第23章 图形的相似 山东省长清区双泉中学单元测试题(含答案)

第23章图像的相似达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若2x－7y＝0，则x∶y等于()A．7∶2 B．－2∶7 C．2∶7 D．－7∶22．[2017·遂宁]点A(a，b)关于x轴对称的点A′的坐标为()A．(a，－b) B．(－a，b) C．(－a，－b) D．(b，a) 3．在比例尺为1∶150 000的某城市地图上，若量得A、B两所学校的距离是4.2 cm，则A、B两所学校的实际距离是()A．630米B．6 300米C．8 400米D．4 200米4．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的面积与△DEF的面积和为20，则△DEF的面积为()A．5 B．2 C．15 D．185．如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是()A．这种变换是位似变换B．对应边扩大到原来的2倍C．各对应角度数不变D．面积扩大到原来的2倍6．如图，在△ABC中，AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝H I＝I C，已知BC＝2a，则DG＋EH＋F I的长是()A．a B．4a C．3a D．a7．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0)C．(3，3) D．(3，1)8．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则图中相似三角形有()A．6对B．8对C．10对D．12对9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，则线段EF的长为()A ．2 5 B. 5 C.45 5D.25 510．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14C D.下列结论：① BAE ＝30°；②△ABE ∽△AEF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF ， 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题(每题3分，共18分)11．[2018·宿迁]在平面直角坐标系中，将点(3，－2)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是________．12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC∽△DEF，需要添加的一个条件是____________．(写出一种情况即可)13．如图，直线AD∥BE∥CF，BC＝13AC，DE＝4，那么EF的长是________．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3，0)、(2，－3)，若△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．15．[2017·绥化]如图，顺次连结腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连结所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．16．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC ＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有________个．三、解答题(17题6分，21题10分，22题12分，其余每题8分，共52分) 17．已知a∶b∶c＝2∶3∶7，且a＋b＋c＝24，求a、b、c的值．18.如图，在△ABC中，BA＝BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的平分线BE于点E，连结AE，D是BE上的一点，且∠BAD＝∠CAE.求证：△ABD∽△ACE.19．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O(0，0)，A(4，2)，B(2，4)，P(4，4)，以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1∶2，请在直角坐标系中画出符合条件的△DEF.20．如图，小军、小珠所在位置A，B之间的距离为2.8 m，小军、小珠在同一盏路灯P下的影长分别为CA＝1.2 m，BD＝1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，求路灯的高PO.21．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5 5 cm，且ECFC＝34.(1)求证：△AFB∽△FEC；(2)求矩形ABCD的周长．22．如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P.(1)当点P是边AB的中点时，求证：P APB＝CMCN.(2)当点P不是边AB的中点时，P APB＝CMCN是否仍然成立？请证明你的结论．答案一、1.A 2.A 3.B 4. B 5.D6．C 点拨：∵AD ＝DE ＝EF ＝FB ，AG ＝GH ＝H I ＝I C ，∴DG ∥EH ∥F I ，∴AD AB ＝DG BC ，即DG ＝14BC ； 同理可得：EH ＝12BC ，F I ＝34BC ；∴DG ＋EH ＋F I ＝14BC ＋12BC ＋34BC ＝32BC ＝3a ；故选：C . 7．A 8.C9．B 点拨：设EF 交AC 于O ，∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，∴AC ⊥EF ，AO ＝CO . 在矩形ABCD 中，∠D ＝90°，AB ∥CD ， ∴∠FCO ＝∠EAO ，又∵∠FOC ＝∠EOA ，∴△FOC ≌△EOA ，∴FO ＝EO . 在Rt △ACD 中，AC ＝22＋42＝2 5，∴CO ＝ 5.∵∠FOC ＝∠D ＝90°，∠FCO ＝∠ACD ， ∴△FOC ∽△ADC ， ∴FO AD ＝CO CD ，即FO 2＝54，∴FO ＝52.∴EF ＝2FO ＝2×52＝ 5.10．B 点拨：由题意知∠B ＝∠C ＝90°，AB ∶EC ＝BE ∶CF ＝2∶1.∴△ABE ∽△ECF ，∴AB ∶EC ＝AE ∶EF ，∠AEB ＝∠EFC .∵BE ＝CE ，∠FEC ＋∠EFC ＝90°，∴AB ∶AE ＝BE ∶EF ，∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∴∠AEF ＝90°＝∠B . ∴△ABE ∽△AEF .∴②③正确． 二、11. (5，1)12．∠A ＝∠D 或BC ∶EF ＝2∶1 13．2 14.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－415.122n－1点拨：记原来三角形的面积为s，第1个小三角形的面积为s1，第2个小三角形的面积为s2，…，∵s1＝14·s＝122·s，s2＝14·14s＝124·s，s3＝126·s，∴s n＝122n·s＝122n·12·2·2＝122n－1.16．3点拨：设AP的长为x，则BP的长为8－x.若AB边上存在点P，使△P AD 与△PBC相似，那么分两种情况：①若△P AD∽△PBC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶(8－x)＝3∶4，解得x＝247，经检验，其是原方程的解；②若△P AD∽△CBP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶(8－x)，解得x＝2或x＝6，经检验，它们都是原方程的解．故满足条件的点P有3个．三、17.解：设a＝2t，b＝3t，c＝7t，代入a＋b＋c＝24，得2t＋3t＋7t＝24，那么12t＝24，解得t＝2，所以a＝4，b＝6，c＝14.18．证明：∵BA＝BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC(等腰三角形三线合一的性质)，∴∠CBE＋∠ACB＝90°，又∵CE⊥BC，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE，∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.19．解：如图所示：20．解：∵AE∥PO∥BF，∴△AEC∽△OPC，△BFD∽△OPD，∴CACO＝AEOP，BDOD＝BFOP，即1.21.2＋AO＝1.8OP，1.51.5＋2.8－OA＝1.5OP，解得：PO＝3.3.答：路灯的高PO为3.3 m.21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠AFE＝90°.∴∠CFE＋∠BF A＝90°，∠BF A＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CFE.∴△AFB∽△FEC.(2)解：∵ECFC＝34，∴设EC＝3t cm，FC＝4t cm，则EF＝DE＝5t cm.∴AB＝CD＝8t cm.又由(1)可得ABFC＝BFCE，即8t4t＝BF3t，∴BF＝6t cm，∴AF＝10t cm.在Rt△AEF中，由勾股定理得(10t)2＋(5t)2＝(55)2，∴t＝1(负值舍去)．∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BF＋FC)＝2(8t＋6t＋4t)＝36(cm)．22．(1)证明：如图①，连结PC，则MN⊥PC，易证CMCN＝ACBC＝1＝P APB，即P APB＝CMCN.(2)解：成立．证明：如图②，连结PC，则MN⊥PC(△MNC与△MNP关于MN成轴对称)．过点P作PE⊥AC于点E，则PE∥BC，∴P APB＝AEEC，AE＝PE.由∠EPC＝∠NCP可证∠ECP＝∠MNC，从而△MCN∽△PEC，得CMPE＝CNEC，故CMCN＝PEEC＝AEEC.∴P APB＝CMCN.。

图（3）8 开4 开对开MNEABCD第23章 图形的相似单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,把△ABC 沿AB 边平移到△'''C B A 的位置,它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半,若2=AB ,则此三角形移动的距离是 【 】 （A ）12- （B ）22 （C ）1 （D ）21图（1）C'B'ABC A' yx图（2）EABD CO2. 如图（2）所示,A 、B 是反比例函数xy 2=的图象上的两点,AC 、BD 都垂直于x 轴,垂足分别为点C 、D ,AB 的延长线交x 轴于点E .若C 、D 的坐标分别为( 1 , 0 )、( 4 , 0 ),则△BDE 的面积与△ACE 的面积的比值是 【 】 （A ）21 （B ）41 （C ）81 （D ）1613. 如图（3）所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依次类推.如果各种开本的矩形都相似,那么ADAB等于 【 】 （A ）0. 618 （B ）22（C ）2 （D ）24. 如图（4）所示,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BDAB 的值为【 】 （A ）524 （B ）534 （C ）825 （D ）23220 图（4）l 3l 2l 1DABC 图（5）MEODB CA5. 如图（5）,在□ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 为BC 上一点,2:1:=EC BE ,则=OD MO BM :: 【 】 （A ）3:2:2 （B ）4:3:2 （C ）2:1:1 （D ）5:3:26. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定图（6）D FOBCAE图（7）7. 如图（7）所示,四边形ABCD 是矩形,点E 和点F 是矩形ABCD 外两点,CFAE ⊥于点H ,︒=∠===90,25,4,3EDF DE DC AD ,则DF 的长是 【 】 （A ）815 （B ）311 （C ）310 （D ）516图（12）EDABC8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为3 , 4 , x 的三个正方形,则x 的值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12图（8）图（9）FGHCAD9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于点H ,若2=DF AF ,则BGHF的值为 【 】 （A ）32 （B ）127 （C ）21 （D ）12510. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）522 （B ）2029 （C ）423 （D ）524 图（10）NMEFDA BC图（11）EO DBCA二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且32=AD AB ,则=ACAE_______. 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则=EF _________. 13. 如图（13）所示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=∆ACE S ,143=∆BDE S ,则=AC _________. 图（13）图（14）C BD EA图（15）C 3C 2C 1B 3B 2B 1...CBD14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在AB 、AC 上,若4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S _________.15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.三、解答题（共75分）16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF . （1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.图（16）17.（20分）如图,在△ABC 中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:BCEFAD AH =; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;（3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图（17）18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,31=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图2,在原题条件下,若)0(1>=n nAB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程. （3）拓展迁移在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△ABC 的边长为a ,,b ABAE=则CD 的长为______________ （用含b a ,的代数式表示）.图 1DEA C图 2DEAC19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若,1=DEAE 求CF AF的值. （1）尝试探究在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CFAF的值是_________. （2）类比延伸如图2,在原题的条件下,若)0(>=m m DEAE ,则CF AF的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程. （3）拓展迁移如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若)0,0(,>>==b a b DEAE a DC BD 则CF AF的值是________（用含b a ,的代数式表示）.图 1F EBCA图 2EBCAFE图 3BCAD F第23章 图形的相似单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 4312.5 13. 2 14. 9 15. 1225-n n部分选择题、填空题答案解析4. 如图（4）所示,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B、C分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BDAB的值为 【 】 （A ）524 （B ）534（C ）825 （D ）23220 图（4）32l 1解析:作3l AE ⊥于点E ,交2l 于点F .∴3,1==EF AF ∴4=+=EF AF AE ∵32//l l∴△ADF ∽△ACE ∴41==AE AF AC AD ∴AD BC AC 4== 设x AD =,则x BC AC 4== ∴x CD 3=在Rt △ABC 和Rt △BCD 中,分别由勾股定理得:()()x x x AB 244422=+= ()()x x x BD 54322=+=∴524524==x x BD AB ∴选择答案【 A 】.6. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定图（6）解析:连结AO 、DO .∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点 ∴BC AO EF DO ⊥⊥,︒=∠=∠60ABO DEO ∴︒=∠=∠90AOB DOE3tan tan =∠=∠ABO DEO∴AOE AOB AOE DOE ∠+∠=∠+∠ ∴BOE AOD OBOAOE OD ∠=∠==,3 ∴△AOD ∽△BOE ∴3===OBOAOE OD BE AD 即=BE AD :1:3 ∴选择答案【 A 】.8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为 3 , 4 ,x 的三个正方形,则x 的值为 【 】（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12图（8）解析:4,3-=-=x GM x EF 不难证明:△DEF ∽△GMH∴MH EFGM DE =∴4343-=-x x 解之得:7=x （0=x 舍去） ∴选择答案【 C 】.9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于点H ,若2=DF AF ,则BG HF的值为【 】 （A ）32 （B ）127（C ）21 （D ）125图（9）FGHCAD解析:∵四边形ABCD 是菱形 ∴AD AB CD AB =,//∴△DFH ∽△AFB ,△DGH ∽△EGB ∴EBDHBG HG AB DH BF HF AF DF ===,设x FG =∵2=DFAF∴21,21=+===x BG HF AB DH AF DF BF HF ∴()x BG HF +=21∵DF AE =∴AE DF DF AF AB AD 33==+== ∴AB AE BE 322== ∴4321232332=⨯=⋅===ABDH AB DH BGHG EBDH ∴43=+BG x HF ∴()x x BG x HF BG 4214443++⨯=+= ∴x BG 6=∴()x x x HF 27621=+=∴127627==x xBG HF ∴选择答案【 B 】.10. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）522 （B ）2029 （C ）423 （D ）524 图（10）解析:作AD MH ⊥,交AD 于点H ∴AE MH //∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD BC AD //,3== ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN∵FC BF 2= ∴232==BC BF ∴︒=∠=∠=45,FAD AFB BF AB ∴MH AH =在Rt △ABF 中,由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF∵△ADN ∽△FBN ∴23==FB AD FN AN ∴526225353=⨯==AF AN 设x MH =,则x DH x AH -==3, ∵点E 为AB 的中点 ∴121==AB AE . ∵AE MH // ∴△DHM ∽△DAE∴331,xx DA DH EA MH -== 解之得:43=x∴43==MH AH在Rt △AHM 中,由勾股定理得:42343432222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=MH AH AM ∴2029423526=-=-=AM AN MN ∴选择答案【 B 】.解析二:如图所示,延长DC ,交AF 的延长线于点G .∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD CD AB CD AB //,2,//== ∵FC BF 2= ∴232==BC BF ,123=-=FC ∴︒=∠=∠=45,G BAF BF AB ∴1==GC FC在Rt △ABF 和Rt △GCF 中,分别由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF2112222=+=+=GC FC GF∴23=+=GF AF AG ∵点E 为AB 的中点 ∴121==AB AE . ∵CD AB // ∴DG AE // ∴△AEM ∽△GDM ∴31121=+==GM AM GD AE ∴42943,3===AG GM AM GM ∴4252429=-=-=GF GM FM ∵BC AD // ∴BF AD //∴△ADN ∽△FBN∴23==FB AD FN AN ∴524225252=⨯==AF FN 2029524425=-=-=FN FM MN . ∴选择答案【 B 】.解析三:如图所示,作AD FH ⊥于点H ,交DE 于点G .∴AB FH AE GH //,//∴△DHG ∽△DAE ,△AEM ∽△FGM ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD // ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN ∵FC BF 2= ∴232==BC BF ∴123,2=-==DH AH ∵点E 为AB 的中点∴121==AB AE .∵△DHG ∽△DAE∴131,HGAE HG DA DH == ∴35312,31=-==FG HG在Rt △ABF 中,由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF∵△AEM ∽△FGM∴53351===FG AE FM AM ∴425228585=⨯==AF FM ∵△ADN ∽△FBN ∴23==FB AD FN AN ∴524225252=⨯==AF FN 2029524425=-=-=FN FM MN ∴选择答案【 B 】.11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且32=AD AB ,则=ACAE_______. 图（11）解析:作AC BF //,交DE 于点F . 易证:△BOF ≌△COE ∴CE BF =∵32=AD AB ∴31=AD BD ∵AC BF // ∴AE BF // ∴△BDF ∽△ADE∴31==AD BD AE BF ∴31=AE CE ∴43=AC AE . 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则=EF _________.图（13）B图（12）解析:根据题目所给条件,不难证明: △AOE ≌△COF ∴OF OE = ∴OE EF 2=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:52422222=+=+=BC AB AC∴521==AC OA 易证:△AOE ∽△CBA ∴452,==OE CB AO BA OE ∴25=OE∴52==OE EF . 13.如图（13）所示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=∆ACE S ,143=∆BDE S ,则=AC _________.解析:作BC EH AC EF ⊥⊥, ∴CD EF //易证明四边形EFCH 是正方形 ∴x EH CF EF === ∵76=∆ACE S ,143=∆BDE S ∴4=∆∆BDEACES S ∴42121==⋅⋅BD ACEH BD EFAC ∴BD AC 4= ∵BC AC =∴BD CD BD BC 3,4== ∵CD EF // ∴△AFE ∽△ACD∴BDxBD AF DC EF AC AF 34,== ∴x AF 34=∴x x x CF AF AC 3734=+=+=∵76=∆ACE S∴763721=⨯⨯x x 解之得:76=x （76-=x 舍去）∴27637=⨯=AC .14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在AB 、AC上,若4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S ___.图（14）分析:图中△ADE ∽△ABC ,△ADE 的面积已知,根据相似三角形的性质:相似三角形的面积之比等于相似比的平方,只需求出△ADE 和△ABC 的相似比即可,又根据相似三角形的性质:相似三角形对应边上的高之比等于相似比,求出AGAH即可. 解析:作BC AG ⊥,交DE 于点H . ∵四边形DEFM 是正方形 ∴GH DE BC MF DE =,//// ∴DE AH ⊥,△ADE ∽△ABC ∴222AG AHAG AH S S ABC ADE =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆ ∵4=DEFM S 正方形 ∴2==GH DE ∵1=∆ADE S∴1221=⨯⨯AH ∴1=AH ,3=+=GH AH AG ∴911=∆ABCS ∴9=∆ABC S .15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.图（15）C 3C 2C 1B 3B 2B 1...CBD分析:本题属于规律探究题,解决问题的关键在于从有限的结果中（事实）去发现无限的变与不变的规律,最后获得一个能概括和刻画所有结果的通项公式.解析:我们分别计算一下矩形C C AB 11、矩形122C C AB 、矩形233C C AB 的面积: 由勾股定理得:5122222=+=+=CD AD AC由题意可知:251,11==AB AD AC AB AB∴251=AB∴2552511=⨯=CC AB S 矩形 由勾股定理得:()25255221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AC 由题意可知:52525,2112==AB AC AC AB AB ∴452=AB ∴32258252545122==⨯=C C AB S 矩形 同法可以求出:532532125233==C C AB S 矩形 把三个面积写成一行如下:533225,25,25 可以发现分母的指数的规律是:12-n∴矩形1-n n n C C AB 的面积为1225-n n.三、解答题（共75分）16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF .（1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.图（16）解:（1）△BMN 是等腰直角三角形. ……………………………………2分理由如下:∵,AC AB =点M 是BC 的中点∴BC AM ⊥,BAC ∠=∠211 ……………………………………4分 ∴︒=∠90BMN ∴△BMN 是直角三角形……………………………………5分 ∵BN 平分ABE ∠ ∴ABE ∠=∠212 ∵BD AC ⊥∴︒=∠+∠90ABE BAC ∵21∠+∠=∠BNM……………………………………6分 ∴()︒=∠+∠=∠4521ABE BAC BNM ……………………………………7分∴︒=∠=∠45BNM NBM ∴MN BM =∴△BMN 是等腰直角三角形; ……………………………………8分 （2）△MFN ∽△BDC .……………………………………9分 理由如下:∵点F 、M 分别是AB 、BC 的中点∴AC MF AC MF //,21=……………………………………10分 ∵BD AC =∴BD MF 21= ∴21=BD MF ………………………11分 ∵MN BM =,BC BM 21=∴BC MN 21=∴21=BC MN ………………………12分 ∴BC MN BD MF =……………………13分 ∵AC MF // ∴FMB ACB ∠=∠ ∵︒=∠+∠90CBD ACB︒=∠+∠90NMF FMB ∴NMF CBD ∠=∠……………………………………14分∵BC MNBD MF =,NMF CBD ∠=∠ ∴△MFN ∽△BDC .……………………………………15分 17.（20分）如图,在△ABC中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:BCEFAD AH =; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图（17）（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴PQ EF // ∴BC EF // ∴△AEF ∽△ABC .……………………………………3分 ∵BC AD ⊥ ∴EF AH ⊥ ∴BCEFAD AH =; ……………………………………4分（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写）（2）由（1）可得:108xAH =∴x AH 54=……………………………………5分 ∴x AH AD DH EQ 548-=-== ……………………………………6分 ∴x x x x EQ EF S EFPQ8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=矩形……………………………………7分 配方得:=EFPQ S 矩形()205542+--x ……………………………………9分 ∴当5=x 时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;……………………………………10分 （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知:4,5===PF EQ EF ……………………………………11分 ∵︒=∠45C∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴4==PC PF ∴9=+=PC PQ QC 分为三种情况:①如图1,当0≤t ＜4时,设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角三角形图 1∴t FN MF ==22120t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形∴20212+-=t S ;……………………………………14分 ②当4≤t ＜5时,如图2所示,图2Ft QC t ME -=-=9,5∴()()[]28449521+-=⨯-+-=t t t S ; ……………………………………17分 ③当5≤t ＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则t QC QK -==9. ∴()()22921921-=-=t t S ……………………………………19分图 3F综上所述, S 与t 的函数关系式为:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=959215428440202122t t t t t t S……………………………………20分说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .注意:当4=t 时,如图4所示;当5=t 时,如图5所示;当9=t 时,面积S =0,故在这里不再给出图形.图 4(P )图 5F18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,31=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图2,在原题条件下,若)0(1>=n nAB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程.（3）拓展迁移在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△ABC 的边长为a ,,b ABAE=则CD 的长为______________（用含b a ,的代数式表示）.图 3解:（1）316,==CD BD AE ; ……………………………………6分 解析:如图1所示.图 1∵△ABC 是等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABC A ∴︒=∠1202 ∵EF ∥BC∴︒=∠=∠=∠60A ABC AEFDCE ∠=∠1∴△AEF 是等边三角形 ∴︒=∠=60,AFE FE AE ∴︒=∠1203 ∴32∠=∠ ∵EC ED = ∴DCE D ∠=∠ ∴1∠=∠D在△BDE 和△FEC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC DE D 321 ∴△BDE ≌△FEC （AAS ） ∴FE BD =∵FE AE = ∴BD AE =∵31=AB AE ,314=AE ∴34=AE∴34=BD∴316434=+=+=BC BD CD .（2）m n m+;……………………………………9分解:∵m AB n AB AE ==,1∴nm AE 1=∴n mAE =………………………11分由（1）可知:BD AE =∴nmBD =………………………13分 ∴m n mBC BD CD +=+=.……………………………………16分 （3）a ab -或ab a -.……………………………………20分 解析:注意题目中的条件:“点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上”,据此分为两种情况:①当点D 在线段BC 上时,如图3所示.过点E 作EF ∥AC ,交B C 的延长线于点F .∵△ABC 是等边三角形 ∴△EBF 也是等边三角形 ∴∠B =∠F =60° ∵ED =EC ∴∠EDC =∠ECD ∴∠BDE =∠FCE 在△BDE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FE BE FCE BDE F B ∴△BDE ≌△FCE (AAS) ∴BD =CF ,BD =FC =AE ∵AB =a ,b ABAE= ∴AE =BD =ab∴ab a BD BC CD -=-=;②当点D 在BC 的延长线上时,作和①同样的辅助线,如图4所示.图 4同理可证:△BCE ≌△FDE (AAS) ∴BC =FD =a∵求出AE =CF =ab ∴a ab DF CF CD -=-=;（可以排除点D 在线段CB 的延长线上）.综上所述,CD 的长为ab a -或.a ab - 19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若,1=DEAE求CFAF的值. （1）尝试探究在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CFAF的值是_________. （2）类比延伸如图2,在原题的条件下,若)0(>=m m DEAE ,则CF AF的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若)0,0(,>>==b a b DE AE a DC BD 则CF AF的值是________（用含b a ,的代数式表示）.解:（1）21,BD AG =;……………………………………8分 提示:如图所示.图 1∵1=DEAE∴DE AE =易证:△AEG ≌△DEB ∴BD AG = ∵点D 是BC 的中点∴BC BD AG 21==∴21=CB AG ∵AG ∥BC ∴△AFG ∽△CFB∴21==CB AG CF AF ; （2）2m ;……………………………………12分 解:如图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G .∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB图 2∴m DEAEDB AG == ∵点D 是BC 的中点 ∴DB CB 2= ∴22mDB AG CB AG == ……………………………………15分∵△AFG ∽△CFB ∴2mCB AG CF AF ==; ……………………………………16分 （3）1+a ab. ……………………………………20分图 3提示:如上图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G . ∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB∴b DE AEDB AG == ∵a DC BD= ∴()DC a CB aDC BD 1,+==∴BD aa CB 1+= ∴111+=⋅+=+=a abDB AG a a DB aa AG CB AG ∵△AFG ∽△CFB∴1+==a abCB AG CF AF .。

第23章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（）A.6米B.7米C.8.5米D.9米2、中，，在边上截取,连接，若点D恰好是线段的一个黄金分割点，则的度数是（）A. B. C. D.3、如图，、是的切线，、为切点，是劣弧的中点，连接并延长交于，若，则的值为（）A. B. C. D.4、平面直角坐标系中，在第二象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点的坐标为（）A.(-5，4)B.(4，5)C.(4，-5)D.(5，4)5、如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（）A.1∶2；B.1∶4；C.1∶6；D.1∶8．6、如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（）A.6B.8C.10D.127、下列说法正确的有（）①有一个角对应相等的两直角三角形相似；②两边分别对应成比例的两个直角三角形相似；③含30°角的直角三角形都相似；④黄金矩形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A.∠BAC＝∠ADCB.∠B＝∠ACDC. AC2＝AD•BCD.9、在直角坐标系中，若点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围（）A.3＜x＜5B.－3＜x＜5C.－5＜x＜3D.－5＜x＜－310、下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B.a＝1，b＝，c＝，d＝C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D.a＝2，b＝，c＝，d＝211、如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则S△A′B′C′=（）A.18B.12C.32D.1612、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A. B. C. ﹣1 D. +113、在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A.20mB.16mC.18mD.15m14、相似三角形的面积比为2:1，则他们的相似比为（）A.4∶1B.3∶1C.2:1D. ：115、下列判断不正确的是（）A.所有等腰直角三角形都相似B.所有直角三角形都相似C.所有正六边形都相似D.所有等边三角形都相似二、填空题(共10题，共计30分)16、两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，那么这两个三角形的相似比是________，如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3 cm，那么较长的中线是________cm.17、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为________.18、如图，在△ABC中，∠C=45°，∠BAC=90°，点A为（，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________．19、已知点A（a－1，2+a）在第二象限，那么a的取值范围是________．20、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A(0，6)，D(4，0)，将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为________21、选择﹣1、A、2、4这四个数构成比例式，则a等于________或________．（只要求写出两个值）22、已知线段，点P是线段的黄金分割点，且，则线段________23、点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是________．24、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，若DF＝10，则DE＝________．25、若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC的长．27、如图所示，小芳用画正方形的办法画出下列一组图案，你能按规律继续画下去吗？想想其中有哪些相似图形？28、如图，△ABC中，D为AB上一点．已知△ADC与△DBC的面积比为1：3，且AD=3，AC=6，请求出BD的长度，并完整说明为何∠ACD=∠B的理由．29、如图，在□ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD 于点G．（1）求证：AB=3FG；（2）若AB:AC=:，求证：DF2=DG·DA．30、如图，△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，求AC的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、D4、A5、A6、C7、C8、D9、A10、C11、A12、C14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。

华东师大版九年级数学上册《第23章图形的相似》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列各组中的四条线段成比例的是（）1cm2cm4cm6cm、、、A．4cm2cm1cm3cm、、、B．C．25cm35cm45cm55cm、、、D．lcm2cm20cm40cm、、、2．如图，直线a、b、c分别与直线m、n交于点A、B、C、D、E、F。

已知直线a b c∥∥，若2AB=，BC=3，则DEEF的值为（）A．23B．32C．25D．353．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（）A．B．C．D．4．若两个相似三角形的面积之比为1:2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（）A．1:2B．1:4C．2D．4:15．如图，已知A B C'''与ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2:3，下列说法错误的是（）A ．AC A C ''∥B ．3:2OB BB ''=:C ．BCO B C O ''∽D ．:4:9A B C ABCSS'''=6．已知ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为()0,3A ，()3,4B 和()2,2C ．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B 为位似中心，在网格中画出11A BC ，使11A BC 与ABC 位似，且相似比为2:1，则1C 坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()1,0C ．()2,0D ．()1,0-7．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB BD ⊥CD BD ⊥且测得4m AB = 6m BP = 12m PD =那么该古城墙CD 的高度是（）m ．A ．18B ．8C ．8或18D ．108．如图，已知ADE ABC △△∽，相似比为2:3，则BCDE=（ ）A ．3:2B ．2:3C ．2:1D ．不能确定9．如图，在三角形ABC 中，DE//BC ，AD=3BD ，DE=9，则BC 的长为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．3610．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A ．B ADE ∠=∠ B ．AC BCAE DE= C ．AB ACAD AE= D ．C E ∠=∠11．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE BD 、，且AE BD 、交于点F ，:4:25DEFABFS S=则:DF BF 为（ ）A ．2:5B ．2:3C ．3:5D ．3:212．已知四边形ABCD 为正方形，点E 是边AD 上一点，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥于点F ，连接AF ．若2AF BF ，则EDCF的值为（ ）A ．12B 5C ．23D 5二、填空题13．如图，已知ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，:1:3AD BD =若DBE 的面积为3，则CBE △的面积为 ．14．如图，ABD △和DEC 均为直角三角形，点C 为BD 中点，若25AD CE AB ED ⊥==，，，则BC 的长为 .15．如图，点D 为ABC 的AB 边上一点，AD=2，DB=3．若ABC ACD ∠=∠，则AC 的长为 ．16．如图，点E 是平行四边形ABCD 边AD 延长线上一点，BE 交CD 于点H ，如果13DH HC =，那么BOBH= ．三、解答题17．已知：如图，ABC中，AB=20cm，BC=15cm，AD=12.5cm，DE//BC．求DE的长．18．如图，D是ABC的边AC上的一点，连接BD，已知ABD C∠=∠，AB=6，AD=4(1)证明ABD ACB∽；(2)求线段CD的长．19．如图，在ABC中，ABC∠的平分线BD交AC边于点D，已知2∠=∠．ADB ABD(1)求证：ABD ACB∽；(2)若22==，求ADC AD∠的度数．20．如图，在矩形ABCD中，AB =8，P为CD边上一点，连接AP．将ADP△沿AP翻折点D恰好落在BC边上（点D），且4CD'=．(1)求证：ABD D CP ''∽△△； (2)求DP 的长； (3)求DPAD的值． 21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC 中()()()1,22,14,5A B C -、、．(1)画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；(2)以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出222A B C △，使222A B C △与ABC 位似，且222A B C △与ABC 相似比为2，并写出2C 的坐标． 22．综合与探究 问题情境：在ABC 中，AB=AC ，在射线AB 上截取线段BD ，在射线CA 上截取线段CE ，连结DE ，DE 所在直线交直线BC 于点M ．猜想判断：（1）当点D 在边AB 的延长线上，点E 在边AC 上时，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ，如图①．若BD CE =，则线段DM 、EM 的大小关系为_______．深入探究：（2）当点D 在边AB 的延长线上，点E 在边CA 的延长线上时，如图②．若BD CE =，判断线段DM 、EM 的大小关系，并加以证明．拓展应用：（3）当点D 在边AB 上（点D 不与A 、B 重合），点E 在边CA 的延长线上时，如图③．若BD=1，CE=4，DM=0.7，求EM 的长．参考答案一、单选题1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．4cm 2cm 1cm 3cm 、、、 B ．1cm 2cm 4cm 6cm 、、、 C ．25cm 35cm 45cm 55cm 、、、 D ． lcm 2cm 20cm 40cm 、、、 【答案】D【知识点】成比例线段【分析】根据比例线段的定义 分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例 只要把四条线段按大小顺序排列好 判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A 4123⨯≠⨯ 故A 选项错误； B 6142⨯≠⨯ 故B 选项错误； C 25553545⨯≠⨯ 故C 选项错误； D 140220⨯=⨯ 故D 选项正确． 故选：D ．2．如图 直线a b c 分别与直线m n 交于点A B C D E F ．已知直线a b c ∥∥ 若2AB = 3BC = 则DEEF的值为（ ）A ．23B ．32C ．25D ．35【答案】A【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理 根据平行线分线段成比例定理得到23DE AB EF BC ==即可得到结论． 【详解】解：直线a b c ∥∥ 2AB = 3BC =∴23DE AB EF BC == 故选：A ．3．观察下列每组三角形 不能判定相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【知识点】证明两三角形相似【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知 A 中46523 2.5==能判定相似 故不符合要求； B 中4623= 5858︒=︒ 能判定相似 故不符合要求； C 中4040︒=︒ 且对顶角相等 能判定相似 故不符合要求； D 中3535︒=︒ 不能判定相似 故符合要求； 故选：D ．4．若两个相似三角形的面积之比为1:2 那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．2D ．4:1【答案】C【知识点】利用相似三角形的性质求解【分析】本题主要考查了相似三角形的性质 理解并掌握相似三角形的性质是解题关键．根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方 即可获得答案．【详解】解：若两个相似三角形的面积之比为1:2 则两个相似三角形的相似比为2所以 这两个三角形对应边上的高之比为2 故选：C ．5．如图 已知A B C '''与ABC 是以点O 为位似中心的位似图形 位似比为2:3 下列说法错误的是（ ）A ．AC A C ''∥B ．3:2OB BB ''=:C ．BCO B C O ''∽D ．:4:9A B C ABCSS'''=【答案】B【知识点】位似图形相关概念辨析 求两个位似图形的相似比【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质 相似三角形的性质．根据位似图形的概念 相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可．【详解】解：A A B C '''与ABC 是位似图形 则其对应边互相平行 即AC A C ''∥ 原说法正确 本选项不符合题意；B A BC '''与ABC 是以点O 为位似中心的位似图形 位似比为2:3 则:2:3OB OB '=．所以2:1OB BB ''=: 原说法错误 本选项符合题意；C A B C '''与ABC 是位似图形 则其对应边互相平行 即BC B C ''∥ 则BCO B C O ''∽ 原说法正确 本选项不符合题意；D A B C '''与ABC 是相似图形 相似比为2:3 则其面积之比等于相似比的平方 即:4:9A B C ABCSS'''= 原说法正确 本选项不符合题意．故选：B ．6．已知ABC 在坐标平面内 三个顶点的坐标分别为()0,3A ()3,4B ()2,2C ．正方形网格中 每个小正方形的边长是1个单位长度 以点B 为位似中心 在网格中画出11A BC 使11A BC 与ABC 位似 且相似比为2:1 则1C 坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()1,0C ．()2,0D ．()1,0-【答案】B【知识点】在坐标系中画位似图形 求位似图形的对应坐标【分析】本题主要考查了位似的性质 根据()2,2C 位似比为2:1画出图形 得出点1C 坐标即可．【详解】解：延长BA 到点1A 使得12BA BA = 延长BC 到点1C 使得12BC BC = 如图所示：根据作图可知：点1C 的坐标为()1,0． 故选：B ．7．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图 在点P 处放一水平的平面镜 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处 已知AB BD ⊥CD BD ⊥ 且测得4m AB = 6m BP = 12m PD = 那么该古城墙CD 的高度是（）m ．A．18 B．8 C．8或18 D．10【答案】B【知识点】相似三角形应用举例【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．利用入射与反射得到APB CPD∠=∠则可判断Rt RtABP CDP∽△△于是根据相似三角形的性质即可求出CD．【详解】解：根据题意得APB CPD∠=∠AB BD⊥CD BD⊥90ABP CDP∴∠=∠=︒Rt RtABP CDP∴∽∴AB PBCD PD=即4612CD=解得：8CD=．∴该古城墙CD的高度为8m．故选：B8．如图已知ADE ABC△△∽相似比为2:3则BCDE=（）A．3:2B．2:3C．2:1D．不能确定【答案】A【知识点】利用相似三角形的性质求解【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的相似比为2:3可得23DEBC=由此即可求解．【详解】解：∵已知ADE ABC △△∽ 相似比为2:3 ∴23DE BC = ∴32BC DE = 故选：A ．9．如图 在三角形ABC 中 DE BC ∥ 3AD BD = 9DE = 则BC 的长为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．36【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质 根据平行线得出ADE ABC ∽ 得出比例式 代入求出即可．【详解】解：∵3AD BD = ∴34AD AB =又∵DE BC ∥∴ADE ABC ∽ ∴DE AD BC AB = 即934BC = 解得：12BC =故选：A ．10．如图 已知12∠=∠ 那么添加下列一个条件后 仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A ．B ADE ∠=∠B ．AC BC AE DE =C ．AB AC AD AE = D ．C E ∠=∠【答案】B【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似【分析】本考查了相似三角形的判定 熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等 且夹角相等 那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等 那么这两个三角形相似 逐项判断即可．【详解】解：12∠=∠12CAD CAD ∴∠+∠=∠+∠BAC DAE ∴∠=∠A 由两个三角形的两个对应角相等可得ABC ADE △△∽ 故不符合题意；B 不符合两个三角形的两条对应边的比相等 且夹角相等 无法判定ABC ADE △△∽ 故符合题意；C 由两个三角形的两条对应边的比相等 且夹角相等可得ABC ADE △△∽ 故不符合题意；D 由两个三角形的两个对应角相等可得ABC ADE △△∽ 故不符合题意；故选：B ．11．如图 在ABCD 中 E 为CD 上一点 连接AE BD 、 且AE BD 、交于点F:4:25DEF ABF S S = 则:DF BF 为（ ）A ．2:5B ．2:3C ．3:5D ．3:2【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了平行四边形的性质 相似三角形的判定与性质 关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得CD AB ∥ 从而易得DEF BAF △△∽ 利用相似三角形面积的比等于相似比的平方 求得相似比 进而求得结果．【详解】解：∵在ABCD 中 CD AB ∥∴EDF ABF ∠=∠；∵DFE BFA ∠=∠∴DEF BAF △△∽ ∴2425DEF ABF S DF S BF ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴25DF BF = 即25DF BF =::；故选：A ．12．已知四边形ABCD 为正方形 点E 是边AD 上一点 连接BE 过点C 作CF BE ⊥于点F 连接AF ．若2AF BF 则ED CF的值为（ ）A ．12B 5C ．23D 5【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS ） 用勾股定理解三角形 根据正方形的性质求线段长 相似三角形的判定与性质综合【分析】在CF 上截取CH BF = 利用正方形的性质和直角三角形的性质证明()SAS BCH ABF ≌ 由全等三角形的性质得出AF BH = 结合已知条件设1BF = 则2BH =利用勾股定理分别求出FH 和BC 再证明EAB BFC ∽ 由相似三角形的性质求出EA 进而求出ED最后和CF 相比即可得出答案．【详解】解：在CF 上截取CH BF = 如下图：∵四边形ABCD 为正方形∴AB BC = 90DAB ABC ∠=∠=︒∴90ABF FBC ∠+∠=︒∵CF BE ⊥∴90BFC ∠=︒∴90FBC BCF ∠+∠=︒∴ABF BCF ∠=∠又∵AB BC = CH BF =∴()SAS BCH ABF ≌∴AF BH = ∵2AF BF ∴=2BH BF设1BF = 则2BH 在Rt BFH △中221FH BH BF =-=又1CH BF ==∴2CF CH FH =+=在Rt BFC △中225BC BF CF +∴5AB BC ==∵ABF BCF ∠=∠ 90EAB BFC ∠=∠=︒∴EAB BFC ∽ ∴EAABBF FC =即51EA = ∴5EA =又5AD BC ==∴555DE AD AE =-== ∴5522ED CF ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质 相似三角形的判定以及性质 全等三角形的判定以及性质 勾股定理 正确画出辅助线是解题的关键．二 填空题13．如图 已知ABC 中 已知点D E 分别在边AB AC 上 DE BC ∥ :1:3AD BD = 若DBE 的面积为3 则CBE △的面积为 ．【答案】12【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值【分析】本题考查平行线分线段成比例 根据同高三角形的面积比等于底边比 求出ABE 的面积 平行线分线段成比例得到:1:3AE CE = 再根据同高三角形的面积比等于底边比 求出CBE △的面积即可．【详解】解：∵:1:3AD BD =∴::1:3ADE BDE S AD BD S ==∵DBE 的面积为3∴ADE 的面积为1∴ABE 的面积4ADE BDE SS =+= ∵DE BC ∥∴::1:3AE CE AD BD ==∴::1:3ABE CBE S AE EC S ==∴CBE △的面积为12；故答案为：12．14．如图 ABD △和DEC 均为直角三角形 点C 为BD 中点 若25AD CE AB ED ⊥==，， 则BC 的长为 .5【知识点】相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质 根据题意可证ABD CDE ∽ 由相似三角形的性质可得AB BD CD DE= 根据点C 为BD 中点 设BC CD x == 则2BD x = 由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得 90B CDE ∠=∠=︒∵90E DCE DCE ADC ∠+∠=∠+∠=︒∴E ADC ∠=∠∴ABD CDE ∽ ∴AB BD CD DE= ∵点C 为BD 中点∴设BC CD x == 则2BD x = ∴225x x = 则25x = ∴1255x x =-， ∴5BC =5．15．如图 点D 为ABC 的AB 边上一点 2AD = 3DB =．若ABC ACD ∠=∠ 则AC 的长为 ．10【知识点】相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的性质 熟练运用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键．先证明相似 再利用相似三角形的对应边成比例计算即可．【详解】解：∵ABC ACD ∠=∠ A A ∠=∠ABC ACD ∴∽ ∴AC AD AB AC= 即223AC AC =+10AC ∴=10AC =- 舍去）． 1016．如图 点E 是平行四边形ABCD 边AD 延长线上一点 BE 交CD 于点H 如果13DH HC = 那么BO BH = ．【答案】47【知识点】相似三角形的判定与性质综合 利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质 相似三角形的判定与性质等知识 熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得AB CD ∥ AB CD = 结合13DH HC =可证明43AB CH = 再证明OCH OAB ∽ 由相似三角形的性质可得43BO HO = 即可获得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥ AB CD = ∵13DH HC = ∴34CH CD = ∴34CH CH CD AB == ∴43AB CH = ∵AB CD ∥∴OCH OAB ∽ ∴43BO AB HO CH == ∴47BO BH =． 故答案为：47．三 解答题17．已知：如图 ABC 中 20AB cm = 15BC cm = 12.5AD cm = DE BC ∥．求DE 的长．【答案】758cm 【知识点】相似三角形的判定与性质综合【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质 证明ADE ABC △△∽ 列出关于线段DE 的比例式 即可解决问题．【详解】解：如图 DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽ ∴AD DE AB BC= 又20AB cm = 15BC cm = 12.5AD cm =()12.51575208AD BC DE cm AB ⋅⨯∴===． 即DE 的长为758cm ． 18．如图 D 是ABC 的边AC 上的一点 连接BD 已知ABD C ∠=∠ 6AB = 4AD =(1)证明ABD ACB ∽；(2)求线段CD 的长．【答案】(1)见解析(2)5【知识点】证明两三角形相似 利用相似三角形的性质求解【分析】本题考查相似三角形的性质和判定（1）已知ABD ACB ∠=∠ BAD CAB ∠=∠ 根据两组对应角相等的三角形相似证明结论；（2）利用相似三角形对应边成比例先求出AC 的长 再算出CD 的长．【详解】（1）解：∵ABD ACB ∠=∠ BAD CAB ∠=∠ ∴ABD ACB ∽；（2）∵ABD ACB ∽ ∴AB AD AC AB = ∴646AC = 解得9AC = ∴945CD AC AD =-=-=．19．如图 在ABC 中 ABC ∠的平分线BD 交AC 边于点D 已知2ADB ABD ∠=∠．(1)求证：ABD ACB ∽；(2)若22DC AD == 求A ∠的度数．【答案】(1)详见解析(2)90° 详见解析【知识点】等腰三角形的性质和判定 判断三边能否构成直角三角形 相似三角形的判定与性质综合【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 勾股定理的逆定理等知识（1）由2ABC ABD ∠=∠ 2ADB ABD ∠=∠ 得ADB ABC ∠=∠ 而A A ∠=∠ 则ABD ACB ∽△△；（2）由相似三角形的性质得ABD C ∠= 因为ABD DBC ∠=∠ 所以C DBC ∠=∠ 求得2DB DC == 1AD = 所以3AC = 则23AB AD AC =⋅= 21AD = 24DB =，所以222AB AD DB += 则90A ∠=︒；证明ABD ACB ∽△△是解题的关键．【详解】（1）∵BD 平分ABC ∠∴2ABC ABD ∠=∠∵2ADB ABD ∠=∠∴ADB ABC ∠=∠∵A A ∠=∠∴ABD ACB ∽△△；（2）∵ABD ACB ∽△△∴ABD C ∠=∠ AB AD AC AB= ∵ABD DBC ∠=∠∴C DBC ∠=∠∵22DC AD ==∴1AD = 2DB DC ==∴123AC AD DC =+=+= ∵AB AD AC AB= ∴2133AB AD AC =⋅=⨯=∵2211AD == 2224DB ==∴2224AB AD DB +==∴ABD △是直角三角形 且90A ∠=︒∴A ∠的度数是90︒．20．如图 在矩形ABCD 中 8AB = P 为CD 边上一点 连接AP ．将ADP △沿AP 翻折点D 恰好落在BC 边上（点D ） 且4CD '=．(1)求证：ABD D CP ''∽△△；(2)求DP 的长；(3)求DP AD的值． 【答案】(1)见解析(2)5 (3)12【知识点】用勾股定理解三角形 矩形与折叠问题 相似三角形的判定与性质综合【分析】对于（1） 根据矩形的性质得90B C D ∠=∠=∠=︒ 进而根据题意得出BAD PD C ''∠=∠ 即可证明；对于（2） 设DP x = 则,8D P DP x PC DC DP x '===-=- 再根据勾股定理列出方程 求出解即可；对于（3） 根据ABD D CP ''∽△△ 可得12PD AD '=' 进而得出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形∴90B C D ∠=∠=∠=︒∴90AD B BAD ''∠+∠=︒．∵将ADP △沿着AP 翻折 点D 恰好落在边BC 边上（点D ）∴90AD P D '∠=∠=︒∴90AD B PD C ''∠+∠=︒∴BAD PD C ''∠=∠∴ABD D CP ''∽△△；（2）解：设DP x = 则,8D P DP x PC DC DP x '===-=-在Rt PD C '中 222PC D C PD ''+=即22(8)4x x -+=解得5x =即5DP =；（3）∵ABD D CP ''∽△△ ∴4182PD D C AD AB ''==='． 由折叠可知12DP D P AD AD '=='. 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题 相似三角形的性质和判定 勾股定理等 勾股定理是求线段长的常用方法．21．如图 在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系 已知ABC 中()()()1,22,14,5A B C -、、．(1)画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；(2)以原点O 为位似中心 在x 轴的上方画出222A B C △ 使222A B C △与ABC 位似 且222A B C △与ABC 相似比为2 并写出2C 的坐标．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析 2()8,10C【知识点】画轴对称图形 求位似图形的对应坐标 在坐标系中画位似图形【分析】此题考查的是作关于x 轴对称的图形和作位似图形 掌握位似图形的性质是解决此题的关键．（1）分别找出A B C 关于x 轴对称点111A B C 、、 然后连接111111A B AC B C 、、 如图所示111A B C △就是所求三角形；（2）连接OA 并延长至2A 使2AA OA =；连接OB 并延长至2B 使2BB OB =；连接OC 并延长至2C 使2CC OC =；连接222222A B A C B C 、、 如图所示 222A B C △就是所求三角形 再结合2C 的位置 可得其坐标．【详解】（1）解：如图 111A B C △即为所求作的三角形；（2）解：如图 222A B C △即为所求作的三角形；∵()()()1,22,14,5A B C -、、 222A B C △与ABC 位似 且位似比为2∴2()8,10C ．22．综合与探究问题情境：在ABC 中 AB AC = 在射线AB 上截取线段BD 在射线CA 上截取线段CE 连结DE DE 所在直线交直线BC 于点M ．猜想判断：（1）当点D 在边AB 的延长线上 点E 在边AC 上时 过点E 作EF AB ∥交BC 于点F 如图①．若BD CE = 则线段DM EM 的大小关系为_______．深入探究：（2）当点D 在边AB 的延长线上 点E 在边CA 的延长线上时 如图②．若BD CE = 判断线段DM EM 的大小关系 并加以证明．拓展应用：（3）当点D 在边AB 上（点D 不与A B 重合） 点E 在边CA 的延长线上时 如图③．若1BD = 4CE = 0.7DM = 求EM 的长．【答案】（1）=DM EM ；（2）=DM EM 理由见解析；（3） 2.8EM =【知识点】全等三角形综合问题 等腰三角形的性质和判定 相似三角形的判定与性质综合【分析】（1）过点E 作EF AB ∥交BC 于点F 证明()AAS BDM FEM ≌即可得解；（2）过点E 作EF AB ∥交CB 的延长线于点F 证明()AAS BDM FEM ≌即可得解；（3）过点E 作EF AB ∥交CB 的延长线于点F 证明BDM FEM ∽ 由相似三角形的性质即可得解．【详解】（1）解：=DM EM 理由如下：过点E 作EF AB ∥交BC 于点F∵AB AC =ABC C ∴∠=∠∵EF AB ∥EFC ABC ∴∠=∠EFC C ∴∠=∠EF CE ∴=BD CE =BD EF ∴=∵EF AB ∥∴MEF D ∠=∠在BDM 和FEM △中D MEF BMD FME BD EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDM FEM ≌∴=DM EM ；（2）解：=DM EM理由如下：如图 过点E 作EF AB ∥交CB 的延长线于点F∵EF AB ∥EFC ABC ∴∠=∠ EFM DBM ∠=∠AB AC =ABC C ∴∠=∠EFC C ∴∠=∠EF CE ∴=BD CE =BD EF ∴=在BDM 和FEM △中EFM DBM BMD FME BD EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDM FEM ≌DM EM ∴=；（3）解：如图过点E作EF AB∥交CB的延长线于点F∵EF AB∥∴∠=∠F ABC=AB AC∴∠=∠ABC C∴∠=∠F CCE=4∴==4EF CE∥BD EF∴∽BDM FEMMD BD∴=ME FEDM=40.7BD=EF=10.71∴=4ME∴=．2.8EM【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．。

第23章图形的相似单元测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（）A.1、2、3、4B.2、3、4、5C.4、5、5、6D.1、2、10、202. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0, 0)，A(4, 3)，B(3, 0)．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标（）A.(−1, −1)B.(−43, −1) C.(−1, −43) D.(−2, −1)3. 如图，下列条件不能使△ABD和△AEC相似的有()A.∠B=∠CB.ABAC =BDECC.∠ADB=∠AECD.ADAB=AEAC4. 已知xy =23（x，y为正数），下列各式中正确的是（）A.x+yx =5 B.yx+y=13C.y+3x+2=32D.y−xx+y=255. 如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“车”在(2,−1),“炮”在(−1,−1),则“马”在()A.(−2,1)B.(−2,−1)C.(1,1)D.(1,2)6. 我们把顶角为36∘的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，在黄金三角形ABC中，已知BC AB =ABAB+BC，若AB=10，则BC的长为（）A.15−5√5B.5√5−5C.152D.3√57. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB是()A.4米B.4.5米C.5米D.5.5米8. 如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE // BC，EF // CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（）A.AF DF =DEBCB.AFBD=ADABC.DFDB=AFDFD.EFCD=DEBC9. 对于点A(3, −4)与点B(−3, −4)，下列说法不正确的是（）A.将点A向左平移6个单位长度可得到点BB.线段AB的长为6C.直线AB与y轴平行D.点A与点B关于y轴对称10. 下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似．其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 图中的两个四边形相似，则x+y=________，a=________．12. 如果甲图形上的点P(−2, 4)经平移变换后是Q(3, −2)，则甲图上的点M(1, −2)经这样平移后的对应点的坐标是________．13. 已知点A(−2m+4, 3m−1)关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是________.14. 已知：在△ABC中，P是AB上一点，连接CP，当满足条件：∠ACP=________或∠APC=________或AC2=________时，△ACP∽△ABC．15. △ABC∽△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′∽△A″B″C″的相似比为k2，则△ABC∽△A″B″C″的相似比为________．16. 如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90∘，得△A′B′O，则点A′的坐标为________．17. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为________．18. 为了测量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，测量了同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5米和3米，如果小明身高为1.5米，那么旗杆的高度为________米．19. 如图，在Rt△ABC∠B=90∘,AB,=3,BC=4，点D、E分别是AC，BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，C′F，交BC于点G，当△CFG，△ABC相似时，CF的长为________．20. 已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0, 2)、B(3, 3)、C(2, 1)．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 在Rt△ABC中，∠A=30∘，∠C=90∘，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE=6cm，求BC的长．22. 在一张比例尺为1:500的建设图纸上，一个三角形花坛的周长是3.6cm，则花坛的实际周长是多少？若花坛地基的面积是20m2，则画在图上的面积是多少？的23. 如图，△ABC的中线AE，BD相交于点G，DF // BC交AE于点F，求FGAE值．24. 如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP=∠CBP.(1)求证：△ADP∼△BCP；(2)△ADP与△BCP是不是位似图形？并说明理由；(3)若AB=8，CD=4,DP=3，求AP的长．25. 如图，△ABC与△ADE是位似三角形．（1）判断BC与DE的位置关系；（2）若AE=2，AC=4，AD=3，求△ADE与△ABC的相似比及AB的长度．26. 如图，是一块学生用的直角三角板ABC，其中∠A=30∘，斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边间的距离都是1cm，延长DE交BC于点M，延长FE交AB于点N．（1）判断四边形EMBN的形状，并说明理由；（2）求△DEF的周长．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【解答】A.4×1≠2×3，故本选项错误；B.2×5≠3×4，故本选项错误；C.4×6≠5×5，故本选项错误；D.1×20＝2×10，故本选项正确；2.【解答】∵ 以点O为位似中心，位似比为13，而A (4, 3)，∵ A点的对应点C的坐标为(−43, −1)．3.【解答】解：选项A，若∠B=∠C，已知∠A=∠A，可以判定△ABD和△AEC相似；选项C，若∠ADB=∠AEC，已知∠A=∠A，可以判定△ABD和△AEC相似；选项D，若ADAB =AEAC，即ADAE=ABAC，已知∠A=∠A，可以判定△ABD和△AEC相似.故选B.4.【解答】解：∵ xy =23的两内项是y、2，两外项是x、3，∵ x=23y，y=32x，2y=3x．A、由原式得，x+y=5x，即y=4x，故本选项错误；B、由原式得，3y=x+y，即x=2y，故本选项错误；C、由原式得，2y+6=3x+6，即2y=3x，故本选项正确；D、由原式得，5x−5y=2x+2y，即3x=7y，故本选项错误．故选C．5.【解答】解：∵ 在象棋盘上建立直角坐标系，使“车”在(2,−1),“炮”在(−1,−1)，∵ 可得出原点位置在棋子炮向右一个单位再向上一个单位的位置，∵ “马”位于点：(−2, 1).故选A.6.【解答】解：∵ BCAB =ABAB+BC，AB=10，∵ BC2+10BC−100=0，解得BC=5√5−5．故选：B．7.【解答】解：∵ ∠DEF=∠DCB=90∘，∠D=∠D，∵ △DEF∼△DCB，∵ DEDC =EFCB，∵ DE=0.4m，EF=0.2m，CD=8m，∵ 0.48=0.2CB，∵ CB=4(m)，∵ AB=AC+BC=1.5+4=5.5（米）．故选D.8.【解答】A、∵ EF // CD，DE // BC，∵ AFDF =AEEC，AEAC=DEBC，∵ CE≠AC，∵ AFDF ≠DEBC．故本答案错误；B、∵ DE // BC，EF // CD，∵ AEAC =ADAB，AEAC=AFAD，∵ AFAD =ADAB，∵ AD≠DF，∵ AFBD ≠ADAB，故本答案错误；C、∵ EF // CD，DE // BC，∵ AFDF =AEEC，AEEC=ADBD，∵ AFDF =ADBD．∵ AD≠DF，∵ DFDB ≠AFDF，故本答案错误；D、∵ DE // BC，EF // CD，∵ DEBC =AEAC，EFCD=AEAC，∵ EFCD =DEBC，故本答案正确．9.【解答】解：如图所示：A、将点A向左平移6个单位长度可得到点B，此命题正确，不符合题意；B、线段AB的长为6，此命题正确，不符合题意；C、直线AB与x轴平行，此命题不正确，符合题意；D、点A与点B关于y轴对称，此命题正确，不符合题意．故选：C．10.【解答】①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确；③四个角对应相等的两个梯形相似；在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误；④所有的正方形都相似，此选项正确．故正确的有2个．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18:4=x:8=y:6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．a=360∘−(77∘+83∘+115∘)=85∘．故答案为63，85∘．12.【解答】解：∵ 甲图形上的点P(−2, 4)经平移变换后是Q(3, −2)，∵ 将甲图形上的点横坐标加5，纵坐标减6，可得对应点的坐标．∵ 甲图上的点M(1, −2)经这样平移后的对应点的坐标是(1+5, −2−6)，即(6, −8)．故答案为：(6, −8)．13.【解答】解：∵ 点A(−2m+4, 3m−1)关于原点的对称点在第四象限，∵ −(−2m+4)>0，−(3m−1)<0，解得m>2，则m的取值范围是m>2.故答案为：m>2.14.【解答】证明：连接PC，∵ ∠A=∠A，∵ 当∠ACP=∠ABC或∠APC=∠ACB，或APAC =ACAB(AC2=AP⋅BP)时，△ACP∽△ABC，故答案为：∠ABC；∠ACB；AP⋅AB．15.【解答】解：∵ △ABC∽△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′∽△A″B″C″的相似比为k2，∵ AB:A′B′=k1①，A′B′:A″B″=k2②，①×②，得AB:A″B″=k1k2，∵ △ABC∽△A″B″C″的相似比为k1k2．故答案为k1k2．16.【解答】解：由图中可以看出，点A′(1, 3)，故答案为：(1, 3)．17.【解答】解：在△ABC和△AED中，∵ ∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，∵ △AED∼△ABC，∵ ABAE =BCED.又∵ DE=4，AE=5，BC=8，∵ AB=10．故答案为：10.18.【解答】解：因为人的身高人的影长=旗杆的高旗杆的影长，故旗杆的高度=人的身高×旗杆的影长人的影长=1.5×30.5=9m，旗杆的高度为9米．19.【解答】解：①当FG⊥BC时，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，∵ ∠C′=∠C,C′E=CE=2，∵ sin∠C=sin∠C′，∵ ABAC =EGC′E，∵ EG=1.2，∵ FG//AB，∵ CGBC =CFAC，即3.2 4=CF5，∵ CF=4；②当GF⊥AC时，如图，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，∵ ∠1=∠2=45∘，∵ HF=HE，∵ sin∠C=sin∠C′=EHC′E =ABAC，∵ EH=2×35=65，∵ C′H=√C′E2−EH2=85，∵ CF=C′F=C′H+HF=1.6+1.2=2.8.综上所述，当△CFG与△ABC相似时，CF的长为4或2.8.故答案为∵4或2.8.20.【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：(−6, 0)、(3, 3)、(0, −3)．故答案为：(−6, 0)、(3, 3)、(0, −3)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【解答】解：∵ DE⊥AC，∵ ∠DEA=90∘，∵ ∠C=90∘，∵ DE // BC，∵ △ADE∽△ABC，∵ 得DEBC =ADAB，∵ 点D是斜边AB的中点，∵ AD=12AB，∵ DEBC =12∵ DE=6cm，∵ BC=12cm．22.【解答】解：设图上的花坛为△ABC，实际中的花坛为△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1500，由相似三角形的性质可得：C△ABCC△A′B′C′=1500，即 3.6C△A′B′C′=1500，解得C△A′B′C′=1800cm=18m，即花坛实际周长为18m；S△ABC S△A′B′C′=(1500)2=1250000，且20m2=200000cm2，∵ S△ABC200000=1250000，解得S△ABC=0.8cm2，即画在图上的面积为0.8cm2．23.【解答】解：∵ △ABC的中线AE，BD相交于点G，∵ AG=2GE，BG=2DG；∵ DF // BC，∵ EG:FG=BG:DG=2，∵ EG=2FG；∵ AG=4FG，AE=6FG，∵ FGAE =FG6FG=16，即FGAE 的值为16．24.【解答】(1)证明：∵ ∠DAP=∠CBP，∠DPA=∠CPB，∴ △ADP∼△BCP；(2)解：△ADP与△BCP不是位似图形，因为它们的对应边不平行；(3)∵ △ADP∽△BCP，∴APDP =BPCP，又∠APB=∠DPC，∴ △APB∽△DPC，∴APPD =ABCD，即AP3=84，解得，AP=6．25.【解答】解：（1）∵ △ABC与△ADE是位似三角形，∵ BC // DE；（2）∵ △ABC与△ADE是位似三角形，∵ △ABC∽△ADE，∵ AEAC =DAAB，∵ 24=3AB=12，解得：AB=6，∵ △ADE与△ABC的相似比为：1:2，AB的长度为6．26.【解答】解：（1）∵ 空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，∵ EM // BN，EN // MB，∵ 四边形EMBN是平行四边形；（2）连接BE，作EH⊥BC，FG⊥BC，则CG=1cm．∵ 直角△ABC中，∠A=30∘，∵ BC=12AB=12×8=4．∵ E到AB与到BC的距离相等，∵ BE平分∠ABC．∵ ∠EBN=30∘．在直角△BHE中，tan∠EBH=EHBH=√3EH=√3．∵ BH=EHtan30∘∵ EF=NG=4−BH−CG=4−√3−1=3−√3．在直角△DEF中，∠D=30∘，∵ DE=2EF=6−2√3，DF=√3EF=3√3−3．∵ △DEF的周长是EF+DE+DF=3−√3+6−2√3+3√3−3=6．。

第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝1，b＝2，c＝6，d＝3D．a＝2，b＝5，c＝15，d＝2 32．下列各组图形中有可能不相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为( )A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶254．如图，△ABO是△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O内，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为( )A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n)5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．0个6．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长1.5 m的标杆DF，量出DF的影长EF为1 m，再量出同一时刻旗杆AC的影长BC为6 m，则旗杆AC的高为( )A．6 m B．7 m C．8.5 m D．9 m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF 等于( )A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.259．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝( )A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，连结AP .对于下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②MP ·MD ＝MA ·ME ；③2CB 2＝CP ·CM .其中正确的是( )A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝________．12．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________．13．已知a 5＝b 7＝c 8，且3a －2b ＋c ＝9，则2a ＋4b －3c 的值为________．14．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC .若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．15．如图，△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE 于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG 与△BFD的面积之比为________．16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶3，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2 021次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2 021的位置，则点P2 021的横坐标为________．18．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m.19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足为点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．20．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC 与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝____________.(用含n的式子表示，n为正整数)三、解答题(21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分) 21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF(点A，B，C分别对应点D，E，F)，且△ABC与△DEF的相似比为2：1.(1)画出△DEF；(2)线段AC的中点变换后对应的点的坐标为________；(3)求△DEF的周长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．24．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A沿AC向点C以2 cm/s 的速度移动，到点C就停止移动，点Q从点C沿CB向点B以1 cm/s的速度移动，到点B就停止移动．(1)若点P，Q同时出发，则经过几秒S△PCQ＝2 cm2?(2)若点Q从点C出发2 s后点P出发，则点P移动几秒时△PCQ与△ACB相似？26．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1.B　2.A　3.C　4.D　5.A6．D　点拨：易证△DEF∽△ABC，所以DFAC＝EFBC，即1.5AC＝16，解得AC＝9 m．故选D.7．B8．B　点拨：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.∴ABBE＝CFBC.由AE＝12×3＝1.5，AB＝2，得BE＝2.5，∴22.5＝CF3.∴CF＝2.4. 9．D10．A　点拨：由题意可得AC＝2AB，AD＝2AE，∴ACAB＝ADAE.∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故结论①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴MPMA＝MEMD，即MP·MD＝MA·ME，故结论②正确．∵MPMA＝MEMD，∴MPME＝MAMD，又∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠MED＝90°.∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°＝∠APC，∠ACP＝∠M CA，∴△CAP∽△CMA，∴ACCM＝CPAC，即AC2＝CP·CM.∵AC＝2CB，∴2CB2＝CP·CM，故结论③正确．综上，正确的结论是①②③，故选A.二、11.412．160 km　点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为1500 000＝32x×105，解得x＝160.13．14　点拨：由a5＝b7＝c8，可设a＝5k，b＝7k，c＝8k.∵3a－2b＋c＝9，∴3×5k －2×7k ＋8k ＝9，∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14.14．S 1＝S 2　点拨：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ，∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2.15．2；1￿2；1￿6　16．(3，3)17．2 02018．14　点拨：作C H ⊥AB 于H ，交EF 于P ，如图，则CH ＝DA ＝42 m ，由题意知，CP ＝45 cm ＝0.45 m ，EF ＝15 cm ＝0.15 m.∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CBA ，∴EF AB ＝CP CH ，即0.15AB ＝0.4542，∴AB ＝14 m ，即铁塔的高度为14 m.19.163或3　点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.20.32×(34)n 点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝(32)2 .∴S 1＝34S.同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×(34)2 ，S 3＝34S 2＝32×(34)3 ，S 4＝34S 3＝32×(34)4 ，…，S n ＝32×(34)n .三、21.解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以∠H ＝∠D ＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以x ∶7＝12∶6，解得x ＝14.22．解：(1)△DEF 如图所示．(2)(2，1.5)(3)△DEF 的周长是DE ＋EF ＋DF ＝1＋2＋5.23．(1)证明：∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ，又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ＝90°，∴△BDE ∽△CAD .(2)解：∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝5.在Rt △ADB 中，AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12，又易知12·AD ·BD ＝12·AB ·DE ，∴DE ＝6013.24．解：∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，∴∠ABC ＝∠ADE ＝90°.∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝BC DE .∵BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m ，∴ABAB ＋8.5＝11.5，解得AB ＝17 m.故河宽AB 为17 m.25．解：(1)设经过t s S △PCQ ＝2 cm 2，则AP ＝2t cm ，CQ ＝t cm ，所以PC ＝(8－2t )cm ，由题意得12×(8－2t )t ＝2，整理得t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2±2，所以点P ，Q 同时出发，经过(2＋2)s 或(2－2)s S △PCQ ＝2 cm 2.(2)设点P 移动a s 时△PCQ 与△ACB 相似，则AP ＝2a cm ，CQ ＝(2＋a )cm ，所以PC ＝(8－2a )cm ，当△PCQ ∽△ACB 时，CP CA ＝CQ CB ，即8－2a 8＝2＋a 6，解得a ＝85.当△PC Q ∽△BCA 时，CP CB ＝CQ CA ，即8－2a 6＝2＋a 8，解得a ＝2611.综上所述，点P 移动85 s 或2611s 时△PC Q 与△ACB 相似．26．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝45，∴AE ＝CE ＝25，∴AE BD ＝254＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC ＝4 5，CE ＝2 5，CD ＝4，∴AEBD ＝AC ＋CEBC ＋CD ＝4 5＋2 58＋4＝52.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴CE CA ＝CD CB ，∠EDC ＝∠ABC ＝90°.如题图②，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CE CA ＝CD CB仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴AEBD ＝AC BC.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋82＝4 5.∴ACBC＝4 58＝52，∴AEBD＝52，∴AEBD的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 5；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝AC2－CD2＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵AEBD＝52，∴BD＝12 5 5.综上，BD的长为4 5或12 5 5.。

华东师大版九年级数学上册《第23章图形的相似》单元测试卷及参考答案一、单选题1．在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，连接DE 、DF ，如果DE AC ∥，DF//AB ，且:12AE EB =:那么:AF FC 的值是（ ） A ．3B ．13C ．2D ．122．下列选项中，能确定物体位置的是（ ） A ．距离学校500米B ．季华路C ．东经120︒，北纬30︒D ．北偏西60︒3．如图，在ABCD 中，F 为AD 的中点，E 为CD 上的一点，连接EF 交BD 于点G ，交BA 的延长线于点M ，DE=2，CE=4，DG=3，则BD 的长为（ ）A ．12B ．15C ．16D ．4634．如图，在ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，BCD ∠的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB EA EC ==，那么下列结论①30ACE ∠=︒，①OE DA ∥，①ABCDSAC AD ⋅=，①CE DB ⊥．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（ ） A ．18 B ．12C ．24D ．306．如图，在ABC 中，AB =AC ，①A =36°，BD 平分①ABC 交AC 于点D ，CE 平分①ACB 交BD 于点E ，若AD =555，则BE =（ ）A ．4B ．557C ．155-D ．105207．如图，直线1l //l 2//l 3，直线AC 分别交1l ，2l 和3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l ，2l 和3l 于点D ，E ，F 。

若23AB BC =，则DEDF 的值为（ ）A ．23B ．25C ．35D ．528．已知()104a cb d b d ==+≠，则224ac bd ++的值为（ ）A ．116 B ．23C ．14D ．189．如图，反比例函数ky x=的图象上有A ，B 两点，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，交OA 于点C ．若2AC OC =，BOC 的面积为2，则k 的值为（ ）A ．92B ．92-C ．72D ．72-10．如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合）45EBM ∠=︒，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交边CD 于点M ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．AEF CBF ∆∆∽B ．CMG BFG ∆∆∽C ．ABG CFB ∆∆∽D ．ABF CBG ∆∆∽11．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4）二、填空题12．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，两个正方形在原点O 同侧，点A 、B 、E 在x 轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD 的边长为2，则点F 的坐标为 ．13．如图，在ABC 中，AD //BC ，OA ：OC ＝1：3，AP ＝3，则PB 的值是 ．14．如图，在ABC 中90BAC ∠=︒，点G 为ABC 的重心，若6AC =，1tan 3ABG ∠=那么AG 的长等于______．15．如图，在Rt ABC 纸板中，AC=4，BC=3，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪一次剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP 长的取值范围是 ．16．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AB 上，且DE ①AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE =，那么GF AB的值等于 ．17．已知ADC △中90ADC ∠=︒，AB 交CD 于E ，且AB AC = 45BCD ∠=︒ :9:7DE CE = 22BC =则AE 的长度为 .18．如图，在矩形ABCD 中，CD=4，点E 在AD 边上，且43AE =，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点G 、H 与点C 在同一条直线上，GH 与边AD 交于点O ，当3DO =时，BF 的长为 ．19．如图123l l l ∥∥，若1AD =，BE=3，CF=6，则ABBC的值为 ．20．如图，在边长为23ABCD 中30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE 沿直线AE 翻折至AFE △的位置，AF 与CD 交于点G ，则CG 的长为 ．三、解答题21．在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．若点E 是BC 上的一个动点． （1）如图1，若F 为DE 的中点，求证：CF ＝DF ；（2）如图2，连接DE ，交AC 与点F ，当DE 平分①CDB 时，求证：AF 2；（3）如图3，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG ①BC 于点G ，求证：CG ＝12BG ．22．在①ABC 中,AB=AC=5,BC=6,D,E 分别是边AB,AC 上的两个动点(D 不与A,B 重合),且保持DE①BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG.(1)当FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；(2)设AD=x ，①ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)当①BDG 是等腰三角形时，请直接写出AD 的长.23．已知在菱形ABCD 中60BAD ∠=︒，点M 在AB 上，点E 在线段BD 上，将射线ME 绕点M 顺时针旋60︒，得到射线MF 交直线BC 于点F ，连接EF ．【问题发现】（1）如图1，当点M 与点A 重合时，线段ME 和MF 之间的数量关系为__________． 【类比探究】（2）如图2，当点M 在AB 边上时，题（1）中的结论是否成立？并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，当点M 在BA 延长线上时，EF 交线段AB 于点N ，射线ME 和AD 交于点Q ，且经过点C ，若AQ ED =，求BFBM的值． 24．如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()()()1,4,4,2,3,5A B C ，请回答下列问题：(1)画出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △． (2)直接写出111A B C 、、的坐标． (3)点P 是y 轴上一点且4=PABS，请求出点P 的坐标．25．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在同一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．(1)求证：MFC MCA △∽△； (2)求BECF的值； (3)若2,4DM CM ==，求正方形AEFG 的边长．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A C B D B D 题号 11 答案 A1．C 2．C 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．D 11．A 12．(9,6) 13．9 141315．904CP ≤≤16．106317．15218．8319．2320．3221．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 22．(1)125；(2) ()236,0225y x x =<<或 22424,(25)255y x x x =-+≤<； (3) 12573或2511或207；23．【问题发现】（1）ME MF =；【类比探究】（2）见解析；【拓展延伸】（351-24．(1)见解析(2)()()()1,4,4,2,3,5--- (3)()0,2或220,3⎛⎫ ⎪⎝⎭25．(1)见解析 2 655。

第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若2x －7y ＝0，则x y等于( )A.72 B ．－27 C.27 D ．－722．在平面直角坐标系中，作点A (3，4)关于x 轴对称的点A ′，再将点A ′向左平移6个单位长度，得到点B ，则点B 的坐标为( )A ．(4，－3)B ．(－4，3)C ．(－3，4)D ．(－3，－4)3．在比例尺为1:150 000的某城市地图上，若量得A 、B 两所学校的距离是4.2厘米，则A 、B 两所学校的实际距离是( )A ．630米B ．6 300米C ．8 400米D ．4 200米4．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为3:1，且△ABC 的面积与△DEF 的面积和为20，则△DEF 的面积为( )A ．5B ．2C ．15D ．185．如图，将平行四边形AEFG 变换到平行四边形ABCD ，其中E ，G 分别是AB ，AD 的中点，下列叙述不正确的是( )A ．这种变换是位似变换B ．对应边扩大到原来的2倍C ．各对应角度数不变D ．面积扩大到原来的2倍(第5题) (第6题) (第7题)6．如图，在△ABC 中，AD ＝DE ＝EF ＝FB ，AG ＝GH ＝HI ＝IC ，已知BC ＝2a ，则DG ＋EH ＋FI 的长是( )A ．aB ．4aC ．3aD ．2a7．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)8．如图，在△ABC 中，AB ＝7 cm ，AC ＝4 cm ，点D 从B 点以每秒2 cm 的速度向点A 移动，点E 从A 点以每秒1 cm 的速度向点C 移动，若D 、E 同时出发，同时停止且停止时△ADE与△ABC相似，则经过的时间是( )A.2815s B.73s C.2815s或4918s D.73s或4918s(第8题) (第9题)9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，则线段EF的长为( )A．2 5 B. 5 C.455 D.25510．如图①，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle，1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard，1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：如图②，在等腰三角形DEF中，DF＝EF，FG是△DEF的中线，若点Q为△DEF的布洛卡点，FQ＝9，FGDE＝2，则DQ＋EQ＝( )A．10 B.9＋922C．6＋63D．72二、填空题(每题3分，共18分)11．平面直角坐标系中，将点A(－1，2)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为________．12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC∽△DEF，需要添加的一个条件是____________．(写出一种情况即可)13．如图，有一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB:CD等于________．(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14．如图，点D，E是△ABC的边AB，AC上的点，已知F，G，H分别是DE，BE，BC的中点，连结FH，FG，GH，若BD＝8，CE＝6，∠FGH＝90°，则FH＝________．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD均在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是________________________．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有________个．三、解答题(17题6分，21题10分，22题12分，其余每题8分，共52分)17．已知ab＝29，求2a－3ba＋b的值．18.如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，过C 点作CE ⊥BC 交∠ABC 的平分线BE 于点E ，连结AE ，D 是BE 上的一点，且∠BAD ＝∠CAE .求证：△ABD ∽△ACE .19．如图，在直角坐标系中，△ABO 三个顶点及点P 的坐标分别是O (0，0)，A (4，2)，B (2，4)，P (4，4)，以点P 为位似中心，画△DEF 与△ABO 位似，且相似比为1:2，请在直角坐标系中画出符合条件的△DEF .20．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知折痕AE ＝5 5cm ，且EC FC ＝34.(1)求证：△AFB ∽△FEC ；(2)求矩形ABCD 的周长．21．有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120 cm ，高AD ＝80 cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2:5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示，AD 交PQ 于K ，交EH 于R .(1)求矩形纸片较长边EH 的长；(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．22．如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，AD AB ＝A ′D ′A ′B ′.(1)当CD C ′D ′＝AC A ′C ′＝AB A ′B ′时，求证△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC ′D ′＝AC A ′C ′＝BC B ′C ′时，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．答案一、1．A　2．D　3．B　4．B　5．D6．C　点拨：∵AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，∴DG∥EH∥FI∥BC，∴ADAB＝DGBC，即DG＝14BC；同理可得EH＝12BC，FI＝34BC；∴DG＋EH＋FI＝14BC＋12BC＋34BC＝32BC＝3a.故选C.7．A8．C　点拨：设经过t s△ADE与△ABC相似．∵点D从B点以每秒2 cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1 cm的速度向点C 移动，D、E同时出发，同时停止，∴BD＝2t cm，AE＝t cm.∵AB＝7 cm，∴AD＝AB－BD＝(7－2t)cm.分两种情况：①当△ADE∽△ABC时，ADAB＝AEAC，即7－2t7＝t4，解得t＝2815；②当△AED∽△ABC时，AEAB＝ADAC，即t7＝7－2t4，解得t＝4918.综上所述，经过2815s或4918s时，△ADE与△ABC相似．故选C.9．B　点拨：设EF交AC于O，∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，∴AC⊥EF，AO＝CO.在矩形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO.又∵∠FOC＝∠EOA，∴△FOC≌△EOA，∴FO＝EO.在Rt△ACD中，AC＝22＋42＝2 5，∴CO＝5.∵∠FOC＝∠D＝90°，∠FCO＝∠ACD，∴△FOC∽△ADC，∴FOAD＝COCD，即FO2＝54，∴FO＝5 2 .∴EF＝2FO＝2×52＝5.故选B.10．A　点拨：∵DF＝EF，FG是△DEF的中线，∴DG＝GE，FG⊥DE，∠FDE＝∠FED.∵FG DE ＝2，∴设DE ＝x ，则FG ＝2x ，DG ＝12x ，∴EF ＝DF ＝FG 2＋DG 2＝2x 2＋14x 2＝32x .∵点Q 为△DEF 的布洛卡点，∴∠QDF ＝∠QED ＝∠QFE ，且∠FDE ＝∠FED ，∴∠QDE ＝∠QEF ，∴△DQE ∽△EQF ，∴DQQE ＝QE QF ＝DE EF ＝23，∴QE ＝6，DQ ＝4，∴DQ ＋EQ ＝10.故选A.二、11．(－3，3)12．∠A ＝∠D (答案不唯一)13．2:314．5　点拨：∵F ，G 分别是DE ，BE 的中点，∴FG ＝12BD ＝4.∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点，∴GH ＝12CE ＝3，由勾股定理，得FH ＝FG 2＋GH 2＝42＋32＝5.15．(－4，0)或(2，65)　点拨：如图，连结FC 并延长交x 轴于点M ，由题意可得△MOC ∽△MAF ，则CO AF ＝MO MA ＝23，∴MO MO ＋2＝23，解得MO ＝4，故M 点的坐标为(－4，0)．连结OE 交AB 于点N ，易得△OAN ∽△EFN ，则OA EF ＝AN FN ＝23，解得AN ＝65，故N 点坐标为(2，65).综上所述，正方形OABC 和正方形ADEF 位似中心的坐标是(－4，0)或(2，65).16．3　点拨：设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x .若AB 边上存在点P ，使△PAD 与△PBC相似，那么分两种情况：①若△PAD∽△PBC，则AP:BP＝AD:BC，即x:(8－x)＝3:4，解得x＝247，经检验，x＝247是原方程的解；②若△PAD∽△CBP，则AP:BC＝AD:BP，即x:4＝3:(8－x)，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝2和x＝6都是原方程的解．故满足条件的点P有3个．三、17．解：∵ab＝29，∴设a2＝b9＝k，∴a＝2k，b＝9k，∴2a－3ba＋b＝4k－27k2k＋9k＝－23k11k＝－2311.18．证明：∵BA＝BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠ACB＝90°.又∵CE⊥BC，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.19．解：如图．20．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠AFE＝90°，∴∠CFE＋∠BFA＝90°，∠BFA＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，∴△AFB∽△FEC.(2)解：∵ECFC＝34，∴设EC＝3t cm，FC＝4t cm，则EF＝DE＝5t cm，∴AB＝CD＝8t cm.又由(1)可得△AFB ∽△FEC ，∴AB FC ＝BF CE ，即8t 4t ＝BF 3t ，∴BF ＝6t cm ，∴AF ＝10t cm.在R t △AEF 中，由勾股定理得(10t )2＋(5t )2＝(5 5)2，∴t ＝1(负值已舍去)，∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋BF ＋FC )＝2(8t ＋6t ＋4t )＝2×18＝36(cm )．21．解：(1)设EF ＝2x cm ，EH ＝5x cm.∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴EH BC ＝A R AD ，即5x 120＝80－2x 80，解得x ＝15，∴EH ＝15×5＝75(cm)，∴矩形纸片较长边EH 的长为75 cm.(2)小聪的剪法不正确．理由如下：设正方形的边长为a cm ，A R ＝AD －R D ＝80－2×15＝50(cm)，A K ＝(50－a )cm ，由题意，知△APQ ∽△AEH ，∴PQ EH ＝A KA R ，即a 75＝50－a 50，解得a ＝30，与边EH 平行的中位线＝12×75＝37.5(cm)．∵37.5≠30，∴小聪的剪法不正确．22．解：(1)CD C ′D ′＝AC A ′C ′＝ADA ′D ′；∠A ＝∠A ′(2)△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由如下：如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于点E ，D ′E ′交A ′C ′于点E ′.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC .同理，A′D′A′B′＝D′E′B′C′＝A′E′A′C′.∵ADAB＝A′D′A′B′，∴DEBC＝D′E′B′C′.∴DED′E′＝BCB′C′.同理，AEAC＝A′E′A′C′.∴AC－AEAC＝A′C′－A′E′A′C′，即ECAC＝E′C′A′C′.∴ECE′C′＝ACA′C′.∵CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′，∴CDC′D′＝DED′E′＝ECE′C′.∴△DCE∽△D′C′E′.∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°.∴∠ACB＝∠A′C′B′.∵ACA′C′＝CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.。

图形的相似单元测试卷姓名： 学号： 得分 （120分；90分钟）一、选择题（每题3分；共30分）1. 下列各组中的四条线段是比例线段的是（ ）A.1 cm ；2 cm ；20 cm ；40 cmB.1 cm ；2 cm ；3 cm ；4 cmC.4 cm ；2 cm ；1 cm ；3 cmD.5 cm ；10 cm ；15 cm ；20 cm 2. 若a 、b 、c 、d 是互不相等的正数；且a b =c d；则下列式子错误的是（ ）A .a b c d b d --= B.a b c d a b c d--=++ C.2222a cb d= D.1111a c b d ++=++3. 如图1所示；在河的一岸边选定一个目标A ；再在河的另一岸边选定B 和C ；使AB ⊥BC ；然后选定E ；使EC ⊥BC ；用视线确定BC 和AE 相交于D ；此时测得BD =120米；CD =60米；为了估计河的宽度AB ；还需要测量的线段是（ ）A.CEB.DEC.CE 或DE图1 图24. 如图2所示；将△ABO 的三边分别扩大一倍得到△A 1B 1C 1（顶点均在格点上）；它们是以P 点为位似中心的位似图形；则P 点的坐标是（ ）A.（－4；－3）B.（－3；－3）C.（－4；－4）D.（－3；－4） 5.如图3；点D 在△ABC 的边AC 上；要判断△ADB 与△ABC 相似；添加一个条件；不正确的是（ ）A.∠ABD =∠CB.∠ADB =∠ABCC. AB CB BD CD= D. AD AB AB AC =图3 图46. 如图4；阳光从教室的窗户射入室内；窗户框AB 在地面上的影长DE =1.8 m ；窗户下檐到地面的距离BC =1 m ；EC =1.2 m ；那么窗户的高AB 为（ ） m B.1.6 m C.1.86 m D.2.16 m7. 如图5；已知AD 为△ABC 的角平分线；DE ∥AB 交AC 于E ；如果23AE EC =；那么AB AC =（ ）A. 13B. 23C. 25D. 35图5 图68. 如图6；在△ABC 中；点D 在BC 上；BD ∶DC =1∶2；点E 在AB 上；AE ∶EB =3∶2；AD ；CE 相交于F ；则AF ∶FD =( ) ∶∶2 C.4∶∶49. 如图7；将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠；使点B 与CD 的中点B ′重合；若AB =2；BC =3；则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为（ ） ∶∶2 C.4∶∶9图7 图810. 如图8；在△ABC 中；AB =6 cm ；AC =12 cm ；动点D 从A 点出发到B 点止；动点E 从C 点出发到AD 运动的速度为1 cm/s ；点E 运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动；那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时；运动的时间是（ ）A.3 s 或4.8 sB.3 sC.4.5 sD.4.5 s 或4.8 s 二、填空题（每题4分；共24分）x 是m ；n 的比例中项；则22222111m x n x x ++--= . 12.如图9；小明在A 时测得某树的影长为2 m ；B 时又测得该树的影长为8 m ；若两次太阳的光线互相垂直；则树的高度为 .图9 13.如图10；Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的；如果AB =8；BE =4；DH =3；则△HEC 的面积为 .14.如图11；若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点；为使△PQR ∽△ABC ；则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的 .图1115.如图12；在Rt △ABC 中；∠ACB =90°；AC =BC =6 cm ；动点P 从点A 出发；沿AB 方向以每秒的速度向终点B 运动；同时；动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C运动；将△PQC 沿BC 翻折；点P 的对应点为点P ′.设点Q 运动的时间为t s ；若四边形QPCP ′为菱形；则t 的值为 .图12 图1316.如图13；在平面直角坐标系中；△ABC 的顶点坐标分别为（4；0）；（8；2）；（6；4）．已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标分别为（1；3）；（2；5）；若△ABC 与△A 1B 1C 1位似；则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为 .三、解答题（17题9分；21；22题每题12分；其余每题11分；共66分） 17. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边；且满足438324a b c +++==；a +b +c =12；试求a 、b 、c 的值；并判断△ABC 的形状.18. 如图14；△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－1；3）；B （－1；1）；C （－3；2）. （1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心；将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍；得到 △A 2B 2C 2；求出112212.C C A B A B SS △△：的值图1419.已知在△ABC中；∠ABC=90°；AB=3；BC=4；点Q是线段AC上的一个动点；过点Q作AC 的垂线交线段AB（如图15（1））或线段AB的延长线（如图15（2））于点P.图15（1）当点P在线段AB上时；求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时；求AP的长.20. 已知△ABC是等腰直角三角形；∠A=90°；D是腰AC上的一个动点；过点C作CE垂直BD 交BD的延长线于E；如图16（1）.的值；（1）若BD是边AC上的中线；如图16（2）；求BDCE的值.（2）若BD是∠ABC的平分线；如图16（3）；求BDCE图1621.如图17；在平面直角坐标系中；Rt△ABC的斜边AB在x轴上；点C在y轴上；∠ACB=90°；OA、OB的长分别是一元二次方程x2－25x+144=0的两个根（OA＜OB）；点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合）；过点D作直线DE⊥OB；垂足为E.（1）求点C的坐标；（2）连接AD ；当AD 平分∠CAB 时；求直线AD 对应的函数关系式；图17（3）若点N 在直线DE 上；在坐标平面内；是否存在这样的点M ；使得以C 、B 、N 、M 为顶点的四边形是正方形？若存在；请直接写出点M 的坐标；若不存在；说明理由.22.已知四边形ABCD 中；E 、F 分别是AB 、AD 边上的点；DE 与CF 交于点G . （1）如图18①；若四边形ABCD 是矩形；且DE ⊥CF ；求证：DE AD CFCD=;（2）如图18②；若四边形ABCD 是平行四边形；试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时；DE ADCFCD=成立？并证明你的结论；（3）如图18③；若BA =BC =6；DA =DC =8；∠BAD =90°；DE ⊥CF ；请直接写出DE CF的值.图18参考答案及点拨一、1. A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A7. B 点拨：易得△CDE ∽△CBA ；∴DE EC=AB AC.又由AD 平分∠BAC ；DE ∥AB 可得∠DAE =∠EDA ；∴AE =DE ；∴AB AC=AE EC=23.8. D 点拨：作DG ∥CE 交AB 于G.∴BD DC =BG GE=12；又AE EB =32；∴AE EG=94=AF FD . 9. D 点拨：本题运用方程思想；设CF =x ；则BF =3－x ；易得CF 2+CB ′2=FB ′2；即x 2+12=(3－x )2；解得x =43.由已知可证得Rt △FC B '∽Rt △B 'DG ；所以SS DGB B FC ''△△=(CF DB ') 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1342=169. 10. A 方法规律：本题运用分类讨论的思想；分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解. 二、11. 0点拨：易得x 2=mn ； ∴221m -x +221n -x +21x =21m -mn +21n -mn +1mn =()n m m n mn m n -+-- =0. 12. 4 m 13.503 点拨：设CE =x ；由△CEH ∽△CBA 得EH AB =CE CB ；即838-=4x x +；∴x =203；∴S △HEC =12×203×5=503.14. 乙 点拨：∵△PQR ∽△ABC ；∴PQ AB=24=PQ AB 上的高上的高=3PQ 上的高；∴PQ 上的高=6.故应是乙点.15. 2 点拨：连接PP ′交BC 于O ；∵四边形QPCP ′为菱形；∴PP ′⊥QC ；∴∠POQ = 90°.∵∠ACB =90°；∴PO ∥AC ；∴AP AB =COCB.∵点Q 运动的时间为t s ；∴APcm ；QB =t cm ；∴QC =（6－t ）cm ；∴CO =32t ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭-cm.∵AC =CB =6 cm ；∠ACB =90°；∴AB326t -；解得t =2. 16. (3；4)或（0；4）三、17. 解：设43a+=32b+=84c+=k ≠0；∴a =3k －4；b=2k －3；c=4ka +b +ca =3k －4；b =2k －3；c =4k －8代入得：3k －4+2k －3+4k －8=12.∴9k =27；即k =3.∴a =5；b =3；cb 2+c 2=9+16=25；a 2=52=25；∴b 2+c 2=a 2.∴△ABC 是直角三角形. 18. 解：（1）如答图1所示；△A 1B 1C 1即为所求；（2）易得△A 1B 1C 1的面积为12×2×2=2.答图1∵将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍；得到△A 2B 2C 2；∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴1122A B A B =12.∴SS C B A C B A 222111△△=⎪⎭⎫ ⎝⎛212=14.∴S C B A 222△S C B A 4111=△=4×S C B A 111△=2；SC B A 222△=8.19.（1）证明：∵∠A +∠APQ =90°；∠A +∠C =90°；∴∠APQ =∠C .在△APQ 与△ABC 中；∵∠APQ =∠C ；∠A =∠A ；∴△AQP ∽ △ABC .（2）解：在Rt △ABC 中；AB =3；BC =4；由勾股定理得：AC =5.①当点P 在线段AB 上时；∵△PQB 为等腰三角形；∴PB =PQ .由（1）可知；△AQP ∽△ABC ；∴PAAC=PQBC .即35PB -=4PB ；解得PB =43；∴AP =AB －PB =3－43=53; ②当点P 在线段AB 的延长线上时；∵△PQB 为等腰三角形. PB =BQ ；∴∠BQP =∠P ；∵∠BQP +∠AQB =90°；∠A +∠P =90°； ∴∠AQB =∠A ；∴BQ =AB ；∴AB =BP ；即点B 为线段AP 的中点；∴AP =2AB =2×3=6.综上所述；当△PQB 为等腰三角形时；AP 的长为53或6.20. 解：（1）设AD =x ；则AB =2x ；根据勾股定理；可得BDx .由题意可知△ABD ∽△ECD ；∴BD CD =AB EC ；可得ECx ；∴BD CE =52. (2)设AD =y ；根据角平分线定理及∠ACB =45°；可知AC=y +y ；由勾股定理可知BD.由题意可知△ABD ∽△ECD ；∴AB AD =ECED；在Rt△DEC 中；由勾股定理可得EC；∴BD CE=2.21. 解：（1）解方程x 2－25x +144=0；得：x 1=9；x 2=16.∵OA ＜OB ；∴OA =9；OB △AOC 中；∠CAB +∠ACO =90°；在Rt △ABC 中；∠CAB +∠CBA =90°.∴∠ACO =∠CBA ；∵∠AOC =∠COB =90°；∴△AOC ∽△COB .∴OC 2=OA ·OB =9×16=144；∴OC =12；∴C （0；12）.（2）在Rt △AOC 和Rt △BOC 中；∵OA =9；OC =12；OB =16；∴AC =15；BC =20；∵AD 平分∠CAB ；∴∠CAD =∠BAD .∵DE ⊥AB ；∴∠ACD =∠AED =90°.∵AD =AD ；∴△ACD ≌△AED ；∴AE =AC =15；∴OE =AE －OA =15－9=6.∴BE =10.∵∠DBE =∠ABC ；∠DEB =∠ACB =90°； ∴△BDE ∽△BAC ；∴DE AC=BE BC.∴15DE =1020；∴DE =152；∴D ⎪⎭⎫ ⎝⎛2156，. 设直线AD 对应的函数关系式为y =kx +b ；∵A （－9；0）；D ⎪⎭⎫⎝⎛2156，；∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,2156,09b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,29,21b k ∴直线AD 对应的函数关系式为y =12x +92. （3）存在.M 1（28；16）；M 2（14；14）；M 3（－12；－4）；M 4(2；－2). 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠A =∠ADC =90°；又∵DE ⊥CF ；∴∠ADE =∠DCF ；∴△ADE ∽△DCF ；∴DE CF =ADCD. (2) 解：当∠B +∠EGC =180°时；DECF =AD CD成立；证明如下：在AD 的延长线上取点M ；使CM =CF ；则∠CMF =∠CFM .∵AB ∥CD ；∴∠A =∠CDM ；∵∠B +∠EGC =180°；∴∠AED =∠FCB ；∴∠CMF =∠AED .∴△ADE ∽△DCM ；∴DE CM=AD CD ；即DE CF =ADCD. (3) 解：DE CF =2524.。

第23章　素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2023浙江金华期末)如图,已知△ABC,点D,E分别在边AB,AC的反向延长线上,且DE∥BC.若AE=4,AC=8,AD=5,则AB=( )A.5B.8C.10D.152.(2022浙江台州中考)如图所示的是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B,C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,-a)B.(-40,a)C.(-40,-a)D.(a,-40)3.(2023四川资阳安岳期末)如图,在△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,若∠CFE=55°,则∠ADE的度数为( )A.65°B.60°C.55°D.50°4.(2022江苏徐州中考)如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为( )A.5B.6C.163D.1735.【新情境·雷锋雕像中的黄金比】【方程思想】(2022湖南衡阳中考)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图所示的是按此比例设计的一座高度为2 m 的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m .参考数据:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)( )A.0.73 mB.1.24 mC.1.37 mD.1.42 m6.(2022山东东营中考)如图,点D 为△ABC 边AB 上任一点,DE ∥BC 交AC 于点E ,连结BE 、CD 相交于点F ,则下列等式中不成立的是( )A.AD DB =AE ECB.DE BC =DF FCC.DE BC =AE ECD.EF BF =AE AC 7.(2022重庆渝中巴蜀中学模拟)如图,菱形ABCD 中,点B 坐标为(2,1),点C 坐标为(1,0),点D 在y 轴正半轴上,以点C 为位似中心,在x 轴的下方作菱形ABCD 的位似图形菱形A'B'CD',并把菱形ABCD 的边长放大到原来的2倍,则点B 的对应点B'的横坐标是( )A.-1.5B.-0.5C.-2D.-18.(2023山西晋中榆次一中月考)如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD∶DC=2∶1,CE∶AE=2∶1,BE与AD相交于点F,则下列结论:①∠AFE=60°,②CE2=DF·DA,③AF·BE=AE·AC.其中正确的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个二、填空题(每小题4分,共20分)9.(2023四川成都二十中月考)如图,A(1,0),B(0,2),若将线段AB平移至A1B1,则a= ,b= .10.【主题教育·爱国主义教育】【跨学科·物理】(2022北京东城模拟)据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验,阐释了光的直线传播原理,如图1所示.如图2所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm,则蜡烛火焰的高度是 cm.图1 图211.【新独家原创】如图,点A是平面直角坐标系xOy中y轴上一点,其坐标为(0,-5).现以点A为圆心、13为半径作圆A,交x轴的负半轴于点B,则点B的坐标为 .第11题图 第12题图12.(2023吉林白城大安期末)如图,直线a∥b∥c,它们依次交直线m、n于点A、C、E 和B、D、F,已知AC=4,CE=6,BD=3,那么BF等于 .13.(2023山东日照东港新营中学月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.在△ABC内并排放入(不重叠)边长为1的小正方形纸片,最下面的一层小纸片的一条边都在AB上,首尾两个小正方形各有一个顶点分别在AC、BC上,依次这样摆放上去,则最多能摆放 个小正方形纸片.三、解答题(共48分)14.(2023湖南张家界永定期中)(8分)如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB=1,BC=3,DE=2,求DF的长.15.(2023吉林白城大安期末)(8分)按要求画图.(1)画出图①的另一半,使它成为一个轴对称图形;(2)画出图②绕O点按顺时针旋转90°后的图形;(3)画出图③按相似比为1∶2缩小后的图形.16.【一题多解】(2022陕西中考B卷)(10分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.17.【一线三等角模型】(2023湖南衡阳衡南一中月考)(10分)如图,在△ABC 中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.(1)求证:AC·CD=CP·BP;(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.18.【项目式学习试题】(2022陕西榆林榆阳模拟)(12分)紫云楼是大唐芙蓉园的标志性建筑.小强所在的“综合与实践”小组开展了测量“紫云楼高度”的实践活动.他们制订了测量方案,并完成了实地测量.为了减小误差,测量两点之间的距离时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量结果如下表:课题测量紫云楼的高度平面镜、皮尺等测量工具测量示意图说明:如图,小强先在地面上A处放置了一块平面镜,然后从A点向后退了一段距离至B处,他的眼睛F恰好看到了镜中紫云楼最高点E的像;再将平面镜向后移动一段距离放在C处,小强从C点后退一段距离至D处,眼睛G恰好又看到了紫云楼最高点E的像,已知小强眼睛距地面的高度FB=GD,且FB⊥OD,GD⊥OD,OE⊥OD,点O,A,B,C,D在同一条直线上测量项目第一次第二次第三次A、C之间的距离13.2米12.8米13米C、D之间的距离1.6米1.4米1.5米测量数据A、B之间的距离0.95米1.05米1米已知数据小强眼睛距地面的高度(FB、GD)1.5米根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出紫云楼的高度OE.(平面镜的厚度忽略不计)答案全解全析1.C ∵DE ∥BC ,∴AE AC =AD AB ,∵AE =4,AC =8,AD =5,∴48=5AB ,解得AB =10.2.B ∵飞机E (40,a )与飞机D 关于y 轴对称,∴飞机D 的坐标为(-40,a ).3.C ∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点,∴EF ∥AB ,DE ∥BC ,∴∠B =∠CFE =55°,∠ADE =∠B =55°.4.C 如图,∵CD ∥AB ,∴△ABE ∽△CDE ,∴AE CE =AB CD =42=2,∴S 阴影=23S △ABC =23×12×4×4=163.5.B 设下部的高度为x m,则上部高度为(2-x )m,∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,∴2―x x =x 2,解得x =5-1或x =-5-1(舍去),经检验,x =5-1是原方程的解,∴x =5-1≈1.24.6.C ∵DE ∥BC ,∴AD DB =AE EC ,故A 成立;∵DE ∥BC ,∴△EDF ∽△BCF ,∴DE BC =DF FC ,故B 成立;∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴DE BC =AE AC ≠AE EC ,故C 不成立;∵△EDF ∽△BCF ,∴EF BF =DE BC ,又∵AE AC =DE BC ,∴EF BF =AE AC ,故D 成立.7.D 如图,过点B 作BM ⊥x 轴于M ,过点B'作B'N ⊥x 轴于N ,则BM ∥B'N ,∴CM CN =CB CB′,∵把菱形ABCD 的边长放大到原来的2倍得到菱形A'B'CD',∴CB'=2CB ,∵点B 坐标为(2,1),点C 坐标为(1,0),∴OC =CM =1,∴CN =2,∴ON =1,∴点B'的横坐标是-1.8.A ∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC =AC ,∠BAC =∠ABC =∠BCA =60°,∵BD ∶DC =2∶1,CE ∶AE =2∶1,∴BD =CE ,∴△ABD ≌△BCE ,∴∠BAD =∠CBE ,∵∠ABE +∠EBD =60°,∴∠ABE +∠BAD =60°,∵∠AFE 是△ABF 的外角,∴∠AFE =60°,∴①正确;∵∠BFD =∠AFE =∠ABD =60°,∠BDF =∠ADB ,∴△BDF ∽△ADB ,∴BD AD =DF DB ,∴BD 2=DF ·DA ,∴CE 2=DF ·DA ,∴②正确;∵∠BAE =∠AFE =60°,∠FEA =∠AEB ,∴△AFE ∽△BAE ,∴AF AB =AE BE ,∴AF ·BE =AE ·AB ,∴AF ·BE =AE ·AC ,∴③正确.故选A .9.2;2解析　∵A (1,0),A 1(3,b ),B (0,2),B 1(a ,4),∴a =0+(3-1)=2,b =4-(2-0)=2.10.4解析　设蜡烛火焰的高度是x cm,由相似三角形的性质可得1015=x 6,解得x =4,即蜡烛火焰的高度是4 cm .11.(-12,0)解析　如图,连结AB ,∵点A 坐标为(0,-5),∴OA =5.∵☉A 的半径为13,∴AB =13,∴OB =AB 2―OA 2=132―52=12,∴点B 的坐标为(-12,0).12.7.5解析　∵直线a ∥b ∥c ,∴AC CE =BD DF ,∵AC =4,CE =6,BD =3,∴46=3DF ,解得DF =4.5,∵BD =3,∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5.13.16解析　如图,过点C 作CF ⊥AB 于点F.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,由勾股定理得AB =AC 2+BC 2=10,∴S △ABC =12AB ·CF =12AC ·BC ,∴CF =AC·BC AB =4.8,∴小正方形最多可以摆放4层.∵DE ∥AB ,∴△CED ∽△CAB ,∴DE AB =4.8―14.8,∴DE =9512≈7.9,∴最下面一层有7个小正方形.同理可得GH AB =4.8―24.8,∴GH =356≈5.8,∴从下往上数第二层有5个小正方形. 同理易得,从下往上数第三层有3个小正方形,最上面一层有1个小正方形,∴最多能摆放7+5+3+1=16个小正方形纸片.14.解析　∵AD ∥BE ∥CF ,∴AB BC =DE EF ,∵AB =1,BC =3,DE =2,∴13=2EF ,∴EF =6,∴DF =DE +EF =2+6=8,∴DF 的长为8.15.解析　(1)如图,图④为图①的另一半,整个图形为轴对称图形(答案不唯一).(2)如图,图⑤为图②绕O 点按顺时针旋转90°后的图形.(3)如图,图⑥为图③按相似比为1∶2缩小后的图形(答案不唯一).16.解析　解法1:(两次相似)∵AD ∥EG ,∴∠ADO =∠EGF ,∵∠AOD =∠EFG =90°,∴△AOD ∽△EFG ,∴AO EF =OD FG ,即AO 1.8=202.4,∴AO =15. 同理可得△BOC ∽△AOD ,∴BO AO =OC OD ,即BO 15=1620,∴BO =12,∴AB =AO -BO =15-12=3,故旗杆的高AB 是3米.解法2:(构造相似三角形)如图,过点C 作CM ⊥OD 交AD 于M ,易得△EGF ∽△MDC ,∴EF FG =CM DC ,即1.82.4=CM 20―16,∴CM =3,∵AB ∥CM ,AD ∥CB ,∴四边形ABCM 为平行四边形,∴AB =CM =3,故旗杆的高AB 是3米.17.解析　(1)证明:∵AB =AC ,∴∠B =∠C ,∵∠APD =∠B ,∴180°-∠B -∠APB =180°-∠APD -∠APB ,∵∠BAP =180°-∠B -∠APB ,∠CPD =180°-∠APD -∠APB ,∴∠BAP =∠CPD ,∴△ABP ∽△PCD ,∴AB CP =BP CD ,∴AB ·CD =CP ·BP ,∵AB =AC ,∴AC ·CD =CP ·BP.(2)由AB CP =BP CD ,得AB BP =CP CD ,∵PD ∥AB ,∴CP BC =CD AC ,∴CP CD =BC AC ,∴AB BP =BC AC ,∵AB =AC =10,BC =12,∴BP =AB·AC BC =10×1012=253,∴BP 的长是253.18.解析　由题意可得AB =1米,AC =13米,CD =1.5米,GD =FB =1.5米,设OA =x 米,则OC =(x +13)米,根据入射角等于反射角易得△AOE ∽△ABF ,△DCG ∽△OCE ,∴AB AO =FB OE ,DC OC =DG EO ,∴1x =1.5OE ,∴OE =1.5x 米,由 1.5x +13=1.51.5x ,得x =26,∴OE =1.5×26=39(米),故紫云楼的高度OE 是39米.。