2014高考数学快速命中考点18

2014年高考数学陕西卷理科第18题:在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若0=++PC PB PA；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.(Ⅰ)解法1：在∆ABC 中，0++=PA PB PC ,所以P 为∆ABC 的重心,即P 为∆ABC 三条中线的交点，取AB 的中点32E （,2），则AB 边上中线EC 的方程为2=y ，取AC 的中点32F(2,)，则AC 边上中线BF 的方程为2=x ，两直线的交点就是重心P （2,2），故22=OP 陕西省靖边中学 赵世念)解法2：由两点间距离公式知==AB AC 所以∆ABC 为等腰三角形，则重心P必在底边BC 的高线=y x 上，设点(,)P t t ，由重心的性质知3232-==-PC tPE t ，解得2=t ，故22=OP (西北工业大学附属中学 焦小龙 ；陕西省靖边中学 赵世念) (Ⅱ)解法1：将=+OP mAB nAC 坐标化(,)(1,2)(2,1)=+x y m n ，整理得2=+x m n ，2=+y m n ，两式作差可得+-=-m n x y ，设()-1,1M ，则(,),(1,1)==-OP x y OM ，记,OP O M α<>=,则+=cos =-⋅z x y OM OP α，转化为求OP 在OM方向上投影的最大值.当点P 与点B 重合时，OP 在OM 方向上投影最大将3B(2,)代入得+=1-=-m n x y .(陕西省靖边中学 赵世念) 解法2：由解法1知+-=-m n x y ，令d 为点(),P x y 到直线+0-=x y的距离，则=d ，由图知，点B 和点C到直线的距离最大，最大值为2，即2=≤d +1-≤x y . (陕西省靖边中学 赵世念)解法3：),(R n m n m ∈+=()()()()n m n m y x ++===2,2,,1,2,2,1,,32,32x y n m yx n x y m -=--=-=⇒ 把)2,3(),3,2(),1,1(C B A 三点代入，则：.1,1,0-=-n mn m -的最大值.为1；（目标函数的最值在可行域的边界处或顶点处取得）. （陕西省武功县5702中学 薛博谋）解法4：由(,)OP mAB nAC m n =+∈R 得(,)(1,2)(2,1)x y m n =+，所以22m n xm n y +=⎧⎨+=⎩，解得2323y x m x y n -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，从而m n y x -=-.因为由题设知点(,)P x y 满足不等式组21021050x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，又22m n x m n y +=⎧⎨+=⎩，所以实数,m n 满足不等式组13133350m n m n ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎪⎩.（*）111(33)(2)5(2)1333m n m n n -=++-≤⨯+-⨯=，当且仅当33513m n n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即4313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时不等式取等号.故所求m n -的最大值为1.(陕西省西安市临潼区马额中学 童永奇)解法5：同解法4（*）如图，在mOn 坐标系中画出（*）表示的平面区域，令z m n =-，则通过平移可知：当动直线z m n =-经过点41E(,)33时，z 取得最大值.故所求m n -的最大值为41133-=. （陕西省西安市临潼区马额中学 童永奇）。

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：定点定线定值1.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+=(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->. 212122284(3),.3434mk m x x x x k k-⇒+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，(最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).72.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

2014高考数学快速命中考点191．圆(x ＋2)2＋y2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 【解析】 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距离为－2－22＋0－12＝17，则R －r<17<R ＋r ，所以两圆相交．【答案】 B2．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0【解析】 与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.【答案】 A3．已知圆(x －a)2＋(y －b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y2＝6425B ．x2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y2＝1D ．x2＋(y －1)2＝1【解析】 因为抛物线y2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，∴a ＝1，b ＝0.又根据r ＝|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1， ∴圆的方程为(x －1)2＋y2＝1.【答案】 C4．已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6【解析】 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦|AC|＝2r ＝10，最短弦|BD|＝2r2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|×|BD|＝20 6. 【答案】 B5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33C ．±33 D ．－ 3 【解析】 由于y ＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l 与x2＋y2＝1(y≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB＝12·sin ∠AO B≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.【答案】 B二、填空题6．直线y ＝2x ＋3被圆x2＋y2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________．【解析】 圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2 r2－d2＝2×25－5＝220＝4 5.【答案】 4 57．已知圆O ：x2＋y2＝5，直线l ：xcos θ＋ysin θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.【解析】 ∵圆心(0,0)到直线的距离为1，又∵圆O 的半径为5，故圆上有4个点符合条件．【答案】 48．设圆x2＋y2＝2的切线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，当|AB|取最小值时，切线l 的方程为________．【解析】 设切线l 方程为x a ＋y b＝1，因为l 与圆相切，则圆心(0,0)到l 的距离d ＝2＝11a2＋1b2， 即1a2＋1b2＝12，|AB|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b2a2＋a2b2≥8. 当且仅当a ＝b 时等号成立，解得a ＝b ＝2，所以x ＋y ＝2.【答案】 x ＋y ＝2三、解答题9．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l1：x ＋y ＋3＝0上，直线l2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM|的最小值．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y)，且|PA|＝2|PB|.则x ＋32＋y2＝2x －32＋y2.化简得曲线C ：(x －5)2＋y2＝16.(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4. 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解】 (1)曲线y ＝x2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9. 消去y ，得方程2x2＋(2a －8)x ＋a2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a2>0.因此x1,2＝8－2a ±56－16a －4a24， 从而x1＋x2＝4－a ，x1x2＝a2－2a ＋12.① 由于OA ⊥OB ，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a ，y2＝x2＋a ，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.11.已知过点A(－1，0)的动直线l 与圆C ：x2＋(y －3)2＝4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N.图5－1－1(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2)当|PQ|＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM →·AN →是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．【解】 (1)证明 ∵l 与m 垂直，且km ＝－13，∴kl ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.∵圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，∵PQ ＝23，∴CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k2＋1＝1，得k ＝43，∴直线l ：4x －3y ＋4＝0.故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)∵CM ⊥MN ，∴AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →.当l 与x 轴垂直时，易得N(－1，－53)，则AN →＝(0，－53)，又AC →＝(1,3)，∴AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x ＋3y ＋6＝0，得N(－3k －61＋3k ，－5k1＋3k )，则AN →＝(－51＋3k ，－5k1＋3k )， ∴AM →·AN →＝AC →·AN →＝－51＋3k ＋－15k1＋3k ＝－5，综上所述，AM →·AN →与直线l 的斜率无关，且AM →·AN →＝－5.。

2014高考数学快速命中考点2一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1－5－1所示，则该函数的图象是( )图1－5－1【解析】 从导数的图象可看出，导函数值先增大后减小，当x ＝0时，f ′(x )有最大值．结合导数的几何意义知，B 正确．【答案】 B2．已知f (x )＝x 3－92x 2＋6x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (2)＞0； ④f (0)f (2)＜0.其中正确结论的序号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④D ．②③【解析】 函数的导数为f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x 2－3x ＋2)＝3(x －1)(x －2)．则函数在x ＝1处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，因为f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，所以函数有3个零点，则f (1)＞0，f (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧f＝1－92＋6－abc ＞0，f＝23－92×22＋6×2－abc ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧abc ＜52，abc ＞2，即2＜abc ＜52，所以f (0)＝－abc ＜0，所以f (0)f (1)＜0，f (0)f (2)＞0.所以选D.【答案】 D3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【解析】 首先由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋t ＋⎪⎪⎪4＝4＋25ln 5.【答案】 C4．函数f (x )＝ln xx2的最大值为( )A ．e B.1e C ．2eD.12e【解析】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＝1－2ln xx3. 令f ′(x )＝0得x ＝e ，且当0<x <e 时，f ′(x )>0， 当x >e 时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值f (e)＝12e. 【答案】 D5．设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0【解析】 ∵f ′(x )＝e x＋1＞0，∴f (x )是增函数．∵g (x )的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1x＋2x ＞0，∴g (x )是(0，＋∞)上的增函数．∵f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，∴0＜a ＜1.∵g (1)＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，∴1＜b ＜2，∴f (b )＞0，g (a )＜0.【答案】 A 二、填空题6．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 【解析】 y ′＝k ＋1x，由导数y ′|x ＝1＝0，得k ＋1＝0，则k ＝－1.【答案】 －17．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立，m ≥－(1x )2＋2x，令g (x )＝－(1x )2＋2x ，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1.【答案】 [1，＋∞)8．已知f (x )＝x e x，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ＞－1时，f ′(x )＞0函数递增；当x ＜－1时，f ′(x )＜0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a . 又f (1)＝a ＋1＝c ，∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)，即y －2ax ＋a －1＝0. 又∵g ′(x )＝3x 2＋b ，则g ′(1)＝3＋b .又g (1)＝1＋b ＝c ， ∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3. (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28； 当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．10．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间；(3)若a ＝－1，函数f (x )的图象与函数g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有3个不同的交点，求实数m 的取值范围．【解】 (1)因为f (x )＝(x 2＋x －1)e x，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x， 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e. 又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)， 即4e x －y －3e ＝0.(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x， ①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜－2a ＋1a时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a，＋∞； 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)．③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0；当－2a ＋1a＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a，0(3)由(2)知，f (x )＝(－x 2＋x －1)e x在(－∞，－1]上单调递减，在[－1,0]单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值f (－1)＝－3e ，在x ＝0处取得极大值f (0)＝－1.由g (x )＝13x 3＋12x 2＋m ，得g ′(x )＝x 2＋x .当x ＜－1或x ＞0时，g ′(x )＞0； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 故g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝16＋m ，在x ＝0处取得极小值g (0)＝m .因为函数f (x )与函数g (x )的图象有3个不同的交点．所以⎩⎪⎨⎪⎧f －＜g －，f ＞g即⎩⎪⎨⎪⎧－3e ＜16＋m ，－1＞m .所以－3e －16＜m ＜－111．已知函数f (x )＝e x－ln(x ＋m )(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性． (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. 【解】 (1)f ′(x )＝e x－1x ＋m， 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，即e 0－1m＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x－ln(x ＋1)，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x－1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明 当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋2x 0＋2＞0.综上，当m ≤2时，f (x )＞0.。

高考数学23个必考抢分点第一讲三角函数与向量第二讲概率、统计第三讲数列第四讲立体几何第五讲解析几何第六讲函数、导数与不等式考点：三角恒等变换[例1] (1)若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则sin2α的值为 ( )A ．－78 B.78C ．－47D.47(2)求值1＋cos 20°2sin 20°－sin10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°.（1）解析：cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.（2）解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.答案：B【方法总结】 三角恒等变换常考化简与求值问题，多在填空题中考查，在解答题中多用于化简三角函数，此类问题的解决主要抓住“一角，二名，三结构”．即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，注意角的拆分变换应用．考点：三角函数图象与性质[例2] 已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)部分图象如图所示，则f (x )的解析式为____．A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫43x ＋2π9 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫43x ＋25π18解析：法一：由部分图象知34T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，故T ＝4π3.结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32.排除C 、D.又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫5π6，2，代入选项验证可知只有选项B 满足条件．法二：由法一知ω＝32，由图象易知⎝⎛⎭⎫－π6，0是由函数y ＝sin x 中点(π，0)平移之后得到的点， 令x 0＝－π6，因此ωx 0＋φ＝π.即φ＝π－ωx 0＝π－32×⎝⎛⎭⎫－π6＝5π4. 故函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋5π4. 答案：B[例3] 已知函数f (x )＝3sin(x －φ)·cos(x －φ)－cos 2(x －φ)＋12⎝⎛⎭⎫0≤φ≤π2为偶函数． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)把函数f (x )的图象向右平移π6个单位(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的对称中心．解：(1)f (x )＝32sin(2x －2φ)－x －2φ＋12＋12＝32sin(2x －2φ)－12cos(2x －2φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6. ∵函数f (x )为偶函数．∴2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z.又∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－π6＝－cos2x ，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z)． (2)函数f (x )＝－cos2x 的图象向右平移π6个单位(纵坐标不变)，得到g (x )＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，即g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，∴g (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，0，k ∈Z. 【方法总结】 三角函数图象与性质多以解答题形式考查，重点是三角函数的图象变换及三角函数的性质．对于表达式较复杂的三角函数性质的研究，一般先将所给函数利用三角恒等变换化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后视ωx ＋φ为一个整体，再结合三角函数性质研究相应的问题．考点：解三角形[例4] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3<C <π2且b a －b ＝sin 2Csin A －sin 2C.(1)判断△ABC 的形状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC 的取值范围． 解：(1)由b a －b ＝sin 2C sin A －sin 2C，知a －b b ＝sin A －sin 2C sin 2C ，∴a b ＝sin Asin 2C .由正弦定理得sin B ＝sin2C ，∴B ＝2C 或B ＋2C ＝π. 若B ＝2C ，由π3<C <π2，知2π3<2C <π，即2π3<B <π.∴B ＋C >π，与三角形内角和为π矛盾，故B ＝2C 舍去．∴B ＋2C ＝π， ∴A ＝π－(B ＋C )＝π－(π－2C ＋C )＝C .故△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知a ＝c ，∵|BA ＋BC |＝2，∴|BA ＋BC |2＝4，∴a 2＋c 2＋2ac cos B ＝4，∴cos B ＝4－a 2－c 22ac ＝2－a 2a2，∴BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2， ∵cos B ＝cos(π－2C )＝－cos2C ，又∵π3<C <π2，∴2π3<2C <π，∴－1<cos2C <－12，即12<cos B <1.即12<2－a 2a 2<1，解得1<a 2<43，∴23<2－a 2<1，∴BA ·BC 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1. 【方法总结】解三角形问题着重考查正余弦定理的应用，多以解答题形式考查，解此类问题一是要注意三角形中的隐含条件；二是注意面积公式的灵活应用；三是注意正余弦定理的灵活选择及边角互化技巧．考点：平面向量的基本运算[例5](1)向量AB 与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB |＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为（ ） A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)(2)△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________. (3)如图放置的正方形ABCD ，AB ＝1，A 、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC ·OB 的最大值是________．（1）解析：∵a ＝(－3,4)，∴|a |＝5，∴AB ·a ＝10×5×cosπ＝－50.设B (x ，y )，则AB ＝(x －1，y －2)，∴AB ·a ＝－3(x －1)＋4(y －2)＝－50， ∴3(x －1)－4(y －2)＝50，即3x －4y ＝45，① 又|AB |＝10，∴(x －1)2＋(y －2)2＝100， ② 由①②解得x ＝7，y ＝－6，∴B (7，－6)．答案：D （2）解析：法一：∵BM ＝2AM ，∴A 是MB 的中点，∴CM ·CA ＝(CB ＋BM )·CA＝(CB ＋2BA )·CA ＝CB ·CA ＋2BA ·CA ＝2×32×3cos45°＝18.法二：如图以CA 、CB 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系， 由CA ＝CB ＝3，知A (3,0)，B (0,3)，又BM ＝2AM ，∴A 是MB 的中点，∴M (6，－3)，∴CM ·CA ＝(6，－3)·(3,0)＝18.[答案] 18（3）[解析] 设∠BAx ＝θ(0°≤θ≤90°)，则∠OAD ＝90°－θ， 于是OA ＝AD ·cos ∠OAD ＝sin θ，于是B 点坐标为(sin θ＋cos θ，sin θ)，即OB ＝(sin θ＋cos θ，sin θ)，又∠CDy ＝90°－θ，所以C 点坐标为(DC ·sin ∠CDy ，OD ＋DC ·cos ∠CDy )， 即为(cos θ，sin θ＋cos θ)，即OC ＝(cos θ，sin θ＋cos θ)，于是OB ·OC ＝cos 2θ＋2cos θsin θ＋sin 2θ＝1＋sin2θ≤2， 而且仅当θ＝45°时取最大值2.[答案] 2【方法总结】 平面向量的运算包括线性运算与代数运算，多以填空题形式考查．若已知条件中涉及向量运算的几何意义应根据向量加、减法的运算法则求解；若已知条件中涉及向量的坐标运算需综合利用向量的坐标运算公式求解；若已知条件中涉及与图形有关的数量积时，需根据图形特征及数量积的运算性质或建立直角坐标系转化为向量的坐标运算求解.考点：三角与向量的综合[例6] 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，向量n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解](1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， ∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3，∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 【方法总结】 向量与三角函数结合是高考命题的一大热点．解决此类问题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．若在三角形中，要注意隐含条件的挖掘．考点：用样本估计总体[例1] (1)甲、乙两名同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图所示，请你根据茎叶图判断谁的平均分高________．(填“甲”或“乙”)(2)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时，属醉酒驾车，据有关报道，在某个时期某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________．（1）[解析] 由茎叶图可以看出，x 甲＝19×(92＋81＋89×2＋72＋73＋78×2＋68)＝80，x 乙＝19×(91＋83＋86＋88＋89＋72＋75＋78＋69)≈81.2，x 乙>x 甲，故乙的平均分大于甲的平均分．[答案] 乙（2）[解析] 依题意得，属于醉酒驾车的人数约为(0.01×10＋0.005×10)×500＝75.[答案] 75[例2] 从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上(含180cm)的人数．[解] (1)由频率分布直方图得第七组的频率为： 1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06， 所以第七组的人数为0.06×50＝3(人)． 同理可得各组人数如下：(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18. 估计这所学校高三年级身高在180cm 以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144(人)．【方法总结】 用样本估计总体主要考查频率分布直方图、茎叶图及样本数字特征，多以填空题形式出现．解决此类问题一是注意频率分布直方图中纵轴的含义是频率组距及各小长方形的面积和为1，二是要理解众数、中位数、方差的含义及求法.考点：变量间的相关关系[例3] 已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( ) A.y ^＝1.23x ＋4 B.y ^＝1.23x ＋5C.y ^＝1.23x ＋0.08 D.y ^＝0.08x ＋1.23解析：回归直线必过点(4,5)，故其方程为y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.答案：C[例4] 甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； (3)由以上统计数据填写下面2×2.参考数据与公式：由列联表中数据计算K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d ) (a ＋c )(b ＋d )；临界值表：解：(1)甲校抽取110×1 2002 200＝60人，乙校抽取110×1 0002 200＝50人，故x ＝10，y ＝7.(2)估计甲校优秀率为1560＝25%，乙校优秀率为2050＝40%.(3)表格填空：K 2＝110×(×30－20×45)260×50×35×75≈2.83>2.706.又因为1－0.10＝0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．【方法总结】 变量间的相关关系，主要考查回归分析与独立性检验，多在选择题中考查．解决此类问题要注意理解回归分析的方法及掌握回归方程的求法，注意回归直线恒过定点(x ，y ).考点：概率[例5]在2011年深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )A.310B.58C.710D.25(2)向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S3的概率是________．（1）解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：A（2）解析：作DE ∥BC 分别交直线AB ，AC 于点D ，E ，使得DE BC ＝23，则P 取四边形BCED 中任意一点即可满足题意，所以所求的概率为S 四边形BCED S △ABC ＝59.答案：59【方法总结】 概率问题多考查古典概型与几何概型，常以选择、填空题形式考查，解决此类问题首先要注意分析判断是哪种概率模型，然后，选用相应的概率计算公式计算．在古典概型中要注意基本事件个数的确定，常用的方法有列表法、枚举法等.考点：概率与统计[例6] (1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和是3的倍数的概率； (2)两数之积是6的倍数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )的直线x －y ＝3的下方区域的概率．解：(1)抛掷2次骰子共有36个等可能的基本事件，“两数之和是3的倍数”包含12个基本事件；(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，故所求事件的概率P ＝1236＝13.(2)抛掷2次骰子共有36个等可能的基本事件，“两数之积是6的倍数”包含15个基本事件：(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,3)，(4,6)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，故所求事件的概率P ＝512.(3)抛掷2次骰子共有36个等可能的基本事件，“点(x ，y )在直线x －y ＝3的下方区域”包含3个基本事件：(6,1)，(6,2)，(5,1)，故所求事件的概率P ＝112.[例7] 某糖厂为了解一条自动生产线上生产袋装白糖的重量，从1000袋白糖中，随机抽取100袋并称出每袋白糖的重量(单位：g)(1)(2)根据上述数据估计从这批白糖中随机抽取一袋其重量在[495.5,505.5]上的概率．[解] (1)频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)从这批白糖中随机抽取一袋，其重量在[495.5,505.5]上的概率为0.5＋0.2＝0.7.【方法总结】 概率与统计多在解答题中考查，主要涉及概率的求法及频率分布直方图的应用，解决此类问题时要注意判断概率类型，准确地确定基本事件发生的种数，同时注意对频率分布直方图中所提供的信息条件的准确理解．考点：等差数列、等比数列的基本运算[例1] (1)设{an }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{an }的前5项和S 5等于( )A ．10B ．15C ．20D ．30 (2)已知等差数列{a n }，首项a 1>0，a 2011＋a 2012>0，a 2011·a 2012<0，则使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是 ( )A ．2011B ．2012C ．4023D ．4022（1）解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由a 1，a 3，a 6成等比数列知a 23＝a 1·a 6，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )．又a 1＝2，所以d ＝12，所以S 5＝5a 1＋5×(5－1)2×12＝15.答案：B（2）解析：因为{a n }是等差数列，且a 1>0，a 2011＋a 2012>0，a 2011·a 2012<0，所以a 2011>0，a 2012<0. 所以S 4022＝4 022(a 1＋a 4 022)2＝2011(a 2011＋a 2012)>0，S 4023＝4 023(a 1＋a 4 023)2＝4023a 2012<0，故使S n >0成立的最大正整数n ＝4022.答案：D【方法总结】 等差、等比数列的基本运算，多考查“知三求二”问题，常以填空题形式考查，解题时一是要抓住首项a 1和公差d (公比q )，二是注意方程思想与整体思想的应用.考点：数列求和[例2] 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝n a n －n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＋b n >169.解：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝1.∴数列{a n －n }是首项为1,4为公比的等比数列．∴a n －n ＝1×4n －1，a n ＝4n －1＋n .(2)由(1)可知b n ＝n a n －n ＝n4n －1.∴S n ＝1＋2×14＋3×142＋…＋(n －1)×14n －2＋n ×14n －1.则14S n ＝1×14＋2×142＋…＋(n －1)×14n －1＋n ×14n ， 相减得34S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋14＋142＋…＋14n －1－n ×14n ＝43⎝⎛⎭⎫1－14n －n ×14n ，∴S n ＝169⎝⎛⎭⎫1－14n －n3×4n －1， ∴S n ＋b n ＝169－169×14n －n 3×4n －1＋n 4n －1＝169＋13×4n －1·⎝⎛⎭⎫2n －43. ∵n ≥1，∴2n －43>0，∴S n ＋b n >169.【方法总结】 数列求和主要在解答题中考查，多考查分组转化求和、错位相减求和及裂项求和，解决此类问题时要注意根据通项的结构特征灵活地选择求和方法，注意分类讨论思想的应用.考点：数列的综合应用[例3] 已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n .(2)设b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫3－log 2|a n |3，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n ，求使T n <m 6恒成立的m 的最小整数值．[解] (1)n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，即a 1＝3；当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，即a n ＝－32n －2.则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 ，n ＝1，－32n －2 ，n ≥2. (2)当n ＝1时，b 1＝3－log 21＝3，即T 1＝1b 1＝13；当n ≥2时，b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫3－log 233·2n －2＝n ·(n ＋1)，即1b n ＝1n (n ＋1)， 则T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝13＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝13＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝56－1n ＋1<56， 故使T n <m6恒成立的m 的最小整数值为5.【方法总结】等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率和数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在填空题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件．考点：空间几何体[例1] (1)在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为( ) (2)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为____．A ．2πB ．6πC．46π D ．24π（1）解析：设该三棱锥外接球的半径为R ，则依题意有1·21·2AB AC AD AC ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,AB AC AD =所以12AB·AD ＝62，所以(2R )2＝AB 2＋AC 2＋AD 2＝6，解得R ＝62，故该三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝6π.答案：B（2）解析：由三视图知，该几何体由正方体沿面AB 1D 1与面CB 1D 1截去两个角所得，其表面由两个正三角形，四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4 3.答案：【方法总结】 空间几何体常借助于三视图考查空间几何体的特征、面积与体积及与球有关的衔接问题．多以选择、填空题形式考查，解决此类问题的关键是利用三视图准确地还原几何体，然后根据提供条件解决面积与体积问题.考点：空间位置关系[例2]在空间中，l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是________．①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥α；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，l⊥m，l⊥n，则m⊥n.解析：根据平面平行的传递性可知，选项A中的结论正确；根据线面平行的判断方法可以证明选项B 中的结论正确；根据线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理可得选项C中的结论正确；选项D中的结论不正确，m与n不一定垂直．答案：D[例3]如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC，CD的中点，求证：(1)EF∥平面PBD；(2)平面PEF⊥平面P AC.[证明](1)因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，因为EF⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，所以EF∥平面PBD.(2)设BD交AC于点O，连结PO，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，O是BD中点，又PB＝PD，所以BD⊥PO，又EF∥BD，所以EF⊥AC，EF⊥PO.又AC∩PO＝O，AC⊂平面P AC，PO⊂平面P AC，且EF⊄平面P AC，所以EF⊥平面P AC.因为EF⊂平面PEF，所以平面PEF⊥平面P AC.【方法总结】空间位置关系的判断主要涉及平行与垂直的证明问题，多以解答题形式考查，解决此类问题的关键是充分理解掌握平行与垂直的判定定理及性质定理，证明问题时要注意步骤的规范化.考点：折叠问题[例4]如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)记三棱锥P－ABD体积为V1，四棱锥P－BDEF体积为V2，求当PB取得最小值时的V 1∶V 2值．[解] (1)证明：在菱形ABCD 中，∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥AO . ∵EF ⊥AC ，∴PO ⊥EF ，∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED ＝EF ，且PO ⊂平面PEF ，∴PO ⊥平面ABFED ， ∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO ⊥BD . ∵AO ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面POA . (2)连结OB ，设AO ∩BD ＝H . 由(1)知，AC ⊥BD .∵∠DAB ＝60°，BC ＝4，∴BH ＝2，CH ＝2 3. 设OH ＝x (0<x <23)．由(1)知，PO ⊥平面ABFED ，故△POB 为直角三角形． ∴PB 2＝OB 2＋PO 2＝(BH 2＋OH 2)＋PO 2，∴PB 2＝4＋x 2＋(23－x )2＝2x 2－43x ＋16＝2(x －3)2＋10. 当x ＝3时，PB 取得最小值，此时O 为CH 中点． ∴S △CEF ＝14S △BCD ，∴S 梯形BFED ＝34S △BCD ＝34S △ABD ，∴V 1＝13S △ABD ·PO ，V 2＝13S 梯形BFED ·PO .∴V 1V 2＝S △ABD S 梯形BFED ＝43.∴当PB 取得最小值时，V 1∶V 2的值为4∶3.【方法总结】 折叠问题一直是命题的热点内容，解决此类问题的关键是抓住折叠前后哪些变化，哪些不变，体现了平面与空间的转化问题．考点：直线与圆[例1] (1)从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线所在的直线方程为________．(2)经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．(3)已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )A ．2B ．3C.115D.3716（1）[解析] 由题意得，射出的光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)． 故方程为y －2＝3－2－2x ，即x ＋2y －4＝0.[答案] x ＋2y －4＝0（2）[解析] 易知点C 的坐标为(－1,0)，而所求直线与x ＋y ＝0垂直，所以所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.[答案] x －y ＋1＝0（3）解析：因为x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，所以可画图观察．如图所示（见下页）， d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |≥|4×1－3×0＋11|42＋32＝155＝3. 答案：B【方法总结】 直线与圆主要考查直线方程的求法及应用，直线与圆的位置关系等问题，多涉及切线、弦长问题，常在选择、填空题中考查，解决此类问题一是要注意结合图形，二是要灵活选择直线方程与圆的方程的形式.考点：椭圆、双曲线、抛物线的基本问题[例2] (1)直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－12C.3－1D ．4－2 3(2)已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±52xC ．y ＝±12xD ．y ＝±6x(3)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为________．（1）解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c ，由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3.∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.答案：C（2）解析：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝ca＝5，c ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±12x .（4）解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为N (m,6)．∵x 2＝2py (p >0)，∴y ＝x 22p ，∴y ′＝xp .∴切线MA 的斜率k MA ＝x 1p ，∴l MA ：y －y 1＝x 1x －x 1p ，即xx 1－py －py 1＝0.同理可得切线BM 的方程为：xx 2－py －py 2＝0.又点M (2，－2p )为两条切线的交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋2p 2－py 1＝0，2x 2＋2p 2－py 2＝0，从而弦AB 的方程为2x －py ＋2p 2＝0. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线x 2＝2py (p >0)上，∴x 21＝2py 1，x 22＝2py 2，两式相减可得：y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ，∴2p ＝2m2p，∴m ＝2，∴N (2,6)． 将N 点的坐标代入弦AB 的方程中，则有4－6p ＋2p 2＝0，∴p ＝1或p ＝2，故所求的抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .[答案] x 2＝2y 或x 2＝4y【方法总结】 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题主要涉及定义、方程、性质，常在填空题中考查，解决此类问题一是要注意结合图形分析条件，二是要注意定义的应用.考点：直线与圆锥曲线的位置关系[例3] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，原点O 到直线AB 的距离为255，该椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点P ⎝⎛⎭⎫0，53的直线l 与椭圆交于M 、N 两个不同的点，且对l 外任意一点Q ，有QM ＝4QN －3QP 成立？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得，直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0(a >b >0)．由|ab |a 2＋b 2＝255及a 2－b 2a ＝32，得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为QM ＝4QN －3QP ，所以PM ＝4PN .①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，则M (0，－1)，N (0,1)，易知符合条件，此时直线l 的方程为x ＝0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋53，代入x 24＋y 2＝1中得(9＋36k 2)x 2＋120kx ＋64＝0.由Δ＝14400k 2－256(9＋36k 2)>0，解得k 2>49.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－120k 9＋36k 2， ② x 1x 2＝649＋36k 2， ③ 由①得x 1＝4x 2.④由②③④消去x 1，x 2，得169＋36k 2＝(24k )2(9＋36k 2)2，即36k 29＋36k 2＝1，无解．综上，存在符合条件的直线l 的方程为x ＝0.[例4] 如图，已知中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为2的正方形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 与椭圆交于点A 、B ，当△OAB面积最大时，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c12×2b ×2c ＝2a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)根据题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1，消去y 得关于x 的方程(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则有Δ＞0，即64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24＞0，解得k 2＞32.由一元二次方程的根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8k1＋2k 2，x 1·x 2＝61＋2k2，故AB ＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝16k 2－242k 2＋1·1＋k 2. 又因为原点O 到直线l 的距离d ＝|k ×0－0＋2|1＋k 2＝21＋k 2，故△AOB 的面积为S △AOB ＝12AB ·d ＝16k 2－241＋2k 2＝22×2k 2－31＋2k 2.令m ＝2k 2－3(m ＞0)，则2k 2＝m 2＋3，所以S △AOB ＝22m m 2＋4≤22m24m 2＝22，当且仅当m ＝2时等号成立，此时k ＝±142，直线l 的方程为±14x －2y ＋4＝0. 【方法总结】 直线与圆锥曲线的综合主要考查弦长问题，弦的中点问题，最值，范围及存在性问题．要熟练掌握解决此类问题的基本方法，如涉及到相交问题采用联立方程，设而不求的方法，涉及到弦的中点常用“点差法”等．考点：函数图象与性质[例1] (1)若函数y ＝a x ＋b 的图象如图，则函数y ＝b ＋1x ＋a的图象为（ ）．(2)定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－1,0]上是增函数，下面五个关于f (x )的命题中：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上为减函数；⑤f (2)＝f (0)，正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝x ·f (x )，那么函数g (x )值域为（ ）A ．[0,2] B.⎣⎡⎦⎤0，94C.⎣⎡⎦⎤0，32D ．[0,4]（1）解析：由函数y ＝a x ＋b 的图象可知，函数y ＝a x ＋b 在R 上单调递减，故0<a <1.因为函数y ＝a x＋b 的图象是由函数y ＝a x 的图象向下平移了|b |个单位而得到的，且函数y ＝a x ＋b 的图象与y 轴的交点在负半轴上，故b <0.函数y ＝b ＋1x ＋a 的图象可以看作是由函数y ＝1x 的图象向左平移a 个单位，然后向下平移－b 个单位得到的，结合反比例函数的图象和a 、b 的范围可知选C.答案：C（2）解析：由于f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，函数f (x )是以2为最小正周期的周期函数，故命题①正确；由于f (2－x )＝f (－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，命题②正确；偶函数在定义域上关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故命题③不正确；根据周期性，函数在[1,2]上的单调性与[－1,0]上的单调性相同，故命题④不正确；根据周期性，命题⑤正确．答案：C（3）解析：由图象可知直线OA 的方程是y ＝2x ，而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝x ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94， 显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为[0,2]∪⎣⎡⎦⎤0，94，即g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94.答案：B 【方法总结】 1.函数图象主要考查的是识图、用图，多以填空题形式考查，解决此类问题的关键是掌握图象变换及识图的技巧．2．函数题的性质主要考查单调性、奇偶性和周期性，多以填空题形式考查，解决此类问题要注意一是单调性和奇偶性相结合时函数的单调性问题(如奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反)，二是周期性的结论理解记忆，如f (x ＋a )＝－f (x )、f (x ＋a )＝()1f x 的周期为2a .考点：不等式的解法及应用[例2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ＜0)，－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是 ( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}(2)已知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，则不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 的解集为________．（1）解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＜1)，－x (x ≥1).①当x ＜1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x ＜1，所以－3≤x ＜1；②当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立，所以x ≥1，综合①②可知，不等式的解集为{x |x ≥－3}．答案：A（2）[解析]由题意可知a >0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎨⎧－ba＝－1，ca ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a >－2a (2x －1)＋a ， 整理得2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x <2.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x <2【方法总结】 解不等式的常见策略：1．解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．2．解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解.考点：基本不等式[例3] 设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为 ( )A ．16B ．9C ．4D ．2解析：当x >1，a >0时，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2(x －1)×ax －1＋1＝2a ＋1(当且仅当(x －1)2＝a时取等号)，即此时x ＋ax －1的最小值是2a ＋1. 由2a ＋1≥5得a ≥4，即a 的最小值为4.答案：C[例4] (2012·泰安模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n >0)，则1m ＋2n的最小值等于( ) A ．16 B ．12C ．9D ．8解析：∵y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，∴2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋2n m ·4m n＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号.答案：D 【方法总结】 利用基本不等式求最值是考查重点，多以填空题形式考查，解决此类问题时要注意抓住“一正、二定、三相等”的步骤及常见函数的变形方法，如拆项、变符号、凑系数等．考点：线性规划[例5] (1)满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3，x ＋2y ≤3，x ≥0，y ≥0的目标函数z ＝x ＋y 的最大值是 ( )A ．1B.32C ．2D ．3(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13（1）解析：由线性约束条件画出可行域如图，A 、B 、C 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫32，0，B (1,1)，C ⎝⎛⎭⎫0，32，由图可知z max ＝1＋1＝2. 答案：C（2）解析：如图所示，画出可行域，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k＝0－13－0＝－13.答案：A【方法总结】 线性规划多考查目标函数最值求法，常以填空题形式考查，求解线性规划问题的思路：其基本思想是数形结合，求解时首先要准确作出可行域，根据目标函数所表示的几何意义和平面区域的关系，数形结合找到目标函数取到最值时的最优解.考点：导数应用[例6] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x ，(1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间；(2)设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在惟一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g (x )相切．[解] (1)∵φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1，∴φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x >0且x ≠1，∴φ′(x )>0.∴函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)证明：∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，① 设直线l 与曲线y ＝g (x )相切于点(x 1，e x 1),∵g ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0.∴直线l 的方程为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，② ①－②，得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 下证：在区间(1，＋∞)上x 0存在且惟一．由(1)可知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上递增． 又φ(e)＝lne －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝lne 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0， 结合零点存在性定理，说明方程φ(x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的惟一的x 0.故结论成立．[例7] 已知函数f (x )＝(ax 2－x )ln x －12ax 2＋x (a ∈R)． (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程(e ＝2.718…)；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝x －x ln x ，f ′(x )＝－ln x ，所以f (e)＝0，f ′(e)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝－x ＋e ，即x ＋y －e ＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(ax 2－x )1x＋(2ax －1)ln x －ax ＋1＝(2ax －1)ln x ， ①当a ≤0时，2ax －1<0，若x ∈(0,1)则f ′(x )>0，若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；②当0<a <12时， 若x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a ，则f ′(x )<0. 所以函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； ③当a ＝12时，f ′(x )≥0且仅f ′(1)＝0， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；④当a >12时，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 或x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1，则f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减． 【方法总结】 导数的应用主要涉及单调性、极值、最值问题，多以解答题形式考查，问题多考查单调性的讨论、极值与最值的求法及应用，解决此类问题的关键是重视运算能力、代数变形能力及分类讨论思想的应用，同时对于不等式的证明、方程根的讨论问题要注意等价转化能力及构造函数能力的训练．。

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得 (nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m 取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】 (略)．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

2014年高考数学压轴大题的复习技巧_答题技巧说到高考数学压轴题，在很多高考生眼中，那是尖子生的天下。

其实高考压轴题也并非一点分数也抢不到!只要了解到高考数学压轴题的特点，并且掌握一定的答题技巧，相信高考生还是可以从中拿到一些分数的!首先同学们要正确认识压轴题。

压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。

记住：第一小题是容易题!争取做对!第二小题是中难题，争取拿分!第三小题是整张试卷中最难的题目!也争取拿分!其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态!信心很重要，勇气不可少。

同学们记住：心理素质高者胜!以2009年的上海高考数学卷的压轴题为例，分析其中一半左右分值的易得分部分，谈一谈解题心态。

同学可以再做一下2010年的高考卷最后一题，或者今年二模卷的最后一题，能否拿到比以往更多的分数。

第二重要心态：千万不要分心。

其实高考的时候怎么可能分心呢?这里的分心，不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。

高考时，你是不可能这么想的。

你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想最后一道题目难不难?不知道能不能做出来我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目前面不知道做的怎样，会不会粗心错这就是影响你解题的分心，这些就使你不专心。

专心于现在做的题目，现在做的步骤。

现在做哪道题目，脑子里就只有做好这道题目。

现在做哪个步骤，脑子里就只有做好这个步骤，不去想这步之前对不对，这步之后怎么做，做好当下!第三重要心态：重视审题。

你的心态就是珍惜题目中给你的条件。

数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。

所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。

在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时，步骤(1)将题目条件推导出新条件，步骤(2)将题目结论推导到新结论，步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到新条件。

高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧_答题技巧高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧【摘要】查字典数学网为大家带来高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧，希望大家喜欢下文!函数与导数押题范围：函数主要考查函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉。

抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合。

导数主要考查导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、求导的公式和求导的法则、函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性。

这些部分都以简单、中等题出现。

难题部分将导数与不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。

有了这些我们整理出来的内容做指引，那么我们很容易将题归类，容易根据自己的优缺点重点去押题，去突破。

再说技巧，过于特殊的技巧，针对性过于特殊的技巧或技巧就不要考虑了，奉劝诸位，一天一道题、一天一个思想只能害了你。

只有一天一类题、思想归类才是做题的根本。

如我们玖久教育提倡从题目信息角度出发式的做题方法、思维方式，就属于放在哪里都能用上的。

我们提倡同学们这阶段复习的方法和技巧仍旧是基础知识点的理解，而不是简单的记背。

对概念形成应用上的认识。

知道公式定理怎么来、怎么去才是做题的根本。

在解答选择题方面上，虽然讲究的技巧是不择手段，但从根源上说是利用题目的一切信息，尤其是选项比较。

在解答题方面上，常规方法为主，大家常用的有数形结合、判别式、数学归纳法、构造同分母等等。

这些虽然细致，但是用惯了就成。

整体的解题思维希望大家统一为题目让干什么，我们做什么，完全跟着题目走，尽量少用知识点去套用。

当然，一眼看出可以套用的，不用就傻了。

这段时间，我们简单阐述一下数学的考点以及押题的方向，给同学们做个参考。

函数与导数押题方向见上文，通用备考方法和技巧：数形结合、取值范围、极值点概率与统计(偏重文科押题方向，简单、中等题，难题不出)：涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法。

高考数学第18题（概率与统计）1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m;等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B);特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.2.离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，ix ，……，ξ取每一个值ix （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.ξ的概率分布，简称ξ的分布列.为随机变量由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k kn k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：3.离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ; 如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.4.抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布. 当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布. 总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.5.正态分布与线性回归1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为222)(21)(σμπσ--=x ex f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0，则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ）.（2）期望E ξ =μ，方差2σξ=D .（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”. 三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 （4）标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.（6）2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.6.线性回归1.简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程: a x b yˆˆˆ+=,其中()()()∑∑∑∑====--=---=ni i ni ii ni i ni i ix n x yx n yx x x y y x xb1221121ˆx b y a ˆˆ-=,()y x ,称为样本中心点,因而回归直线过样本中心点. 当0>r 时,表明两变量正相关;当0<r ,表明两变量负相关. r 越接近1,表明两变量的线性相关性越强; r 越接近0,表明两变量的线性相关关系几乎不存在,通常当75.0>r 时,认为两个变量有很强的线性相关关系.7.独立性检验的概念一般地,假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{}21,x x 和{}21,y y ,其样本频数列联表我们利用随机变量()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为两个分类变量的独立性检验. （二）独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们构造的随机变量2K 应该很小,如果由观测数据计算得到的2K 的观测值k 很大,则在一定程度上说明假设不合理.假设1H :“X 与Y 有关系”,可按如下步骤判断结论1H 成立的 可能性:…（x n ,y n ），则变量间线性相关系数r 的计算公式如下：2.相关系数r ：假设两个随机变量的取值分别是（x 1,y 1），（x 2,y 2），1.通过等高条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.2.利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是: （1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界a ,然后通过下表确定临界值0k .（2）由公式()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22,计算2K 的观测值k .（3）如果0k k ≥,就推断“X 与Y 有关系”.这种推断犯错误的概率不超过a ;否则,就认为在犯错误的概率不超过a 的前提下不能推断“X 与Y 有关系”,或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X 与Y 有关系”. 理解总结根据独立性检验的基本思想,可知对于2K 的观测值k ,存在一个正数0k 为判断规则的临界值,当0k k ≥,就认为“两个分类变量之间有关系”;否则就认为“两个分类变量没有关系”.在实际应用中,我们把0k k ≥解释为有()()%100102⨯≥-k K P 的把握认为“两个分类变量之间有关系”;把0k k <解释为不能以()()%100102⨯≥-k KP 的把握认为“两个分类变量之间有关系”,或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据.。

2014高考数学快速命中考点13 一、选择题 1．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3【解析】 ∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin(π6x －π3)∈[－32，1]． ∴y ∈[－3，2]，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3.【答案】 A2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)⎝ ⎛ ω>0，－π2⎭⎪⎫<φ<π2的部分图象如图2－1－3所示，则ω，φ的值分别是( )图2－1－3A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3【解析】 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π. 又T ＝2πω(ω>0)， ∴2πω＝π，∴ω＝2. 由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.故选A. 【答案】 A3．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ的值( ) A.15B.14C.13D.12 【解析】 ∵tan θ＋1tan θ＝4，得 sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝4， ∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝12. 【答案】 D4．已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值X 围是 ( )A ．[12，54]B ．[12，34] C ．(0，12] D ．(0,2] 【解析】 由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋32π，k ∈Z ，且ω>0，得1ω(2kπ＋π4)≤x≤1ω(2kπ＋54π)． 取k ＝0，得π4ω≤x≤5π4ω. 又f(x)在(π2，π)上单调递减， ∴π4ω≤π2，且π≤5π4ω，解得12≤ω≤54. 【答案】 A5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )【解析】 y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．∴平移后函数y ＝cos(x ＋1)的最小正周期为2π，其图象可由余弦曲线向左平移一个单位长度得到．A 适合．【答案】 A二、填空题6．函数y ＝sin 2x ＋23sin2x 的最小正周期T 为________．【解析】 由于y ＝sin 2x ＋23sin2x ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x)＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 【答案】 π7．已知sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________. 【解析】 由条件得(sin α＋2cos α)2＝52， 即3sin2α－8sin αcos α－3cos2α＝0，∴3tan2α－8tan α－3＝0，∴tan α＝3或tan α＝－13， 代入tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34. 【答案】 －348．函数y ＝tan ωx(ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx 的单调增区间是________．【解析】 由函数y ＝tan ωx(ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f(x)＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)． 由2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3(k ∈Z)．所以f(x)的单调增区间为[2kπ－π3，2kπ＋2π3](k ∈Z)． 【答案】 [2kπ－π3，2kπ＋2π3](k ∈Z) 三、解答题9．已知函数f(x)＝(2cos2x －1)sin 2x ＋12cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值． 【解】 (1)因为f(x)＝(2cos2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为T ＝π2，最大值为22. (2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝ 1. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16. 10．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x －sin2x －1f x ＋π6的值域． 【解】 (1)由题设条件知f(x)的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2. 因为f(x)在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z. 又由－π＜φ≤π，得φ＝π6. 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x ＋π6)． (2)g(x)＝6cos4x －sin2x －12sin 2x ＋π2＝6cos4x ＋cos2x －22cos 2x ＝2cos2x －13cos2x ＋222cos2x －1＝32cos2x ＋1(cos2x≠12)． 因cos2x ∈[0,1]，且cos2x≠12， 故函数g(x)的值域为[1，74)∪(74，52]． 11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图2－1－4所示．图2－1－4(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x －π12)－f(x ＋π12)的单调递增区间． 【解】 (1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π， 所以ω＝2πT＝2. 因为点(5π12，0)在函数图象上， 所以Asin(2×5π12＋φ)＝0， 即sin(5π6＋φ)＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x ＋π6)． (2)g(x)＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6] ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2(12sin 2x ＋32cos 2x) ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)． 由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z. 所以g(x)的增区间是[kπ－π12，kπ＋512π]，k ∈Z.。