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第四节 二阶常系数线性微分圆程之阳早格格创做一、二阶常系数线形微分圆程的观念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)p 、q 均为真数,)(x f 为已知的连绝函数.如果0)(≡x f ,则圆程式 (1)形成0=+'+''qy y p y (2)咱们把圆程(2)喊干二阶常系数齐次线性圆程,把圆程式(1)喊干二阶常系数非齐次线性圆程. 本节咱们将计划其解法.二、二阶常系数齐次线性微分圆程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的二个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任性常数.道明 果为1y 与2y 是圆程(2)的解,所以有 将2211y C y C y +=代进圆程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是圆程(2)的解.定理1道明齐次线性圆程的解具备叠加性. 叠加起去的解从形式瞅含有21,C C 二个任性常数,但是它纷歧定是圆程式(2)的通解.2.线性相闭、线性无闭的观念设,,,,21n y y y 为定义正在区间I 内的n 个函数,若存留没有齐为整的常数,,,,21n k k k 使恰当正在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称那n 个函数正在区间I 内线性相闭,可则称线性无闭.比圆 x x 22sin ,cos ,1正在真数范畴内是线性相闭的,果为又如2,,1x x 正在所有区间(a,b)内是线性无闭的,果为正在该区间内要使必须0321===k k k .对于二个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相闭,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无闭. 3.二阶常系数齐次微分圆程的解法定理2 如果1y 与2y 是圆程式(2)的二个线性无闭的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任性常数)是圆程式(2)的通解.比圆,0=+''y y 是二阶齐次线性圆程,x y x y cos ,sin 21==是它的二个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无闭, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= (21,C C 是任性常数)是圆程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)战它的各阶导数皆只好一个常数果子, 根据指数函数的那个特性,咱们用rx e y =去试着瞅是可采用适合的常数r ,使rx e y =谦脚圆程(2).将rx e y =供导,得把y y y ''',,代进圆程(2),得果为0≠rx e , 所以惟有 02=++q pr r (3)只消r 谦脚圆程式(3),rx e y =便是圆程式(2)的解.咱们把圆程式(3)喊干圆程式(2)的特性圆程,特性圆程是一个代数圆程,其中r r ,2的系数及常数项恰佳依次是圆程(2)y y y ,,'''的系数.特性圆程(3)的二个根为 2422,1q p p r -±-=, 果此圆程式(2)的通解有下列三种分歧的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是二个没有相等的真根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= xr x r e y e y 2121,==是圆程(2)的二个特解,而且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y ,得圆程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是二个相等的真根.221pr r -==,那时只可得到圆程(2)的一个特解x r e y 11=,还需要出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代进圆程(2), 得 整治,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 果为1r 是特性圆程(3)的二沉根, 所以进而有 0=''u果为咱们只需一个没有为常数的解,无妨与x u =,可得到圆程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,圆程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特性圆程(3)有一对于共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧推公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 21,y y 之间成共轭闭系,与-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, 圆程(2)的解具备叠加性,所以-1y ,-2y 仍旧圆程(2)的解,而且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以圆程(2)的通解为综上所述,供二阶常系数线性齐次圆程通解的步调如下:(1)写出圆程(2)的特性圆程(2)供特性圆程的二个根21,r r(3)根据21,r r 的分歧情形,按下表写出圆程(2)的通解.例1供圆程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给圆程的特性圆程为所供通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 供圆程0222=++S dt dS dt S d 谦脚初初条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给圆程的特性圆程为通解为 t e t C C S -+=)(21将初初条件40==t S 代进,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对于其供导得将初初条件20-='=t S 代进上式,得所供特解为例3供圆程032=-'+''y y y 的通解.解 所给圆程的特性圆程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以本圆程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次圆程的解法1.解的结构定理3 设*y 是圆程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对于应的齐次圆程式(2)的通解,则*+=y Y y 是圆程式(1)的通解.道明 把*+=y Y y 代进圆程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使圆程(1)的二端恒等,所以*+=y Y y 是圆程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性圆程(1)的左端)(x f 是几个函数之战,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是圆程 )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 便是圆程(4)的特解, 非齐次线性圆程(1)的特解偶尔可用上述定理去助闲供出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是闭于x 的一个m 次多项式.圆程(1)的左端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为共一典型函数,果此圆程(1)的特解大概为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数. 把 x e x Q y λ)(=*代进圆程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5) 以下分三种分歧的情形,分别计划函数)(x Q 的决定要领:(1) 若λ没有是圆程式(2)的特性圆程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的二端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代进(5)式,并比较二端闭于x 共次幂的系数,便得到闭于已知数m b b b ,,,10 的1+m ),,1,0(m i b i =.进而得到所供圆程的特解为(2) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)创造, 则)(x Q '必须假如m 次多项式函数,于是令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的沉根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式创造,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数.综上所述,若圆程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 共次多项式,k 按λ没有是特性圆程的根,是特性圆程的单根或者是特性圆程的沉根依次与0,1或者2.例4 供圆程x e y y 232-='+''的一个特解.解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对于应齐次圆程的特性圆程为 022=+r r ,特性根根为2,021-==r r .λ=-2是特性圆程的单根, 令x e xb y 20-=*,代进本圆程解得故所供特解为 x xe y 223--=* . 例5 供圆程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先供对于应齐次圆程02=+'-''y y y 的通解. 特性圆程为 0122=+-r r , 121==r r齐次圆程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再供所给圆程的特解由于1=λ是特性圆程的二沉根,所以把它代进所给圆程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给圆程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,圆程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''(7)那种典型的三角函数的导数,仍属共一典型,果此圆程式(7)的特解*y 也应属共一典型,不妨道明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数. 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与0; 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与1; 例6 供圆程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=没有是特性圆程为0322=-+r r 的根，0=k .果此本圆程的特解形式为 于是 x b x a y cos sin +-=*'将*''*'*y y y ,,代进本圆程，得解得 54,52-=-=b a本圆程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 供圆程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解先供对于应的齐次圆程的通解Y .对于应的齐次圆程的特性圆程为再供非齐次圆程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别供出圆程对于应的左端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是本圆程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均没有是特性圆程的根,故特解为代进本圆程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给圆程的一个特解为 所以所供圆程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
微积分Calculus二阶常系数齐次线性微分方程()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x −−'++++=当均为常数时，称为阶常系数线性微分方程，否则，称为变系数微分方程。
n ()i p x 一n 阶常系数线性微分方程n 阶线性微分方程本节只研究二阶常系数线性微分方程：时，二阶常系数线性齐次微分方程()0f x =时，二阶常系数线性非齐次微分方程()0f x ≠形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.'''09-24y py qy ++=（）p q 、1二阶常系数齐次线性微分方程定理一如果函数都是齐次方程（9-24）的解，则也是方程（9-24）的解，其中为任意常数。
)((2211x x y c y c +）c c 21、y 1(x)和y 2(x)定义一设两个函数在区间内有定义1）若常数，即与不成比例，则称函数在内线性无关.（2）若（常数），即与成比例，则称函数在内线性相关。
定理二若函数是齐次方程（9-24）的两个线性无关的解，则其通解为其中为任意常数。
特征方程法假设方程有形如的解，则代入方程后得特征根因为，故有特征方程2二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性方程特征方程为1）特征方程有两个不等的实根，则是方程的两个线性无关的解，故齐次方程的通解为2）特征方程有两相等的实根，则一特解为，设另一特解为得齐次方程的通解为3）特征方程有一对共轭复根，y1=e(α+iβ)x,y2=e(α−iβ)x重新组合y1=12(y1+y2)=eαx cosβxy 2=12i(y1−y2)=eαx sinβx得齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性方程的特征方程，特征根特征根通解形式实根实重根共轭复根特征方程为求方程的通解。
解解得特征根故所求通解为二相关练习例一特征方程为求方程的通解。
解解得故所求通解为例二特征方程为求解初值问题解特征根为通解为将条件代入得故所求特解为例三。
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+''(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r(3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 整理,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为21,y y 之间成共轭关系,取方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得 将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根,即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10Λ的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i Λ=.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i Λ=.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令 用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解. 特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为 其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则**+=*21y y y 是原方程的一个特解.第 11 页 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为所以所求方程的通解为希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
二阶常系数线性齐次微分方程为了解这类微分方程，我们首先考虑其特征方程。
将方程$ay''+by'+cy=0$写成$ay''=-by'-cy$的形式，然后设$y=e^{mx}$，代入方程中，得到$ae^{mx}m^2=-be^{mx}m-ce^{mx}$，将$e^{mx}$约掉，可得特征方程$am^2+bm+c=0$。
根据特征方程的根的情况，我们可以分为三种情况来考虑二阶常系数线性齐次微分方程的解。
情况一：特征方程有两个不相等的实根$m_1$和$m_2$。
假设特征方程的两个实根为$m_1$和$m_2$，则特征方程可以写成$(m-m_1)(m-m_2)=0$的形式。
设$y=e^{m_1x}$和$y=e^{m_2x}$是方程的两个特解，同时它们也是线性无关的解，那么原方程的通解可以表示为$y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
情况二：特征方程有两个相等的实根$m_1=m_2$。
假设特征方程的两个相等的实根为$m_1=m_2$，则特征方程可以写成$(m-m_1)^2=0$的形式。
设$y_1=e^{m_1x}$和$y_2=xe^{m_1x}$是方程的两个特解，那么原方程的通解可以表示为$y=(c_1+c_2x)e^{m_1x}$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
情况三：特征方程有一对共轭复根$m_1=m_2$。
假设特征方程的一对共轭复根为$m_1=\alpha+i\beta$和$m_2=\alpha-i\beta$，其中$\alpha$和$\beta$为实数，那么特征方程可以写成$(m-\alpha-i\beta)(m-\alpha+i\beta)=0$的形式。
根据欧拉公式，我们知道$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，所以我们可以把特解写成$y=e^{\alpha x}(c_1\cos\betax+c_2\sin\beta x)$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
