小学数学建模教学内涵及策略
作者：胡辰
来源：《数学教学通讯·小学版》2019年第01期
摘; 要：模型素养是学生数学核心素养的重要组成，培育学生的建模思想、方法和能力是数学教学的应有之义。从本质上说，数学建模的过程就是一种“数学化”。在小学数学教学中，教师发掘教材中的模型因子，激发学生建模兴趣，引领学生经历数学模型的建构过程，促进学生的数学生命在数学建模历程中成长。
关键词：数学建模;建模教学;建模策略
数学建模素养是学生数学核心素养之一。东北师范大学史宁中教授认为，“学生数学核心素养有三：抽象、推理与模型”。《义务教育数学课程标准（2011版）》也明确指出，“从学生已有经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”可见，在数学建模的过程中，学生的数学抽象和概括能力也同时得到发展。
一、“数学建模”的本质内涵
数学建模不仅是一种数学学习方法、策略，更是一种数学学习思想。所谓“数学建模”，也就是运用数学的语言、方法等，通过抽象、概括，建立的能够描述、分析、解决实际问题的数学模型 [1]。著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。” 从本质上说，数学建模的过程就是一种“数学化”。一般而言，数学建模有两个重要的步骤：一是“横向数学化”，二是“纵向数学化”。
1. 横向数学化
生活原型是数学建模的逻辑起点。在数学建模过程中，教师要依据数学知识的学科特质以及学生的年龄、心理特征，引领学生将生活问题抽象成数学问题，这就是“横向数学化”。这个过程需要学生对实际问题进行深入理解。
“横向数学化”关系到整个数学建模的质量、成效。从根本上说，数学源于生活且高于生活。“横向数学化”就是将学生实际生活中的素材引入课堂，让学生运用“数学的眼光”去打量，用“数学的大脑”去考量，用“数学的语言”去描述。比如著名数学家欧拉将哥尼斯堡的“七桥问题”，提炼、抽象成“一笔画问题”就是一种“横向数学化”。在数学教学中，教师要引导学生进行数学观察、数学发现、数学分析，进而能够将生活问题抽象成数学问题。
2. 纵向数学化
所谓“纵向数学化”，是指学生在“横向数学化”基础上，对数学问题进行加工、分析、求解的过程。在“纵向数学化”中，学生对通过“横向数学化”构建的数学模型进行分析、验证、再分析、再改进，从而将粗糙的数学模型逐级精致化，形成具有较强包摄力和解释力的数学模型。数学模型是对问题的抽象化、简约化、本质化的描述，是学生解决问题的重要工具。
教学《长方形的周长》，当学生通过对众多例子进行观察、分析，形成“长+宽+长+宽”后，可以说，“长方形周长”的雏状模型就已初步形成。在此基础上，教师要引导学生进行“求简”，由于长方形的两条长相等，两条宽相等，因此抽象概括出比原先更精致、更简约的数学模型——“2长+2宽”。在此基础上，再将2提取，学生用符号建构出这样的数学模型——
（a+b）×2。“数学模型”是解决问题的重要工具，可以帮助学生更精准、清晰地认识、理解数学知识的意义。
二、“数学建模”的教学策略
数学，就其本质而言，就是在不断抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的 [2]。在数学教学中，教师只有引导学生深入“数学模型”的意义上，才可以说真正走进了数学的腹地。在数学教学中，教师要引领学生运用“模型思想”来观察问题，发掘问题中的模型因子。由此培育学生模型意识，让学生体验模型的建构过程，形成建模的数学思想。
1. 发掘模型因子，丰富建模内容
在小学数学中，蕴含着丰富的建构数学模型的素材因子。这些因子潜隐在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四大板块内容之中。很多教师，在日常数学教学中只是“就题论题”，没有将问题上升到数学模型的高度。在数学教学中，教师要引领学生发掘模型因子，丰富数学建模内容。
比如，认识“整数”“小数”时，教师要引导学生建立“十进制”模型;在学习“速度×时间=路程”“单价×数量=总价”“工效×工时=工总”时，可以引导学生建立“乘法模型”“正反比例模型”等;在学习“长方形的面积”“平行四边形的面积”“三角形的面积”“梯形的面积”“圆的面积”后，教师可以引导学生进行比较，建构“梯形面积模型”;在解决具有相等关系的数学问题时，可以引导学生建构“方程模型”等;在学生玩转盘游戏时，可以引导学生建构“统计与概率”模型，等等。数学模型是对问题的本质和解决问题的策略的抽象概括，引导学生发掘问题中所蕴含的模型因子，有助于学生形成建模意识，感悟建模思想。
小学数学中的数学模型是丰富的。它包括概念型模型、计算型模型和应用型模型等。用模型思想研究小学数学，不仅是为了获得数学结论，而是让学生从模型的视角去认识、描述、把握数学问题。只有当学生能够运用模型思想处理问题时，学生才能真正地感受到数学的内在魅力。
2. 激发建模兴趣，丰富建模方法
学生学习数学建模的过程是一个长期的、不断累积经验、不断深化发展的过程。在数学教学中，教师要激发学生建模兴趣，引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用 [3]。在这个过程中，教师要有意识地渗透数学建模的方法，让学生习得建模技巧。通過数学建模，让学生举一反三、融会贯通，进而创造性地展开数学学习。
（1）在事理中建模
学生的生活经验、活动经验是学生理解数学原理、生成数学认识、建构数学模型的源头活水，能够给学生的数学建模提供强劲的动力，给学生的数学建模提供重要的启迪。在数学学习中，受生活事理的启发，学生能够主动思考，形成适切的、典型的、鲜活的、有趣的数学模型。例如“减法的性质”——“a-b-c=a-（b+c）”，教学中，教师可以启发学生：将两块饼一个一个地吃，就相当于什么？学生能够联想到“将两块饼一个一个地吃，就相当于两块饼一起吃”。这种以“生活事理”诠释“数学算理”的教学，能够帮助学生准确建构出数学模型。
（2）在迁移中建模
美国著名教育心理学家奥苏伯尔深刻地指出：有学习的地方就有迁移。迁移对学生数学建模发挥着重要的作用。在引导学生进行建模的过程中，教师可以充分运用学生的先前认知结构、经验，让学生在类比、迁移中进行建模。例如教学《分数的基本性质》，由于学生知晓了“商不变的规律”以及“分数、除法”之间的关系，因此学生容易类比迁移概括出“分数的基本性质”的数学模型——“=（c≠0）”。迁移型的数学建模，有助于培育学生的数学实践能力。
在数学教学中，教师要激活学生相关的知识、方法、过程、经验等，为学生的数学建模提供充分的准备。数学建模的方法很多，除了上述的建模法外，还有图像法、逻辑推理法、比较法，等等。为了顺利地帮助学生完成数学建模，教师应当好向导和参谋，为学生的数学建模支着，给学生提供数学建模的脚手架，丰富学生的数学建模方式、方法与策略。
3. 展示建模过程，形成模型思想
在数学建模教学中，要让学生经历模型的诞生过程，只有当学生经历了模型的诞生历程，学生才能感悟到模型思想 [4]。建构数学模型不仅仅是为了获得数学结论，更为重要的是让学生面对现实问题时，能够主动地提出假设，进行数学验证，从而建构模型。换言之，模型思想可以概括为模型意识、模型能力、模型习惯、模型策略，等等。
例如：教学《用数对确定位置》（苏教版小学数学四年级下册），笔者首先创设了一个情境：如何有效地描述小明的班级座位？学生的想法各式各样，有学生用语言描述，如第几排第几个？有学生从前往后描述，有学生从左往右描述，等等。为此，笔者出示了低年级的排队的
