陕西省2019届高三数学第一次模拟联考试卷理(含解析)

2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A．6 B．12 C．24 D．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF 与C1E所成角的余弦值为（）9．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a n＝34，a2•a n﹣1＝64，且前n项和S n＝62，则项数n等于（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2，+∞）11．（5分）设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b≥0，则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥012．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC 与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A．6 B．12 C．24 D．48【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝3，S＝3×sin120°＝，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S＝6×sin60°＝，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S＝×12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF 与C1E所成角的余弦值为（）【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与C1E所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则A（0，0，0），F（2，1，2），C1（2，2，2），E（2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF与C1E所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AF与C1E所成角的余弦值为故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a n＝34，a2•a n﹣1＝64，且前n项和S n＝62，则项数n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据等比数列的性质得到a2•a n﹣1＝a1•a n＝64，与已知的a1+a n＝34联立，即可求出a1与a n的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出S n，把求出的a1与a n的值代入即可求出公比q的值，根据a n的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n的值．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，则a2•a n﹣1＝a1•a n＝64①，又a1+a n＝34②，联立①②，解得：a1＝2，a n＝32或a1＝32，a n＝2，当a1＝2，a n＝32时，s n＝＝＝＝62，解得q＝2，所以a n＝2×2n﹣1＝32，此时n＝5；同理可得a1＝32，a n＝2，也有n＝5．则项数n等于5故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A．B．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞，即 log4x＞，或 log4x＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞＝log42，或 log4x＜﹣＝，∴0＜x＜，或x＞2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b≥0，则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，＝＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】设|AF1|＝t，|AB|＝3x，根据双曲线的定义算出t＝3a，x＝a，Rt△ABF2中算出 cos∠BAF2＝＝，可得cos∠F2AF1＝﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，设|AF1|＝t，|AB|＝3x，则|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，即5x﹣t＝（3x+t）﹣4x＝2a，解得t＝3a，x＝a，即|AF1|＝3a，|AF2|＝5a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2＝＝，可得cos∠F2AF1＝﹣，△F2AF1中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1＝9a2+25a2﹣2×3a×5a×（﹣）＝52a2，可得|F1F2|＝2a，即c＝a，因此，该双曲线的离心率e＝＝．故选：A．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t ＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2），由a n＝S n﹣S n﹣1＝（﹣）（+），可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2＝0，点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴，又点A在椭圆C上，解得|x1|＝|y1|＝．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴＝x1x2+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，∴（1+k2）•，整理，得5m2＝4（k2+1），∴点O到直线AB的距离＝，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S＝＝2，令1+＝t，t＞1，则S＝2＝2，令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0＝0时，解得S＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM＝M，可得PA⊥平面DMB，因为BD⊂平面DMB，可证PA⊥BD；（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形，求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，令y1＝1，得，∴＝（，1，），设平面PCB的法向量，由，得，令y2＝1，得，，∴＝（，1，），∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2．（1）已知函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调，求实数a 的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+， 而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0． （2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ， h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1， 列表：当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点；当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。

2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．35．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．429．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．312．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝．14．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵M＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}．又∵U＝R，M∪N＝{x|x＞﹣1}，∴∁U（M∪N）＝（﹣∞，﹣1]．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2＝﹣2i对应的向量为，则向量对应的复数为：﹣2i﹣（1﹣i）＝﹣1﹣i．故选：D．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【解答】解：∵（x2+x+2）（﹣1）5＝（x2+x+2）（x﹣10﹣5x﹣8+10x﹣6﹣10x﹣4+5x﹣2﹣1），∴展开式的常数项是5﹣2＝3，故选：D．5．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令函数＝0，则x＝0，或x＝，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由＝0，可排除D，故选：A．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【解答】解：最前排甲，共有＝120种，最前只排乙，最后不能排甲，有＝96种，根据加法原理可得，共有120+96＝216种．故选：B．7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则圆心C到直线的距离d＝＞1，变形可得：a2+b2＜1，即（a﹣0）2+（b﹣0）2＜1，则点P（b，a）一定在圆的内部；故选：C．8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．42【解答】解：函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y＝f（x）的图象关于x＝1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），可得a4+a18＝2，又{a n}是等差数列，所以a1+a21＝a4+a18＝2，可得数列的前25项和S21＝＝21，则{a n}的前21项之和为21．故选：C．9．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵BC＝2，AC＝3，，∴由余弦定理可得：AB＝＝＝3，∵sin∠BCA＝＝，∴设△ABC外接圆的半径为R，可得：2R＝＝，解得：R＝，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．故选：C．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【解答】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R＝＝故球的表面积S＝4×π×（）2＝π故选：D．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：的右焦点F（c，0），B（0，2b），若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：＝3，可得2b2＝3ac，即2c2﹣2a2＝3ac，可得2e2﹣3e﹣2＝0，e＞1，解得e＝2．故选：B．12．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝e x及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝，g（b）＝0，∴．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝1．【解答】解：∵，，∴＝＝9，则＝1．故答案为：114．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝3．【解答】解：y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′＝a﹣，在点（2，0）处的切线斜率为a﹣1＝2，解得a＝3，故答案为：3．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为2．【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）＝sin（ax+b），则函数的周期相同，若a＝3，此时sin（3x﹣）＝sin（3x+b），此时b＝﹣+2π＝，若a＝﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）＝sin（﹣3x+b）＝﹣sin（3x﹣b）＝sin（3x﹣b+π），则﹣＝﹣b+π，则b＝，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故答案为：2．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到准线的距离为+＝故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．【解答】（1）证明：由题意，∵S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．整理，化简得：．①当n＝1时，，解得：a1＝t．②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝＝，整理，化简得：a n＝ta n﹣1．∴{a n}成首项为t，公比为t的等比数列．（2）解：由（1）可知：∴＝．∵数列{b n}为等比数列，，∴∴＝．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）由公式：K2＝≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．（2）随机变量X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布为：∴E（X）＝＝0.9．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．【解答】（1）证明：∵△P AB是正三角形，∴PB＝AB＝2，又∵BC＝，PC＝，∴PB2+BC2＝PC2，∴BC⊥PB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面P AB．（2）取AB的中点H，连接PH，则PH⊥AB，∵平面ABCD⊥平面P AB，平面ABCD∩平面P AB＝AB，∴PH⊥平面ABCD，以H为原点，以HA，HP和AB过H的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），P（0，0，），D（1，，0），E（，0，），∴＝（，0，），＝（2，，0），设平面EBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，﹣，﹣），又＝（0，0，）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图形可知二面角E﹣BD﹣A为锐二面角，∴二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的短轴长为，离心率为，∴，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为+＝1，（2）当MN⊥x轴时，显然y0＝0．当MN与x轴不垂直时，由右焦点为（1，0），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2＝．则x3＝＝，y3＝k（x3﹣1）＝﹣．线段MN的垂直平分线方程为y+＝﹣（x﹣）．在上述方程中令x＝0，得y0＝＝．当k＜0时，4k+＜﹣4；当k＞0时，4k+≥4．所以﹣≤y0＜0，或0＜y0≤．综上：y0的取值范围是[﹣，]．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）F（x）＝f（x）﹣e x＝px﹣﹣2lnx．定义域为（0，+∞）．F′（x）＝p+﹣＝．∵函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，∴F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴px2﹣2x+p≥0，化为：p≥，对任意x＞0恒成立．设h（x）＝，（x＞0）．h′（x）＝，可得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）max＝h（1）＝1，∴p≥1．∴实数p的取值范围是[1，+∞）．（2）令u（x）＝f（x）﹣g（x）＝px﹣﹣2lnx．x∈[1，e]．∵在x∈[1，e]上至少存在一点x0，u（x0）＞0，⇔u（x）max＞0，x∈[1，e]．u′（x）＝p+﹣＝．①当p＝0时，u′（x）＝≥0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝﹣4＜0，舍去．②当p＜0时，u（x）＝p（x﹣）﹣﹣2lnx．∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0．∴u（x）＜0，舍去．③当p＞0时，u′（x）＝＞0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝pe﹣﹣4＞0，化为：p＞．综上可得：p∈．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝，∴ρcosθ﹣ρsinθ＝2，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴P（3cosα，sinα），∴|OP|＝＝，∴曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max＝3．（2）由（1）知直线x﹣y﹣2＝0与x轴交点E的坐标为（2，0），曲线C2的参数方程为，（t为参数），曲线C1的直角坐标方程为＝1，联立，得：﹣5＝0，∵||+||＝|t1|+|t2|，∴||+||＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝|3x﹣4|．由|3x﹣4|＜3，解得．所以，不等式f（x）＜3的解集为．（Ⅱ）f（x）+g（x）＝|3x﹣a|+|x+1|＝＝（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）＝．综上，当时，f（x）+g（x）有最小值．故由题意得，解得a＜﹣6，或a＞0．所以，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．。

2019届陕西省西安市高三下学期第一次模拟理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N= （）A．{x|﹣2≤x＜1} ___________ B．{x|﹣2≤x≤1}C ． {x|﹣2＜x≤1} _________D ． {x|x＜﹣2}2. 设i是虚数单位，则复数（1﹣i）(1+2i）= （）A ． 3+3i________B ．﹣1+3i_________C ． 3+i________D ．﹣1+i3. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x 2 ﹣1，则f（1）的值为（）A ． 1___________B ．﹣1C ． 2 ________D ．﹣24. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E离心率为（）A ．B ． 2C ．______________D ．5. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A ．B ．C ．D ．6. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则的值等于（）A ． 1______________B ．______________C ．___________D ．7. 已知向量 =（cosα，﹣2）， =（sinα，1），且∥ ，则tan（α﹣）等于（）A ． 3 ________B ．﹣3______________C ．______________________________ D ．8. 下面命题中假命题是（）A ．∀ x ∈ R，3 x ＞0B ．∃α，β ∈ R，使sin（α+β）=sinα+sinβC ．∃ m ∈ R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．命题“ ∃ x ∈ R，x 2 +1＞3x”的否定是“ ∀ x ∈ R，x 2 +1＞3x”9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S= （）A ． 1023B ． 512 ________C ． 511 ________D ． 25510. 已知抛物线C：y 2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 =3 ，则|QF|= （）A ．B ．_________C ． 3_________D ． 611. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积是（）A ．________B ．________C ．________D ．12. 若函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c有极值点x 1 ，x 2 ，且f（x 1 ）=x 1 ＜x 2 ，则关于x的方程3（f（x）） 2 +2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A ． 3 ___________B ． 4___________C ． 5_________D ． 6二、填空题13. （a+x）（1+x） 4 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ______ ．14. 已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m ≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 _______ ．15. 如图，菱形ABCD的边长为1，∠ ABC=60°，E、F分别为AD、CD的中点，则=__________ ．16. 在△ ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB= 2a +b，△ ABC的面积为S= c，则ab的最小值为 _______ ．三、解答题17. 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n项和．已知S 3 =7且a 1 +3， 3a 2 ，a 3 +4构成等差数列．（Ⅰ ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ ）令b n =lna n ，n=1，2，…，求数列{b n }的前n项和T n ．18. 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，① 求5天中该种商品恰有2天销售量为1 ． 5吨的概率；② 已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．19. 如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC, D在底面ABC上的射影E，AB ⊥ BC，DF⊥ AB于F ．（Ⅰ ）求证：平面ABD ⊥ 平面DEF；（Ⅱ ）若AD ⊥ DC，AC=4，∠ BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．20. 已知椭圆的左右焦点分别为F 1 ,F 2 ，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF 2 ⊥ x轴，．（Ⅰ ）求椭圆的方程；（Ⅱ ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点，求△ ABO（O为坐标原点）面积的最大值．21. 已知a ∈ R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x ．（Ⅰ ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ ）求函数f（x）在区间 [ ] 上的最大值g（a）．22. 已知四边形ABCD内接于⊙ O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙ O于F ．（Ⅰ ）求证：EB=2ED；（Ⅱ ）若AB=2，CD=5，求EF的长．23. 在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin 2 θ=4cosθ，直线的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．24. 设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3 ．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第23题【答案】。

陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将复数化成形式，再求模。

【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

榆林市2019届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合，，则中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。

【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。

【点睛】本道题考查了集合的交集运算性质，较容易。

3.函数的图像的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。

4.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）222﹣2•又（）22+2•2＝1+4+2• 6∴2•1，∴（）2＝1+4﹣1＝4，∴2．故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.5.若都是锐角，且，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。

6.若变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故本题的正确选项为C.考点：线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可.7.《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边行的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率，如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的为（）（，，）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【详解】模拟执行程序，可得：n＝3，S3×sin120°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝6，S6×sin60°，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝12，S12×sin30°＝3，不满足条件S＞3，执行循环体，n＝24，S24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.如图所示，在正方体中，若点为的中点，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合空间坐标系，计算各点坐标，结合空间向量数量积，计算夹角余弦值，即可。

2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）=（）A. B. C. ∪ D.2.在复平面内，复数z=1-i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A. B. C. D.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线4.（x2+x+2）（-1）5的展开式的常数项是（）A. B. C. 2 D. 35.函数的图象大致是（）A.B.C.D.6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种7.若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆内D. 不能确定8.已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）=f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A. 0B.C. 21D. 429.△ABC中，BC=2，AC=3，，则△ABC外接圆的面积为（）A. B. C. D.10.已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A. B. C. D.11.设F为双曲线C：＞，＞的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 312.设函数f（x）=e x+x-2，g（x）=ln x+x2-3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量与的夹角为60°，，，则=______．14.设曲线y=a（x-2）-ln（x-1）在点（2，0）处的切线方程为y=2x-4，则a=______．15.设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为______．16.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到准线的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n-a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．18.55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若E为PA中点，求二面角E-BD-A的大小．20.已知椭圆C：＞＞的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．21.已知函数f（x）=e x+px--2ln x．（1）若p＞0，且函数F（x）=f（x）-e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）=e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）=．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．23.已知函数f（x）=|3x-a|．（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）=|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵M={x||x|＜1}={x|-1＜x＜1}，N={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}．又∵U=R，M∪N={x|x＞-1}，∴C U（M∪N）=（-∞，-1]．故选：A．分别求出集合M，N，由此求出M∪N，从而能求出C U（M∪N）．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：复数z=1-i对应的向量为，复数z2=-2i对应的向量为，则向量对应的复数为：-2i-（1-i）=-1-i．故选：D．求出复数z2 的值，把对应的复数减去对应的复数，解得向量所对应的复数．本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．4.【答案】D【解析】解：∵（x2+x+2）（-1）5=（x2+x+2）（x-10-5x-8+10x-6-10x-4+5x-2-1），∴展开式的常数项是5-2=3，故选：D．把（-1）5按照二项式定理展开，可得展开（x2+x+2）（-1）5的展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x ＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A．求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的极限，超越函数的图象比较难画，排除法是常用的解题方法，难度中档．6.【答案】B【解析】解：最前排甲，共有=120种，最前只排乙，最后不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径r=1，直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点，则圆心C到直线的距离d=＞1，变形可得：a2+b2＜1，即（a-0）2+（b-0）2＜1，则点P（b，a）一定在圆的内部；故选：C．根据题意，分析圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得d=＞1，变形可得：a2+b2＜1，即（a-0）2+（b-0）2＜1，由点与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆、点圆的位置关系的判定，关键是掌握点到圆及直线到圆的位置关系的判别方法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）=f（a18），可得a4+a18=2，又{a n}是等差数列，所以a1+a21=a4+a18=2，可得数列的前25项和S21==21，则{a n}的前21项之和为21．故选：C．由函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由题意可得a4+a18=2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵BC=2，AC=3，，∴由余弦定理可得：AB===3，∵sin∠BCA==，∴设△ABC外接圆的半径为R，可得：2R==，解得：R=，∴△ABC外接圆的面积S=πR2=．故选：C．由已知利用余弦定理可得AB的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin∠BCA，设△ABC外接圆的半径为R，利用正弦定理可求R，根据圆的面积公式即可计算得解△ABC外接圆的面积．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R==故球的表面积S=4×π×（）2=π故选：D．根据A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，分析BC即为A，B，C所在平面截球形成圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．11.【答案】B【解析】解：F为双曲线C ：的右焦点F（c，0），B（0，2b），若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：=3，可得2b2=3ac，即2c2-2a2=3ac，可得2e2-3e-2=0，e＞1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12.【答案】A【解析】解：①由于y=e x及y=x-2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x-2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2-x的图象，∵f（0）=1+0-2＜0，f（1）=e-1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2-3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1-3=-2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2-3＜g（1）=ln1+1-3=-2＜0，f（b）=e b+b-2＞f（1）=e+1-2=e-1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．13.【答案】1【解析】解：∵，，∴==9，则=1．故答案为：1由向量的数量积的性质可知，=，代入即可求解．本题主要考查了平面向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】3【解析】解：y=a（x-2）-ln（x-1）的导数为：y′=a-，在点（2，0）处的切线斜率为a-1=2，解得a=3，故答案为：3．求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a-1=2，即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：∵对于任意实数x都有sin（3x-）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x-）=sin（3x+b），此时b=-+2π=，若a=-3，则方程等价为sin（3x-）=sin（-3x+b）=-sin（3x-b）=sin（3x-b+π），则-=-b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（-3，），共有2组，故答案为：2．根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：∵F是抛物线y2=x的焦点F（，0）准线方程x=-设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3解得x1+x2=∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到准线的距离为+=故答案为：．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到准线的距离．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．17.【答案】（1）证明：由题意，∵S n=t（S n-a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．整理，化简得：．①当n=1时，，解得：a1=t．②当n≥2时，a n=S n-S n-1==，整理，化简得：a n=ta n-1．∴{a n}成首项为t，公比为t的等比数列．（2）解：由（1）可知：，∴ =．∵数列{b n}为等比数列，，∴∴=．【解析】（1）本题第一题主要抓住数列{a n}的前n项和S n与数列通项a n列的关系式，通过a1=S1，a n=S n-S n-1可得到数列的递推式，从而得到{a n}成等比数列；（2）第二题要根据第一题求出b n的算式，然后根据数列{b n}为等比数列即可求出b n的通项公式．本题第（1）题主要考查数列{a n}的前n项和S n与数列通项a n列的关系式求通项公式；第（2）题主要考查已知等比数列如何求通项公式．本题属中档题．18.【答案】解：（1）由公式：K2=≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．（2）随机变量X可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴E（X）==0.9．【解析】（1）求出K2≈11.978＞10.828．由此有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．（2）随机变量X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布和E（X）．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】（1）证明：∵△PAB是正三角形，∴PB=AB=2，又∵BC=，PC=，∴PB2+BC2=PC2，∴BC⊥PB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB．（2）取AB的中点H，连接PH，则PH⊥AB，∵平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，∴PH⊥平面ABCD，以H为原点，以HA，HP和AB过H的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（-1，0，0），P（0，0，），D（1，，0），E（，0，），∴=（，0，），=（2，，0），设平面EBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得=（1，-，-），又=（0，0，）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===-，由图形可知二面角E-BD-A为锐二面角，∴二面角E-BD-A的大小．【解析】（1）根据勾股定理证明BC⊥PB，结合BC⊥AB即可得出BC⊥平面PAB，从而平面PAB⊥平面ABCD；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆C：＞＞的短轴长为，离心率为，∴ ，解得a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1，（2）当MN⊥x轴时，显然y0=0．当MN与x轴不垂直时，由右焦点为（1，0），可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2=．则x3==，y3=k（x3-1）=-．线段MN的垂直平分线方程为y+=-（x-）．在上述方程中令x=0，得y0==．当k＜0时，4k+＜-4；当k＞0时，4k+≥4．所以-≤y0＜0，或0＜y0≤．综上：y0的取值范围是[-，]．【解析】（1由题意可得，解得a2=4，b2=3，即可得出；（2分直线MN的斜率存在与不存在讨论，当MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k （x-1）（k≠0），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系及其中点坐标公式，再由基本不等式的性质即可得出范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式及其基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了分类讨论思想方法、推理能力、计算能力．21.【答案】解：（1）F（x）=f（x）-e x=px--2ln x．定义域为（0，+∞）．F′（x）=p+-=．∵函数F（x）=f（x）-e x在其定义域内为增函数，∴F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴px2-2x+p≥0，化为：p≥，对任意x＞0恒成立．设h（x）=，（x＞0）．h′（x）=，可得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）max=h（1）=1，∴p≥1．∴实数p的取值范围是[1，+∞）．（2）令u（x）=f（x）-g（x）=px--2ln x．x∈[1，e]．∵在x∈[1，e]上至少存在一点x0，u（x0）＞0，⇔u（x）max＞0，x∈[1，e]．u′（x）=p+-=．①当p=0时，u′（x）=≥0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max=u（e）=-4＜0，舍去．②当p＜0时，u（x）=p（x-）--2ln x．∵x∈[1，e]，∴x-≥0，＞0，ln x＞0．∴u（x）＜0，舍去．③当p＞0时，u′（x）=＞0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max=u（e）=pe--4＞0，化为：p＞．综上可得：p∈，．【解析】（1）F（x）=f（x）-e x =px--2lnx．定义域为（0，+∞）．F′（x）=．根据函数F（x）=f（x）-e x在其定义域内为增函数，可得F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．化为：p≥，对任意x＞0恒成立．设h（x）=，（x＞0）．利用导数研究其单调性即可得出p的取值范围．（2）令u（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx．x∈[1，e]．在x∈[1，e]上至少存在一点x0，u（x0）＞0⇔u（x）max＞0，x∈[1，e]．u′（x）=p+-=．对p分类讨论，研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（）=，∴ρcosθ-ρsinθ=2，∴曲线C2的直角坐标方程为x-y-2=0，∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴P（3cosα，sinα），∴|OP|==，∴曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max=3．（2）由（1）知直线x-y-2=0与x轴交点E的坐标为（2，0），曲线C2的参数方程为，（t为参数），曲线C1的直角坐标方程为=1，联立，得：-5=0，∵||+||=|t1|+|t2|，∴||+||=|t1-t2|==．【解析】（1）曲线C2的极坐标方程转化为ρcosθ-ρsinθ=2，由此能求出曲线C2的直角坐标方程，|OP|==，由此能求出曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值．（2）由直线x-y-2=0与x轴交点E的坐标为（2，0），曲线C2的参数方程为，（t为参数），曲线C1的直角坐标方程为=1，联立，得：-5=0，由此能求出||+||．本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最大值的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=|3x-4|．由|3x-4|＜3，解得＜＜．所以，不等式f（x）＜3的解集为＜＜．（Ⅱ）f（x）+g（x）=|3x-a|+|x+1|==（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）=．综上，当时，f（x）+g（x）有最小值．故由题意得＞，解得a＜-6，或a＞0．所以，实数a的取值范围为（-∞，-6）∪（0，+∞）．【解析】（Ⅰ）当a=4时，不等式化简为：|3x-4|＜3，然后求解即可．（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）+g（x）有最小值．然后化简求解即可．本题考查绝对值的几何意义，不等式的解法，不等式恒成立条件的应用，考查计算能力．。

陕西省2019届高三第一次大检测数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上1．设集合A={0，2，a}，B={2，a2}．若A∪B={0，2，4，16}，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．42．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．36．设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则n的值为（）A．4 B．6C．8 D．107．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为8．已知实数的取值范围是9．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．111．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是12．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上13．若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2+a4+…+a12=．14．一个无上盖容器的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．如图，是一程序框图，则输出结果为．16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为．三、解答题：解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤18．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～．20．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．21．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到焦点的距离等于5（Ⅰ）求抛物线G的方程；（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在抛物线上，可设直线BC的斜率k，求正方形ABCD面积的最小值．22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题做大，如果多做，则按所做的第一题计分。

2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．22．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．67．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．488．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥012．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sin C ＝4sin A ，（a +c ）2＝12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．14．（5分）已知函数f （x ）＝﹣+4x ﹣3lnx 在[t ，t +1]上不单调，则t 的取值范围是 ．15．（5分）已知不等式e x ﹣1≥kx +lnx ，对于任意的x ∈（0，+∞）恒成立，则k 的最大值 16．（5分）已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP ＝λAB ，则当△ABC 与△APQ 的面积之比为时，实数λ的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＞0，前n 项和为S n ，若a n ＝+，（n ∈N *，n ≥2）．（l ）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{}前n 项和为T n ，求证18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且（2a ﹣c ）（a 2﹣b 2+c 2）＝2abc cos C ． （1）求角B 的大小；（2）若sin A +1﹣（cos C）＝0，求的值．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2．（1）已知函数g（x）＝f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ22．﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝，则其虚部为（）A．i B．2i C．﹣2 D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x2﹣5x+6＜0，x∈Z}＝{x|2＜x＜3，x∈Z}＝∅，则A∩B＝∅，其中元素的个数为0．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．4．（5分）已知向量、满足||＝1，||＝2，||＝，则||＝（）A．2 B．C．D．【分析】运用向量模长的计算可得结果．【解答】解：根据题意得，（﹣）2＝2+2﹣2•又（+）2＝2+2•+2＝1+4+2•＝6∴2•＝1，∴（﹣）2＝1+4﹣1＝4，∴＝2．故选：A．【点评】本题考查向量模长的计算．5．（5分）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A．B．C．或D．或【分析】由α、β都是锐角，且cosα值小于，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＝，∴cos（α+β）＝﹣＝﹣，sinα＝＝，则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）设x，y满足约束条件，则Z＝3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z＝3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）＝4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（≈1.732，sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.131）A ．6B ．12C ．24D ．48【分析】列出循环过程中s 与n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：n ＝3，S ＝3×sin120°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝6，S ＝6×sin60°＝，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝12，S ＝×12×sin30°＝3，不满足条件S ＞3，执行循环体，n ＝24，S ＝×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056， 满足条件S ＞3，退出循环，输出n 的值为24． 故选：C ．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则A （0，0，0），F （2，1，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），＝（2，1，2），＝（0，﹣1，﹣2），设异面直线AF 与C 1E 所成角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在等比数列{a n }中，a 1+a n ＝34，a 2•a n ﹣1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据等比数列的性质得到a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64，与已知的a 1+a n ＝34联立，即可求出a 1与a n 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出S n ，把求出的a 1与a n 的值代入即可求出公比q 的值，根据a n 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值．【解答】解：因为数列{a n }为等比数列，则a 2•a n ﹣1＝a 1•a n ＝64①， 又a 1+a n ＝34②，联立①②，解得：a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2，当a 1＝2，a n ＝32时，s n ＝＝＝＝62，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n ﹣1＝32，此时n ＝5； 同理可得a 1＝32，a n ＝2，也有n ＝5． 则项数n 等于5故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．10．（5分）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且＝2，则不等式f （log 4x ）＞2的解集为（ ）A ．B ．（2，+∞）【分析】由题意知不等式即f （log 4x ）＞，即 log 4x ＞，或 log 4x ＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【解答】解：由题意知 不等式f （log 4x ）＞2，即 f （log 4x ）＞，又偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f （x ）在[0，+∞）上是增函数，∴log 4x ＞＝log 42，或 log 4x ＜﹣＝，∴0＜x ＜，或 x ＞2， 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．11．（5分）设f （x ）＝x 3+log 2（x +），则对任意实数a 、b ，若a +b ≥0，则（ ）A ．f （a ）+f （b ）≤0B ．f （a ）+f （b ）≥0C ．f （a ）﹣f （b ）≤0D ．f （a ）﹣f （b ）≥0【分析】求解函数f （x ）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R ，＝＝﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数f （x ）在R 上是单调递增， 那么：a +b ≥0，即a ≥﹣b ， ∴f （a ）≥f （﹣b ），得f （a ）≥﹣f （b ）， 可得：f （a ）+f （b ）≥0． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力．属于基础题．12．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【分析】设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，根据双曲线的定义算出t ＝3a ，x ＝a ，Rt △ABF 2中算出 cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 【解答】解：|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5， 设|AF 1|＝t ，|AB |＝3x ，则|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ， 根据双曲线的定义，得|AF 2|﹣|AF 1|＝|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ， 即5x ﹣t ＝（3x +t ）﹣4x ＝2a ， 解得t ＝3a ，x ＝a ， 即|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝5a ，∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|＝3：4：5，得△ABF 2是以B 为直角的Rt △，∴cos ∠BAF 2＝＝，可得cos ∠F 2AF 1＝﹣，△F 2AF 1中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2﹣2|AF 1|•|AF 2|cos ∠F 2AF 1＝9a 2+25a 2﹣2×3a ×5a ×（﹣）＝52a 2，可得|F 1F 2|＝2a ，即c ＝a ，因此，该双曲线的离心率e ＝＝．故选：A ．【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sin C＝4sin A，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2＝4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sin C＝4sin A，可得：ac＝4，由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4，可得：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．15．（5分）已知不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则k的最大值e﹣1【分析】不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．求得，（x＞0），的最小值即可k的取值．【解答】解：不等式e x﹣1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．等价于对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．令，（x＞0），，令g（x）＝e x（x﹣1）+lnx，（x＞0），则，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1∴k≤e﹣1．故答案为：e﹣1．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y＝1，最后代入面积公式即可得解．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到λ、μ，y的关系式，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）＝4，a n＞0，前n项和为S n，若a n＝+，（n∈N*，n≥2）．17．（12分）已知数列{a n}中，a1（l）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，求证．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得＝＝（﹣），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．＝4，a n＞0，前n项和为S n，【解答】解：（1）数列{a n}中，a1若a n＝+，（n∈N*，n≥2），＝（﹣）（+），由a n＝S n﹣S n﹣1可得﹣＝1，即有＝+n﹣1＝2+n﹣1＝n+1，即S n＝（n+1）2，当n≥2时，a n＝+＝n+1+n＝2n+1；则a n＝；（2）n≥2时，可得列＝＝（﹣），则前n项和为T n＝+（﹣+﹣+…+﹣）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．（1）求角B的大小；（2）若sin A+1﹣（cos C+）＝0，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos B＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30°）＝，结合范围A+30°∈（30°，150°），可求A＝30°，由正弦定理即可求得的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abc cos C．∴（2a﹣c）2ac cos B＝2abc cos C．∴（2a﹣c）cos B＝b cos C…3分∴，∵由正弦定理可得：，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴，∴2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°…6分（2）∵sin A+1﹣（cos C+）＝0，∴sin A+1﹣cos C﹣＝0，可得：sin A﹣cos C＝，∵B＝60°，C＝180°﹣B﹣A＝120°﹣A，∴sin A﹣cos（120°﹣A）＝，可得： cos A﹣sin A＝，∴cos（A+30°）＝，∵A∈（0°，120°），∴A+30°∈（30°，150°），∴A＝30°，∵由正弦定理，B＝60°，A＝30°，∴可得：＝…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）设椭圆C ：的离心率e ＝，左顶点M 到直线＝1的距离d ＝，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不存在时，x 1x 2+y 1y 2＝0，点O 到直线AB 的距离为．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O 到直线AB 的距离为，由此能证明点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵以AB 为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴，又点A 在椭圆C 上，解得|x 1|＝|y 1|＝．此时点O 到直线AB 的距离．（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx +m ，联立，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，∵以AB 为直径的圆过坐标原点O ，∴OA ⊥OB ，∴＝x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0，∴（1+k 2）•，整理，得5m 2＝4（k 2+1），∴点O 到直线AB 的距离＝，综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值．（3）设直线OA 的斜率为k 0，当k 0≠0时，OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB 的面积S ＝＝2，令1+＝t ，t ＞1，则S ＝2＝2，令g （t ）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t ＞1）∴4＜g （t ），∴，当k 0＝0时，解得S ＝1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA ＝DP ，BA ＝BP ． （1）求证：PA ⊥BD ；（2）若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D ﹣PC ﹣B 的正弦值．【分析】（1）取AP 中点F ，连接DM ，BM ，由已知可证PA ⊥DM ，PA ⊥BM ，又DM ∩BM ＝M ，可得PA ⊥平面DMB ，因为BD ⊂平面DMB ，可证PA ⊥BD ；（2）由已知可得△DAP 是等腰三角形，△ABP 是等边三角形，求出MD ⊥MB ，以MP ，MB ，MD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC 与平面PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，＝1，得，∴＝（，1，），令y1设平面PCB的法向量，由，得，＝1，得，，∴＝（，1，），令y2∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2．（1）已知函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调，求实数a 的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+，求得2+ 的最大值，可得a 的范围．（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．【解答】解：（1）∵函数f （x ）＝x 2﹣2，函数g （x ）＝f （x ）+2（x +1）+alnx 在区间（0，1）上单调， ∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＝2x+2+＞0恒成立，即a ＞﹣2x 2﹣2x ＝﹣2+， 而m （x ）＝﹣2+ 在区间（0，1）上单调递减，∴﹣2+＜m （0）＝0，∴a ≥0． （2）∵函数＝ln （1+x 2）﹣（x 2﹣2）﹣k ＝ln （1+x 2）﹣x 2+1﹣k 的定义域为R ， h ′（x）＝﹣x ﹣0＝，令h ′（x ）＝0，求得x ＝0，或x ＝1 或x ＝﹣1， 列表：﹣当1﹣k ＞0且ln 2+﹣k ＞0时，即 k ＜1时，函数h （x ）有2个零点；当1﹣k ＝0且 ln 2+﹣k ＞0时，即k ＝1时，函数h （x ）有3个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＞0时，即1＜k ＜ln 2+ 时，函数h （x ）有4个零点；当1﹣k ＜0且ln 2+﹣k ＜0时，即 k ＞ln 2+ 时，函数h （x ）有没有零点．【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程．并指出其曲线是什么曲线．（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，由此求出曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，求出P（2，0），从而得到圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝，再由Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，能求出PQ的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，∴曲线C是圆心为（0，1），半径为r＝1的圆．（2）∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣8＝0，∴直线l的直角坐标方程为4x+3y﹣8＝0，∵直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，∴P（2，0），圆心C（0，1）到P（2，0）的距离|PC|＝＝，∵Q是圆C上的动点，圆C的半径为r＝1，∴PQ的最大值为．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），求a值．【分析】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5，且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝5 求得a的值．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝，函数f（x）如图所示．（2）由题设知：|x+1|+|x﹣a|≥5，如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象（如图所示）又解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．由题设知，当x＝﹣2或3时，f（x）＝5且a+1＜5即a＜4，由f（﹣2）＝﹣2（﹣2）﹣1+a＝5得：a＝2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．。

榆林市2019届高三第一模拟考试
数学（理）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则其虚部为（）
A. B. C. -2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简复数z，即可得出虚部.
【详解】,故选D.
2.若集合，，则中元素的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。

【详解】化简B集合，得到，因而，故选A。

3.函数的图像的大致形状是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，又由可得函数图象选B。

4.已知向量满足，，，则（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意明确•，进而求出的值.
【详解】根据题意得，（）222﹣2•
又（）22+2•2＝1+4+2• 6
∴2•1，
∴（）2＝1+4﹣1＝4，
∴2．
故选：A．
5.若都是锐角，且，，则（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.
【详解】因为都是锐角，且，所以又
，所以，所以
，，故选A.。

陕西省西安市五校2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案参考答案数学（理）试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．已知集合1={R| 2},{R|1}x A x e B x x∈<=∈>则A B = （ ） A .2{|0log }x R x e ∈<< B .{|01}x R x ∈<<C .2{|1log }x R x e ∈<<D .2{|log }x R x e ∈<2．以下判断正确的是 （ ）A .函数()y f x =为R 上的可导函数，则'0()0f x =是0x 为函数()f x 极值点的充要条件.B ．命题“2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意”.C .命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题.D . “0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.3.已知复数2320131i i i i z i++++=+，则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）A .第一像限B .第二像限C .第三像限D .第四像限4.设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝ ( )A .V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B .2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C .3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D .4VS 1＋S 2＋S 3＋S 45．曲线()02:21>=p px y C 的焦点F 恰好是曲线()0,01:22222>>=-b a by a x C 的右焦点，且曲线1C 与曲线2C 交点连线过点F ,则曲线2C 的离心率是 （ ）俯视图1B.12C.21 6．右图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点 ( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.7.在ABC ∆中，点M 是BC 中点.若 120=∠A ，12AB AC ⋅=-，则AM 的最小值是 （ ） AB. 2C.32 D .128. 若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于( ) A .310cm B .320cm C .330cm D .340cm9. 八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，3个涂白色.若涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有 （ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A .()0,+∞B .()(,03,-∞+∞C .()(),00,-∞+∞D .()3,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是.A12. 设若0ln 0()(1cos ),0xxx f x a t dt x >⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩⎰，(())2f f x =，则a 的 值是 .13．如右所示框图，若2()31f x x =-，取0.1ε=，则输出的值为 . 14. 方程1sin 222x x x π⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在区间[]0,π内的所有实 根之和为 .（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）。