一维水沙数学模型研究

P 0 （明渠中）
原式改写为
1 v v v h f z 0 g t g s s s
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
h f s J f 称为摩阻坡度，把摩阻坡度近似按恒定均匀流的摩阻坡度来计算， h f s
即Jf =
，而 Q AC RJ f
上游断面 n n 断面：过水断面面积为 A，湿周为 ，压强为 P。 则下游断面 m m ： A
1 fs ds ds cos a 2 s
作用在该微小流束段上所有外力在 s 轴上的分力为： n n 断面及 m m 断面上水压力之差：
A P ds ， ds ，压强为 P ds 。 s s s
v v 1 P 0 0 z v g 0 t s s A s 1 v v v 1 P 0 0 z 0 g t g s g s gA s
而 0 gRJ g
A
0
J
J
而
0 0 h f gA s
一维非恒定流的水沙数学模型
2.泥沙输移问题
平衡输沙与不平衡输沙问题：
在泥沙冲淤计算中，现有的泥沙数学模型采用的有平衡输沙和非平衡输沙两种模式。平衡输沙 模型认为水流输移的含沙量能够随时随地调整到等于水流的挟沙力，如著名的美国陆军工程兵 团的HEC-6模型就是建立在此概念的基础上的。事实上，由于水库或河道中每一断面的含沙量调 整总有一个过程，不一定正好等于水流挟沙力，当断面含沙量大于水流挟沙力时，河床处于淤 积状态；当断面含沙量小于水流挟沙力时，河床处于冲刷状态。泥沙冲淤、悬移质达到饱和状 态都有一个过程，实际的水流泥沙运动大多处于这种不平衡输沙状态，因此这种不平衡输沙法 可能更符合实际。窦国仁最早将不平衡输沙的概念引入泥沙冲淤计算，之后韩其为又对它进一 步完善，现在这种不平衡输沙方法已被普遍接受。
水流连续方程 水动力学 方程 水流运动方程 泥沙连续方程 河床变形方程 泥沙运动 力学方程 挟沙力方程 推移质输沙率方程
建立一维水沙数学模型
国内外各种模型的主要区别在于水流挟沙力或分组水 流挟沙力所采用的经验公式的形式或处理方法不同， 其次为求解方程时所采用的方法或方程中物理量、参 数的计算方法略有不同，如数值计算方法、水流输沙 率计算方法、挟沙力恢复饱和系数计算方法、动床阻 力计算方法、横断面概化方法及可动床面床沙级配调 整计算方法等。
a 为微小流束的侧壁与管轴线的交角， a 一般很小，故取 cos a 1 。
而流段内的液体质量
1 A m A ds ds 2 s
故重力在 s 轴上的分量为
P A F1 PA P ds A ds s s
一维水沙模型的成果： 国外： HEC-6模型、FLUVIAL-12模型、GSTARS 模型、STREAM2模型、WIDTH模型等 国内： ①以水文相关分析为基础的模型； ②以水动力学和泥沙运动力学为基础 的模型； ③介于上述两类之间的模型，以张启 舜模型为代表。
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以水动力学和泥沙运动力学为基础的模型

1 Q Q v Q 1 Q Q A Q ql 2 ， A t s s s A A s A2 s A
Q z gQ 2 n 2 1 z Q Q 1 Q Q A A 2 ql 2 Q 2 gA 4 3 A s A t A s A s A s A A B
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
合力分析：
F合 =F1 F2 f Gs
F合 F1 F2 f s Gs
P A 1 P A 1 1 A z F合 PA P ds A ds P ds ds ds ds g A ds ds s s 2 s s 2 s 2 s s A P PA A 1 PA 2 1 2 z 1 Az 2 P ds A ds 2 d 2 s P ds d s ds d s gA ds g ds 2 2 s s s s 2 s 2 s s 2 s
P 1 PA 2 1 2 z 1 Az 2 A ds d s ds d s gA ds g 2 d s 2 s 2 s 2 s s 2 s
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
运动方程：
u f s, t
继续略去高阶微量
约去 ds ， A
A
P z u u gA A Au s s t s

1 P z u u g u s A s t s
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
对上式整个总流过水断面积分可得 总流方程为：
侧面的水压力为
1 P A F2 P ds ds 2 s s
1 A Gs g A ds ds sin 2 s
而 sin =
z s
1 A z Gs g A ds ds 2 s s
一维水沙数学模型研究
目录
国 内 外 水 沙 数 学 模 型 发 展 现 状 一 维 非 恒 定 流 的 水 沙 数 学 模 型
泥 沙 输 移 及 河 床 变 形 几 个 问 题
研 究 水 沙 数 学 模 型 的 意 义
国内外水沙数学模型发展现状 1
理论基础：建立在水动力学、泥 沙运动力学和河床演变学三大基 本理论体系上
P z u u 1 A u 2 1 A u 2 ds ds gA ds A ds Au ds d s u d s s s t s 2 s t 2 s s A P z u u ds ds gA ds A ds Au ds s s t s
注：河渠为宽浅河渠 R h
A B
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
方程继续变形（同时乘以 gA ）
v v z gQ 2 n 2 A Av gA 4 3 t s s A A B

根据 v
Q A Q v Q 1 Q Q A ql 则 ，并由连续方程可得 A t s t t A A t A2 t
1 A m A ds ds 2 s
a du u ds u dt s dt t a u u u t s
A
A
P z 1 A u u ds ds gA ds A ds ds u s s 2 s t s
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
连续方程：
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
运动方程：
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
取微元流束研究：
以下表示单位周界面上的平均阻力，则总阻力在 s 轴上的分量为
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
两个假设条件： a.液体为不可压缩液体 b.密度均匀
设在 t 时刻上游 1 1 断面流量为 Q ，过水面积为 A 。在同一瞬时时刻 t 下游 o o 断面的流量为
Q A dx ，过水面积为 A dx （渐变流流线是光滑连续的） 。则末时刻 t dt 时上游1 1 断面流 x x Q A Q Q dt ，过水面积为 A dt ,下游 o o 断面的流量为 Q dx (Q dx)dt ，过 量为 Q t t x t x A A dx ( A dx )dt 。 ql 为单位长度上的侧向汇流流量（流入为正，流出为负） 水面积为 A 。 x t x Q
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研究发展方向： 欧美：粗沙质推移质范畴，早期的Einstein公式、Bagnold 公式，近期的VanRijn公式和杨志达公式等 国内：细颗粒泥沙悬移质：黄河河渠公式，张瑞瑾公式等
分类： ①按空间的变化：1D，2D，3D模型 ②按时间的变化：恒定流和非恒定流模型 ③按泥沙运动状态：悬移质，推移质，全沙模型
一维非恒定流的水沙数学模型
h
A(
B
)
一维非恒定流的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
最终得出的方程形式为：
Q 2Q Q Q 2 A Q 2 z Q z gQ 2 n 2 B 2 ql gA t A x A2 x z A x A x A( A ) 4 3 B
上式中
A A A = Bi 表示水位 z 不变时，过水断面面积的沿程变化率， x z x z x h
一维非恒定流的水沙数学模型
2.泥沙输移问题
近些年随着泥沙运动基本理论研究的深入，人们对河床演变的有关规律有了进一步的认识，也逐渐意识到 ，泥沙数学模型研究中简便可靠的数值方法固然重要，而将这些方法用于泥沙基本方程求解时，更主要的 是泥沙运动及河床演变模式的选择，模型的成功与否常常取决于泥沙运动及河床演变规律的正确模拟，最 重要的可归纳为以下几个问题。

Q Q Q Q Q 2 A A gQ 2n 2 2 ql 2 gA 4 3 t A s A A s 的水沙数学模型
1.水流控制（连续、运动）方程
对于任意梯形断面，有
我们固定 h ,把 h 视为一个常量，则
m m A b 1 A 1 (2b mr h ml h)h h h2 ( r l )= s 2 s s s h s 2 s 1 b h h h 而 h z i 2 mr 2 ml [2h h h 2b +2mr h 2ml h ] s s 2 s s s s s s 故原运动方程可以继续改写为 2 2 2 1 b h 2 mr 2 ml Q 2 Q Q Q Q A z z gQ n [2h h h 2(b+mr h ml h) ] ql 2 [ B( i)] gA t A s A A s h s s A( A ) 4 3 2 s s s s B b 1 2 mr ml h h h ( )B Q 2Q Q Q 2 A Q 2 z Q z gQ 2 n 2 [ Bi] B 2 ql gA s 2 s s s 4 t A s A2 s A s A s A 3