6.4探索三角形相似的条件4

三角形的相似条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。

而三角形的相似，则是三角形研究中的一个关键概念。

那么，到底什么情况下两个三角形会相似呢？这就涉及到三角形的相似条件。

首先，我们来了解一下什么是三角形的相似。

简单来说，如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形就是相似的。

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

三角形相似的第一个条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。

比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果角 A 等于角 D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。

为什么呢？因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等。

而三个角都相等的三角形，形状就是相同的，所以它们相似。

接下来是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE ＝ AC/DF ，并且角 A 等于角 D，那么这两个三角形就是相似的。

这个条件其实很好理解，因为夹角相等，两边成比例，就意味着三角形的形状被固定下来了，所以它们相似。

再看“三边成比例的两个三角形相似”。

比如三角形 ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 DEF 的三条边分别为 d、e、f，如果 a/d ＝ b/e ＝ c/f ，那么这两个三角形就是相似的。

这个条件就像是用尺子去衡量三角形的边，如果比例都一样，那形状肯定相同，只是大小可能不同。

为了更好地理解三角形的相似条件，我们来看几个实际的例子。

假设在一个三角形中，三个角分别为 30 度、60 度和 90 度。

在另一个三角形中，也有三个角分别为 30 度、60 度和 90 度。

那么很明显，这两个三角形的对应角相等，所以它们是相似的。

再比如，有一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 60 度。

另一个三角形对应的两条边分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。

通过计算可以发现，这两条对应边的比例是 1:2 ，夹角相等，所以这两个三角形相似。

探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：512AC AB -=≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21A B. （2）连接AD ，在DA 上截取DE =D B.（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.。

数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（九年级下册）作者：张洁（连云港市新海实验中学）6.4 探索三角形相似的条件（1）目标1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力重点探索“见平行，得相似”的相关结论．难点成比例的线段中对应线段的确定．教学过程（教师）学生活动图，画三条互相平行的直线l1、l2、l3，再任意画2条直线别与l1、l2、l3相交于点A、B、C和点D、E、F．创设情境，通过学生独立作图．活动的探究兴画图中AB、BC、DE、EF的长度，并计算对应线段的比现？意平移l3，再度量AB、BC、DE、EF的长度．这些比值组织学生积极操作与思考，利用小组合作的方式进行度量操作探究．问题1的设置仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况由学生思考、解答．通过提高学力，培养良好习惯a bb b a，在△ABC 中， 点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥ABC 有什么关系？一组平行线所截，所得的对应线段成比例．形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角通过操作、思考等数学活动，归纳出平行线分线段成比例定理和判定三角形相似的条件．教学中应结合实例向学生说明，在三角形中“见平行，想相似”也是解题的一种思路．MN ∥DE ，共有多少对相似三角形？ ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AB ，DE 、GF 交于点O ，则图的三角形共有多少个？请你写出来．1．学生独立完成；2．利用展台学生代表讲评．设的是为似判定方同时为垫．题绍相似三OABCDE G FBC中，DG∥EH∥FI∥BC．图中所有的相似三角形；D＝1，DB＝3，G∶BC＝_____．设的是为生平行定理的理生分析问能力．的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什学生讨论小结本节课内容．培学习过程挥学生的培养归纳能力．课本54-55页练习第1、2题；课本习题6.4第1、3、7题．课本习题6.4第2、4题．学生独立完成．布要目的学知识．。

6.4 探索三角形相似的条件（1）教学目标： 1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学重点：探索“见平行，得相似”的相关结论． 教学难点：成比例的线段中对应线段的确定． 教学过程：活动一：如图，画三条互相平行的直线l 1、l 2、l 3，再任意画2条直线 a 、b ，使 a 、b 分别与l 1、l 2、l 3相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．探索新知： 活动一：提出问题（1）度量所画图中AB 、BC 、DE 、EF 的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？ （2）如果任意平移l 3，再度量AB 、BC 、DE 、EF 的长度．这些比值还相等吗？活动二：如图，在△ABC 中， 点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，△ADE 与△ABC 有什么关系？问题1：的设置仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况由学生思考、解答．a ba bba得出结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．尝试交流：1．如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？2．如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来．拓展延伸如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC．（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4探索三角形相似的条件（2）教学目标：1．探索“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法；2．运用三角形相似解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”．教学难点：1．“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法的探究证明；2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．教学过程：回顾思考：1．判定两个三角形全等有哪些方法？2．如果要判定两个三角形是不是相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？3．我们学过哪种判定三角形相似的方法？探索新知：如图，小明用一张纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗？提出问题：（1）如图，如果∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，那么第一个三角形与第二个三角形全等吗？为什么？如图，如果∠A＝∠E，∠B＝∠F，2AB＝EF，那么第一个三角形与第三个三角形相似吗？如果把2AB＝EF改为3AB＝EF呢？创设情境，引导学生积极思考，小组合作，带领学生画图探究．关于三角形相似的判定“两角对应相等的两个三角形相似”的证明尽量通过两种方法，培养学生合情推理和说理的能力．通过操作使学生感悟到只要满足∠A＝∠E，∠B＝∠F的条件，两个三角形就能相似．两种方法的证明培养学生合情推理和说理的能力．得出结论:两角分别相等的两个三角形相似．尝试交流:例1、如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高．找出图中所有的相似三角形．练习1、判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）所有的等腰三角形都相似．( )（2）所有的等腰直角三角形都相似．( )（3）所有的等边三角形都相似．( )（4）所有的直角三角形都相似．( )（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似．( )（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似．( )练习2、如图，在△ABC中BD⊥AC，AE⊥BC，图中一定和△BDC相似的三角形有几个? 它们分别是哪些三角形？EOA D拓展延伸:过△ABC （∠C＞∠B）的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC 相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来．课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4 探索三角形相似的条件（3）教学目标:1．探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，并能运用解题；2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学重点:掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．教学难点: 1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学过程: 回顾思考:我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A ＝∠A'， ．能判断△ABC 与△A'B'C' 相似吗？ 提出问题：如果把21换成其他数值，再试一试． 已知： ，∠A ＝∠A'． 求证：△ABC ∽△A'B'C'．关于三角形相似的判定方法“ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明，通过操作、观察、探索等合情推理活动，使学生感悟到判断三角形相似的条件． 得出结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．尝试交流1．如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠B ＝∠E ，要 使△ABC ∽△DEF ，需要添加什么条件？12A B A C AB AC ''''==ABAC k A B A C ==''''2．如图，△ABC与△A'B'C'相似吗？有哪些判断方法？3．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm．（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD ∽△ABC；（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝时，△AEB ∽△ABC；此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？拓展延伸有一池塘，周围都是空地．如果要测量池塘两端A、B间的距离，你能利用本节所学的知识解决这个问题吗？课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问BC'B'A'CBA6.4 探索三角形相似的条件（4）教学目标: 1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，并能解决简单的问题； 2．经历两个三角形相似判定的探索过程，体验用类比得出数学结论的过程． 教学重点:掌握“三边成比例的两个三角形相似”．教学难点: 1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学过程:（1）判定两个三角形全等有哪些方法？（2）如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ （3）我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 探索新知:由三角形全等的SSS 判定方法，我们想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？提出问题：如何证明这个命题是真命题？关于三角形相似的判定方法“三边成比例的两个三角形相似”， 得出结论:三角形相似的判定方法：三边成比例的两个三角形相似．尝试交流:1．，试说明∠BAD ＝∠CAE . 如图已知 AEACDE BC AD AB = =2．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？3．根据下列条件，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由．AB＝3，BC＝5，AC＝6，A'B'＝6，B'C'＝10，A'C'＝12．题2也可以用判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．拓展延伸:要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？课堂小结:通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？6.4探索三角形相似的条件（5）教学目标: 1．理解黄金三角形、三角形重心的概念；2．运用黄金三角形、三角形重心的结论解决实际问题．教学重点:对黄金三角形、三角形重心的理解．教学难点:三角形三条中线相交于一点的证明．教学过程:回顾思考:1．如何判定两个三角形是否相似？2．什么叫黄金分割？探索新知:1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC 的角平分线．（1）△ABC与△BDC 相似吗？为什么？（2）判断点D是否是AC的黄金分割点，并说明理由．2．如何证明三角形的三条中线相交于一点？题2也可以用面积法证．假设中线CF与BE相交于点G，延长AG与BC相交于点D，可证△AFG、△BFG、△AGE、△CGE 面积都相等，再证△BDG与△DCG面积相等（同底等高三角形），推出BD＝DC，即D是BC的中点．得出结论：1．我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形．黄金△ABC 它具有如下的性质： （1）0.618BCAB； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点； （3）如再作∠C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形．2．三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．新知应用1．如图，正五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等． （1）找找看，图中是否有黄金三角形？ （2）点F 分别是哪些线段的黄金分割点？A B H F GNM ED C精品文档精心整理2．已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AD与中线BE相交于点G，AD＝18，GE＝5，求BC的长．课堂小结通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？。

苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.4《探索三角形相似的条件》这一节主要让学生理解并掌握三角形相似的判定方法。

在学习了相似图形的性质和判定方法之后，学生能够通过观察、操作、推理等过程，探索并证明两个三角形相似的条件。

教材通过丰富的素材，引导学生积极参与，培养学生的几何思维能力和推理能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似图形的概念，对图形的相似性有一定的认识。

但是，对于三角形相似的判定方法，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，通过引导他们观察、操作、推理，帮助他们理解和掌握三角形相似的条件。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解三角形相似的概念，掌握三角形相似的判定方法。

2.过程与方法目标：培养学生观察、操作、推理的能力，提高他们的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极参与、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的概念，三角形相似的判定方法。

2.教学难点：三角形相似的判定方法的灵活运用，能够通过观察、操作、推理等过程，探索并证明两个三角形相似的条件。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作交流法等，引导学生积极参与，培养他们的几何思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示三角形相似的判定过程，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习相似图形的性质，引导学生自然过渡到三角形相似的概念。

2.新课讲解：讲解三角形相似的概念，引导学生通过观察、操作、推理，探索并证明三角形相似的条件。

3.案例分析：分析一些具体的例子，让学生运用三角形相似的判定方法，巩固所学知识。

4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生独立完成，检测他们对三角形相似的判定方法的掌握程度。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调三角形相似的判定方法的重要性和应用。

两边成比例且夹角相等教学目标知识目标：1．使学生了解“识别三角形相似的条件2”的说明思路与方法，并掌握应用这个条件解决有关问题．2．通过这个条件的引出进一步提高学生对类比数学思想方法的理解．3．了解通过以比例形式、等角形式寻找一对三角形相似的论证过程．能力目标：4．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．情感目标：5．渗透几何证明的统一美和简洁美教学重点、难点：1．重点是使学生掌握这个识别条件，会运用它们判定三角形相似．2．难点是对判定条件2作一种辅助线思路的进一步巩固，以及讨论这种类型题的审题及书写格式．教学方法：引导-----类比-----讨论-----发现．教学过程：（一）细心观察，大胆猜想用多媒体展示一个三角形通过放大镜不同倍率的放大得到的三角形。

×2×3×4提问：所得三角形边长、角发生了怎么样的变化？与原三角形相似吗？让学生猜想如果一个三角形的两条边分别是另一个三角形两条边的k倍，并且夹角相等，那么这两个三角形是否相似？下面我们一起进行进一步的探索，同学们要积极的去想象、思考。

（二）科学验证，得出新知用动画演示的方式，师生共同探讨证明的方法： 三角形相似的条件（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．符号语言：在△ABC 和△A ´B ´C ´中∵ ，∠B' ＝∠B∴ △A ´B ´C ´∽△ABC上述识别方法中的“角”一定是两对应边的夹角吗？【操作】让学生动手操作，画两个三角形△ABC 和△A’B’C’ ，符合如下要求：利用几何花板演示所画的三角形，让学生直观地感觉到两个三角形不一定相似。

两边对应成比例且一边的对角对应相等的两三角形不一定相似。

（三）学以致用，体验成功A ´B ´C ´A B C C″B ″试一试（1）：如图，一个纸板△ABC ，AB ＝4，AC ＝3，E 为AB 中点，请你在边AC 上找一点F ，用剪刀沿着EF 剪开，所得三角形与原△ABC 相似。

[6.4 第4课时利用三边证相似]一、选择题1．△ABC的三边长分别为2，6，2，△A1B1C1的两边长为1，3，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为( )A. 2B.22C.62D.332．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠B＝∠B′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．如图K－18－1，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是链接听课例2归纳总结( )图K－18－1图K－18－24．如图K－18－3所示，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸上的格点，为使△ABC ∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的( )图K－18－3A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题5．若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的边长为21 cm，则其余两边长的和为________cm.6．如图K－18－4，在△ABC和△DEF中，已知ABDE＝BCEF，再添加一个条件：________________________________________________________________________，使得△ABC∽△DEF.图K－18－47．正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC边上，BF＝3CF.则下列结论：(1)△ABF∽△AEF；(2)△ECF ∽△ADE ；(3)△AEF ∽△ADE ；(4)△ABF ∽△ADE ；(5)△ECF ∽△AEF .其中正确的有________(填写序号)．8．如图K －18－5，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有________对.链接听课例2归纳总结图K －18－5三、解答题9．根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．(1)∠B ＝30°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，∠B ′＝30°，A ′B ′＝6 cm ，A ′C ′＝8 cm ；(2)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝15 cm.链接听课例1归纳总结10.如图K －18－6所示，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC ，△DEF 的顶点都在格点上，那么△ABC 与△DEF 相似吗？试说明理由.链接听课例1归纳总结图K －18－611．已知AD 和A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的中线，且AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝AD A 1D 1. 试判断△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似，并说明你的理由．12．如图K －18－7，在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，△DEF 与△ABC 相似吗？说明你的理由． 图K －18－713．如图K －18－8，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，点B ，D ，E 在一条直线上． 求证：△ABD ∽△ACE.图K －18－8类比思想学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到：“满足____________________________的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知、求证，并完成说理过程．图K －18－9详解详析 [课堂达标]1．[解析] A 设第三边长为x ，分类讨论：(1)21＝63＝2x ，则x ＝2；(2)2x ＝21≠63，故不成立；(3)21≠23＝6x，故不成立． 2．[解析] D 根据相似三角形的判定方法，知①②，②④，③④，①③满足条件，故选D .3．[解析] A 根据勾股定理求出△ABC 的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．已知给出的三角形的各边分别为2，2，10，所以△ABC 的三边之比为2∶2∶10＝1∶2∶ 5.A 项，三角形的三边分别为1，2，5，三边之比为1∶2∶5，故A 选项正确；B 项，三角形的三边分别为2，5，3，三边之比为2∶5∶3，故B 选项错误；C 项，三角形的三边分别为1，5，2 2，三边之比为1∶5∶2 2，故C 选项错误；D 项，三角形的三边分别为2，5，13，三边之比为2∶5∶13，故D 选项错误．故选A .4．[解析] C 记方格纸上每一小格的边长为1，记甲、乙、丙、丁4点为X ，Y ，Z ，W.则AB ＝2，BC ＝AC ＝10，PQ ＝4.若△ABC ∽△PQR ，则PR ＝2 10.而PX ，PY ，PZ ，PW 中只有PZ 的长为2 10，所以R 应是丙点．5．[答案] 24[解析] 设另两边长分别为x cm ，y cm (x<y)．则x 3＝y 5＝217，所以x ＝9，y ＝15，所以x ＋y ＝24. 6．答案不唯一，如∠B ＝∠E 或AB DE ＝AC DF7．(2)(3)(5)8．[答案] 2 [解析] 如图，设一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长如下：△ABC 的各边分别为2，2，2；△CDF 的各边分别为2，5，3；△EFG 的各边分别为5，5，10；△HMN 的各边分别为1，2，5； △HPQ 的各边分别为2，2 2，2 5； 可以得出△ABC 与△EFG ，△HMN 与△HPQ 的各边对应成比例，所以这两组三角形相似．故答案为2. 9．解：(1)不一定相似．理由：∵AB A′B′＝36＝12，AC A′C′＝48＝12， ∴AB A′B′＝AC A′C′， 但∠B 不是边AB ，AC 两边的夹角，∠B ′不是边A′B′，A ′C ′的夹角，不满足三角形相似的条件，∴△ABC 与△A′B′C′不一定相似．(2)相似．理由：∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13，AC A′C′＝515＝13，∴AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.10．解：不相似．理由：在△ABC 中，AC ＝4，由勾股定理，求得BC ＝AB ＝20＝2 5.在△DEF 中，由勾股定理，得DF ＝2，DE ＝EF ＝5，∴DE AB ＝EF BC ＝52 5＝12， 而DF AC ＝24≠12，∴DE AB ＝EF BC ≠DF AC，∴△ABC 与△DEF 不相似．11．解：相似．理由：如图，等倍延长中线AD 和A 1D 1至M 和M 1，连接BM 和B 1M 1，则AM ＝2AD ，A 1M 1＝2A 1D 1.易证△ADC ≌△MDB ，△A 1D 1C 1≌△M 1D 1B 1，则BM ＝AC ，B 1M 1＝A 1C 1.∵AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝AD A 1D 1， ∴AB A 1B 1＝BM B 1M 1＝AM A 1M 1， ∴△ABM ∽△A 1B 1M 1，∴∠BAM ＝∠B 1A 1M 1，∠M ＝∠M 1.由△ADC ≌△MDB ，得∠DAC ＝∠M ，由△A 1D 1C 1≌△M 1D 1B 1，得∠D 1A 1C 1＝∠M 1，∴∠DAC ＝∠D 1A 1C 1，∴∠BAC ＝∠B 1A 1C 1.又∵AB A 1B 1＝AC A 1C 1， ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.12．[解析] 根据三角形的中位线性质可得EF ＝12BC ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝12AB ，DF ＝12AC ，所以有EF BC ＝DE AB ＝DF AC ＝12，可证得△DEF 与△ABC 相似． 解：△DEF ∽△ABC.理由：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ＝12BC. ∵AD 为边BC 上的高，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12AB ，DF ＝12AC ， ∴EF BC ＝DE AB ＝DF AC ＝12，∴△DEF ∽△ABC. 13．[解析] 在△ABC 和△ADE 中，由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，可证得△ABC ∽△ADE ，即可证得∠BAD ＝∠CAE ，又由AB AD ＝AC AE，即可证得△ABD ∽△ACE. 证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝AD AE，∴△ABD ∽△ACE. [素养提升]解： 斜边和一条直角边对应成比例已知：Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，且BC B′C′＝AB A′B′. 求证：Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.证明：设BC B′C′＝AB A′B′＝k(k ＞0)， 则BC ＝k·B′C ′，AB ＝k·A′B′.∵AC ＝AB 2－BC 2＝（k·A′B′）2－（k·B′C′）2＝k A′B′2－B′C′2＝k·A′C′，∴AC A′C′＝k ，从而BC B′C′＝AB A′B′＝AC A′C′＝k ， ∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.。