高考数学二轮复习 专题3 三角函数补偿练习 文

3.2三角变换与解三角形【课时作业】A 级1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝()A ．42B ．30 C.29D ．25解析： ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 答案： A2．(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝()A.427B ．±225C ．±427D ．225解析： ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，由同角三角函数的商数关系知tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan2α＝2tan α1－tan2α＝－421－－22＝427，故选A. 答案： A3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于() A.32B ．34C.36D ．38解析： 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案： B 4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，且3cos2α＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为()A.79B ．－79 C ．－19D ．19解析： 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，所以cos α－sin α≠0，所以3(cos α＋sin α)＝22，即cos α＋sin α＝223，两边平方可得1＋sin2α＝89⇒sin2α＝－19.答案： C5．(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝() A ．60B ．80 C ．100D ．125解析： 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C ，则在△ABC中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β.∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β， ∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，故选 C. 答案： C 6．化简：π－α＋sin 2αcos2α2＝________.解析：π－α＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12＋cos α＝2sin α＋cos α12＋cos α＝4sinα.答案： 4sin α7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：sin 2A sin C ＝2sin Acos A sin C ＝2a c ·b2＋c2－a22bc ＝2×46·25＋36－162×5×6＝1. 答案： 18．(2018·开封市高三定位考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，则b ＋c 的值为________．解析： 由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin A cos A ＝2sin C ·sin Bcos B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC ＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.答案： 79．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解析： (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解析： (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.B 级1．(2018·河南濮阳一模)已知△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则sin 2Bsin B ＋cos B 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，22B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，3－32解析： 由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，知a ，b ，c ，成等比数列，即b 2＝ac ，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－ac 2ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ＋c 2a －12≥2a 2c ·c 2a －12＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立，可知B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，设y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin Bcos B sin B ＋cos B，设sin B ＋cos B ＝t ，则2sin B cos B ＝t 2－1.由于t ＝sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4，B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈(1，2]，故y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin Bcos B sin B ＋cos B ＝t2－1t ＝t －1t ，t ∈(1，2]，因为y ＝t －1t 在t ∈(1，2]上是增函数，所以y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22.故选B. 答案： B2．(2018·石家庄质量检测(一))如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析： 设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC 2＝3－22cos θ，由正弦定理得1sin∠ACB ＝AC sin θ，得sin ∠ACB ＝sin θAC .在△DCB 中，由余弦定理可得，BD 2＝CD 2＋2－22CD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠ACB ＝AC 2＋2＋22AC sin ∠ACB ＝3－22cos θ＋2＋22AC ×sin θAC ＝5＋22(sin θ－cos θ)＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，当θ＝3π4时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4max ＝1，∴BD 2m ax ＝9，∴BD max ＝3.答案： 33．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC 面积的最大值．解析： (1)易得a ＝(－sin x ，cos x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值是32.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12⇒A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.4．如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声检测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解析： (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA2＋AB2－PB22PA·AB ＝x2＋202－－2x·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA2＋AC2－PC22PA·AC ＝x2＋502－x22x·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos2∠PAD＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。

2021年高考数学二轮复习 三角函数解答题专题训练（含解析）一、选择题1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R . (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x 的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )， 在[0，π]上列表如下：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12图象为：2．已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos2x .(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (θ)＝15，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，求sin2θ的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －cos2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos2x ＋3sin2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以f (x )的值域为[－3,1]．(2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1，由题设2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1＝15，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝35. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， ∴2θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－45， ∴sin2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6sin π6＝35×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33＋410. 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值． 解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4. 又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2，∴π4＋φ＝π2.解得φ＝π4， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)∵f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4＝－1，∴M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． ∴|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35.∵∠MNP ∈(0，π)， ∴sin ∠MNP ＝45.4．已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由m ⊥n ，得m ·n ＝2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3.即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. ∴A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .又0<A <π， ∴A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ， ∴4＝(b ＋c )2－3bc ， 又b ＋c ＝4， ∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.5．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2cosωx ＋φ2＋sin2ωx ＋φ2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，0<φ<π2.其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角．且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值． 解 (1)f (x )＝32sin ()ωx ＋φ＋12[1－cos(ωx ＋φ)] ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋12. ∵两个相邻对称中心的距离为π2，则T ＝π， ∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2. 又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12，∴cos φ＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23，又∵0<C <π2，∴cos C ＝53.又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25，∴b ＝6，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝5＋36－25×6×53＝21， ∴c ＝21.623073 5A21 娡29239 7237 爷31834 7C5A 籚fP27984 6D50 浐37192 9148 酈 39340 99AC 馬_21649 5491 咑R"d。

专题检测( 三) 试卷评析及补偿练习一、转化与化归思想在数列中的应用数列中应用转化与化归思想的常见类型有:(1) 错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解.(2) 并项求和时, 将问题转化为等差数列求和;(3) 分组求和时, 将问题转化为能用公式法错位相减法或裂项相消法或并项求和法求和.(4) 形如a n+1=ka n+p(k ≠1,p ≠0) 的数列求通项可转化为等比数列.(5) 形如a n+1= ,a n+1-a n=ka n+1·a n(k ≠0) 的数列求通项可转化为等差数列.在本卷中第10,12,15,18,19 均体现了这种思想方法.【跟踪训练】(2015 天津卷) 已知{a n} 是各项均为正数的等比数列,{b n} 是等差数列, 且a1=b1 =1,b 2+b3=2a3,a 5-3b 2=7.(1) 求{a n} 和{b n} 的通项公式;*(2) 设c n=a n b n,n ∈N,求数列{c n} 的前n 项和.二、数列与函数、不等式的交汇问题本卷中第12,21 均是与函数、不等式相结合问题数列与函数、不等式的交汇问题一般难度较大, 还可能涉及导数等知识综合考查, 重点考查数列的通项公式, 前n 项和以及二者的关系, 等差、等比数列, 不等式的证明、求参数范围等.注意放缩法的应用.【跟踪训练】(2015 湖北模拟) 已知函数f(x) 是定义在R上的奇函数, 当x≤0 时,f(x)=x(1-x), 若数列{a n}1满足a1= , 且a n+1= , 则f(a 11)等于( )(A)6 (B)-6 (C)2 (D)-21. 对于每一个正整数n, 设曲线y=x n, 令n+1 在点(1,1) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为xa n=lg x n, 则a1+a2+⋯+a99= .2.(2015 天津卷) 已知数列{a n} 满足a n+2=qa n(q 为实数, 且q ≠1),n ∈N1=1,a 2=2, 且* ,a* ,aa2+a3 ,a 3+a4,a 4+a5 成等差数列.(1) 求q 的值和{a n} 的通项公式;(2) 设b n= ,n ∈Nn} 的前n 项和.*, 求数列{b*, 求数列{b3.(2015 安徽卷) 已知数列{a n} 是递增的等比数列, 且a1+a4=9,a 2a3=8.(1) 求数列{a n} 的通项公式;(2) 设S n 为数列{a n} 的前n 项和,b n= , 求数列{b n} 的前n 项和T n.2。

高考数学二轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈，即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.3．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.4．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【分析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x < C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证：对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.7．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.9．已知函数)()lg 1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1B C ．3 D ．4 【答案】CD【分析】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可.【详解】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+， ()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=， 所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.10．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称【答案】BD【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项.【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.。

专题三三角函数与解三角形考情分析从2020年新高考山东卷和2020年山东新高考模拟卷对三角函数与解三角形的考查来看,考查的力度在增强,这是由于新高考删除了选做题,使三角函数与解三角形成为新高考全国卷六大解答题的必选内容,在命题数量上“一大二小”的趋势比较明显,主要考查三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形.另外三角函数及解三角形题和数列题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上,考查难度处在中等,这两个题目会有一道题设计成“结构不良”试题,这种新题型的条件具有开放性,给考生以更多的选择性.在核心素养的考查上主要是考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.3.1三角函数小题专项练必备知识精要梳理1.三角函数的定义已知角α终边上的一点P(x ,y),令|OP|=r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).2.同角三角函数的基本关系(1)平方关系cos2α+sin2α=1;(2)商数关系=tan αα≠kπ+,k∈Z.3.三角函数的图象与性质(1)y=sin x图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z,对称中心为(kπ,0),k∈Z;y=cos x图象的对称轴方程为x=kπ,k∈Z,对称中心为,k∈Z.(2)周期性:f(x)=A sin(ωx+φ)和f(x)=A cos(ωx+φ)的最小正周期为;y=A tan(ωx+φ)的最小正周期为.4.三角函数的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的三角函数式为将原式中的x 分别变为x+φ和x-φ.考向训练限时通关考向三角函数的定义、诱导公式及同角一三角函数的关系1.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则()A.cos 2α>0B.cos 2α<0C.sin 2α>0D.sin 2α<02.(2020北京,10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是()A.3nB.6nC.3nD.6n3.(2020江西名校大联考,理3)已知α∈,sin(π-2α)=-,则sin α-cos α=()A. B.- C. D.-4.(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P(,1),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是()A.(-,1)B.(-1,)C.(-,1)D.(-1,)考向二三角函数的图象与性质5.(2020全国Ⅰ,理7,文7)设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.6.(多选)(2020山东,10)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sinB.sinC.cosD.cos7.(多选)(2020山东潍坊二模,11)在单位圆O:x2+y2=1上任取一点P(x,y),圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ,记x,y关于θ的表达式分别为x=f(θ),y=g(θ),则下列说法正确的是()A.x=f(θ)是偶函数,y=g(θ)是奇函数B.x=f(θ)在上为增函数,y=g(θ)在-上为减函数C.f(θ)+g(θ)≥1对于θ∈恒成立D.函数t=2f(θ)+g(2θ)的最大值为8.(多选)(2020山东济宁6月模拟,11)已知函数f(x)=sin[cos x]+cos[sin x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是()A.f=cos 1B.f(x)的一个周期是2πC.f(x)在(0,π)内单调递减D.f(x)的最大值大于9.(2020全国Ⅲ,理16)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.考向三三角函数图象的变换10.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sin的图象平移后对应函数g(x)=sin x++φ的图象,若g(x)为偶函数,则|φ|的最小值为()A. B. C. D.11.(多选)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<,x∈R的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法中正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为12.(2020江苏,10)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.13.(2020江苏南京六校5月联考,8)将函数f(x)=2sin sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为偶函数,则φ的最小值为.14.(2020山东潍坊一模,15)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,将y=f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为y=g(x).已知y=g(x)的图象的相邻对称中心之间的距离为2π.若y=g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为-2,则g(x)在[0,π]上的最大值为.专题三三角函数与解三角形3.1三角函数小题专项练考向训练·限时通关1.D解析∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.2.A解析单位圆的内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为,每条边长为2sin,所以单位圆的内接正6n边形的周长为12n sin单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan,其周长为12n tan所以2π==6n sin+tan,则π=3n sin+tan.故选A.3.D解析因为sin(π-2α)=-,所以sin2α=-,即2sinαcosα=-所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+又因为,所以sinα<cosα.所以sinα-cosα=-故选D.4.D解析(方法一)设向量与x轴的夹角为α,向量与x轴的夹角为β,点Q的坐标为(x,y).由三角函数的定义得tanα=,所以α=由题意β=,|OP|=2,所以sinβ=sin,得y=;cosβ=cos,得x=-1.故选D.(方法二)设点Q的坐标为(x,y)(x<0,y>0).依题意,=0,且x2+y2=()2+1=4.①所以(,1)·(x,y)=0,即x+y=0.②由①②解得x=-1,y=,即Q(-1,).故选D.5.C解析由题图知f=cos-+=0,所以-++kπ(k∈Z),化简得ω=-(k∈Z).因为T<2π<2T,即<2π<,所以1<|ω|<2,解得-<k<-<k<当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.所以ω=,最小正周期T=6.BC解析由题图可知,,∴T=π,=π,∴ω=2,∴y=sin(2x+φ),故A错误;∵过点,∴sin=0,即+φ=2π,∴φ=,∴y=sin=sinπ-2x+=sin,故B正确;y=sin=sin=cos2x+,故C正确;cos=cosπ-2x+=-cos2x+,故D错误,故选BC.7.ACD解析由题意,得x=f(θ)=cosθ,y=g(θ)=sinθ,由正、余函数的奇偶性,知选项A 正确;由正、余弦函数的单调性,知选项B错误;f(θ)+g(θ)≥1,即sinθ+cosθ≥1,由正、余弦函数在第一象限的三角函数线,知选项C正确;函数t=2f(θ)+g(2θ)=2cosθ+sin2θ,θ∈[0,2π],则t'=-2sinθ+2cos2θ=-2sinθ+2(1-2sin2θ)=-2(2sinθ-1)(sinθ+1),令t'>0,则-1<sinθ<,令t'<0,则<sinθ<1,∴函数t在内单调递增,在内单调递减,当sinθ=,cosθ=时,函数t取得最大值,为2+2,故D正确.故选ACD.8.ABD解析f=sin+cos=sin0+cos1=cos1,故A正确;∵f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cos x]+cos[sin x]=f(x),∴f(x)的一个周期是2π,故B正确;当x时,0<sin x<1,0<cos x<1,∴[sin x]=[cos x]=0,∴f(x)=sin[cos x]+cos[sin x]=sin0+cos0=1,故C错误;∵f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+cos0=sin1+1>+1>,故D正确.9.②③解析对于①②,由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),所以该函数为奇函数,其图象关于原点对称,故①错误,②正确;对于③,因为f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,③正确;对于④,令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1],由函数g(t)=t+(t∈[-1,0)∪(0,1])的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错误.10.B解析因为函数为g(x)=sin x++φ为偶函数,所以+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z).当k=0时,φ=,即|φ|的最小值为11.ABD解析根据函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象知,A=2,-,∴T=2π,ω==1.根据五点法画图知,当x=时,ωx+φ=+φ=,∴φ=,∴f(x)=2sin x+.∴f'(x)=2cos x+,∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin x++2cos x+=2sin x+=2 sin x+.令x++kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z,∴函数g(x)的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,故A 正确;当x++2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值2,故B正确;g'(x)=2cos x+,假设函数g(x)的图象上存在点P(x0,y0),使得在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行,则k=g'(x0)=2cos x0+=3,解得cos x0+=>1,显然不成立,所以假设错误,故C错误;方程g(x)=2,即2sin x+=2,∴sin x+=,∴x++2kπ或x++2kπ,k∈Z,∴当方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为,故D正确.故选ABD.12.x=-解析将函数y=3sin2x+的图象向右平移个单位长度后得到函数y=3sin=3sin的图象.由2x-+kπ,k∈Z,得平移后的对称轴的方程为x=,k∈Z.当k=0时,x=,当k=-1时,x=-所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-13解析f(x)=2sin sin-x=2sin cos=sin2x+.将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到y=sin2(x+φ)+=sin2x+2φ+的图象.∵函数为偶函数,∴2φ+=kπ+,得φ=kπ+,k∈Z.∵φ>0,∴当k=0时,φ最小,最小值为φ=14解析∵f(x)是偶函数且0<φ<π,∴φ=晨鸟教育∴f(x)=A sin=A cosωx.由已知将y=f(x)的图象沿x 轴向左平移个单位长度,可得y=A cos ωx+的图象.再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=A cos x+的图象.∴g(x)=A cos x+.∵y=g(x)的图象的相邻对称中心之间的距离为2π,=2π,∴T=4π,=4π,∴ω=1.∵y=g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为-2,∴A=2.∴g(x)=2cos∵0≤x≤π,x+,∴当x+,即x=0时,g(x)在[0,π]上的最大值为g(x)max=2Earlybird。

2021届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 2021届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案)2021届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数三角函数的考查有以下一些类型与特点：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是y Asin( x )的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。

2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题. 常用解题思想方法：1．三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角α=（α+β）－β，β=2－2等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=a bsin(θ+ )，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan =ba22确定。

2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

高考数学二轮复习专题训练：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地 )1．已知扇形OAB地圆心角为rad4，其面积是2cm2则该扇形地周长是( )cm。

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B2．函数()sin3= (x∈［-π，0］)地单调递增f x x x区间是( )A ．5[,]66ππ-- B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,65ππ C ．[,0]3π- D ．[,0]6π- 【答案】D3．sin600︒地 值是( ) A 3B ．12- C ．12 D ．3【答案】D4．已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定地 平面区域，则圆 224xy +=在区域D 内地 弧长为( )A ．4πB ．2π C ． 34πD ．32π【答案】B5．下列命题正确地 是( ) A ．终边相同地 角都相等B ．钝角比第三象限角小C ．第一象限角都是锐角D ．锐角都是第一象限角【答案】D6．已知角θ地 终边过点P(-4k ，3k) (0<k )， 则θ+θcos sin 2地 值是( ) A ．52B ．52-C ．52或52-D ．随着k 地 取值不同其值不同【答案】B7．sin585°地 值为( ) A ．2 B ．2C ． 3D ．3【答案】A8．若tan 3α=，则2sin 2cos αα地 值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D9．设锐角θ使关于x 地 方程x 2+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ地 弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12 D ．π12【答案】B 10．，则地 值为( ) A ．B ．C ．D ． －【答案】A11．420sin °=( ) A ．23- B ． 21 C ． 23 D ． 21- 【答案】C12．若角α地 终边上有一点),4(a P -，且2512cos sin -=⋅αα，则a地 值为( )A ． 3B ．3±C ．316或3D ． 316或3- 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，则(sin )6f π地 值为____________.【答案】38-14．在ABC ∆中，内角C B A ，，地 对边分别是a b c ，，，若223a b bc-=，sin 23sin C B=，则A = ．【答案】 30°15．已知扇形地 周长为12cm ，圆心角为2弧度，则该扇形地 面积为____________2cm【答案】916．设扇形地 周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形地 圆心角地 弧度数是____________ 【答案】2三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．化简()()()()()()sin 180sin 270tan 90sin 90tan 270tan 360αααααα-⋅-⋅-+⋅+⋅-o o o ooo【答案】()()()()()()sin 180sin 270tan 90sin 90tan 270tan 360αααααα-⋅-⋅-+⋅+⋅-o o o ooo()()()()sin cos cot cos cot tan αααααα⋅-⋅=⋅-⋅-()()sin cos cos tan αααα⋅-=-⋅-cos α=-18．已知tan （α＋4π）＝－3，α∈（0，2π）． (1）求tan α地 值；(2）求sin （2α－3π）地 值． 【答案】（1）由tan （α＋π4）＝－3可得tan α＋11－tan α＝－3． 解得tan α＝2．(2）由tan α＝2，α∈（0，π2），可得sin α＝255，cos α＝55．因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin2α＝－35，sin （2α－π3）＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310． 19．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对地 边，且32sin cA a = (Ⅰ) 确定角C 地 大小；(Ⅱ）若c ＝7，且△ABC 地 面积为233，求22b a+地 值.【答案】（Ⅰ）∵ 32sin cA a = 由正弦定理得Ccc A a sin 23sin ==∴23sin =C∵ ABC ∆是锐角三角形， ∴ 3π=C (Ⅱ）7=c ， 3π=C 由面积公式得 2333sin 21=πab∴ 6ab = 由余弦定理得73cos222=-+πab b a∴ 1322=+b a20．在ABC △中，已知A C ∠=∠2，cosA=43， (1）求B cos 地 值； (2）求边AC 地 长。

2023届新高考数学二轮复习：专题（三角函数的范围与最值）提分练习【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……． 二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A ．11 B ．13C ．15D ．17例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ） A．B．CD例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．43⎤⎥⎣⎦ C ．43⎫⎪⎪⎝⎭D ．43⎫⎪⎪⎣⎭例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．453⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B．1a ≤ C．2≥b D．2≤b 2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．53．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,44．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．233⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．2⎢⎣D ．32⎡⎢⎣二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为710．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ）A ．2AB = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭三、填空题13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=_______． 14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x R ∈都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______16．（2023ꞏ全国ꞏ高三对口高考）在ABC 中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________17．（2023ꞏ高一课时练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，cos cos 4b C c B -=，43C ππ≤≤，则tan A 的最大值为_______.19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，若120BAC ∠=︒，点D 为边BC 的中点，1AD =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为______.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 22．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.25．（2023秋ꞏ湖南衡阳ꞏ高一衡阳市八中校考期末）设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________.27．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r 米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I （区域ACD ），区域II （区域CBE ）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a 元，乙种花卉每平方米造价是3a 元，设∠BOC =θ，中植花卉总造价记为()f θ，现某同学已正确求得：()()2f arg θθ=，则()g θ=___________；种植花卉总造价最小值为___________.28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2sin cos 0,06f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()12f x f x +≤若()f x 在[]0,π上的取值范围是3,⎡⎣，则实数ω的取值范围是__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则ABC 的周长的取值范围为__________． 30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD长的取值范围是_______; 四、解答题31．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；32．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,sin cos 6a b c b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若BD =，求a c +的取值范围．参考答案【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……．二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36【答案】A【答案解析】因为ABC 的内切圆的面积为16π，所以ABC 的内切圆半径为4．设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．因为7cos 25A =，所以24sin 25A =，所以24tan 7A =．因为1sin 2ABC S bc A ==△1()42a b c ++⨯，所以25()6bc a b c =++．设内切圆与边AC 切于点D ，由24tan 7A =可求得3tan 24A ==4AD ，则163AD =．又因为2b c a AD +-=，所以323b c a +=+．所以2532251626333bc a a ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为b c +≥323a +≥即23210016333a a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得21264a a --0≥．因为0a >，所以16a ≥，当且仅当403b c ==时，a 取得最小值． 故选：A ．例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C【答案解析】由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以14f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②由①②，得()1221k k ω=-+，12,k k Z ∈又()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，所以24128T πππ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭ 即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤ 所以4πϕ=-，此时()sin 154f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3315,428x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值【答案】B【答案解析】依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠= ，所以1AC AB ==.设OCB α∠=，则30,090ABx αα∠=+<< ，所以()())30,sin 30Aαα++ ，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ ，当23090,30αα+== 时，M 取得最大值为13122+=.OA xOB yOC =+ ，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y αααα++==，所以()()30sin 302sin 2cos N x y αααα++=+=+12sin 2α=+，当290,45αα== 时，N 有最小值为1故选B. 例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 【答案】D【答案解析】由221a b +=，令sin ,cos a b θθ==， 由()sin cos f x a x b x cx =++，得()cos sin sin cos cos sin f x a x b x c x x c θθ'=-+=-+()sin x c θ=-+，所以()11c f x c '-≤≤+由题意可知，存在12,x x ，使得12()()1f x f x ''=-，只需要21111c c c -+=-≥，即211c -≤-，所以20c ≤，0c =，πsin cos 4a b c a b θθθ⎛⎫++=+=+=+≤ ⎪⎝⎭所以a b c ++故选: D.例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π，作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【答案解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈① 又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈， 由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈② 又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：02883221732ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．433⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．4,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【答案解析】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==， 故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 故2cos c a B a =+，又由正弦定理化简得：sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A =ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<tan 1A <<114tan tan (,3tan()3tan 33A AB A A +=+∈- 故选：C例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．45⎡⎢⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【答案解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：G 为ABC 的重心，D ∴为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅； 在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； BDC ADC π∠+∠= ，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，C ∴为锐角； 设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a ba b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 0a b >>，03b a ∴<<，由余弦定理得：22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 又C为锐角，cos 1C <<，即cos C的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]【答案】D【答案解析】因为,3A a π==，由正弦定理可得22sin sin sin 3ab cAB B π====⎛⎫-⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3B B B =++22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．【答案解析】（1）由题意，50,100OA OM ==，则100,2MQ AM BAC π==∠=，设,2MAB NAC πθαθ∠=∠==-．若C ，P重合，1tan tan tan 2αθα=====75MB =，∴75tan tan MB MB AM θθθ<<<<=⋅=，tan NC AN α=⋅=而100100MF CP NC ==-=∴1tan 1001)tan BF MB MF θθ⎫=-=+-≥⎪⎭，当tan 1θ=（符合题意）时取等号，又1)70->， ∴可以修建70米长廊． （2）cos cos AM AN AB AC θα====cos )cos sin sin cos AB AC θθθθθθ++=+=．设sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则212sin cos t θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=．AB AC t t+==-1）知tan 2θ<<，而132<<<<θ∃使42ππθ+=且3444πππθ<+<，即112t t t <≤<-≤，∴AB AC t t+=≥-4t πθ==时取等号． 由题意，AB AC DE DF +=+，则玻璃桥总长的最小值为米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需0.3=例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【答案解析】(1)πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：π1sin sin sin sin sin sin sin cos 322B A A B A B A B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin cos 02A B A B =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1sin 02B B =，即tan B =因为()0,πB ∈，所以π3B =， 因为3a =，2c =，由余弦定理得：2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=， 因为0b >，所以b =，其中11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△，所以2ABC S BD AC === 因为点E 为线段BD的中点，所以BE = 由题意得：EA ED DA BE DA =+=+，所以()227028BE EA BE BE DA BE ⋅=⋅+=+= . (2)由（1）知：π3B =，又2c =， 由正弦定理得：2πsin sin sin 3a cA CA ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2sin πsin 3A a A ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭()0,3，()11,4tan A +∈，故()1,4a =，ABC面积为1sin ,222S ac B a ⎛==∈ ⎝ 故ABC面积的取值范围是2⎛ ⎝.【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B ．1a C ．2≥b D ．2≤b 【答案】A【答案解析】设[]cos ,x t x m n ∈=，，因为n m -的最大值为3ππ22T>=，所以[,]x m n ∈时，cos t x =必取到最值，当3π2n m -=时，根据余弦函数对称性得cos 12π22m n m Z nk k ++=⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n mm k +-=-=-==-3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n m n k +-=+=+==-或者cos1π+2π22m n m n Z k k ++=-⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m m k +-=-=-=-=3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m n k +-=+=+=-=由()2212()()2cos 1cos 2cos cos 10f x f x x a b x x b x a ≤⇒-≤-⇒+-+≤，设[]cos ,x t x m n ∈=，时 ()2210t bt a +-+≤对应解为12t t t ≤≤，由上分析可知当1t =，21t ≥或11t ≤-，2t =n m -的最大值为3π2，所以122t t ≤-，即122a +-≤，所以1a ≥.12122b t t -=+≥-或12122b t t -=+≤-+，即2b ≤或2≥-b 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】C【答案解析】过点O 作,OD AC OE BC ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在ABC 中，AB CB CA =-，则222||||||2AB CA CB CA CB =+-⋅ ，即22||||22CA CB CA CB +-⋅=，21|cos |2CO CA CO CA OCA CD CA CA ⋅=∠=⋅=，同理21||2CO CB CB ⋅= ，因此，()OC AB CA CB OC CB CA CA CB CO CA CO CB CA CB ⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅ 2222211||||2||||||1222CA CB CA CB CA +-=-+=-，由正弦定理得：||sin ||2sin 2sin sin 4AB B BCA B ACB π===≤∠ ，当且仅当2B π=时取“=”， 所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3. 故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4【答案】Acos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，Z k ∈，(0,)2C π∈ ，3C π∴=．由题cos cos A C a c +=cos cos 2b A Cb a ca +==，故cos cos sin sin 2sin A C bA C A+=，即sin cos sin sin cos 2b C A C A C ⋅+⋅==故()sin sin A C B +==即sin b B =由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ===，故a A =，b B =，又锐角ABC ，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，2π，2sin )sin()]3a b A B A A π∴+=++-1sin )4sin(26A A A A π+=+， (6A π∈ ，2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(4⎤⎦．故选：A ．4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．143⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦【答案】B【答案解析】当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，,6626x πππωπω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以262413312sin 62πωππωπ⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤， 又因函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，所以在(),0x ∈-∞上函数()f x 与()g x 的图象有两个交点，即方程231422x x x ωω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，所以22Δ3612003060102ωωω⎧⎪=->⎪-<⎨⎪⎪⨯+⨯+>⎩，解得3ω>，当233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，当0x ≥时，令()()2sin 6f x g x x x πωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由()()10f x g x -=>， 当562x ππω+=时，73x πω=， 此时，()()7203f xg x π-=-<， 结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：B.5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C【答案解析】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【答案解析】由函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω，令,42x k k Z ππωπ+=+∈，则()14,4k x k Zπω+=∈函数()f x 在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有4个整数k 符合，由()1404k ππω+≤≤，得140101444k k ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2,3k =， 即1434144ω+⨯≤<+⨯，131744ω∴≤<，故③正确； 对于①，(0,)x π∈ ，,444x ωωππππ⎡⎫∴+∈+⎪⎢⎣⎭，79,422ππωππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当,442x ωππ7π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点；当,442x ωππ9π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期2T πω=，由131744ω≤<，则4141713ω<≤，881713T ππ∴<≤， 又88,21713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是2π，故②正确； 对于④，015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,，44154x ωωππππ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭,，又131744ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，78,1541515ωππππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 又8152ππ>，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③ 故选：B7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【答案解析】对于A,()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π< ， 所以在[]0,π上存在12,x x ，且12()1,()1f x f x ==- ，使得()()122f x f x -=，故A 错误； 由图象可知，函数在()0,π可能有两个最大值，故B 错误; 对于选项D,令,6x k k Z πωπ-=∈ ，则函数的零点为1(6x k k Z ππω=+∈ ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω， 函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，所以136196ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得1319[,66ω∈ ，故D 正确； 由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136， 当02x π<< 时，11(,)6612x πππω-∈-， 但11(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子集， 所以函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调进增的，故C 错，故选：D.8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A．2⎝ B．32⎛ ⎝C．2⎢⎣D．32⎡⎢⎣【答案】A【答案解析】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB b cC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin sin cos cos sin 3A C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin 326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤a c <+≤故选：A . 二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为7【答案】BCD【答案解析】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =，因为0πC <<，所以sin 0C >，故tan A = 又0πA <<，所以π3A =，故A 错误；对于B ，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为3b c a -=，即3b a c =+，代入上式得222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪⎝+-+⎪⎭⎭⎪⎝，整理得22320c a +-=，解得a =或2a c =-（舍去），则2b c =，所以222b a c =+，故B 正确；对于C ，设,,AB AC BC 边上的高分别是,,CE BF AD ，则由三角形面积公式易得222,,AD BF CE a b c ===，则()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，因为111a b c ++≥111a b c ==，即a b c ==时，等号成立，此时21sin 12S bc A ===，得2b =所以()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯=≤ ⎪⎝⎭C 正确； 对于D ，因为:2:BD DC c b =，所以22c AD AB AB BC b c BD =+=++()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ ，可得22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++，整理得()22227b c b c +=，故12c b +=所以()1222225b c b c b c c b c b ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭57⎛⎫≥=⎪⎪⎭，当且仅当22b c c b =且12c b +=，即7b c ==时，等号成立，所以2b c +≥2b c +D 正确. 故选：BCD.10．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【答案解析】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x xf x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-==+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f xB 选项正确；C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增， 所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，L ，()13n ππ+-， 又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确； 故选：ABD.11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13【答案】ACD【答案解析】对于选项A ：。

重难点10三角函数定义与三角函数恒等变换1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．2.对sinα，cosα，tanα的知一求二问题(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．3.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――――→利用诱导公式一0～2π的角的三角函数――――――――→利用诱导公式二或四或五锐角三角函数也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．4．三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．5.三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正弦、余弦函数值，若角的范围是0，π2，选正弦、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是－π2，π2，选正弦函数．2023年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．sin 20cos 70sin10sin 50︒︒+︒︒的值是（）A ．14B ．32C ．12D ．342．设θ是第二象限的角，则必有（）A ．tancot 22θθ>B ．tancot22θθ<C ．sincos22θθ>D ．sincos22θθ<3．已知2sin 23α=，(0,)απ∈，则sin cos αα+=（）A ．153B ．153-C ．53D ．53-4．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（）A ．16B ．15C ．14D ．135．函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为（）A ．2B ．0C ．14-D ．66．已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．33C ．23D ．227．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．28．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=.A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=．A ．79-B ．29-C ．29D ．7910．已知θ是第三象限的角，且445sin cos 9+=θθ，那么sin 2θ的值为A ．223B ．223-C ．23D ．23-11．4cos50°﹣tan40°=（）A ．2B ．232+C ．3D ．221-12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos 2θ=（）A ．35-B ．45-C ．23D ．34二、填空题13．如果12cos 13θ=-，3π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么πcos 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______．14．已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.16．若3sin sin 10,2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．三、解答题17．已知A 、B 、C 是ABC 三内角，向量(1,3),(cos ,sin )m n A A =-= ，且1m n ⋅=．(1)求角A ；(2)若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan C ．18．已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+．(1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)设2(0,π),22f αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，求sin α的值．重难点10三角函数定义与三角函数恒等变换1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．2.对sinα，cosα，tanα的知一求二问题(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．3.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――――→利用诱导公式一0～2π的角的三角函数――――――――→利用诱导公式二或四或五锐角三角函数也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．4．三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．5.三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正弦、余弦函数值，若角的范围是0，π2，选正弦、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是－π2，π2，选正弦函数．2023年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．sin 20cos 70sin10sin 50︒︒+︒︒的值是（）A ．14B ．32C ．12D ．34【答案】A【解析】()()11sin 20cos70sin10sin 50sin 90sin 50cos60cos 4022︒︒+︒︒=︒+-︒-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1111sin 50cos 402242=-︒-+︒111cos 40cos 40422=-︒+︒14=.故选：A.2．设θ是第二象限的角，则必有（）A ．tancot 22θθ>B ．tancot22θθ<C ．sincos22θθ>D ．sincos22θθ<【答案】A【解析】22sin cos sin cos cos 22222tancot122tan cossincos sin sin 22222θθθθθθθθθθθθθ---=-===- θ是第二象限的角，tan 0,sin 0,cos 0θθθ∴<><，即2tancot 022tan θθθ-=->，tancot 22θθ∴>，A 正确，B 错误;θ是第二象限的角，即(2,2)(),2k k k Z πθπππ∈++∈(,)()242k k k Z θππππ∴∈++∈当(2,2)()242k k k Z θππππ∈++∈时，22sin cos cos 022θθθ-=->，可得sin cos 022θθ>>，D 错误；当53(2,2)()242k k k Z θππππ∈++∈时，22sin cos cos 022θθθ-=->，可得sincos 022θθ<<，C 错误；故选：A.3．已知2sin 23α=，(0,)απ∈，则sin cos αα+=（）A ．153B ．153-C ．53D ．53-【答案】A【解析】由2sin 22sin cos 03ααα==>，又(0,)απ∈，所以π(0,)2α∈，所以sin cos 0αα+>，又()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，所以3sin co 5s 1αα+=或3sin cos 15αα+=-（舍去），所以3sin co 5s 1αα+=.故选：A ．4．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】A 【解析】21cos(2)2cos ()42παπα+++==1sin 22α-=2132-=16,故选A.5．函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为（）A ．2B ．0C ．14-D ．6【答案】B【解析】因为2cos 3cos 2y x x =-+，设cos t x =，则()223132()1124y t t t t =-+=---≤≤，由二次函数性质可得当[]1,1t ∈-上单调递减，所以当1t =，()23211y t t t =-+-≤≤取最小值，最小值为0，故当2,Zx k k π=∈时，函数2cos 3cos 2y x x =-+取最小值，最小值为0，故选：B.6．已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．33C ．23D ．22【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：33sin cos 122θθ+=，313sin cos 223θθ+=，从而有：3sin coscos sin663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.7．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.8．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=.A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A【解析】因为α为第二象限，所以cos 0α<，即24cos 1sin 5αα=--=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==-⨯⨯=-，选A.9．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=．A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.10．已知θ是第三象限的角，且445sin cos 9+=θθ，那么sin 2θ的值为A ．223B ．223-C ．23D ．23-【答案】A【解析】∵22sin cos 1θθ+=，∴4422sin cos 2sin cos 1θθθθ++=，∵445sin cos 9+=θθ，∴2242sin cos 9θθ=，∵角是第三象限角即322,2k k k Z ππθππ+<<+∈，∴24234,k k k Z ππθππ+<<+∈，∴22sin 23θ=，故选A ．11．4cos50°﹣tan40°=（）A ．2B ．232+C ．3D ．221-【答案】C【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos 2θ=（）A ．35-B ．45-C ．23D ．34【答案】A【解析】找θ角终边上一点(1,2)，则25sin 5θ=，5cos 5θ=，所以223cos 2cos sin 5θθθ=-=-故选A.二、填空题(共0分)13．如果12cos 13θ=-，3π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么πcos 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______．【答案】7226-【解析】因12cos 13θ=-，3π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则25sin 1cos 13θθ=--=-，所以πππ122527cos cos cos sin sin 244413213226θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：7226-14．已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.【答案】79-【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.16．若3sin sin 10,2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．【答案】3101045【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos 10αα-=，即3101010sin cos 101010αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，令10sin 10θ=，310cos 10θ=，则()10sin 10αθ-=，∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴310sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：31010；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos 10αα-=，又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin 10αα=-代入得210sin 610sin 90αα-+=，解得310sin 10α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：31010；45.三、解答题17．已知A 、B 、C 是ABC 三内角，向量(1,3),(cos ,sin )m n A A =-= ，且1m n ⋅= ．(1)求角A ；(2)若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan C ．【答案】(1)π3A =；(2)853tan 11C +=.【解析】（1）∵1m n ⋅= ，∴(1,3)(cos ,sin )1A A -⋅=，即cos 3sin 1A A -+=，312(sin cos )122A A -=，1sin()62A π-=，∵0πx <<，ππ5π666A -<-<，∴ππ66A -=，∴π3A =；（2）由题知：2212sin cos 3cos sinB B B B +=--，所以()2222sin cos 2sin cos 3cos sin B B B B B B ++=--整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，∴cos 0B ≠，∴2tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或tan 1B =-，而tan 1B =-时，22cos sin 0B B -=，与已知矛盾，舍去，∴tan 2B =，∴tan tan 23853tan tan[()]tan()1tan tan 11123A B C A B A B A B π+++=-+=-+=-=-=--．18．已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+．(1)求π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)设2(0,π),22f αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，求sin α的值．【答案】(1)1(2)264+【解析】（1）由已知，函数()2sin cos cos 2sin 2cos 2f x x x x x x =+=+，所以πππsin cos 101422f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2）π()sin 2cos 22sin 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以π2π12sin sin 24242f ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()0,πα∈，所以ππ5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ3cos 1sin 442αα⎛⎫⎛⎫+=±-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①当π3cos 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，ππππππ26sin sin sin cos cos sin 4444444αααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦而当()0,πα∈时，sin 0α>，所以此种情况不成立；②当π3cos 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，ππππππ26sin sin sin cos cos sin 4444444αααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以sin α的值为264+.。

专题三 三角函数与解三角形强化测试卷（一） 选择题（12*5=60分）1. 【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】s i n480的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．22.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向 右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ） .A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 23θ=则44sin cos θθ-的值为 （ ）A3 B 3- C 1811D 29-4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试文】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】若sin()3πα-=-且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．3-B ．6-C ．6D ．3得9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试文】已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数10.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()2g x x =B ．()2g x x =C ．3()2)4g x x π=-D ．()2g x x =11.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题文科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ>B.(sin )(cos )f f αβ<C.(cos )(cos )f f αβ<D.(cos )(cos )f f αβ>12.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（文）】在△ABC 中，4cos 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为 （ ）A.65B.3C.125D.6填空题（4*5=20分）13.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x xπ=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．14.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试文】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b = .15.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题文科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα16.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos22y x =的图象. ⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称．其中正确说法的序号是 .中心.（二） 解答题（10+5*12=70分）17. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷文】已知函数(i n c o s )()2c o s ,x f x x x x R -=∈．(I)求函数()f x 图像的对称中心；(Ⅱ)求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值．18.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（文）】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19.[山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.20. 【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数x x x f cos 2sin 32)(-= （Ⅰ）若],0[π∈x ,求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅱ）若0)(=x f ,求)4sin(21sin 2cos 22π+--x x x的值.21.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(co s,s i n )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅= ，求,AC BC 的长．22. 【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（文）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(0,1)M ．（1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =，求()f C 的值．（四）附加题（15分）23.如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.68；。