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§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。
本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。
另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。
但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。
[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。
但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。
另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。
通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。
通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。
同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。
以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。
[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
（浙江专用）2018版高中数学第三章直线与方程习题课学案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高中数学第三章直线与方程习题课学案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专用）2018版高中数学第三章直线与方程习题课学案新人教A版必修2的全部内容。
第三章直线与方程习题课目标定位 1.了解直线和直线方程之间的对应关系。
2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程.3.能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式转化为一般式,知道这几种形式的直线方程的局限性.1.经过M(3，2）与N（6,2）两点的直线方程为（）A。
x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B。
答案B2.直线（2m2－5m＋2)x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )A.－2 B。
2 C.－3 D.3解析由已知得m2－4≠0，且错误!＝1,解得：m＝3或m＝2（舍去).答案D3。
直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则（）A。
C＝0，B>0 B.A>0，B>0,C＝0C。
AB〈0，C＝0 D.AB〉0，C＝0解析通过直线的斜率和截距进行判断.答案D4。
直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点（1，－1)，则直线的斜率k等于( )A.－3B.3 C。
错误!D。
－错误!解析由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0（m≠0），解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay ＋2a＝0（a≠0），即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－错误!.答案D5.已知直线（a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为（）A。
（浙江专用）2018版高中数学第三章直线与方程3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离学案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高中数学第三章直线与方程3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离学案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.3.1 两条直线的交点坐标3。
3.2 两点间的距离目标定位1。
会求两条直线的交点坐标。
2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系。
3。
掌握平面上两点间的距离公式并会应用。
自主预习1.两条直线的交点已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0;l2：A2x＋B2y＋C2＝0。
若两直线的方程联立，得方程组错误!若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解,则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.2.过定点的直线系方程已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0交于点P（x0，y0）,则方程A1x＋B1y ＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2。
3。
两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1),P2（x2,y2)间的距离公式｜P1P2|＝（x2－x12＋（y2－y1)2）.4.两点间距离的特殊情况（1）原点O（0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP｜＝错误!.(2）当P1P2∥x轴（y1＝y2)时,｜P1P2|＝｜x2－x1｜。
直线的方程（一） 掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程． 引入新课1.（1）若直线l 经过点()000y x P ，，且斜率为k ，则直线方程为 ；这个方程是由直线上 及其 确定的，所以叫做直线的 方程．（2）直线的点斜式方程①一般形式：②适用条件：2．（1）若直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为()b ，0，代入直线的点斜式，得 ，我们称b 为直线l 在y 轴上的 ．这个方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的 确定的，所以叫做直线的 方程．（2）直线的斜截式方程①截距：②一般形式：③适用条件：注意：当直线和x 轴垂直时，斜率不存在，此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示． 例题剖析例1已知一直线经过点P （－2，3），斜率为2，求此直线方程．例2直线052=+y 的斜率和在y 轴上的截距分别为例3 将直线l 1：023=-+-y x 绕着它上面的一点)32( ，按逆时针方向旋转︒15 得直线l 2，求l 2的方程．变式：直线l 经过点(2,3)A , 倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的两倍，求直线l 的方程。
例4已知直线l 的斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．变式：已知直线l 经过点()5,4P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程5．直线系、直线系方程例5．在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？(1)2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+(2)2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-结论：y kx b =+(b 为常数)和y kx b =+(k 为常数)分别表示过定点()0,P b 的动直线(去掉垂直于x 轴的直线)和一组斜率为k 的平行直线．巩固练习1．根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；（2）斜率为23，与x 轴交点的横坐标为7-；（3）经过点()33- -，，与x 轴平行；（4）经过点()33- -，，与y 轴平行．课堂小结:掌握直线方程的点斜式、斜截式，能根据条件熟练求出直线的方程．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．直线l 经过点()31 -，M ，其倾斜角为60°，则直线l 的方程是 ．2．对于任意实数k ，直线()32+-=x k y 必过一定点，则该定点的坐标为（ ）A ．()23 ，B ．()32 ，C ．()32- ，D ．()32 -，3．直线l ：()21+=-x k y 必过定点 ，若直线l 的倾斜角为135°， 则直线l 在y 轴上的截距为 ．4．已知直线321+=x y l ：，若2l 与1l 关于y 轴对称，则直线2l 的方程为 ；若直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的方程为 ．5．将直线13-+=x y 绕着它上面的一点(1，3)按逆时针方向旋转︒15， 得到直线的方程为 ．6．若△ABC 在第一象限，()()1511 ，，，B A ，且点C 在直线AB 的上方， ∠CAB =60°，∠CBA =45°，则直线AC 的方程是 ，直线BC 的方程是 ．二 提高题7．根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）斜率为33，经过点()28- ，；（2）经过点()02 -，，且与x 轴垂直；（3）斜率为－4，在y轴上的截距为7．8．已知直线533+-=x y 的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，求分别满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点()43- ，P ； （2）在y 轴上的截距为3．三 能力题9．（1）若直线l 的斜率122332,(3,5),(,7),(1,)k P P x P y =-是直线l 上的三个点,则2x ＝ ， 3y ＝（2）直线l 经过点(1,2)P -，且l 在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程；10．求与两坐标轴围成的三角形周长为9且斜率为34-的直线l 的方程．。
3.2.2 直线的两点式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标．1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学学科素养．2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学学科素养．1．直线的两点式方程 名称 两点式方程已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2示意图直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1适用范围斜率存在且不为零直线呢？[提示] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．2．直线的截距式方程 名称 截距式方程已知条件 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0示意图直线方程 x a ＋y b＝1 适用范围斜率存在且不为零，不过原点思考：方程2－3＝1和2＋3＝－1都是直线的截距式方程吗？[提示] 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.3．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22．1．过点A (3，2)，B (4，3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0D [由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.]2．过P 1(2，0)，P 2(0，3)两点的直线方程是( ) A. x 3＋y 2＝0 B. x 2＋y 3＝0 C. x 2＋y3＝1 D. x 2－y3＝1 C [由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.]3．如图，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则a ________0，b ________0.> < [M (a ，0)，N (0，b )，由题图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，所以a >0，b <0.]4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为________．－32 [直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.]直线的两点式方程【例1】 (1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2，7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3，4)的直线上，则m ＝________．(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由直线方程的两点式得y －（－1）4－（－1）＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.]由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]1．在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7，3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．[解] (1)设点C (x ，y )，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0.得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3). (2)点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，点N 的坐标是(1，0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1，即5x －2y －5＝0.直线的截距式方程【例2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．思路探究：[解] 法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y －7＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二：设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等． ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．[跟进训练]2．求过点A (5，2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程． [解] 由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时， 设l 的方程为x 2a ＋ya＝1，将点(5，2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x 或x ＋2y －9＝0.直线方程的灵活应用 [探究问题]1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？ [提示] 点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式． 2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？ [提示] 可选择斜截式．3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ [提示] 选择截距式较好．【例3】 已知A (－3，2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 思路探究：(1)B ，C 两点坐标――→两点式求方程 (2)求中点坐标――→两点式求直线方程[解] (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －（－4）－2－（－4）＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5).(2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋（－2）2＝－3，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3，2)，所以y －2－3－2＝x －（－3）52－（－3），即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.1．本例中条件不变，试求AB 边上的高线所在直线方程． [解] 设AB 边上的高线所在直线斜率为k ， ∵k AB ＝2－（－4）－3－5＝－34，∴k ＝43，又高线过点C (0，－2)，∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y ＋2＝43(x －0)，即4x －3y －6＝0.2．本例中条件不变，试求与AB 平行的中位线所在直线方程．[解] 由探究1知k AB ＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由例题知BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y ＋3＝－34⎝⎛⎭⎪⎫x －52，即6x ＋8y ＋9＝0.直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．[跟进训练]3．已知直线l 经过点(1，6)和点(8，－8). (1)求直线l 的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l 与两坐标轴围成的图形面积．[解] (1)由已知得直线l 的两点式方程为y －6－8－6＝x －18－1，所以y －6－14＝x －17，即y －6－2＝x －1，所以y －6＝－2x ＋2，即2x ＋y ＝8.所以x 4＋y8＝1.故所求截距式方程为x 4＋y8＝1.(2)如图，直线l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB ，且OA ⊥OB ，|OA |＝4，|OB |＝8，故S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12×4×8＝16.故直线l 与两坐标轴围成的图形面积为16.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．1．下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示D [斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.]2．经过点A (2，5)，B (－3，6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27D ．27D [由两点式得y －56－5＝x －2－3－2，整理得x ＋5y －27＝0.当y ＝0时，x ＝27.故应选D.]3．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±bB [令x ＝0，得y ＝－b 2.]4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则2a ＋b 的值为________． －14 [当x ＝0时，y ＝－7，即b ＝－7；当y ＝0时，x ＝－72，即a ＝－72.∴2a ＋b ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－7＝－14.]5．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． [解] 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1.则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1， 则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.。
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7 C．7D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
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3.1。
2 两条直线平行与垂直的判定目标定位1。
掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法。
2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系。
自主预习1.两条直线平行与斜率的关系(1）如图①设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，若l1∥l2,则k1＝k2；反之,若k1＝k2，则l1∥l2.（2）如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.2.两条直线垂直与斜率的关系(1）如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1,那么它们互相垂直.即k1k2＝－1⇒l1⊥l2,l1⊥l2⇒k1k2＝－1.（2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.即时自测1.判断题(1）若两条直线斜率相等，则两直线平行（×）（2）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在,则两直线相交。
（√）(3)若两直线的斜率之积等于－1，则两直线互相垂直.(√)（4)若直线l1⊥l2，则直线l1与l2的斜率互为负倒数.（×）提示(1）当两直线斜率相等时，两直线平行或重合.（4）当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直。
3.2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[新知初探]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y－y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.[点睛] 经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可以分为两类： ①斜率存在的直线，方程为y －y 0＝k (x －x 0)； ②斜率不存在的直线，方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0. 2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[点睛](1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y －3＝m (x ＋1)恒过定点(－1,3)( ) (2)对于直线y ＝2x ＋3在y 轴上截距为3( ) (3)直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3， 所求直线与此直线平行，∴斜率为－3， 又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋2[典例] 已知点A (3,3)和直线l ：y ＝4x －2.求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程． [解] 因为直线l ：y ＝34x －52，所以该直线的斜率k ＝34.(1)过点A (3,3)且与直线l 平行的直线方程为y －3＝34(x －3)．(2)过点A (3,3)且与直线l 垂直的直线方程为y －3＝－43(x －3)．[活学活用]1．直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程．解：直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，∴倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，∴直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1. 又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)． 2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的点斜式方程． 解：因为A (－1,2)，B (m,3)，当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，没有点斜式方程； 当m ≠－1时，直线AB 的斜率k ＝1m ＋1， 直线AB 的点斜式方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1).[典例] 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. [解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5. (2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k ＝tan 60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.[活学活用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[典例] (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？[解] (1)由题意可知，kl 1＝－1，kl 2＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行． (2)由题意可知，kl 1＝2a －1，kl 2＝4， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[活学活用]1．已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________. 解析：由题意可知a ·(a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 答案：－12．若直线l 1：y ＝－2a x －1a与直线l 2：y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2a＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.答案：－23层级一 学业水平达标1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线方程y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2解析：选D 直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式得y ＝3x －2. 3．直线y －b ＝2(x －a )在y 轴上的截距为( ) A ．a ＋b B ．2a －b C ．b －2aD ．|2a －b |解析：选C 由y －b ＝2(x －a )，得y ＝2x －2a ＋b ，故在y 轴上的截距为b －2a . 4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 由a ＝2－a ，得a ＝1.6．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝________.解析：由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.答案：－2或17．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4.答案：－48．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是________．解析：将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴过定点(2,3)． 答案：(2,3)9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解：(1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12.∴m ＝34.10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2. 令y ＝0得，x ＝2k －2k.由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2.解得，k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)，综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．层级二 应试能力达标1．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)解析：选C 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率等于12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，选C.2．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )解析：选D 对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.3．若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( ) A ．a >1 B ．0<a <1 C ．∅D ．0<a <1或a >1解析：选A y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A.4．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝2x ＋3解析：选C ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2.∴直线的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C.5．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 方程为________________．解析：设l ：2x ＋3y ＋c ＝0，令x ＝0，则y ＝－c 3，令y ＝0，则x ＝－c2，∴－c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＝56，∴c ＝－1.答案：2x ＋3y －1＝0 6．给出下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y ＋2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立． 答案：②③7．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1的斜率相等且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， ∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， ∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.8．求斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，令x ＝0得y ＝b .令y ＝0得x ＝－6b ， ∴S ＝12|b |×|－6b |＝3，∴b 2＝1即b ＝±1，∴所求的直线方程为y ＝16x ±1.3．2.2&3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程[新知初探]1．直线的两点式与截距式方程[点睛] (1)截距式方程中间以“＋”相连，右边是1. (2)a 叫做直线在x 轴上的截距，a ∈R ，不一定有a >0. 2．直线方程的一般式 (1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．②每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[点睛] 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )答案：(1)× (2)√2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y＋3＝0.答案：x －y ＋3＝[典例] 直线方程．[解] ∵A (2，－1)，B (2,2)，A ，B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0. ∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为x ＝2，x －y －3＝0，x ＋2y －6＝0.[活学活用]已知直线经过点A (1,0)，B (m,1)，求这条直线的方程．解：由直线经过点A (1,0)，B (m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m－1)y －1＝0.综上可得：当m ＝1时，直线方程为x ＝1；当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0.[典例] 求过点A (5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．[解] 法一：(1)当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0，或x －y －3＝0. 法二：由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)，x ＝0时，y ＝2－5k ，y ＝0时，x ＝5－2k.根据题意得2－5k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. [一题多变]1．[变条件]若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0适合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，又l 过点(5,2)，∴52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴l 的方程为x ＋2y －9＝0.2．[变条件]若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其它条件不变，如何求解？解：由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，设其方程为x a ＋yb＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1， ①12|a ||b |＝92， ②②可化为ab ＝±9， 解⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝1，ab ＝9，无解，解得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b＝1，ab ＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－152，b ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.∴l 的方程为4x －25y ＋30＝0或x －y －3＝0.[典例] 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值．(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.[解] 法一：直线l 1可化为y ＝－a 2x ＋32.(1)当a ＝－1时，l 2：x ＝－13与l 1不平行；当a ≠－1时，直线l 2：y ＝－3a ＋1x ＋a a ＋1， ∵l 1∥l 2，∴－a 2＝－3a ＋1且32≠aa ＋1，解得a ＝2.(2)当a ＝－1时，l 2：x ＝－13与l 1不垂直；当a ≠－1时，l 2：y ＝－3a ＋1x ＋a a ＋1， ∵l 1⊥l 2，∴－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ＋1＝－1，解得a ＝－25.法二：由题可知A 1＝a ，B 1＝2，C 1＝－3，A 2＝3，B 2＝a ＋1，C 2＝－a .(1)当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧aa ＋－2×3＝0，a－a －－×3≠0，解得a ＝2.(2)当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即3a ＋2(a ＋1)＝0，解得a ＝－25.[活学活用]已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直． 解：法一：l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)． 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.层级一 学业水平达标1．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y－2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：选C 由直线的截距式方程可得x －2＋y3＝1. 2．直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：选C 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.3．直线x a ＋y b＝1过第一、三、四象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：选B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．已知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线的斜率为( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12解析：选B AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，故所求直线的斜率k ＝72－323－2＝2.5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m,3)的直线与直线x ＋3y ＋2＝0平行，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．10D ．－10 解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为k ＝－13，∴m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4. 6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝07．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x ；(2)不过原点时，设为x a ＋y－a＝1， ∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝08．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．解析：由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4.答案：49．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m4；令y ＝0，得x ＝－m 3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.10．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．解：(1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52.(2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0， 解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.层级二 应试能力达标1．经过点A (1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 当直线过原点时1条，不过原点时有两条，故B 正确． 2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A ．y ＝－3x －4 B ．y ＝3x －4 C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝－3x ＋4解析：选A 因为A (1,3)，B (－5,1)，所以线段AB 的中点坐标为(－2,2)，直线AB 的斜率为3－11－－＝13，所以线段AB 的中垂线的斜率为－3，所以以A ，B 为端点的线段的垂直平分线的方程是y －2＝－3(x ＋2)，即y ＝－3x －4，选A.3．已知点M (1，－2)，N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C.4．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.5．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________． 解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∵直线不经过第一象限，∴3－2t ≤0，得t ≥32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 6．已知点A (0,1)，点B 在直线l ：x ＋y ＝0上运动，则当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析：当线段AB 最短时，AB ⊥l ，所以k AB ＝1.由直线的斜截式，得直线AB 的方程为y ＝x ＋1，故直线AB 的一般式方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝07．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解：(1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －－－2－－，即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.8．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：根据题意，设直线l 的方程为x a ＋yb＝1， 由题意，知a >2，b >1，∵l 过点M (2,1)，∴2a ＋1b ＝1，解得b ＝aa －2，∴△AOB 的面积S ＝12ab ＝12a ·aa －2，化简，得a 2－2aS ＋4S ＝0. ①∴Δ＝4S 2－16S ≥0，解得S ≥4或S ≤0(舍去)． ∴S 的最小值为4，将S ＝4代入①式，得a 2－8a ＋16＝0，解得a ＝4， ∴b ＝aa －2＝2.∴直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.。
