单级倒立摆设计

单级倒立摆系统的建模与控制器设计摘要：本文主要研究的是单级倒立摆的建模、控制与仿真问题。

倒立摆是一类典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。

由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。

本文首先建立了单级倒立摆的数学模型，对其进行了近似线性化处理，得到了它的状态空间描述，并对系统的开环特性进行了仿真和分析。

然后，基于极点配置方法设计了单级倒立摆系统的控制器。

最后，用Matlab对系统进行了数值仿真，验证了所设计的控制算法的有效性。

1、绪论------------------------------------------------------------- 12、单级倒立摆系统的建模与分析--------------------------------------- 32.1 单级倒立摆系统的建模---------------------------------------- 32.2 单级倒立摆系统的模型分析------------------------------------ 63、单级倒立摆系统的极点配置控制器设计------------------------------ 113.1 单级倒立摆系统控制器设计的目标----------------------------- 113.2 单级倒立摆系统的能控性分析--------------------------------- 113.3 单级倒立摆系统的极点配置控制器设计------------------------- 123.4 闭环系统仿真分析------------------------------------------- 134、PID控制器的设计与分析------------------------------------------ 184.1、PID控制的基本原理----------------------------------------- 184.2、方案设计-------------------------------------------------- 184.3、PID控制设计分析------------------------------------------- 204.4、软件仿真调试结果------------------------------------------ 204.5、与极点控制器结果对比分析---------------------------------- 225、结论------------------------------------------------------------ 23 致谢--------------------------------------------------------------- 24 参考文献----------------------------------------------------------- 251、绪论倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。

本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。

本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。

关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章MATLAB仿真软件的应用 (9)1.1 MA TLAB的基本介绍 (9)1.2 MA TLAB的仿真 (9)1.3 控制系统的动态仿真 (10)1.4 小结 (12)第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)2.1 系统组成 (13)2.1.1 倒立摆的组成 (14)2.1.2 电控箱 (14)2.1.3 其它部件图 (14)2.1.4 倒立摆特性 (15)2.2 模型的建立 (15)2.2.1 微分方程的推导 (16)2.2.2 传递函数 (17)2.2.3 状态空间结构方程 (18)2.2.4 实际系统模型 (20)2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21)第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)3.1 PID控制器的设计 (34)3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)第1章 MATLAB仿真软件的应用1.1 MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。

直线单级倒立摆系统建模。

图 错误！文档中没有指定样式的文字。

-1(a)为直线单级倒立摆实际设备，为方便分析，将其抽象这小车与摆杆的示意图，如图 错误！文档中没有指定样式的文字。

-1 (b)所示。

倒摆的参数与量纲见表 错误！文档中没有指定样式的文字。

-1。

由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。

这和手持木棒使之直立不倒的现象很类似，研究此系统很有意义，如在火箭发射时，火箭必须靠开发动机来维持它沿推动力方向飞行。

显然，若对小车不加控制，摆杆的倒立状态是不稳定的平衡状态，若稍有振动摆杆必然倒下，实际上，这就是稳定性的含义。

这里暂不讨论如何控制的问题。

设加在小车上的力为F ，小车的位置为x ，摆杆与垂直向上方向的夹角φ，垂直向下方向的夹角为θ(πθφ=+)，在空气阻力很小可以忽略、杆是刚性的条件下，建立数学模型。

(a)实物图(b)示意图图 错误！文档中没有指定样式的文字。

-1 直线单级倒立摆系统表 错误！文档中没有指定样式的文字。

-1 直线单级倒立摆系统参数参数 大小 摆杆质量m 0.109kg 小车质量M1.096k g摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l 0.25m摆杆绕其重心的转动惯量J 20.0034k g m ⋅摆杆与小车间的摩擦系数b 1 10.001N m s rad -⋅⋅⋅ 小车水平运动的摩擦系数b 2 10.1N s m -⋅⋅摆杆与垂直向上方向的夹角φπθ-图 错误！文档中没有指定样式的文字。

-2单级倒立摆受力分析图解：定义逆时针转动为正方向。

设摆杆的重心为(),g g x y ,则sin cos g gx x l y l φφ=-⎧⎪⎨=⎪⎩ (1) 根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程：(1) 摆杆绕其重心转动的动力学方程为：1sin cos y x J N l N l b φφφφ=+- (2)式中，J 为摆杆绕其重心的转动惯量：22112123J mL L l ml ==。

单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。

技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。

课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。

学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。

教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。

在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。

二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。

2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。

3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。

《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。

其中摆的长度∕1=lm,质量∏71 =Olkg ,横杆的长度厶 =1 m f 质量nt2 =Olkg1重力加速度g =0.98∕π/52O以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移q为输出。

控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。

图1单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面360°的范围内自由摆动。

倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。

在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位,这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。

作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。

本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M为输入，横杆相对参考系产生的角位移q为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。

2模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆M-NI 2=J 2d~θx分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；〃勺为摆杆质量； 厶为摆杆长度；人为摆杆的转动惯量；“为横杆的质量；厶为横杆的长度；厶为 横杆的转动惯量；q 为横杆在力矩作用下转动的角度；g 为摆杆与垂直方向的夹 角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。

倒立 摆模型受力分析如图2所示。

图2倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程：NM I 牛甸/+O + ? Sina) (∕2-横杆的转动弧长即位移)摆杆垂直方向受力平衡方程：〃2 I I卑g=卑 2叶一寸COSq)Ur 2 2摆杆转矩平衡方程：横杆转矩平衡方程:XX考虑到摆杆在设定点q,Q=o 附近做微小振动，对上式进行线性化，即• ml JSi 吨≈q, cos^2 ≈1 ‘心0,其中八〒，近似线性化得到,JlN = OΛ-(Θ +OM (IV ・//-0.98 = 0 1 /1If)——= H ∙0.5IN ∙0.5∙l 30 dfM-N = -^∙30 dr整理上式可得倒立摆的状态方程:1 ∙∙ ∙∙—q —0 + 14.70—15M<4 ∙∙ 1 ∙∙-<91 + -6>2-10M =O l3 2本文参数代入计算可得：& =-4.642Q+11.05 3M Q= 12.3790—9.474M■x=q=[ι 0 0 0]■■ ■X =■ qO I■O^Λ ^^0χ2OO -¾.OO"P ■O 尤2 + 11.053 1O O9.474取状态变量如下：故1 OO -4.642 O O O 12.3793稳定性和能控性分析3.1稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。

单级倒立摆的LQR 与LQY 控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。

其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：2()cos sin ()sin cos M m x bx ml ml F I ml mgl mlx θθθθθθθ+++-=++=-倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设θπφ=+，φ为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1θ=-，sin θφ=-，220tθ∂=∂。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个方程如下：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩取状态变量：1234x x x x x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。

则系统的状态方程为：122122342224122()()()()()x x mgl M m ml x x uI M m Mml I M m Mml x x m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml =⎧⎪+-⎪=+++++⎪⎨=⎪⎪+=+⎪++++⎩将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：x Ax Bu y Cx x θ=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这里设：21.320.070.1//0.200.0009M Kg m Kgb N m s l m I Kgm =====将参数带入，有：010038.182500000010.384700002.803700.747710000010A B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、LQR 控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。

单级移动倒立摆建模及控制器设计matlab 单级移动倒立摆是一种常见的控制系统模型，它在机器人控制、自动驾驶等领域有着广泛的应用。

本文将介绍如何使用MATLAB进行单级移动倒立摆的建模和控制器设计。

首先，我们需要了解单级移动倒立摆的基本原理。

单级移动倒立摆由一个垂直的杆和一个可以在水平方向上移动的小车组成。

小车上有一个可以旋转的杆，杆的一端连接着小车，另一端有一个质量块。

通过控制小车的位置和杆的角度，我们可以实现倒立摆的平衡。

接下来，我们开始建立单级移动倒立摆的数学模型。

首先，我们需要定义系统的状态变量。

在这个模型中，我们可以选择小车的位置x、小车的速度v、杆的角度θ和杆的角速度ω作为状态变量。

然后，我们可以根据物理原理建立系统的动力学方程。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到如下的动力学方程：m*x'' = F - m*g*sin(θ) - m*l*θ'^2*cos(θ)m*l^2*θ'' = -m*g*l*sin(θ) + m*l*x''*cos(θ) - b*θ'其中，m是小车和质量块的总质量，l是杆的长度，F是施加在小车上的外力，g是重力加速度，b是杆的阻尼系数。

接下来，我们可以使用MATLAB进行模型的建立和仿真。

首先，我们需要定义系统的参数和初始条件。

然后，我们可以使用ode45函数来求解系统的动力学方程。

ode45函数是MATLAB中用于求解常微分方程的函数，它可以根据给定的初始条件和参数，计算出系统在一段时间内的状态变化。

在求解动力学方程之后，我们可以得到系统的状态变量随时间的变化。

通过绘制状态变量随时间的曲线，我们可以观察到系统的动态行为。

例如，我们可以绘制小车位置随时间的变化曲线，以及杆角度随时间的变化曲线。

最后，我们需要设计一个控制器来实现单级移动倒立摆的平衡。

常见的控制器设计方法包括PID控制器和模糊控制器。

单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真第一步是建立单级倒立摆的数学模型。

单级倒立摆可以通过旋转关节将一根质量均匀的细杆与一个平台相连。

细杆的一端固定在平台上，另一端可以自由旋转。

细棒的旋转角度用θ表示，质心的位置用x表示。

根据牛顿力学和杆的动力学方程，可以得到如下数学模型：1.摆杆的运动方程：Iθ'' + mgl sin(θ) = u - F (1)其中，I是摆杆的转动惯量，m是摆杆的质量，g是重力加速度，l是摆杆的长度，u是控制输入（摆杆上的转动力矩），F是摩擦力。

2.质心的运动方程：m(x'' - lθ'²cos(θ)) = F (2)接下来是设计控制器来控制单级倒立摆。

一个常用的控制方法是使用线性化控制理论，其中线性化是将系统在一些工作点附近线性近似。

在这种情况下，将摆杆保持在垂直方向，并使质心静止作为工作点。

线性化系统的转移函数为：H(s) = θ(s)/u(s) = (ml²s² + mg)/(s(ml² + I))为了稳定单级倒立摆，可以使用自动控制理论中的反馈控制方法，特别是状态反馈。

状态反馈根据系统的状态变量来计算控制器输入。

为了设计状态反馈控制器，首先需要判断系统的可控性和可观测性。

根据控制系统理论，如果系统是可控和可观测的，则可以设计一个线性状态反馈控制器来稳定系统。

在MATLAB中，可以使用控制系统工具箱来设计单级倒立摆的控制系统。

首先，通过建立系统的传递函数模型（由线性化系统得到）来定义系统。

然后，使用控制系统工具箱中的函数来计算系统的稳定极点，并确定所需的反馈增益以稳定系统。

最后，可以使用MATLAB的仿真工具来模拟单级倒立摆的响应，并进行性能分析。

在进行仿真时，可以将倒立摆的初始状态设置为平衡位置，并应用一个输入来观察系统的响应。

可以通过调整控制器增益和系统参数来改变系统响应的性能，例如收敛时间、超调量和稳态误差。