浅谈命题的否定及其应用(新人教a版选修1-1)

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作含有一个量词的命题的否定要想对含有量词的命题进行否定，应首先判断此命题是全称命题还是存在性命题，也就是要找出语句中的全称量词或存在性量词。

一、全称命题与存在性命题的判断全称量词一般包括短语“所有”、“任意一个”。

常见的全称量词还有：“一切的”、“每一个”、“任给”、“全体”、“全部”等等。

全称量词在陈述中表示所述事物的“全体”或“全部”。

全称量词的特定符号是“∀”。

含有全称量词的命题叫做全称命题。

也就是说，全称命题一般都含有全称量词。

存在性量词一般包括短语“存在一个”、“至少有一个”。

常见的存在性量词还有：“有一个”、“有的”、“有些”、“某些”、“某一个”等等。

存在性量词在陈述中表示所述事物的“个体”或“部分”。

存在性量词的特定符号是“∃”。

含有存在性量词的命题叫做存在性命题。

也就是说，存在性命题一般都含有存在性量词。

二、全称命题与存在性命题的否定1．全称命题的否定一般地，设()p x 是某集合M 的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x ，()p x ”的命题。

用符号记为“x M ∀∈，()p x ”，其否定命题为“x M ∃∈，()p x ⌝”。

例1：写出下列命题的否定：（1） 对任意的实数x ，y 都有222x y xy +≥；（2） 每一个四边形的四个顶点共圆；（3） x Z ∀∈，2x 的个位数不等于3。

解析：每个命题都含有全称量词，所以都为全称命题，首先将全称量词“任意的”、“每一个”、“ x Z ∀∈”改为存在性量词“存在”、“存在一个”、“ x Z ∃∈”，然后否定性质即可。

（1） 存在实数x ，y 有222x y xy +<；（2） 存在一个四边形的四个顶点不共圆；（3） x Z ∃∈，2x 的个位数等于3。

评注：从命题形式看，全称命题的否定是存在性命题2．存在性命题的否定一般地，设()q x 是某集合M 的有些元素具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x ，()q x ”的命题。

1.4.2 含一个量词的命题的否定教学目标分析：知识目标：（1）掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；（2）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.过程与方法：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．重难点分析：重点：全称量词与存在量词命题间的转化；难点：隐蔽性否定命题的确定；互动探究：一、课堂探究：1、复习引入：（1）判断下列命题是否为全称命题：①有一个实数α，tan α无意义；②任何一条直线都有斜率；（2）判断以下命题的真假： ①21,04x R x x ∀∈-+≥；②2,3x Q x ∃∈=数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。

在全称命题与特称命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

探究一、写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2、含有一个量词的全称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题p ：,()x M p x ∀∈，它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝说明：全称命题的否定是特称命题.探究二、写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?3、含有一个量词的特称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈⌝.说明：特称命题的否定是全称命题.4、关键量词的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.（4）p ：所有的正方形都是矩形.变式：命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在32,10x R x x ∈-+≤C. 存在32,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>例2、写出下列特称命题的否定：（1）p ：2000,220x R x x ∃∈++≤； （2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个正因数.（4）p ：至少有一个实数x ，使310x +=.变式：对下列命题的否定说法错误的是（ ）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>小结：全称命题的否定变成特称命题.例3、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.变式：下列命题正确的个数是（ ）.①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的否命题是真命题；②命题:23p x y ≠≠或，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>”.A.0B.1C.2D.3答案：D.二、课堂练习：教材第26页练习第1、2题1、写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是单调函数.2、写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.反思：全称命题的否定变成特称命题.反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：（一）教材第26页习题1.4 A 组第3题，B 组第1题1、写出下列命题的否定：(1)32,x N x x ∀∈>；(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤； (4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直.2、判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩；（2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒；（4）存在一个四边形没有外接圆.（二）补充3、命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x R ∈，3210x x -+≤B ．存在x R ∈，3210x x -+≤C ．存在x R ∈，3210x x -+>D ．对任意的x R ∈，3210x x -+>答案：C4、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x答案:D5、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.:p x R ⌝∃∈，sin 1x ≥B.:p x R ⌝∀∈，sin 1x ≥C.:p x R ⌝∃∈，sin 1x >D.:p x R ⌝∀∈，sin 1x >6、写出下列命题的否定：（1）若24x >，则2x >；（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.7、已知:,sin cos p x R x x m ⌝∃∈+≤为真命题，2:,10q x R x mx ∀∈++>为真命题，求实数m 的取值范围.2m ≤<.课后反思：。

1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定通过复习和回顾否命题与命题的否定引入新课，由已知向未知过渡，本课系统地学习了全称命题的否定与特称命题的否定，以及它们在求参数范围中的应用。

以学生自主探究为主，学习全称命题的否定与特称命题的否定，探究怎样利用含有一个量词的命题的否定求解参数范围问题。

通过例1探讨全称命题的否定形式.通过例2探讨特称命题的否定形式，通过例3研究如何利用含有一个量词的命题的否定求解参数范围问题。

全称命题与特称命题的否定的本章的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。

导入1 : 经过前几节课的学习，想想否命题与命题的否定的区别？否命题:是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.命题的否定:是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件.例如:命题“一个数的末位是0，则它可以被5整除”.否命题:若一个数的末位不是0，则它不可以被5整除；命题的否定:存在一个数的末位是0，不可以被5整除.导入2 :判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R, x 2－2x ＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃x 0∈R, x 02＋1＜0.前三个命题都是全称命题，即具有“∀x∈M，p（x）”的形式；后三个命题都是特称命题，即“∃x0∈M，p（x）”的形式.它们命题的否定又是怎么样的呢？这就是我们这节课将要学习的内容 .目标全称命题的否定1特称命题的否定2含有一个量词的命题的否定的应用3写出下列命题的否定：否定：并非所有的矩形都是平行四边形，否定：并非每一个素数都是奇数，否定：并非任意的实数x都使不等式 成立，全称命题的否定也就是说，存在一个矩形不是平行四边形.（1）所有的矩形都是平行四边形;(2)每一个素数都是奇数;也就是说，存在一个素数不是奇数.全称命题p:它的否定 p:全称命题的否定是特称命题典例展示例1　写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被３整除的整数都是奇数；⌝ p ：存在一个能被３整除的整数不是奇数．(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；⌝p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)p： 的个位数字不等于３．⌝p： 的个位数字等于３．1 .写出下列全称命题的否定：(2)任意素数都是奇数；(3)每个指数函数都是单调函数．(1)存在一个素数，它不是奇数．存在一个指数函数，它不是单调函数．写出下列命题的否定：否定：不存在绝对值是正数的实数，否定：没有一个平行四边形是菱形，否定：不存在实数x 使不等式成立，特称命题的否定(1)有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；也就是说，任意一个平行四边形都不是菱形。

庖丁巧解牛知识·巧学一,逆命题一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题(original proposition),另一个命题叫做原命题的逆命题(inverse proposition).因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题.误区警示 在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件部分内. 二,否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的条件的否定和结论的否定,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的否命题 (negative proposition).同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题.知识拓展 一般地，用p 和q 表示原命题的条件和结论，用瘙p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题为“若p 则q”；它的否命题为“若p ⌝则q ⌝”.三、逆否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,则另一个命题叫做原命题的逆否命题(inverse and negative proposition).交换原命题的条件和结论并同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.辨析比较 否命题与命题的否定否命题是只对命题的条件和结论进行同时否定，而命题的否定是对命题的结论否定.命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组.下面把常用的一些词语和它的否定词语问题 如何从集合的角度恰当的解释互为逆否的两个命题的等价性呢？探究:命题的四种形式之间的关系，为我们提供了一个判断命题真假的变通手段.由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.互为逆否的两个命题的等价性可以从集合的角度给出恰当的解释，设A={x|x ∈p},B={x|x ∈q}，其中p 和q 是集合A 和B 的特征性质.若A ⊄B ，则意味着对于元素x 具有性质p 必具有性质q ，所以可认为A ⊄B 与p→q 等同，具有同真假性.由venn 图发现有下面的结论：A ⊄B 与B ⊄A 等价，也就说明p→q 与⌝p→⌝q 是等价的.典题·热题例1 在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上).思路分析：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念，具有较强的开放性.应先写出它们的逆命题，再判断真假.①的逆命题是，若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.显然这个命题不正确.②的逆命题是，若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.这个命题为真命题.答案：②深化升华利用逆命题的定义，在判断命题为假命题时可以举一个反例.例2 命题“若a>b，则2a>2b-1”的否命题是___________.思路分析：该题将不等式与命题联系在一起，特别要注意不等号的方向和等号的取舍.因为“a>b”的否命题是“a≤b”，“2a>2b-1”的否命题是“2a>2b-1”，所以原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b-1”.答案：若a≤b，则2a≤2b-1例3 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0,则a=0或b=0；(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.思路分析：本题主要考查了已知原命题写它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.应先把命题改写成“若p则q”的形式，把条件和结论互换，得逆命题；把条件和结论都加以否定就得到否命题；再把逆命题中的条件和结论都加以否定就得到逆否命题.解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题；否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题；逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题：若a=0或b=0,则ab=0,真命题；否命题：若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题：若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题；否命题：若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题；逆否命题：若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.深化升华在判断命题的真假性时,充分利用原命题与逆否命题、逆命题和否命题是等价，它们同真假，所以当一个命题不易判断时，可以通过它的逆否命题的真假而判断原命题的真假.例4 写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)零的平方等于零.与否命题的区别,命题的否思路分析：本题的关键是弄清命题的否定与否命题的区别,即p定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.解：(1)命题的否定：正n边形(n≥3)的n个内角不全相等；否命题：不是正n边形(n≥3)的n 个内角不全相等.(2)命题的否定：零的平方不等于零；否命题：不等于零的数的平方不等于零.误区警示解答此类问题常见的思维误区是：否命题与命题的否定混淆以及否定错误.因此求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组.例5 下面是一位同学写的命题：若x2+y2=0,则x,y全为零的逆命题、否命题、逆否命题，以及它们的真假，他的写法正确吗？若不正确，请你写出正确的命题.解：逆命题为：若x,y全为零，则x2+y2=0，是真命题；否命题为：若x2+y2≠0，则x,y全不为零，是真命题；逆否命题：若x,y全不为零，则x2+y2≠0，是真命题；思路分析：对命题中条件和结论的否定不全面，对x,y全为零的否定，应为不全为零，而不是全不为零.解：错误，其正确解法是：逆命题为：若x,y全为零，则x2+y2=0，是真命题；否命题为：若x2+y2≠0，则x,y不全为零，是真命题；逆否命题为：若x,y不全为零，则x2+y2≠0，是真命题.深化升华求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组，要注意不要出现否定错误.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、命题的概念1.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition).并非所有的语句都是命题，命题首先为陈述句,并且一般由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.因此，命题是对客观存在事物的肯定或否定的思维形式.命题可以用语言、符号或式子表达，这是指命题可以用文字语言叙述或数学符号表达或数学关系式（如方程、不等式、函数关系式）等表示.方法点拨判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合命题的两个要素.首先命题是陈述句，其他的语句如疑问句、感叹句和祈使句均不属于命题；其次命题必须可以判断真假，否则也不属于命题.知识拓展在数学和其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇数的和”，“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题.2.判断为真的语句叫做真命题(true proposition).判断为假的语句叫做假命题(false proposition).判断为真或假的语句是指的陈述句，真或假是指正确还是错误.二、命题的条件和结论在数学中,“若p则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.所有命题都可表示为“若p则q”的形式.“若p则q”的形式的命题也可以写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式.如命题“对顶角相等”和“直角都相等”这两个命题都采用简略式，完整表达式为，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”和“如果有一些角是直角，那么这些角都相等”方法点拨在把命题改写成“若p则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可.注意命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式上的变化.误区警示在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因常常在于分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件部分内.容易出现的错误是把大前提放在命题的条件内.问题·探究问题1 如何判断一个语句是否为命题呢？若是命题，如何判断其真假呢？探究:判断一个语句是否为命题的关键，是看它是否符合命题的两个基本要素，即是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”，只有同时满足这两个条件的才是命题.一个语句如果是命题，那么它要么是真命题，要么是假命题，但不能同时是真命题和假命题，也不能模凌两可无法判断其真假.把一个命题改写成“若p则q”的形式后，判断真假命题的方法如下：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p则q”是真命题；要确定“若p则q”为假，则只需举一个反例说明即可.如果将含有大前提的命题改写成“若p则q”的形式时，大前提要保持不变，仍作为大前提，不能写在条件p中.问题2我们在前面已经学习了集合的有关知识，从集合的角度看命题的真假与集合间有什么关系呢？探究:从集合的角度看，可以建立集合与命题中的之间的特殊联系.设集合A=｛x|p(x)成立｝，B=｛x|q(x)成立｝.就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的x对象所构成的集合，此时，命题“若p则q”为真，意味着“使p成立的对象也使q成立”，当且仅当A⊆B时满足.命题“若p则q”为假，意味着“使p成立的对象不能使q成立”当且仅当A⊄B时满足.典题·热题例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB；(5)余弦函数是周期函数吗？思路分析：本题主要考查命题定义的两个要素.首先命题是陈述句，其他的语句如疑问句、感叹句和祈使句均不是命题；其次命题必须可以判断真假，否则也不是命题.命题的两个基本要素缺一不可.解：(1)是命题,真命题；(2)是命题,假命题；(3)是命题,假命题；(4)是命题,真命题；(5)不是命题.例 2 设A、B为两个集合,下列四个命题:①A B⇔对任意x∈A,有x∈B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A,使得x∉B.其中真命题的序号是_________(把符合要求的命题的序号都填上).思路分析：本题主要考查集合间的运算关系以及命题的真假，A⊆B的含义是若x∈A,则x∈B;A B的含义是A不是B的子集，本题主要依据A⊆B的定义解答.答案：④方法归纳本题借助命题考查集合间的关系.在解答集合间的关系这类题时，可借助于韦恩图和特殊的集合，有时还可在数轴上表示集合间的关系.例3 已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是（）A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a、b相交,则α、β相交D.若α、β相交,则a、b相交思路分析：如右图,因为α、β为两个不同的平面,所以若α∩β=c,则平面α、β不会重合.因为a⊥α,b⊥β,所以a与b不一定相交.故“α、β相交,则a、b相交”是假命题.答案：D方法归纳 本题借助于命题考查线线、线面和面面间的位置关系.在解决此类问题时，可以结合教室中一些物体的几何形状解决问题.例4 指出下列命题的条件p 和结论q:(1)若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心；(2)若两条直线a 和b 都和直线c 平行,则直线a 和直线b 平行.思路分析：本题主要考查命题的条件和结论.只需把命题写成“若p 则q”的形式，在改写时，有大前提的，大前提保持不变.解：(1)条件p:空间四边形为正四面体.结论q:顶点在底面上的射影为底面的中心.(2)条件p:两直线a 和b 都和直线c 平行.结论q:直线a 和b 平行.例5 将下列命题改写成“若p 则q”的形式,并判断真假:(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)同弧所对的圆周角不相等.思路分析：本题主要考查把命题改写成“若p 则q”的形式.解：(1)若一个数是偶数,则它能被2整除；真命题.(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称；真命题.(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等；假命题.方法归纳 在改写时，要分清命题的条件和结论，这是解这类题的关键；并且要注意大前提的写法.例6 已知m ∈{z|-1<z<1,z≠0}，设p:y=mx+2 004的值随x 的增大而增大；q:不等式x+|x-2m|>1的解集为R .当p 、q 有且只有一个正确时，求实数m 的取值范围.思路分析：本题是函数、不等式与命题的综合题，涉及到函数的单调性和把不等式转化成求函数的最小值的问题，要解此题可以先分q 和p 正确与否，然后求出m 的范围.解：首先研究q ，∵x+|x-2m|=⎩⎨⎧<≥-),2(2),2(22m x m m x m x , ∴x+|x-2m|的最小值是2m.又∵不等式x+|x-2m|>1的解集为R ,∴2m>1,∴m>21. 结合m ∈{z|-1<z<1,z≠0}知，q 正确时，21<m<1;q 不正确时，-1<m≤21且m≠0. 其次研究p ，y=mx+2 004的值随x 的增大而增大，m>0，反之m≤0.所以p 正确时0<m<1，p 不正确时-1<m<0.综上可知，当p 正确q 不正确时,0<m≤21. 当p 不正确q 正确时,m ∈∅.所以m 的取值范围是{m|0<m≤21}. 方法归纳 解答这类问题时要尽量把命题简化，再根据题设条件，推出所有可能的情况.。

庖丁巧解牛知识·巧学 一,全称量词短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“ ”表示.常用的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等.含有全称量词的命题叫做全称命题，因此全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题.要点提示 通常将含有变量x 的语句用p(x),q(x),r(x)……表示，变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称命题“对M 中任意一个x,有P(x)成立”可用符号∀x ∈M,p(x)表示,读作“对任意x 属于M,有P(x)成立”.疑点突破 要判断全称命题“∀x ∈M,p(x)”是真命题，要对集合M 中每个元素x ，证明p(x)成立，如果在集合M 中找到一个元素x 0，使p(x 0)不成立，那么这个全称命题是假命题. 二、存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示，常用的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”、“有的”等.含有存在量词的命题,叫做特称命题，因此存在性命题就是陈述某集合中有（存在）一些元素都具有某种性质的命题.要点提示特称命题“存在M 中的一个x,使P(x)成立”,可用符号∃x ∈M,p(x)表示,读作“存在一个x 属于M,使P(x)成立”.疑点突破 要判断特称命题“∃x ∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中，使P(x)成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.三、含有一个量词的命题的否定任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题；命题的否定是原命题的矛盾命题,两者的真假性相反.命题p 的否定即“p ⌝”；全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.1.全称命题p:∀x ∈M,p(x).它的否定p ⌝:∃x ∈M,p(x).2.特称命题p:∃x ∈M,p(x).它的否定p ⌝:∀x ∈M,p ⌝(x).方法点拨 全称命题的否定是特称命题，因此可以通过“举反例”来否定一个全称命题.命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件又要否定结论.命题的否定形问题·探究问题1 含有全称量词的命题是全称命题，对一个全称命题由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，你能举出几种不同的表示方法吗？探究:对于全称命题“∀x ∈M,p(x)”的不同的表述方法是： ①所有的x ∈M,p(x)成立；②对一切x ∈M,p(x)成立； ③对每一个x ∈M,p(x)成立；④任选一个x ∈M,p(x)成立； ⑤凡x ∈M ，都有p(x)成立.问题2 全称量词与存在量词的区别是什么?探究:同一个全称命题和特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法.现列表如典题·热题例1设集合S=｛四边形｝，P(x):内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S,p(x)”.思路分析：常用的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等.解：(1)对所有的四边形x，x的内角和为360°；(2)对一切四边形x，x的内角和为360°；(3)每一个四边形x，x的内角和为360°；(4)任一个四边形x，x的内角和为360°；(5)凡是四边形x，x的内角和为360°.例2 判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除；(3)∀x∈{x|x是无理数},x2是无理数；(4)∃x∈{x|x∈Z},log2x>0.思路分析：要判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要是看它含有的量词时全称量词还是存在量词.在判断一个命题是假命题时，可以举一个反例.解：(1)全称命题,真命题.(2)特称命题,真命题.(3)全称命题,假命题.例如，∃x=3,但x2=3是有理数.(4)特称命题,真命题.例3 判断下列特称命题的真假.(1)∃x∈Z，x3<1；(2)∃x∈Q,x2=3;(3)存在一个函数，既是奇函数又是偶函数；(4)存在一个实数，使等式x2+x+8=0成立；思路分析：要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使P(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题.解：(1)由于-1∈Z,当x=-1时，能使x3<1，所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.±，而它们都不是有理数.所以命题“∃x∈Q,x=3”是假命(2)由于使x2=3成立的数只有x=3题.(3)真命题，函数f(x)=0即是所求的函数.(4)假命题，因为该方程的判别式小于零，故无实数解. 例4 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定. (1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形.思路分析：首先弄清是全称命题还是特称命题，在针对不同形式加以否定. 解：(1)全称命题且为真命题.命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形且它的内角和不等于180°. (2)全称命题且为假命题.命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下. (3)特称命题且为真命题.命题的否定:所有的四边形都是平行四边形.方法归纳 命题的否定要与否命题区别开来,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题.例5 函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且f(1)=0. (1)求f(0)的值； (2)当f(x)+2<log a x,x ∈(0,21)恒成立时,求a 的取值范围. 思路分析：本题是量词与不等式的综合题，它含有的量词是“对一切”，是全称量词，因此在解决时，可以利用特殊值法.解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,令x=1,y=0得f(1)-f(0)=2,又因为f(1)=0,所以f(0)=-2. (2)由(1)知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x.因为x ∈(0,21),所以f(x)+2∈(0,43). 要使x ∈(0,21)时,f(x)+2<log a x 恒成立,显然当a>1时不可能.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<,4321log ,10a a解得443≤a ＜1. 方法归纳 在解决此类问题时，可以利用特殊值法，对于恒成立的问题，可以转化为求函数的最值的问题.。

第一章第1节命题及其关系本节教材分析（一）三维目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（2）教学重点：命题的概念、命题的构成（3）教学难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假（4）教学建议：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（一）三维目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（2）教学重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．（3）教学难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．（4）教学建议：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力新课导入设计学生探究过程：１．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？导入二一、创设情境在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题。

无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。

因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质。

本章我们将从命题及其关系入手，学习四种命题的相互关系、充分条件和必要条件，学习逻辑用语，了解数理逻辑的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁。

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题，大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”，这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。

一、关于命题概念：新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。

正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题。

例如“12>5”“3是12的约数”是真命题，“0.5是整数”是假命题；“x >5”不是命题。

那么对“x >5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢？这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。

(教参上称为开语句)，如“x >5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。

而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。

逻辑表达式的真假由题设条件决定。

如当x=6时，x >5为真，当x=2时，x >5为假。

问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项，量词和判断词四部分构成。

例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数”，量词是“所有”，判断词是“都是”。

问题3：命题是怎样分类的?根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题。

单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。

如“3是正数”就是单称命题。

全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何”,“都”等，也常被省略。

如“整数是有理数”的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数”。

特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的”，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。

如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。

根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。

性质命题的判断词常用“是”，“不是”；用来判断主项是否符合某项性质。

例如“3是正数”就是性质命题。

关系命题的判断词常用“有”，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在”，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。