【数学】高中数学综合训练系列试题(13)

第13题函数的图像I ．题源探究·黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．精彩解读 【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题 【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。

【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。

【例2】函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．习题1．2B 组第1题 【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。

【思路方法】函数图像解决函数问题是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。

高二数学高中数学综合库试题答案及解析1.函数在处的导数等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】解：2.若命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.函数在区间上的图像如图所示，则n可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】略4.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒【答案】C【解析】5.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略6.已知向量若则实数______，_______【答案】【解析】略7.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略10.已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】略11.已知抛物线C:过点。

（1）求抛物线的方程；（2）是否存在平行于OA（O为原点）的直线L，与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。

【答案】解：（1）将代入得，所以，抛物线的方程（2）假设存在直线L，设其方程为：由得因为直线L与抛物线有公共点，所以得又因为直线OA与L的距离等于可得得所以存在直线L，方程为：【解析】略12.（12分）在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD【答案】略【解析】略13.一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是______________.【答案】3,9,15，21,27,33,39,45,51,57【解析】略14.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

数学高中数学综合库试题1.若，，则的元素个数为A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】=，=，∴=，其中的元素个数为2，选C。

2.（本小题满分12分）已知0＜a＜的最小正周期，求.【答案】2(2＋m)【解析】解：因为为的最小正周期，故．因，又．故．由于，所以3.设的三个内角，向量，，若，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，所以，即，由题，即。

4.若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．【答案】；3【解析】数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项。

5.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD。

所以∠AEO为所求。

设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1，AO＝，AE=，于是。

解法二：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A（1，-1，0），D（-1，-1，0），S（0，0，）,E（）,则,因此可知cos,故选C.【考点】本题主要考查了多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．点评：解决该试题的关键是由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵抛物线的焦点为，准线为∴设，过点向准线作垂线，则∵，又∴由得，即，解得∴的面积为故选B【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题；【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；7.在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题13 多项式 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）若33223(2011)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-=__________．【答案】8- 【解析】 【分析】 【详解】令x 1,y 2==-，条件式立即化为3(2)248a b c d -=-+-，即2488a b c d -+-=-. 故答案为：8-.2．（2019·全国·高三竞赛）若a>b>，a+b+c=0，且12x x 、为20ax bx c ++=的两实根.则2212x x -的取值范围为______. 【答案】[)0,3 【解析】 【详解】由a+b+c=0，知方程20ax bx c ++=有一个实根为1，不妨设11x =. 则由韦达定理知2cx a=. 而a ＞b ＞c ，a+b+c=0，故 a ＞0，c ＜0，且a ＞-a-c ＞c. 则122c a -<<-. 故222144c x a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭. 从而，[)22120,3x x -∈.故答案为[)0,33．（2018·湖南·高三竞赛）四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____. 【答案】86 【解析】 【详解】设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234x x x x 、、、，则由韦达定理，得1234121314232434123124134234123418,,200,1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩设1232x x =-，则3462x x =，故()()12346232200x x x x +-+=-.又123418x x x x +++=，所以12344,14,x x x x +=⎧⎨+=⎩ 故()()1234123486k x x x x x x x x =++++=. 故答案为864．（2018·湖南·高三竞赛）已知n 为正整数，若22310616n n n n +-+-是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 【答案】811【解析】 【详解】因为()()()()225231061682n n n n n n n n +-+-=--+-，当21n -=±时，若()()8,55,31n n n ++=+=，则22310616n n n n +---是一个既约分数，故当3n =时，该分数是既约分数. 所以这个分数为811. 故答案为8115．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个非零实根成等比数列，则33a c b -=______.【答案】0 【解析】 【详解】设这三个根分别为2d dq dq 、、，由韦达定理得22222333d dq dq a d q d q d q b d q c ⎧++=-⎪++=⎨⎪=-⎩①②③÷②①得bdq a=-， 代入式③得3b c a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故330a c b -=.故答案为06．（2021·全国·高三竞赛）若实数a ，b 满足22(1)(1)2,411b a a b a b+--=+=+-则55a b -=_________．【答案】82 【解析】 【分析】 【详解】2222(1)(1)4(1)(1)(1)(1)4(1)(1)11b a b b a a a b a b+-+=⇔-++--=+-+-， 22()[()3]()2()244()41a b a b ab a b ab a b a b ab ab ⇔--+-----+=+--⇔=， 55223322()()()82a b a b a b a b a b -=+---=．故答案为：82.7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=.则55ax by +=______.【答案】20 【解析】 【详解】由3316ax by += ()()()3316ax by x y x y ⇒++=+()()()442216ax by xy ax by x y ⇒+++=+ ()42716xy x y ⇒+=+， ①227ax by += ()()()227ax by x y x y ⇒++=+ ()()()337ax by xy ax by x y ⇒+++=+()1637xy x y ⇒+=+， ②联立式①、②解得14x y +=-，38xy =-. 则4442ax by += ()()()4442ax by x y x y ⇒++=+()()()553342ax by xy ax by x y ⇒+++=+()55421620ax by x y xy ⇒+=+-=.故答案为208．（2019·全国·高三竞赛）设抛物线2y x =的一条弦PQ 被直线l ：()()11y k x k Z =-+∈垂直平分.则弦PQ 的长等于_______.【解析】 【详解】设直线PQ 的方程为1y x b k=-+（显然0k ≠，否则，l 不可能垂直平分PQ ）.由2,1,y x y x b k ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去x 并整理得20y ky bk +-=. 由PQ 与抛物线2y x =有两个不同交点，知上式的判别式大于零，即240k bk +>.①设PQ 的中点为M ，则有2M k y =-，22M kx bk =+.而M 在直线l 上，所以，2111122k k k bk ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭.②将式②代入式①整理得()()212220k k k k+-+<. 解得20k -<<. 又由k Z ∈，知1k =-.将1k =-代入式②，得1b =-.于是，直线PQ 的方程为1y x =-. 由21,y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2310x x -+=. 设1x 、2x 为其两根，根据韦达定理得 123x x +=，121x x =.故12PQ x =-==9．（2019·全国·高三竞赛）对正整数k ，方程()()222a kb kc k --=-的整数解组(),,a b c 有_____个． 【答案】无数 【解析】 【详解】取1,a b c ab k =+=-. 则22222c k a b kab k k -=-+-()()()2222222ak b k a b k a b k --=-++.因()()2222121121a b b b b b ab +=++=++=+，所以，()()222a kb kc k --=-.由b 的任意性知，方程有无数个解. 故答案为无数10．（2018·全国·高三竞赛）在复数范围内，方程()210x px p ++=∈R 的两根为α、β．若1αβ-=，则p =______．【答案】【解析】 【详解】，此时，p =此时，p =11．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成()221a b a N -+∈的形式，且不能被3整除的数有________个． 【答案】501. 【解析】 【详解】 设{}1,2,3,4,,1000S =，若221n a b =-+，则()3mod4n ≠.又()()2242211k k k =--+，()()2241111k k k +=+--+，()()22422121k k k +=+-+，因此，221n a b =-+当且仅当()3mod44n ≠.令(){|3mod44}A a S a =∈≡，(){|0mod3}B b S b =∈≡，则(){|3mod12}A B c S c ⋂=∈≡，因为250A =，333B =，84A B ⋂=，从而符合条件的数的个数为100025033384501--+=. 故答案为50112．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线C ：32()32f x x x x =-+，若对于任意实数k ，直线y kx b =+与曲线C 有且只有一个交点，则b 的取值范围为__________. 【答案】∅. 【解析】 【详解】直线y kx b =+与曲线C 联立，消去y 得：323(2)0x x k x b -+--=， 法1：由题设，该方程对任意的k ∈R ，均有且又只有一个实数解，设()323(2)g x x x k x b =-+--，则()236(2)g x x x k '=-+-，则()361220k ∆=--≤对任意的k ∈R 恒成立，这不可能成立， 故b 的取值范围为∅. 法2：设方程的根为0x ，则()()32203(2)x x k x b x x x mx n -+--=-++.由题意得，方程20x mx n ++=无解，或方程的根为0x .对比两边的系数得：000003325m x mx n mx k n k nx b b n x ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-⎩⎪=⎪⎩. 因为k R ∀∈，所以n R ∈，方程20x mx n ++=化为 20030bx x x x ++=. ()* （1）方程()*无解时，则200940bx x ∆=-<，即09b x >对任意00x ≠恒成立， 故b 的取值范围为∅.（2）方程()*有唯一的解0x ，则020094904b x x x b ∆=-=⇒=，于是22943049b b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，矛盾. 综上所述，b 的取值范围为∅. 故答案为：∅13．（2019·江苏·高三竞赛）若x +y －2是关于x 、y 的多项式2256x axy by x y ++-++的因式，则a －b 的值是________ . 【答案】1 【解析】 【分析】结合因式分解待定系数()()22562x axy by x y x y x by m ++-++=+-++，即可得解.【详解】由题：x +y －2是关于x 、y 的多项式2256x axy by x y ++-++的因式，所以()()22562x axy by x y x y x by m ++-++=+-++即()()()2222561222x axy by x y x b xy by m x m b y m ++-++=++++-+--所以1252126a b m m b m =+⎧⎪-=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，解得123a b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以a －b 的值是1.故答案为：1 【点睛】此题考查多项式因式分解，利用待定系数法求解系数，也可利用赋值法，结合特殊值求解.14．（2019·江西·高三竞赛）设x >0，且2217x x +=，则551x x +=____________ . 【答案】123 【解析】 【详解】2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以13x x +=. 由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以54325234111111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3(4771)=-+123=.故答案为：123．15．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 【答案】16815 【解析】 【详解】所求的和为()22221(1219)12192⎡⎤+++-+++⎣⎦1(361002470)2=-16815=.故答案为：16815．16．（2019·山东·高三竞赛）整数n 使得多项式f (x )=3x 3－nx －n －2，可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为______ . 【答案】192 【解析】 【详解】由题意知f (x )=(ax 2+bx +c )(dx +e )，其中a 、b 、cd 、e 均为整数，且不妨设(a ，d )=(1，3)或(3，1).若(a ，d )=(1，3)，则－5=f (－1)=(1－b +c )(－3+e )，所以(3)|(5)e -+-，得e =－2，2，4，8；又03e f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得33(36)e ne n =--，有3|e ，矛盾.若(a ，d )=(3，1)，一方面由－5=f (－1)得(e －1)|(－5)，有e =－4，0，2，6； 另一方面f (e )=0，得3e 3－ne －n －2=0，故可以求得n 的值为38，－2，26，130. 所以所求之和为192. 故答案为：192．17．（2019·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程()()2201000x a x a a +-+=≠的两根均为整数．则实数a 的值为______． 【答案】4024 【解析】 【详解】设方程的根为1x 、()212x x x ≤．由韦达定理得()122010x x a +=--，12x x a =．则12122010x x x x ++=，即()()12112011x x ++=．又因为2011为质数，所以，120,2010x x =⎧⎨=⎩或122012,2.x x =-⎧⎨=-⎩故0a =（舍）或4024a =．18．（2019·全国·高三竞赛）已知实系数方程3210ax x bx -+-=有三个正实根.则()23563a ab P a b a -+=-的最小值为______.【答案】108. 【解析】 【详解】设3210ax x bx -+-=的三个正实根为1v 、2v 、3v . 由韦达定理得1231v v v a++=， ① 122331bv v v v v v a++=， ② 1231v v v a=. ③ 由式①、②得0a >，0b >.由式①、③得1a≥ ④ 而()()2122331123213331b v v v v v v v v v ab a a ++≤++⇒⋅≤⇒≤. 故()()223356351a ab a P a b a a b a -++=≥--. 又()()()2313121231231231111222v v v v v v v v v v v v v v v a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-≤⇒---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()229410514a ab a a b a ⇒-+≥⇒+≥-.则()()3244108a b a P a b a a-≥=≥-.故当a =b =P 取最小值108. 故答案为10819．（2019·全国·高三竞赛）若123x x x 、、是关于x 的一元三次方程325510x x x -++=的三个两两不等的复数根，则代数式()()()222222112222333311x x x x x x x x x x x x ++++++的值为______．【答案】625 【解析】 【详解】 由韦达定理得1235x x x ++=，1223315x x x x x x ++=，1231x x x =-．则()()()222222112222333311x x x x x x x x x x x x ++++++333333233112122331x x x x x x x x x x x x ---=⋅⋅--- ()22112212551551x x x x x x -----=⋅- ()22223323551551x x x x x x ------ ()22331131551551xx x x x x -----⋅-()()()122331125111x x x x x x =+-+-+- ()()()312125444625x x x =---=.20．（2019·全国·高三竞赛）对x ∈R ，n +∈N ，定义()()11!nxx x x n C n --+=．设()P x 是一个6次多项式且满足()01P =，()()121,2,,6k P k k -==．用()1,2,,6kx C k =表示()P x =______．【答案】2461x x x C C C +++【解析】 【详解】由()01P =，知存在多项式()1Q x 使得()()11P x xQ x =+． 故()()11111P Q ==+，有()110Q =．又有多项式()2Q x 使得()()()121Q x x Q x =-，即()()()211P x x x Q x =+-． 故()()222122P Q ==+，有()2122Q =． 从而，又有多项式()3Q x 使得()()()23122Q x x Q x =-+．则()()()()23112x P x C x x x Q x =++--．又由()()343133!2P Q ==++，知()330Q =．故()()()343Q x x Q x =-，()()()()()241123x P x C x x x x Q x =++---． 进一步有()()()()()()24511234x x P x C C x x x x x Q x =+++----． 继续下去并利用()P x 是6次多项式可得()2461x x x P x C C C =+++．故答案为2461x x x C C C +++21．（2018·河北·高三竞赛）若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____.【答案】169- 【解析】 【详解】由柯西不等式得()()()2222122x y x y ++≥+，由已知得2223x y z +=-，()()22242x y z +=+，所以有()()225342z z -≥+，化简得291610z z ++≤，即max Z 、min Z 为方程291610z z ++=的两根，由韦达定理得max min 169Z Z +=-. 22．（2018·福建·高三竞赛）已知整系数多项式()543212345f x x a x a x a x a x a =+++++，若0f=，()()130f f +=，则()1f -=______．【答案】24 【解析】 【详解】设0x 0x (202x =，于是20032x -+=，2001x =+．所以()()2221x =+，42001010xx -+=．所以0x ()42101g x x x =-+的一个根．又0x所以()g x 整除()f x ．故()()()()()42101f x g x x r x x x r =-=-+-，r 为整数．所以()()18188f r r =--=-+，()()383248f r r =--=-+． 由()()130f f +=，得()()882480r r -++-+=，2r =．所以()()()421012f x x x x =-+-，()124f -=．23．（2018·全国·高三竞赛）设a 、b 、R c ∈.且满足方程组，222210110,450.a b c a a bc a ⎧++--=⎨---=⎩则ab bc ca ++的取值范围是__________.【答案】[]40,72- 【解析】 【详解】由题设得245bc a a =--，2221011b c a a +=-++.则()1b c a +====±+.由根与系数关系知，b 、c 是关于t 的一元二次方程()221450ta t a a ++--=的两个实根.由()()2214450a a a ∆=+---≥，解得17a -≤≤.令()()()2145f a ab bc ca a b c bc a a a a =++=++=±++--，所以，()()5212f a a a ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦或()()()5117f a a a =-+-≤≤.易知，当()()51f a a =-+时，()400f a -≤≤；当()()5212f a a a ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦时，()49728f a -≤≤.所以ab bc ca ++的取值范围是[]40,72.-24．（2018·全国·高三竞赛）设实数a 使得关于x 的一元二次方程2556617150x ax a -+-=的两个根均是整数.则所有这样的a 是__________. 【答案】870 【解析】 【详解】设两个整数根为1x 、2x ()12x x ≤.由根与系数关系得12a x x =+，从而，a 是整数.由原方程得251715857857135********x x x a x Z Z x x x ---==++∈⇔∈---()5857566x Z x -⇔∈-（因为5与566x -互质）5857664219566566Z Z x x -⨯+⇔∈⇔∈-- 5661x ⇔-=±或4219±（因为4219是质数） 13x ⇔=或857.所以，13857a =+或1313+或857857+，即870a =或26或1714. 由方程有整数根知5a ，这与26a =，1714矛盾.故870a =.25．（2018·全国·高三竞赛）设多项式()f x 满足()()22131101132f x f x x x ++-=++.则()f x =________. 【答案】2235x x ++ 【解析】 【详解】注意到()1f x +与()1f x -的次数相同，而右边为二次的，故()2f x ax bx c =++.代入题设等式并比较两边系数得2,3,5a b c ===.因此，()2235f x x x =++.26．（2018·全国·高三竞赛）已知关于x 的方程32450x x x a -++=（R a ∈）有三个实数根123,,x x x ．则{}123max ,,x x x 的最大值为______．【答案】2 【解析】 【详解】不妨设{}3123max ,,x x x x =．由韦达定理得()()12312312312331223314,4,5545x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=-++=⎧⎧⇒⎨⎨=-+=--++=⎩⎩．于是，以1x 、2x 为根的一元二次方程为()()23334540x x x x x ---+-= ()()2233333445403840x x x x x ⎡⎤⇒∆=----≥⇒-+≤⎣⎦3223x ⇒≤≤． 当32x =时，121x x ==，2a =-． 故{}123max ,,x x x 的最大值为2．27．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式202020192020201910()P x a x a x a x a =++++有2020个非零实根（可以有重根），其中012020,,,a a a 为非负整数，求()2020P 的最小值．【答案】20202021 【解析】 【详解】设2020个非零实根为122020,,,x x x ，易知02020,1a a ≥．当0x ≥时，()0P x >，所以0i x <． 由均值不等式知2021202020211,2,,2020)i x i--=．这2020个式子相乘，得()20202020202020201(2020)20202021i i P a xa ==-∏202020202021a =2020202020212021=．当2020()(1)P x x =+时，等号成立．故()2020P 的最小值为20202021． 故答案为：20202021.28．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程20x ax b ++=有两个不同的实数根，则()432210x ax b x ax ++--+=有______个不同的实数根. 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】设1x 与2x 是方程20x ax b ++=的两个不同的根. 由韦达定理知12x x a +=-，12x x b =.不难验证,()43221x ax b x ax ++--+()()()23212121221x x x x x x x x x x =-++-+++()()221211x x x x x x =----,剩下只需证明,方程221210,?10x x x x x x --=--=的根是实数且两两不同. 事实上,这两个方程的判别式显然都是正的,所以个有两个不同的实数根，而若x 是这两个方程的公共根,则有()211x x x ---(()22211)0x x x x x x --=-=,于是0x =，是0x =却明显不是它们的根.所以方程()432210x ax b x ax ++--+=有四个实数根.故答案为：4.29．（2019·福建·高三竞赛）已知532()10f x x x ax bx c =-+++，若方程f (x )=0的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为____________ . 【答案】4 【解析】 【详解】设f (x )=0的5个实根为1234x x x x m ，则由韦达定理，得12340m x x x x ++++=，()()123412131423243410m x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=-.于是，212131423243410x x x x x x x x x x x x m +++++=-+.所以22222341x x x x +++()()212341213142324342x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++++ ()22221020m m m =--+=-.另一方面，由柯西不等式，知()()22222123412344x x x x x x x x ++++++.于是，()222420,16,4mm m m -.又对f (x )=(x -4)(x +1)4=5321020154x x x x ----， 方程f (x )=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m =4. 所以m 的最大值为4. 故答案为：4． 二、解答题(共0分)30．（2021·全国·高三竞赛）设()1212,x x x x <是方程2210a x bx ++=的两个实根，()3434,x x x x <是方程210ax bx ++=的两个实根，若3124x x x x <<<，求实数a 的取值范围. 【答案】{}|1a a > 【解析】 【分析】 【详解】由韦达定理，得121234342211,,,b b x x x x x x x x a a a a +=-=+=-=. 前后两式分别相除，得12341111b x x x x +=-=+. ①因为12210x x a =>，所以12x x 、同号. 若31240x x x x <<<<，3421341211111111,x x x x x x x x <<<+<+，矛盾. 若31240x x x x <<<<，则2134123411111111,x x x x x x x x <<<+<+，矛盾.所以1234x x x x 、、、同号，且有3410x x a=>，即0a >. 又因为3124x x x x <<<，得42131111x x x x <<<，所以341211110x x x x ->->.结合①，得22221212343412341*********x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-->+--⇒> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2a a >，结合0a >，知实数a 的取值范围为{}|1a a >.31．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x 、y 、z 满足11112020,2020x y z x y z ++=++=求证：x 、y 、z 中至少一个为2020． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】由题意知()2020xy yz zx xyz ++=，故：()()()202020202020x y z ---232020()2020()2020xyz xy yz zx x y z =-+++++- 22020(2020)0x y z =++-=，故x 、y 、z 中至少一个为2020．32．（2020·浙江·高三竞赛）已知()P x ，()Q x 为整系数多项式，若()22()2020()1P x x Q x --=，求()P x ，()Q x . 【答案】答案见解析 【解析】 【详解】由题意得：()22()12020()P x x Q x -=-，即[][]()2()1()12020()P x P x x Q x -+=-.因为()()112P x P x +--=⎡⎤⎣⎦，故()()1,1P x P x +-无公约式， 若()0Q x =，则()1P x =±，若()0Q x ≠， 因为()P x ，()Q x 为整系数多项式，则()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩或()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩，其中()()12,q x q x 无公约式，若()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，则()()()22120202q x x q x =-+， 故()()21()20201P x x q x =-+，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=-+⎣⎦，同理当()()()212()12020()1P x x q x P x q x ⎧+=-⎪⎨-=⎪⎩时，()()21()20201P x x q x =--，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=--⎣⎦， 综上，()()21()20201P x x q x =--，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=--⎣⎦ 或()()21()20201P x x q x =-+，()()()()21120202Q x q x x q x ⎡⎤=-+⎣⎦，()1q x 为整系数的多项式.33．（2019·新疆·高三竞赛）已知x 、y 、z 是正数且满足81535x y xy y z yz z x zx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩.则x +y +z +xy =____________ . 【答案】15 【解析】 【分析】根据x +y +xy =8知x +y +xy +1=9，即(1)(1)9x y ++=，同理对方程组变形，作商求解. 【详解】由x +y +xy =8知x +y +xy +1=9，即(1)(1)9x y ++=.① 同理可得(1)(1)16(1)(1)36y z z x ++=⎧⎨++=⎩，② 结合①和②可得(1)(1)(1)346x y z +++=⨯⨯，③ 由①和③可知z =7. 同理由②③可得72x =，y =1.从而x +y +z +xy =15. 故答案为：15【点睛】此题考查解三元二次方程组，涉及利用因式分解整体代入求解方程，对代数式的综合处理能力要求较高.34．（2019·山东·高三竞赛）已知4239n n -+是素数，求正整数n 的所有可能值 【答案】n =1，n =2 【解析】 【详解】因为()()4222393333n n n n n n -+=++-+，所以或n 2－3n +3=1，解得n =1，2.将n =1，n =2代入检验均满足题意，所以n =1，n =2为所求.35．（2019·全国·高三竞赛）设实数a 、b 、c 、d 满足2222331a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩.证明：()()()()33331111a a b b c c d d -=-=-=-. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 根据恒等式得()()22222132ab bc cd da ac bd a b c d a b c d ⎡⎤+++++=+++-+++=⎣⎦. 设()()31f x x x =-.只需证明：()()()()f a f b f c f d ===. 注意到，()()()()x a x b x c x d abcd -----()()()432x a b c d x ab bc cd da ac bd x abc bcd cda dab x =-+++++++++-+++()()3432331x x x x x x f x =-+-=-=-. 则()()()()()f x abcd x a x b x c x d =-----.令,,,x a b c d =，分别代入上式得()()()()f a f b f c f d ===. ()()()()33331111a a b b c c d d ⇒-=-=-=-.36．（2019·全国·高三竞赛）若()t t R ∈为某一整系数多项式的根，则称t 为“代数数”.否则，称t 为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集； （2）存在超越数.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】（1）设12,,,,n I I I ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为可数集（注意到，题中所述的可数集有可数个.则可对这些集合进行自然数编号）.设{}1212,,,i ii I x x I I I U =⋅⋅⋅=⋃⋅⋅⋅.将ij x 与i j 对应（i 、j 均为正整数），则i j 为有理数.故I 中有元素与有理数集中的元素一一对应.因为有理数集为可数集，所以，I 为可数集. （2）设所有i 次整系数多项式的根构成的集合为i I .只需证明：i 次整系数多项式有可数个，即1110i i i i a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中，12,,,i a a a ⋅⋅⋅均为正整数，有可数种取值. 用数学归纳法证明.（i ）证明10a x a +有可数个，对固定的1a 、0a 有可数种取值，又1a 有可数种取值，由（1）知可数个可数集的并为可数集.因此，10a x a +有可数个. （ii ）假设1110i i a xa x a --+⋅⋅⋅++有可数个.对固定的i a ，则1110i i a x a x a --+⋅⋅⋅++有可数个.又i a 有可数种取值，则由（1）知1110i i i i a x a x a x a --++⋅⋅⋅++有可数个，每个整系数多项式有可数个根，而i 次整系数多项式有可数个，故i 次整系数多项式的所有根构成的集合i I 为可数集.由（1）知12I I I =⋃⋃⋅⋅⋅为可数集，即代数数集为可数集. 又R 为不可数集，故超越数一定存在.37．（2019·全国·高三竞赛）是否存在实数k ，使得()()()555222333,,x y z k x y z xy z f x y z x y z+++++++=++是一个三元多项式．【答案】56k =-【解析】 【详解】假设存在这样的实数k ．则()()555222333x y z k x y z x y z +++++++有因式x y z ++． 令1y z ==．则2x +是()()532222x k x x ++++的因式．作多项式除法．用()53212242k x kx kx k +++++除以2x +的余式为3630k --．要使2x +整除()()532222x k x x ++++，则5363006k k --=⇒=-．故()()()55522233356,,x y z x y z xy z f x y z x y z++-++++=++()()()52233325532231551556666x y z x y z x y z y z y z x y z-+-+++--=++ ()()()()()()243222222211111223366366x y z x y z yz x y z y yz z x y z y yz z =-+-+--+-+++-+ 综上，这样的实数k 存在，且56k =-．38．（2019·全国·高三竞赛）已知非零实数 a b c t 、、、满足()21a tb cb c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩. (1)证明：二次方程()()()22220x c b c x b c b c +--+-=必有实根；(2)当15,a =7b =时,求,?c t . 【答案】（1）见解析；（2）1c =，2t = 【解析】 【详解】(1)由()21a tb cb c t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩消去t 得21a c a c b c b b ⎡⎤--⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.变形整理得()()()22220ca c b c a b c b c +--+-=. ①所以,方程()()()22220cx c b c x b c b c +--+-=有实根a .(2)把15,a = 7b =代入式①整理得()()3223737934301363430c c c c c c -+-=⇒--+=.而()223634318190c c c -+=-+>.故1c =.再由a tb c =+,得2t =.39．（2019·全国·高三竞赛）设实数p 、q 、r 满足：存在a 为p 、q 、r 中某一个，且另两个恰为方程()22330x a x a a +-+-=的两实根. 试求333p q r ++的最小可能值.【答案】15 【解析】 【详解】不妨设a p =，则q 、r 恰为方程两根. 由韦达定理知3p q r ++=且23qr p p =-.由()()223430p p p ∆=---≥，知13p -≤≤.则()222222p q r p q r qr ++=++- ()()2223239p p p p =+---=.从而，333p q r ++ ()()2223pqr p q r p q r p q r qr ⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()22333933p p p p p p p ⎡⎤=-+----⎣⎦ 323927p p =-+，其中，13p -≤≤.对()323927f p p p =-+，求导得()()291892f p p p p p =='--.故()f p 在[]2,3上递增，在[]0,2上递减，在[]1,0-上递增. 则()f p 在[]1,3-上最小值为()(){}min 1,215f f -=. 因此，333p q r ++最小值为15.当2p =，2q =，1r =-时，可取到最小值且符合条件. 40．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数122006,,,a a a 满足20061242320073a a a +++=，20061243420085a a a +++=，2006124 4520097a a a+++=， (2006124)2007200840124013a a a+++=，求代数式32006123574013a a a a ++++的值. 【答案】见解析【详解】记2006n =，并定义()1212na a aR x x x x n=++++++. 则所求代数式为320061211357401322a a a a R ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭. ① 记()()()q x R x p x =， ②其中，()()()()12p x x x x n =+++，()q x 是次数小于n 的多项式.由定义可知()()41,2,,21R k k n k =∀=+从而，多项式()()()421p x x q x -+的次数不大于n ，且1,2,,n 是方程()()()4210p x x q x -+=的根.由代数基本定理有()()()()()()42112p x x q x c x x x n -+=---. ③其中，c 是依赖于12,,,n a a a 的常数，比较式③两端n x 的系数可得()1242n c a a a =-+++.将12x =-代入式③，可得()4121nc n -=+. 另外，将12x =代入式③得()()()413521114222212nn p q n ⨯⨯⨯⨯+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪+⨯⎝⎭⎝⎭. 由式②得()21122212212q R n p ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭.将上式代入式①得()2211111122401321R n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭+. 41．（2018·全国·高三竞赛）求出所有使111x y x xyx x y z、、++++均为整数的正有理数组(,,)()x y x x y z ≤≤.【答案】()()()()()(),,1,1,1,1,2,2,2,3,6,2,4,4,3,3,3x y x = 【解析】考虑以x y z 、、为根的多项式()()()()()()32f t t x t y t z t x y x t xy yz zx t xyz =---=-+++++-.注意到xyx 均为整数.所以,()f t 是首项系数为1的整系数多项式.又其根均为有理数,其根的分母为首项系数的约数,故其根均为整数,即x y z 、、均为整数.设111k x y z ++=，因为x y z ≤≤，所以311113k x x x y z ≥++=≥⇒≤(1)当1x =时，11y z+为整数. 若1y =,则只能是1x =,得(1,1,l );若2y =,由3x y z z ++=+为整数,知z 为整数,故z 2=,得(1,2,2); 若3y ≥,则111133y z +=+,矛盾. (2)当2x =时,2111114y 22k y y z ≥+=-≥-⇒≤. 若2y =,则只能是1z =,与2z y ≥=矛盾. 若3y =,则6x =,得(2,3,6); 若4y =,则z 4=,得()2,4,4. (3)当3x =时,21111213y 333k y y z ≥+=-≥-=⇒≤.故(3,3,3). 综上,()()()()()(),,1,1,l ,1,2,2,2,3,6,2,4,4,3,3,3x y x =42．（2018·全国·高三竞赛）已知复平面上的正n 边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++的n 个复根.求该正多边形面积的最小值.【答案】2sin2n nπ【解析】 【详解】设正n 边形的中心对应的复数为a .将复平面的原点平移到a 后,则该正n 边形的顶点均匀分布在一个圆周上,即它们是方程()nx a b -=(b 是某个复数)的解 于是,()()11100C ninn i n i n n i f x x a x a x a b x a ---=++++=-+-∑＝.对比x 各次项的系数,知1n na a --=为整数,所以,a 为有理数；再结合()11n n a a --=为整数,故a为整数.这样,由a 0=(-a)"-b 为整数,知b 为整数.上述讨论表明,该正n 边形的顶点对应的复数是整系数方程()nx a b -=的解.于是,1.故此正n 边形的面积不小于2sin2n nπ. 而方程1n x =的n 个根在复平面上对应一个正n 边形的n 个顶点, 因此,该正多边形面积的最小值为2sin2n nπ. 43．（2021·浙江·高二竞赛）已知二次函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 有两个不同的零点.若()2210f x x +-=有四个不同的根1234x x x x <<<，且1x ，2x ，3x ，4x 成等差数列，求-a b 的取值范围. 【答案】25,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】 【详解】设()f x 的两个零点为s ，t ，其中s t <，则可知1x ，4x 为2210x x t +--=的两根；2x ，3x 为2210x x s +--=的两根， 所以14232x x x x +=+=-，141x x t =--，231x x s =--， 又a s t -=+，b st =，所以1(1)(1)a b s t st s t -=---=-++，记113x d =-，21x d =-，31x d =+，413x d =+，其中0d >， 所以22123410251999a b x x x x d d ⎛⎫-=-=-≤⎪⎝⎭. 44．（2021·全国·高三竞赛）设函数32()1f x ax x bx =-+-有三个正零点，求22532(,)()a ab g a b a b a -+=-的最小值.【答案】【解析】 【详解】一方面，当a b==方程3()0(0f x x=⇔=，故此函数()f x有三个相等的零(,)g a b=.设方程3210ax x bx-+-=的三个正实根分别为α､β､γ，则由根与系数的关系可得11,,ba a aαβγαββγγααβγ++=++==.故0,0a b>>.由2()3()αβγαββγγα++≥++知：213ba a≥，可得13ba≤.①又由αββγγα++≥ba≥b≥从而有13ba≤，故13a，解得a≤a b≤，即0b a->，所以2210()3a b a a aa⎛⎫<-≤-⎪⎝⎭②由①②可得222232532511531()33a ab a aPa b a a aa aa-+++=≥=--⎛⎫-⎪⎝⎭，其中0a<≤，设()231533ah aa a+-=，则()()()()2223315113a aa ah a'-+-=<，故()h a在⎛⎝⎦为减函数，故()minh a h==⎝⎭故min(,)g a b=45．（2019·江苏·高三竞赛）已知实数a、b、c均不等于0，且2222,2ma b c m a b c++=++=，求222(2)(2)(2)a m ab m bc m cabc-+-+-的值.【答案】12【解析】【分析】设,,a b c为方程()()()0t a t b t c---=的三个实数根，根据题设条件，化简整理得到24mab bc ca++=，代入方程，求得21(2)4abc t m t=-，进而得到21(2)4abc a m a=-，21(2)4abc b m b =-，21(2)4abc c m c =-，代入即可求解.【详解】设,,a b c 为方程()()()0t a t b t c ---=的三个实数根，即32()()0t a b c t ab bc ca t abc -+++++-=的三个实数根， (1)因为2222,2m a b c m a b c ++=++=，从而()222221()24m ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦. 由(1)式得23204m t t mt abc -+-=，即21(2)4abc t m t =-，于是21(2)4abc a m a =-，21(2)4abc b m b =-，21(2)4abc c m c =-， 从而222222(2)(2)(2)(2)(2)(2)a m a b m b c m c a m a b m b c m c abc abc abc abc-+-+----=++44412=++=.【点睛】本题主要考查了代数式的运算，以及方程根的应用，其中解答中根据题设条件，合理化简abc 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.46．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式()f x 满足()()()()32324432211xx x f x x x x f x +++=-+-+.①证明：对所有正整数()8n n ≥，()f n 至少有五个不同的质因数. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 式①等价于()()()()()()2231111x x x f x x x x f x +++=--++. ②在式②中分别令3x =-1.则()()210f f f f -====⎝⎭⎝⎭.再在式②中令2,0x =-.则()()100f f -==.故2-、1-、0、1()0f x =的根.则 ()()()()()()22111f x x x x x x x g x =++--+， ③ 其中，()g x 为实系数多项式.由式③得()()()()()()2132111f x x x x x x x g x +=++++++. ④将式③、④代入式②得()()1g x g x =+. 设()0nkk k g x a x ==∑.则()01nnkkk k k k a x a x ===+∑∑.考虑两边1n -次项系数知110n n n n a na a na --=+⇒=. 所以，()g x 为常数c .故()()()()()22111f x c x x x x x x =++---，其中，常数{}\0c Z ∈.首先证明：()()()()2118n n n n n ++-≥至少有四个不同的质因数.否则，()()()211n n n n ++-至多有三个不同的质因数2、3、()2,3p p ≠.但1n -、n 、1n +、2n +两两之间的最大公因数为1、2、3，其中两个奇数互质，则为3a 、()bp a b N +∈、.从而，两个偶数为12c +、()23d c d N +⨯∈、.故231c d-=.解得()()(),2,1,3,2c d =.因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19，均导致矛盾.其次，假设存在某个正整数()8n n ≥，使得21n n -+的每个质因数都是()()()211n n n n ++-的质因数，且()()()211n n n n ++-恰有四个质因数，否则，结论成立.显然，()()21,11n n n n -+-=.由()()()()21123237n n n n n n -+=+-+=+-+,知()21,11n n n -++=或3，()21,21nn n -++=或7.故()2137a b n n a b N +-+=∈、.但9|21)n n -+（不能，故{}0,1a ∈，则0b >. 由假设知2n +、1n +、n 、1n -的质因数为2、3、7、()2,3,7p p ≠.则()72n +. 考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合A 、B .显然，2A ∈，2B ≥，{}3A B ⋂⊆.故2A =或3A =且3A ∈.若{}2,3A =或{}2,7，则两个偶数为12c +、23d ⨯或12c +、27d ⨯，得231c d -=或271c d-=.故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使()()()211n n n n ++-有质因数2、3、5、7及13(或17），矛盾. 若{}2,A p =，则2n +为奇数，1n -为偶数. 由33|A ∈⇒(1)3|n -⇒(2)n -.故()27c n +=，3d n =，且{}21,1en n ∈+- ()2,3c d e N c d e +∈≥≥、、、.从而，()()321,2,3d ed e -=⇒=.于是，9n =.则2117c n +=≠，矛盾.若{}2,3,7A =，则{}3,B p =，且2n +为偶数，()2,13n n +-=. 故()2372n ⨯⨯+.从而，2c n =，13d n -=，1e n p += (),3,2c d e N c d +∈≥≥、、.于是，()()231,2,1c dc d -=⇒=，矛盾.若{}2,3,A p =，则{}3,7B =，且2n +为奇数，()2,13n n +-=.故()372n ⨯+. 但(),21n n +=，则n 的奇质因数不是3、7，矛盾.47．（2019·全国·高三竞赛）已知正ABC ∆的三个顶点在抛物线2y x 上.试求正ABC ∆中心的轨迹方程.【答案】()64222918338413k k k y k+++=-，其中，参数k ≠【解析】 【详解】设AB l ：y kx b =+. ① 由对称性，先不妨设0k ≥.将式①与2y x =联立得20x kx b --=.则A B x x k +=，A B x x b =-，240k b ∆=+>.从而，AB 的中点2,22k k M b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且A B AB x =-=则CM l ：2122k k y x b k ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，即224x k y k ++∆=-+. ②由2C k CM =⇒-((11222C C k k k x x ⇒-===+， 其中，{}1,1ε∈.将式②与2y x =联立得2224C Cx k x k ++∆=-+(2213244k k +∆⇒+∆+=(())22221211313k kkk εε+⇒+-∆⇒=-，其中，213k ≠，且()2221,130;sgn 131,130.k k k ε⎧->=-=⎨--<⎩从而，22221213k k ⎛⎫+∆= ⎪-⎝⎭.故(()22226137112213213C k k k k kx k k ⎡⎤++⎢⎥=+=+=⋅--⎢⎥⎣⎦.设ABC ∆的中心(),O x y .则()22221373223613213M C k k k k x x x k k ⎛⎫+-=+=+=⋅⎪--⎝⎭，()26422229183384413x k k k k y k k ++∆+++=-+=-，其中，参数k ≠48．（2019·全国·高三竞赛）已知方程20x px q ++=和20y py r -+=都有实根（p 、q 、r R ∈，0p ≠），且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为1x 、2x 和1y ，2y .则11221x y x y -=成立的充要条件是()()242421p q r p q r p -+++=. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 （1）必要性依题意有12x x p +=-，12x x q =， 12y y p +=，12y y r =，()201,2i i x px q i ++==， ()201,2j j y py r i -+==. 由11221x y x y -=，得22221122121221x y x y x x y y +-=.则()()()()112221px q py r px q py r qr ---+----=，()()()211221212221p x y x y pr x x pq y y qr qr -+++-++-=.因为0p ≠，所以， 112221x y x y q r p ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭.又()()221122112212124x y x y x y x y x x y y +--=，即22114q r qr p ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.化简得()()242421p q r p q r p -+++=. （2）充分性. 因为0p ≠，则()()244212p p q r p q r =+-++()2222p q r p q r ≥-++.若q r ≥，则244p q r ≥≥； 若q r <，则244p r q ≥>.不论哪种情形，均表明方程20x px q ++=与20y py r -+=有实根. 又12x x p +=-，12x x q =，12y y p +=，12y y r =，。

专题3极值点不等式构造如果函数)(x f 的零点为)321( ，，=i x i ，某个极值点为0x ，如果出现证n x m i <<，我们称之为找点不等式，而一旦出现m x x <+212或者m x x >12之类，我们称之为零点不等式，这个内容我们上一讲已经通过构造比值函数解决，当出现n x f m <<)(0时，我们称之为极值点不等式，本文就介绍这一系列极值点不等式的构造方法.由于此类型题目众多，我们还是以高考题为参考来进行解读.2021年浙江卷，最后一问证明：2212ln e 2e b b x x b>+，这一类问题我们在之前的找点部分已经阐述，无论是极值点的不等式还是零点的不等式，找点就是标配，正应了那句话，“不找点，无导数”。

考点一外争与内斗：如果)(0x f 是函数)(x f y =的极小值，则在证明不等式n x f m <<)(0中，n x f <)(0可以直接从函数中找点获得，这属于函数“内斗”，而)(0x f m <，一个比极小值还要小的值，必须要将0)(0='x f 的关系式做隐零点代换，构造新的函数)(0x g 来最值，这就属于“外争”；同理，)(0x f 是函数)(x f y =的极大值，则在证明不等式n x f m <<)(0中，)(0x f m <属于“内斗”，n x f <)(0则属于“外争”。

【例1】(2017•新课标II)已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x .(1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<.【例2】（2023•哈尔滨模拟）已知223()(1),042x f x x lnx a x a =--->．（1）若()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个极值点m ，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：23()44e f m <<．【例3】（2023•山东模拟）已知函数2()(1)()x f x a x e a R =+-∈．（1）当12a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：111()2f x e -<<-．【例4】（2022•5月份模拟）已知函数()(1)x f x x a e =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()x g x e f x =，当1a =时，证明：函数()g x 有且仅有一个极小值点0x ，且0211()4g x e-<<-．【例5】（2022•南充模拟）已知()x f x e ax =-，()cos g x ax x =-．（1）当0a >时，求()f x 在[1，2]上的最小值；（2）若()()()()2F x f x g x x π=+-，证明：()F x 存在唯一的极值点0x 且01()1F x -<<．【例6】（2022•炎德英才模拟）已知函数21()2x f x ax x e =+-．（1）若1a =，求不等式()1f lnx >-的解集；（2）当1a >时，求证函数()f x 在(0,)+∞上存在极值点m ，且3()2m f m ->．注意：涉及3()2m f m ->这一类()()f m g m >的，只能外争，所以我们再看下一题.【例7】（2023•浙江期末）已知函数2()2()f x xlnx ax x a R =--∈．（Ⅰ）求证：2()(2)3f x a x x --；（Ⅱ）若0x 为函数()f x 的极值点，①求实数a 的取值范围；②求证：02012x e ax >+．注意：本题似乎就是找点有一点技术含量，这也是为什么，模拟题技术含量不如高考真题的原因.考点二极值点外争不等式的放缩选取方案我们会发现，当关于极值点0x 不等式出现涉及00()()f x g x >的，只能外争，因为0)(0='x f ，能得出隐零点关系式后代入不等式00()()f x g x >，这里就会涉及隐零点关系式选取问题，以及不等式放缩问题，那么这个问题本质是什么呢？我们通过例题来说明.【例8】（2023•长沙县月考）已知函数()ln()1x f x ae x a =-+-．（1）若()f x 的极小值为0，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明：()f x 存在唯一极值点0x ，且00()2||0f x x +．注意：双变量问题一直是一个难点，因为不知道抓哪一个，本题我们需要根据参数的范围来判断，发现目标式012)ln(000>-++-x a x ae x 当中，由于a 的范围决定了0x 范围，故我们应该把0x 作为参数，隐零点代换的本质除了替换函数，还有一个更重要的就是单调性替换，我们分析原函数，0x ae 单调递增，)ln(0a x +-单调递减，所以原函数无法直接参与放缩构造，①当01a <<时，极值点01(0,x a ∈，我们通过ax ae x +=010一替换，就能发现000001()2||()21()f x x ln x a x h a x a+=-++-=+，这样就能形成关于a 的单调递减函数)(a h ，从而得到一个放缩式0001()(1)ln(1)2101h a h x x x >=-++->+；②当1a >时，极值点01(0)x a a ∈-，，由于)(a h 递减，我们不可能采用0001()ln()210h a x x x >-+∞-->+∞，只能寻找另外的隐零点代换形式，根据001x ae x a=⇒+00ln )ln(x a a x --=+，所以00()ln 1x h a ae a x =+--，这里就是一个关于a 的单调增函数，即000000()2||ln 110x x f x x e a x e x +>+-->-->.如果回头来看这题解析，我们能发现两种构造的区别就是利用⎪⎩⎪⎨⎧>><<+>+=)1()10(11100000a e ae a x a x ae x x x 不同放缩式，决定采用不同代换的，其本质其实是隐零点代换后关于参数a 的新函数)(a h 单调性来决定的.问题探讨到了这个深度，我们可以来还原一下浙江高考题的庐山真面目了.【例9】（2020•浙江）已知12a <，函数()x f x e x a =--，其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；（Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：0x ；（ⅱ）00()(1)(1)x x f e e a a --．看了此题我们才能明白，高考真题的含金量确实是远超平常模考题，因为模考题都是按照高考真题的套路来的，接下来我们走近极值点和零点的双变量不等式内容的研究,还是那句，找点先行，构造单调放缩函数在后，把握变量主元.考点三极值点和零点混合双变量不等式问题极值点和零点混合双变量不等式问题，本质还是找点，我们来看看这道经典的天津高考题.【例10】(2019•天津文)设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a R ∈.(I)若0a ，讨论()f x 的单调性;(II)若10ea <<，(i)证明()f x 恰有两个零点;（ⅱ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明：0132x x ->．注意：方案一显然更简单，但是必须建立在11(1ln )x a∈，和10x x >基础之上，这里三变量，参数是纽带，但也做不了主元，这也是上一问找点所给我们带来的提示，方案二就适合那些直接用无穷大而绕开找点的同学们提供的方案，这些极值点和零点的不等式充分说明了，找点永远是导数的重要支柱.【例11】（2022•南昌三模）已知函数21()1(0,)2x f x e ax x x a R =--->∈．（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）若1a >时，设1x 是函数()f x 的零点，0x 为函数()f x 极值点，求证：1020x x -<．注意：一道极值点与零点不等式问题，硬是活生生变成了找点的题，其实也是逼着大家不能用极限去避开找点，我们来看一下导数和三角综合的零点不等式问题.【例12】（2023•广东月考）已知函数2()x f x ae x -=-，()sin x g x xe a x =-，其中a R ∈．（1）若0a >，证明()f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若1a e <，设1x 为()f x 在(0,)+∞上的零点，证明：()g x 在(0,)π上有唯一的零点2x ，且1232x x ->．注意：选择方案一的是真正做明白了这类题，一个好的找点方案决定一道压轴问的走向.考点四找点之双参数问题双参数问题，基本上涉及切线找点和主元选取，不同主元选取导致问题的难度有着天壤之别，限于篇幅，此类问题我们会在《高中数学新思路》系列3中再来详细叙述，本文我们仅以2018年浙江高考题来呈现此类问题.【例13】（2018•浙江）已知函数()ln f x x =-．（1）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；（2）若34ln 2a ≤-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．注意：一道高考好题，将数形结合体现得淋漓尽致，这个双变量，k 一直为主体，a 为辅助，隐零点代换也是将k 换成了1x ，最后还是需要找点，综合来看，单调性极值得分析，隐零点代换+找点，这条主线才是双变量导数的核心，我们后面将讲到极值点偏移了，这个内容本质也跟找点有关联吗？达标训练1.（2023•广东月考）已知函数()f x lnx ax a =-+．（1）若函数()f x 的最大值是f （1），求实数a 的值；（2）设函数()()h x xf x =，在（1）的条件下，证明：()h x 存在唯一的极小值点0x ，且01()4h x >-．2.（2022•上杭县开学）已知曲线()(3)(2)x f x x e a lnx x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+．（Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且021()5e f x --<<-．3.（2022•贵阳模拟）已知函数()sin (0)x f x e a x a =->，曲线()y f x =在(0，(0))f 处的切线也与曲线22y x x =-相切．（1）求实数a 的值；（2）若0x 是()f x 的最大的极大值点，求证：0131()2f x <<．4.（2022•东区月考）已知()(1)()(1)1x f x x e a aln x =+--++，a R ∈．（1）若1a =，判断()f x 的单调性；（2）若1a >，且()f x 的极值点为0x ，求证：0()()f x f x 且0()1f x <．5.（2022•成都期中）已知函数()()x a f x lnx e +=-（其中 2.718e = 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴交于点(2,0)，求a 的值；（Ⅱ）求证：11a e >-时，()f x 存在唯一极值点0x ，且010x e<<．6.（2022•长沙模拟）已知112b <<，函数()2x f x e x b =--，其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）记0x 为函数()y f x =在(0,)+∞0x <<7.（2022•南京三模）已知函数2()(1)3x f x x x e =-+-，()()x f x g x xe x=-，e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()g x 在(0,)+∞上的最小值为m ，证明：3e m <<．8.（2022•北碚区期中）已知函数()21()f x lnx ax a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()F x xf x =存在极值点0x ，求证：02021x e ax ->．9.（2022•浙江模拟）已知函数()()x f x ln x a ae =+-．（1）当1a =时，求()f x 极值；（2）设0x 为()f x 的极值点，证明：001()2||1f x x --．10.（2022•日照期末）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若10a e <<．①证明：函数()f x 恰有两个零点；②设0x 为函数()f x 的极值点，1x 为函数()f x 的零点，且10x x >，证明：1002x x lnx <+．11.（2022•西城区三模）已知函数()(1)x f x e mlnx =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数．（1）当1m =，求()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）设函数()()x f x h x e '=，且5()2h x 恒成立．①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >．12.（2019•天津理）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f x g x x π+-；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．。

压轴题13数学文化与新情景问题数学文化与新情景问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度较难．考向一：融合传统文化和数学史的数学阅读题考向二：融合其他学科知识的数学阅读题考向三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题考向四：融合生活实际的数学阅读题数学文化与新情景问题试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．一、单选题1．（2023·北京·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；②当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；④若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅ 的值为12.其中所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】对于①，设黑色部分区域的面积为1S ，整个圆的面积为S ，由对称性可知，112S S =，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112S P S ==，故①正确；对于②，当32a =-时，直线的方程为332y x =--，即3260x y ++=，圆心()0,0到直线3260x y ++=613213=<，下方白色小圆的方程为()2211x y ++=，圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线3260x y ++=的距离为1d =，如下图所示：由图可知，直线332y x =--与与白色部分无公共点，故②错误；对于③，黑色阴影部分小圆的方程为()2211x y +-=，设z x y =+，如下图所示：当直线z x y =+与圆()2211x y +-=相切时，z 取得最大值，且圆()2211x y +-=的圆心坐标为()0,1，半径为11=，解得1z =由图可知，0z >，故max 1z =，故③正确；对于④，由于MN 是圆224x y +=中过点()0,1P 的直径，则M 、N 为圆224x y +=与y 轴的两个交点，可设()0,2M 、()0,2N -，当AB y ⊥轴时，AB 取最小值，则直线AB 的方程为1y =，可设点()3,1A -、)3,1B，所以，)3,1AM = ，()3,3BN =-，()3,0AB = ，()3,4AM BN -= ，所以，()12AM BN AB -⋅=，故④正确.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆()2200x y ay a +-=>于点P ，交直线y a =于点Q ，过P 和Q 分别作x 轴和y 轴的平行线交于点M ，则点M 的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为()f x ，设AOQ θ∠=，下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．点M 的横坐标为tan M a x θ=C ．点M 的纵坐标为2cos M y a θ=D ．()f x 的值域是(],1-∞【答案】C【解析】连接AP ，则AP OP ⊥，圆()2200x y ay a +-=>的标准方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，该圆的直径为a，设点()0,Q x a ，当点Q 不与点A 重合时，直线OQ 的方程为0ay x x =，联立02200a y x x x y ay y ⎧=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠⎪⎪⎩，解得3220a y x a =+，当点Q 与点A 重合时，点A 的坐标也满足方程322a y x a =+，所以，()322a f x x a=+，对任意的x ∈R ，220x a +>，即函数()f x 的定义域为R ，()()()332222a a f x f x x a x a -===+-+ ，故函数()f x 为偶函数，A 错；当点Q 在第一象限时，Q M x x =，因为tan Q x aθ=，此时tan Q M x x a θ==，B 错；当点Q 不与点A 重合时，0M P y y =>，因为cos OP a θ=，则2cos cos M P y y OP a θθ===，当点Q 与点A 重合时，点P 也与点A 重合，此时0θ=，点P 的纵坐标也满足2cos P y a θ=，综上所述，点M 的纵坐标为2cos M y a θ=，C 对；对于D 选项，222x a a +≥ ，所以，()(]3220,a f x a x a =∈+，D 错.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意知，当0x =时，()1f x =-，所以0不是函数()f x 的零点，当0x ≠时，(){}21f x x x x =--0=可得，{}121x x=+，令{}[]121222,1y x x x y x==-=+，作出函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+的图象如图所示：由图象可知，除点()1,0-外，函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即1230x x x +++⋅⋅⋅=，由函数零点的定义知，函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为1231101x x x -++++⋅⋅⋅=-+=-.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD 传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为2E kv t =，其中v 为传感器在静水中行进的速度(单位：km /h )，t 为行进的时间(单位：h )，k 为常数，如果待测量的河道的水流速度为3km /h ，则该传感器在水中逆流行进10km 消耗的能量的最小值为（）A ．60kB ．120kC ．180kD ．240k【答案】B【解析】由题意，该传感器在水中逆流行进10km 所用的时间10(3)3t v v =>-，则所消耗的能量210(3)3E kv v v =⋅>-.方法一：2222210[(3)3][(3)2(3)33]910101010[(3)6]33333v v v v E kv k k k k v v v v v v -+-+⋅-⋅+=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅-++≥----106]1012120k k k ⋅=⋅=，当且仅当933v v -=-，即6v =时等号成立，此时2103E kv v =⋅-取得最小值120k .方法二：221010(3)33v E kv k v v v =⋅=⋅>--，求导得22610(3)v v E k v -'=⋅-，令226100(3)v v E k v -'=⋅=-，得6v =，当36v <<时，0E '<，2103E kv v =⋅-单调递减；当6v >时，0E '>，2103E kv v =⋅-单调递增，所以当6v =时，2103E kv v =⋅-取得最小值，为210612063k k ⨯⨯=-.故选：B.5．（2023·江西·校联考二模）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，其挂在墙壁上的最低点B 离地面194cm.小南身高160cm （头顶距眼睛的距离为10cm ），为使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为（）A ．2cmB ．76cmC ．94cmD ．445cm【答案】D【解析】由题意可得θ为锐角，故要使θ最大，只需tan θ最大，设小南眼睛所在的位置点为点D ，过点D 做直线AB 的垂线，垂足为O ，如图，则依题意可得()1941601044=--=BC （cm ），=CD S （cm ），0S >，设,αβ∠=∠=ADC BDC ，则θαβ=-，且17644220tan α++===AB BC CD S S，44tan β==BC CD S，故()222044tan tan 176176tan tan 2204496801tan tan 96801αβθαβαβ--=-===++++S S S S S S S S1762596802≤SS9680=S S即445=S 时等号成立，故使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为445故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()2224431m x y y x y +-+=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()10,+∞B ．()0,10C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】B【解析】由()()2224431m x y y x y +-+=-+，0m >，得222[(2)](31)m x y x y +-=-+，22(2)31m x y x y +-=-+，222222(2)13103113x y x y m m +-+==-++，可得动点(,)P x y 到这点(0,2)和定直线310x y -+=10m101m>，解得010m <<，故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线l 交抛物线214y x =于A ，B 两点，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），则此直线l 恒过定点（）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,4【答案】D【解析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，由根与系数的关系可得：124x x k +=，124x x b =-，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），可得222OA OB AB +=，所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥ ，所以12120OA OB x x y y ⋅=+= ，()2221212*********y y x x x x =⨯=，所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-=，即240b b -=，解得4b =或0b =（舍）所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4，故选：D8．（2023·河南郑州·统考二模）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．25【答案】B【解析】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B9．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）宋神宗熙宁九年文学家苏轼在《水调歌头·明月几时有》中有一名句“月有阴晴圆缺”表达了他超脱的胸怀。

课时作业(十三) 椭圆及其标准方程[练基础]1．椭圆3x 2＋4y 2＝12的焦点坐标为( )A ．(±1,0)B ．(0，±1)C ．(±7，0)D ．(0，±7)2．“0<m <1”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( ) A ．16 B ．18C ．20D ．不确定4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)5．已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，若△MNF 2的周长为8，则△MF 1F 2面积的最大值为( )A.32B. 3 C ．2 3 D ．36．[多选题]下列说法正确的有( )A ．方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线B ．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝4 C ．曲线x 225＋y 29＝1关于坐标原点对称 D ．椭圆C ：y 25＋x 2＝1的焦距是2 7．设F 1，F 2为椭圆y 29＋x 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上任一点，∠PF 2F 1为直角，则|PF 1||PF 2|＝________.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B等于________． 9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且F 1(－1,0)，椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32.求椭圆的方程．[提能力]11．已知椭圆x 225＋y 216＝1的两焦点F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝π3，则△F 1PF 2的内切圆半径为( )A.33B.233C. 3 D ．2 312．[多选题]设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△PF 1F 2的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△PF 1F 2面积的最大值为 3C ．存在点P ，使PF 1⊥PF 2D ．PF 1的取值范围是[1,3]13．点P 为椭圆x 24＋y 23＝1上位于第一象限内的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，则△PMO 的面积的最大值为________．14．已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为________．15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上．由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2.已知BF 1⊥F 1F 2，|F 1B |＝53，|F 1F 2|＝4. (1)试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；(2)如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，且∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[培优生]16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为y 225＋x 24＝1，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．。

美国⾼中数学测试题13-14MathPlacement（1）Emma Willard SchoolTroy, New York 12180MATHEMATICS PLACEMENT TESTPurpose: The tests in this booklet are to help determine proper mathematics placement and minimize the need for course changes after the start of the academic year. It is important that the student work independently so that the test will give us a fair representation of her current knowledge and skills. The tests are for placement purposes only. They do not affect admissions decisions in any way. However, it is important to answer questions to the best of your ability in order for the mathematics department to place you properly.Date student received test:_________________Name: (please print)_______________________________ Date test taken:___________ Circle grade you are entering at Emma Willard School: 9 10 11 12 PG Phone number (with area code):_________________________________________________ E-mail address:_____________________________________________ (print legibly please) Name of most recent school attended and the city and state/country where it is located.______________________________________________________________________________ What math course did you take this year, and what is your average grade at the time you are taking this test?______________________________________________________________________________ Have you taken a full-year course called Geometry? Circle your answer. YES NOIf you were remaining in your current school district or at your current school, what would be the name of the course you would take next year?______________________________________________________________________________ How do you view yourself as a mathematics student?Please read the following carefully:Directions to Parents: Please see that your daughter has a quiet place to complete the test in one sitting. The test has four levels. Each level is designed to be completed in less than an hour. Calculators may be used (EXCEPT on the Level One test), but texts and notes should not be used. We do not recommend extensive review prior to taking the test. It is meant to reflect your daughter’s accessible knowledge of her retained mathematics knowledge. It is not to your daughter’s advantage to obtain help on this test since proper placement is contingent on accurate assessment of her current knowledge of mathematics.Directions to the Student: This booklet contains four tests, Level One, Level Two, Level Three, and Level Four. Do as much of all four parts of the tests as you can. The sooner you complete the tests and return them to the school, the sooner we can properly place you and start the process of creating your schedule for the fall. Print out the levels you wish to complete. Be sure to check that all diagrams and problems have printed correctly. Please mail in all parts that you have completed as soon as possible after you complete them. You may use a calculator except on Level One. It is important that you give these tests your serious consideration as they will be the main factor in determining the math course in which you are enrolled.Please show your work neatly next to the problem (including scratch work) as it is useful in our evaluation of your methods and skills. Do not use extra paper, and simplify all answers. Showing your work helps us see where your mistakes were and adds to proper assessment of your understanding and hence proper placement.Calculator Use: It is important to note that all Emma Willard mathematics students will use the Texas Instruments TI-84 PLUS Graphing Calculator in all of our courses. These may be purchased at cost in our school store. While we teach students to use their calculators proficiently, we also stress the need to recognize problems that do not need a calculator and may require students to solve those problems without one. For this reason, on these placement tests we ask that you do as many problems as possible without the use of a calculator. On the Level One test, NO calculators are allowed.Please complete as many questions as you can on all levels of the four tests. For example, if you are an entering freshman and have only completed an eighth grade math course, and are only capable of completing a few problems on the Level One part, THIS IS FINE. If you are an entering junior, and hope to have proper placement, complete as much as you can of all four tests.The purpose of these tests is not to make a judgment about your mathematical ability. It is to assess how well you have been prepared for the sequence of coursesat Emma Willard. We strive to place new students in the course in which they will find the most appropriate challenge.4/12RevisedLevel One Test(total points = 108)In all questions, SHOW YOUR WORK in the space under the question and place your final answer on the line provided to the right. Do NOT use a calculator on this test. 1. A suit that is regularly sold for $120 is now advertised on sale at 30% off. What is the sale price of the suit?1. __________________(3 pts) 2. A school’s ratio of boys to girls is 4:5. If there are 360 students, how many girls attend the school?2. __________________(3 pts) 3. Evaluate 2492x x ?? when x = -1.3. __________________ (3 pts)In 4-8, simplify the expression.4. 3678x x ?+??4. __________________ (3 pts)5. 325()()x x x5. __________________ (3 pts)6. 343762c c c +?6. __________________(3 pts)7. a a a 4627. __________________(3 pts)8. (3x )38. __________________(3 pts)In 9-12 solve the equation.9. ?+=?369d9. _________________(3 pts)10. 25652x x +=?10. _________________(3 pts)11. The formula 9532F C =+ converts Celsius temperature (C) to Fahrenheit (F). What is the Fahrenheit equivalent of 20o C?11. _________________(3 pts)12. Solve for C in the formula 9325F C =+.12. _________________(3 pts)13. Multiple Choice. To rent a truck for a day, a driver pays a $15 fee. She pays an additional 18 cents for each mile she drives. If the total cost in dollars is c and she drives d miles, thenA) d c =+15018. B) d c =+01815. C) c d =+15018. D) c d =+01815.13. _________________(3 pts)14. Solve the equation for y . 236x y ?=14. _________________(3 pts)15. Is (1, 3) a solution of y x =?25? (Support your answer with work below.)15. _________________(3 pts)16. Graph the line y x =?253 using slope & y-intercept. Do notuse a table of values. (1 square = 1 unit)16. (3 pts)xa. Find its numerical slope.17. a. __________________ (3 pts)b. __________________ (3 pts)18. A line passes through the points (4, -2) and (-9, 8). a. Find the slope of the line. Show work. b. Write an equation for this line.18. a. __________________(3 pts)b. __________________ (3 pts)19. Given the slope of a line is 53 and the point (-8, 2) is on the line. Write an equation for the line.20. Solve the system:6222=?=+y x y x19. _________________ (3 pts)20. _________________ (3 pts)21. Multiply: ()()2135x x +?21. _________________(3 pts)22. Simplify: ()x +8222. _________________(3 pts)In 23-26, factor (using integers) the polynomial expression.23. Factor: 51532ab a b ?23. _________________(3 pts)24. Factor: x 225?24. _________________(3 pts)25. Factor: x x 2412+?26. Factor: 12x 2?5x ?225. _________________26. _________________(3 pts)27. Solve for x: ()()x x ?+=53027. _________________(3 pts)28. Solve the equation: 3524t =+28. _________________(3 pts)in simplified radical form.29. _________________(3 pts)30. Solve for x : 270x ?=30. _________________(3 pts)31. Solve for x : 24137x +=31. _________________(3 pts)32. Simplify: 23()46()32. _________________(3 pts)+33. _________________(3 pts)34. Use the quadratic formula, x b b ac a=±242 to solve the equation: 2602x x ??=.34. _________________Level Two Test(total points = 100)In all questions, SHOW YOUR WORK in the space under the question and place your final answer on the line provided to the right. You may use a scientific or graphing calculator.1. Measure of angle x = ?1. __________________(2 pts) 2. In the figure, ||m n and 50.m x ∠=°Find m y ∠.2. _________________ (2 pts)3. ?m y ∠=3. _________________ (2 pts)4. In the figure, 90m Q ∠=°and 40m SRT ∠=°. ?m P ∠=4. _________________ (2 pts)5. If is parallel to AB CD , then ?m x ∠=5. _________________ (2 pts)15°x55°65°nm x y 70°55°y40°T S R Q PDC B A 35°80°x6. In the plane figure, MN=NT=TV. Find the measure of TMN ∠.6. _________________(2 pts) 7. Which of the following reasons can always be used to prove two triangles congruent? Circle all that apply. No partial credit. (2 pts)SSS AAA SAS SSA AAS ASA8. Given the figure with DE BC , which of the followingproportions is not true? No partial credit.8. _________________ (2 pts) A. 456x = B. 4512y = C. 456x = D. 496x x =+9. Which one of the following sets of points is not collinear?A. B & DB. D, A & HC. D, B & GD. G, C &B9. __________________(2 pts) 10. Refer to the diagram in #9. The intersection of plane P and plane Q is:10. _________________(2 pts) A. line KC B. line AC C. line GC D. line PQ E. point CN35°V TM11. Given ABC Δ such that 50m A ∠=°and 64m B ∠=°. The longest side of the triangle isA. ABB. ACC. BCD. all sides are equalE. not enough information is given11. _________________(2 pts)12. Two similar triangles have areas in the ratio 4:9. The ratio of a pair of corresponding sides is 12. _________________(2 pts) A. 4:9 B. 16:81 C. 9:4 D. 2:313. ABCD is a parallelogram. Solve for x.13. _________________(2 pts)14. If the side of an equilateral triangle measures 6, then what is the measure of an altitude of the triangle?14. _________________(3 pts)15. What is the radius of circle O if PQ=12.15. _________________(3 pts)16. Find the sum of the interior angles in a hexagon.16. _________________(3 pts)17. A 6 foot ladder leans against a wall. Its top touches a point on the wall 4 feet above the floor. How many feet is the bottom of the ladder from the base of the wall? Draw a diagram and put your answer in simplest radical form. 17._________________(3 pts)18. A rhombus has diagonals of 20 and 16. What is the perimeter of the rhombus? Draw a diagram and put your answer in simplest radical form. 18. _________________(3 pts)19. In right triangle ABC, AC=12. What is the perimeter of the triangle? 19. _________________(3 pts)20. Find the area and perimeter of the rectangle below.20.Area = ______________(2pts) Perimeter = __________(2 pts)B21. Write the following proof either in a two-column format or written in paragraph form. (6 pts)Given: DA bisects BDC ∠BD=DC Prove: AB=AC22. What is the area of ADB Δin square units?22. _________________ (3 pts) 23. What is the area of parallelogram ABCD in square units?23. _________________(3 pts)BC24. What is the area of a circle whose circumference is 12π.24. _________________(2 pts)25. Square ABCD is inscribed in circle O. OA=4. What is area of the shaded region in square units?25. _________________(3 pts)26. In the circle below, what is the degree measure of arc AB?26. _________________(3 pts)27. The edge of a cube is 2 cm. Find the total surface area of the cube. Include units of measurements in your answer.27. _________________(3 pts)28. The diameter and height of a cone both measures 4 cm. What is the volume of the cone?28. _________________(3 pts)A29. Find the distance between the points (-2, 3) and (1, -4). 29. _________________(3 pts)30. Write an equation of the line perpendicular to152y x=+goingthrough the point (3, 4). 30. _________________(3 pts)31. Given the line segment with endpoints (1, -4) and (3, 2), determine the coordinates (x, y) of the midpoint. 31._________________(3 pts)32. List the letters of the answer(s) that give (s) you enough information to determine that the quadrilateral is a parallelogram. No partial credit.A. Both pairs of opposite sides are parallel.B. Two pairs of consecutive sides are congruent.C. Diagonals are congruent.D. Consecutive angles supplementary. 32. _________________(3 pts)33. Name the vector from A(3, 5) to B(7, 0). 33. _________________(2 pts)In 34-39, define the geometric term in your own words, a diagram alone is NOT sufficient.(2 pts each)34. Complementary Angles35. Isosceles Right Triangle36. Alternate Interior Angles37. Altitude of a Triangle38. Rhombus39. Median of a TriangleLevel Three Test(total points = 101)In all questions, SHOW YOUR WORK in the space under the question and place your final answer on the line provided to the right. You may use a scientific or graphing calculator.1. Write an equation of a line perpendicular to 523x y +=andcontaining the point (4, -1).1. __________________ (3 pts)2. State the radius and center of the circle with the equation: 22(3)16x y +?=2.Radius:______________(1 pts)Center:______________(2 pts)3. State the domain & range of the relation graphed below.3.Domain:_____________(1 pts)Range:_______________(1 pts)4. Is the relation in #3 a function? Explain why or why not?4. __________________(3 pts)5. Identify whether the function 2()3g x x =? is an even function, odd function or neither. 5. __________________(3 pts)(2, -1) x y6. Given the point (1, -3) is on the graph ()y f x =, what point is on the graph of.a. 3()y f x =b. (3)3y f x =++c. 2()3y f x =?+6.a. __________________(3 pts)b. __________________(3 pts)c. __________________(3 pts)7. Let 2()1f x x =+and ()23g x x =?. Find (())g f x and simplify.7. __________________(3 pts)8. If ()32f x x =?, then 1()f x ?=_?_8. __________________(3 pts)9. Find the EXACT (no decimals) x -intercept(s), y -intercept, and vertex of the parabola 22810y x x =??algebraically. Show your work below. 9.x -int:________________(2 pts)y -int:________________(1 pts)vertex:_______________(3 pts)10. Simplify over the set of complex numbers.b. 2(12)i ?10.a. __________________(3 pts)b. __________________(3 pts)11. Simplify: 023543()x y z x yz. Write your answer with positive exponents.11. _________________(3 pts)12. Simplify: 236427. Write your answer as a simplifiedfraction.12. _________________(3 pts)13. Graph the function 1()f x x=. Be certain to plot at least three points and include any asymptotes as dashed lines.(3 pts) (1 square =1 unit)14. Write 239=in logarithmic form.14. _________________(3 pts)x。