1992年数学建模联赛试题_2

1992年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1.满足│a－b│＋ab＝1的非负整数对(a，b)的个数是( )Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４2.若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的根，则判别式△＝b2－4ac 与平方式M＝(2ax0＋b)2的关系是( )Ａ.△〉M Ｂ.△＝M Ｃ.△〈M Ｄ.不确定3.若x2－13x＋1＝0，则x4＋x-4的个位数字是( )Ａ.１Ｂ.３Ｃ.５Ｄ.７─4.在半径为１的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于１且小于√2，则这个多边形的边数必为( )Ａ.７Ｂ.６Ｃ.５Ｄ.４6.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆。

若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有S1小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则─的整数部分是( )S2Ａ.０Ｂ.１Ｃ.２Ｄ.３8.设x1，x2，x3，...，x9均为正整数，且x1〈x2〈...〈x9，x1＋x2＋...＋x9＝220，则当x1＋x2＋...＋x5的值最大时，x9－x1的最小值是( )Ａ.８Ｂ.９Ｃ.１０Ｄ.１１二、填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于。

────────√1＋x2＋x4－√1＋x42.若x≠0，则────────────的最大值是。

x3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点，若BC＝2，AC＝3，则AE.EB＝。

1 1 1 b 3 a 34.若a，b都是正实数，且─－─－──＝0，则─＋─＝a b a＋b a b第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2－6x＋a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a的取值范围。

三、某个信封上的两个邮政编吗M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：Ａ：320651 Ｂ：105263 Ｃ：612305 Ｄ：316250已知编码A、B、C各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N。

1992全国初中数学联合竞赛试卷答案及详解第一试一、选择题1.(C) 由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1). 又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1).∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b c bx ax a 4)(42020-+++=ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x .2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9-2=7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=. 6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S .∴ 44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S . 故21S S 的整数部分是1. 7.(B)8 （B ）解：由题意：x1，x2，…，x9均为正整数得x9最小值为1∵当x1，x2，…，x8取到最小值时，x9取到最大值=220-（1+2+3+…+8）=220-36=184， ∴x9-x1的最大值为184-1=183， 又∵1+2+3+…+9=45，∴220-45=175，175除以9=19余4，在这种情况下：将4分配到九个数中，则只能在第六到九个上加，则最大的数必须加一以上，而第六到九同时加一则x9就大一了．∴x9-x1的最小值为9-1+1=9．故选B ．二、填空题13 解：设Rt△ABC内切圆P的半径为r∴ FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即 BG=GD．所以BD=2BG=2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。

OAB CD x y1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1.满足|a －b |＋ab ＝1的非负整数（a ，b ）的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)42.若x 0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则判别式δ＝b 2－4ac 与平方式M ＝(2ax 0＋b )2的关系是（） (A)δ＞M (B)δ＝M (C)δ＜M (D)不确定3.若x 2－13x ＋1＝0，则x 4＋x -4的个位数字是（） (A)1(B)3(C)5(D)74.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为（）(A)7(B)6(C)5(D)45.如图，正比例函数y ＝x 和y ＝ax （a ＞0）的图像与反比例函数y ＝（k ＞0）的图像分别相交于A 点和C 点，若Rt △AOB 和△COD 的面积 分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的关系是（）A B C D E F(A)S 1＞S 2(B)S 1＝S 2(C)S 1＜S 2(D)不确定6.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是（）(A)0(B)1(C)2(D)37.如图,在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2CD ，∠A ＝60°，又E 是底边AB 上一点，且FE ＝FB ＝AC ，FA ＝AB ，则AE :EB 等于（）(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:10 8.设x 1，x 2，x 3，……x 9均为正整数，且x 1＜x 2＜x 3＜……＜x 9,x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＝220则当x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值最大时，x 9－x 1的最小值是（）(A)8(B)9(C)10(D)11二、填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于________________2.若x ≠0，则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点，若BC ＝2，AC ＝3，则AE ?EB ＝.4.若a ，b 都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab .AB C D E第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2－6x ＋a ＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且∠BED ＝2∠CED ＝∠A求证：BD ＝2CD三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250 已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同，D恰有三个数字的位置与M 和N 相同试求：M 和N 1992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一．选择题1.(C)由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1).又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1).∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x . 2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9－2＝7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2. 5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S . ∴44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S .故21S S 的整数部分是1.7.(B)设1=CD ,则2==AB FA ,易证121==AB BC , 90=∠ABC ,3===AC FB FE . ∵△ABF ∽△FBE∴＝，BE ＝＝于是AE ＝，所以AE ∶EB ＝1∶38.（B ）（1）先证x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5≤110，则x 5≥25从而x 6≥26，x 7≥27，x 8≥28，x 9≥29，于是x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＞220与假设矛盾.（2）若取x 1＝20，x 2＝21，x 3＝22，x 4＝23，x 5＝24，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝110.所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 1最大的值是20（3）若取x 6＝26，x 7＝27，x 8＝28，x 9＝29，则＝110.所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 9最小的值是29因此x 9－x 1的最小值是29－20＝9∴FG 是等腰三角形BFD 顶角平分线，因而也是底边BD 上的中线．即BG ＝GD ．所以BD ＝2BG ＝2DC ．三、对于编码M ，考虑编码A 中恰有两个数位上的数字与M 中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B 、C 中该两数位上的数字均与A 在这两数位上的数字不同，因此B ，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B 中与M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。

Angle of50 milliradians240Tools for Teaching 19941992:The Air-Traffic-Control Radar ProblemYou are to determine the power to be radiated by an air-traf fic-control radar at a major metropolitan airport.The airport authority wants to mini-mize the power of the radar consistent with safety and cost.The authority is constrained to operate with its existing antennae and receiver circuitry.The only option that they are considering is upgrading the transmitter circuits to make the radar more powerful.The question that you are to answer is what power (in watts)must be released by the radar to ensure detection of standard passenger aircraft at a distance of 100kilometers.Figure 1.Measurements for the radar system.Technical speci fications (see also Figure 1):•The radar antenna is a section of a paraboloid of revolution with focal length of 1meter.Its projection onto a plane tangent to its vertex is an ellipse with a major axis of 6meters and a minor axis of 2meters.The main lobe energy beam pattern,located at the focus,is an elliptical cone that has a major axis of one radian and a minor axis of 50milliradians.The antenna and beam are sketched in the figures provided below.•The nominal class of aircraft is one that has an effective radar re flection cross-section of 75square meters.For the purposes of this problem,thisOther Problems of the First Ten Years241 means that in your initial model,the aircraft is equivalent to a100% reflective circular disc of75square meters,which is centered on the axis of the antennae and is perpendicular to it.You may want to consider alternatives or refinements to this initial model.•The receiver circuits are sufficiently sensitive to process a return signal of 10microwatts at the feed horn of the radar(which is located at the focus of the radar antenna).Comments by the Contest DirectorThe problem was contributed by John Edwards(Dept.of Mathematical Sciences,itary Academy,West Point,NY).The problem statement contains several ambiguities and some unrealistic information,and a major factor in judging the papers was how the teams attempted to resolve these issues.The Outstanding papers were by teams from Pomona College and Uni-versity of Colorado–Boulder.Their papers,together with commentaries, were published in The UMAP Journal13(3)(1992):205–225.。

1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________. 3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651 B：105263C：612305 D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.。

AMCM92问题-A 空中交通控制雷达的功率问题要求你决定一个主要城市的机场的空中交通控制雷达发射的功率。

机场行政部门希望兼顾安全性与经济性使雷达的发射功率最小。

机场行政部门限于使用现有的天线和接收线路。

唯一可以考虑的选择是改进雷达的发射电路使雷达更强大。

你要回答的问题是雷达必须发射多少功率（以瓦特为单位)反以保证能探测到100公里以内的标准客机。

技术说明：①雷达天线是一个旋转抛物面的一部分，该抛物面的焦距又1米。

它投影至与顶点相同的平面是一个长轴为6米，短轴为2米的椭圆。

从焦点发出的主能量柬是一个椭圆锥，其长轴角为1弧度，短轴角为50毫弧度。

天线和能量束的简图如图92A-1所示。

②理想化的一类飞机是具有75平方米完全雷达反射截面团飞机，亦即在你的初米的小心位于天线轴线上并垂直于该轴的100%反步模型中飞机等价于一个752射圆碟，你亦可以考虑其它模型或改进这个模型。

③接收线路的灵敏度是雷达天线反馈报警器(位于雷达天线的焦点)刘10微瓦的回波信号会作出反应。

AMCM 92问题-B 应急电力修复系统的修复计划为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。

这样的系统需要由估计的修复时间和费用与由客观准则判定的停电的“价值”构成的数据输入，过去HECO电力公司曾因缺乏优先方案而遭受传播媒介的批评。

设想你是HECO电力公司顾问。

HECO具有一个实时处理的，通常包含下述信息的服务电话的计算机数据库：报修时间；需求者类型；估计受害人数；地点(X,Y)。

有两个工程队调度所，分别位于(0,0)和(40,40)，其中x, y以英里为单位。

HECO的服务区域在-65＜x＜65和-50＜y＜50之内。

因为该地区完全都市化了，有极好的道路网络。

工程队只是在上班和下班时必须回调度所。

公司的政策是：若停电的设施是铁路或医院，只要有工程队可派就立即处理，其他情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。

HECO请你为表92B-1所列的暴风雨修复请求和表92B-2所列的维修能力建立客观准则和安排工作计划。

O AB C D x y1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1. 满足 |a －b |＋ab ＝1的非负整数（a ，b ）的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 若x 0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则判别式δ＝b 2－4ac 与平方式M ＝(2ax 0＋b )2的关系是（ ）(A) δ＞M (B) δ＝M (C) δ＜M (D) 不确定3. 若x 2－13x ＋1＝0，则x 4＋x -4的个位数字是（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 74. 在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为（ ）(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 45. 如图，正比例函数y ＝x 和y ＝ax （a ＞0）的图像与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图像分别相交 于A 点和C 点，若Rt △AOB 和△COD 的面积分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）(A) S 1＞S 2 (B) S 1＝S 2(C) S 1＜S 2 (D)不确定6. 在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3A B C D EF 7. 如图,在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2CD ，∠A ＝60°，又E 是底边AB 上一点，且FE ＝FB ＝AC ，F A ＝AB ，则AE :EB 等于（ ）(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 3:108. 设x 1，x 2，x 3，…… x 9均为正整数，且x 1＜x 2＜x 3＜……＜x 9, x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＝220则当x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值最大时，x 9－x 1的最小值是（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11二、填空题1. 若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于________________2. 若x ≠0，则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点，若BC ＝2，AC ＝3，则AE •EB ＝ .4. 若a ，b 都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab .A B C D E第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2－6x ＋a ＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且∠BED ＝2∠CED ＝∠A求证：BD ＝2CD三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同，D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同试求：M 和N1992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一．选择题1.(C) 由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1). 又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1).∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b c bx ax a 4)(42020-+++=ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x .2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9－2＝7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S .∴ 44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S . 故21S S 的整数部分是1.7.(B)设1=CD ,则2==AB FA ,易证121==AB BC , 90=∠ABC , 3===AC FB FE .∵△ABF ∽△FBE∴AB BF ＝BF BE ，BE ＝BF 2AB ＝32于是AE ＝12，所以AE ∶EB ＝1∶38.（B ）（1）先证x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5≤110，则x 5≥25从而x 6≥26，x 7≥27，x 8≥28，x 9≥29，于是x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＞220与假设矛盾.（2）若取x 1＝20，x 2＝21，x 3＝22，x 4＝23，x 5＝24，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝110.所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 1最大的值是20（3）若取x 6＝26，x 7＝27，x 8＝28，x 9＝29，则＝110. 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 9最小的值是29因此x 9－x 1的最小值是29－20＝9∴ FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即BG＝GD．所以BD＝2BG＝2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。

1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________. 3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651 B：105263C：612305 D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)fx = f (t) -兀，⑴设3t其中f 可导，且f (0)=0,则[y = f(e -1),⑵函数y=x+2cosx 在[0,3上的最大值为 ________⑶lim 匸心2 = ___________ .X —e -cosx说 dxx(x 21)⑸由曲线y =xe x 与直线y 二ex 所围成的图形的面积S 二 二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当 x r 0 时,x -sin x 是 x 2 的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小I x , x 兰 0 ⑵设f(X )二2 ,则() l x 七 X'XM -x , x 二0 (A)f(-x)= 2 -(X 2 x),x 0 ,x , x 兰 0 (C) f(-x) = { 2 (D) f (—x) = t l x ?x,x>10 I x —1 ⑶当x —-T 时，函数 --- e xj的极限()x —1(A)等于2(B)等于0 (C)为二(D)不存在但不为::X22 ,⑷设 f (X)连续，F(x) = J 0 f (t 2)dt ，则 F (x)等于() (A) f(x 4)(B)x 2f(x 4)(C) 2xf(x 4)(D) 2xf (x 2)⑸若f (x)的导函数是si nx ,则f (x)有一个原函数为()(A) 1 sin x (B) 1 -sin x (C) 1 cosx (D) 1 -cosx三、 (本题共5小题,每小题5分，满分25分.)dydxy■ ■ 2(xx),x ：：：0 (B)f(-x) 2 「I —x , xHO_ x —x,x c 0 x 2, X^03 x害(1)求lim( ) 2 .x¥6+x 2⑵设函数y = y(x)由方程y—xe y=1所确定,求d-y的值•3 dxx⑶求.—=2 dx .' /+x2⑷求o ；1 -sinxdx.⑸求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.四、(本题满分9分)、戸1+x2,xv0 亠 3设f(x)=」，求“ f (x-2)dx.,e x 30 勺五、(本题满分9分)求微分方程y'" -3y 2y =xe x的通解.六、(本题满分9分)计算曲线y =1 n(1 -x2)上相应于0 _x 的一段弧的长度.七、(本题满分9分)求曲线、二、x的一条切线l,使该曲线与切线I及直线x = 0,x = 2所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知f (x) *0, f (0) =0,试证：对任意的二正数x i和X2恒有f (x i X2)：： f (X i) f(X2)成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得或=业型=3ef仁T),于是=3.dx dx/dt f (t) dxy【相关知识点】复合函数求导法则：如果u =g(x)在点x可导,而y = f (x)在点u =g(x)可导，则复合函数y = f 〔g(x)在点x 可导，且其导数为3=f(u)g(x)或 dy =dy du . dx dx du dx⑵【答案】.3 -6■JT!JT【解析】令y T -2sin x =0,得［0,—］内驻点x .26因为只有一个驻点，所以此驻点必为极大值点，与端点值进行比较，求出最大值.,,兀L 兀兀兀又 y(0) =2,y(：) =,3 匸，y(=)6 6 2 2可见最大值为y( ) = .3.6 6⑶【答案】01⑷【答案】丄ln22【解析】令b >::面积为1S= .0(ex-xe x )dx,再利用分部积分法求解，得S = ^x 2 -xe x 亠 I e x dx e T . 2 0 '02注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起【解析】由等价无穷小，有X -； 0时,1 - 1-x ； 1—厂2li "2^x lim x lim —— t e -cosx 7e 上式为“ 0”型的极限未定式，又分子分母在点 0-x 22(_xj Jx 2，故 22 2 -COSX0处导数都存在，由洛必达法则，原式=lim=0.e xsin xbdx原式二lim b1 x. 2 = lim 「一 dx= lim f (一 — 一)dx (分项法)b —：’’ 1 x(x 2 1) b —; ： 1 x(x 21) b _“ 1 x x 1■2^— dx 2 (凑微分法)bi1lim lnln 2b 「： . b 2 1 2 1 ln 2 .迥 1 nxb 「 11一』叫2 b1 21 沁 2〔n(x +1)b 2b 11 12 ln 2 =l n1 ln 2 b 2 1 2 2"：l n ，⑸【答案】e -12【解析】联立曲线和直线的方程，解得两曲线的交点为(0,0),(1,e),则所围图形若lim:(x) ■(x)不存在(不为::),称〉(x), -(x)不可比较.(2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算I (-X ),—x"f(-X )二2(—x) +(—X ), —XA0x 2 _ x, x ：： 0,所以应选(D). (3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点X 0的极限是否存在,需要判定左极限X > X,和右极x > X 。