
u
x
t=T/8时刻的合成波形
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y
负向波
u
t=T/4时刻的合成波形
正向波
u
x
y
t=3T/8时刻的合成波形
x
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)
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四.实现机械波相干的方法
1. 取多个独立的相干波源实现相干 2.分波振面法实现相干 3.分振幅法实现相干
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波的干涉举例
例1:均匀介质中A、B 两点的两相干波源振幅同,频率为100Hz,
相位差为π ,两点相距 L=30 m, 波速为400 m /s
可见,两相干波在该区域(即 x>L区域)总是同相位
2
则 B 点外侧没有因干涉而静止的点
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解(2):两相干波在A点外侧任意P点处(即 x<0)的相位差为
P
2 Δ B - A - ( L - x ) - ( - x ) - 15 -14 可见,两相干波在该区域(即 x<0区域)总是同相位
(4)合波强
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos Δ
式中的 是关于 P点位臵的函数, 与时间无关 若是非相干叠加,合波强为
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I I1 I 2
6
(5)干涉相长条件、干涉相消条件
由 A
A12 A2 2 2 A1 A2 cos Δ
x
A
L=30m
o
B
X 2 L
则 A点外侧没有因干涉而静止的点 解(3):两相干波在AB 连线之间任意P点处(0≤ x ≤ L)的相位差为
A
L=30m P
o
x
B X
L
2 2 L 4 x Δ B - A - ( L - x ) - x + = x - 14
A - B
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A, B发出的两列波传到 P 点时的相位差与波程差的关系为
- AP Δp B - A - 2 BP - 25 =99 Δp - - 2 20 0.10
A
P 25m 20m
15m
B
可见,该 值满足合振幅为最小值的条件,若介质不吸收波的 能量, 则两列波传播中振幅相同,因而合振幅为
r1
r2
) )
4
(3)合振动规律
P点处质元的合振动为:同振向、同频谐振动的合成
y y1P y2P A cos( t )
两相干波在相遇点的相位差为
r2 - r1 Δ 2 - 1 - 2
合振动的合振幅为
A A1 A2 2 A1 A2 cos Δ
( n 0,1, 2, 3,
• 弦线中形成的各种允许频率的驻波, 即为简正模式, 相应的
频率为简正频率
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4.半波损失 (或相位突变)现象
陈 述:
当机械波(或电磁波)从波疏介质向波密介质传播, 在两种介质的分界面反射时, 反射波与入射波的 波程差为零, 二者引起该处质元振动的合振幅为零. 称反射波与入射波在反射位臵处的相位突变了 . 此现象称为“半波损失”现象 (或“相位突变”现象)
