高一数学(人教A版)平面向量的减法运算-3学习任务单

6.2.2 向量的减法运算本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第3课时。

向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。

在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对上节课内容的一个转换。

学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力。

这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。

类比数的减法运算时,应让学生注意对“被减数”的理解。

本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。

通过类比数的减法,得到向量的减法及几何意义,培养了学生的化归思想和数形结合思想。

这样,不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解,也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。

课程目标学科素养A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；C.会求两个向量的差；D.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想。

1.数学抽象：向量减法的定义；2.逻辑推理：向量减法的法则；3.数学运算：求两个向量的差；4.直观想象：向量减法的几何意义。

1.教学重点：向量减法的运算和几何意义；2.教学难点：减法运算时差向量方向的确定。

多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1. 向量加法的三角形法则？ACBC AB b a =+=+注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.2.向量加法的平行四边形法则？OCOB OA b a =+=+注意：起点相同.共线向量不适用。

二、探索新知思考1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？【答案】实数a 的相反数记作-a .思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法呢？【答案】如)(,,y x y x R y x -+=-∈设。

1.相反向量的定义：设向量a ，我们把与a 长度相同，方向相反的向量叫做a 的相反向量。

6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入概念[问题1]类比实数x的相反数是x-，对于向量a，你能定义“相反向量”a-吗？它有哪些性质？[问题2]你认为向量的减法该怎样定义？教师1：我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？提出问题1．学生1：学生思考．大小相等，方向相反的向量叫做相反向量.教师2：提出问题2．学生2：学生思考．定义()a b a b-=+-,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.问题引入：类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．动手实践理解几何意义[问题3] 已知向量a和b，a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不教师3：提出问题3．学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=-b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|＝OC，|a-b|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.通过探究让学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用1.向量减法法则的应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .2.向量的加减法运算 例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号). (2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →； ②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.教师9：展示例题2． 学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON→＝－(OM →＋ON →)≠MN →； ③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量． 课堂练习1:[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →. DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .掌握作两个向量的差的基本方法． 课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？教师12：提出问题7． 学生13：思考.师生共课堂小结升华认知在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是()A.MP→B.NP→C.0D.MN→2.在四边形ABCD中，AB→＝DC→，若|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定3.OB→－OA→－OC→－CO→＝________.4.若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|的长度为______.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.C 2.B 3.AB→4.2同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

《6.2.2 向量的减法运算》教案【教材分析】减法运算是平面向量线性运算的一种，是向量加法的一种转换。

通过类比数的减法，得到向量的减法及其几何意义，培养学生的化归思想和数形结合思想。

这样即能加深学生对向量加法运算的理解，也为后面学习向量的数乘运算打下基础。

【教学目标与核心素养】课程目标1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：向量减法的概念和向量减法的作图法；难点：减法运算时方向的确定.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数相当于加上这个数的相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系呢？怎样定义向量的减法？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本11-12页，思考并完成以下问题1.a的相反向量是什么？2.向量的减法运算及其几何意义是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1.相反向量（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.- 0 = 0. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0 2、向量减法（“共起点，后指前”）（1）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2） 作法：在平面内取一点O ，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)． 【答案】0【解析】法一：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝AB ―→＋DC ―→＋CA ―→＋BD ―→＝AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＋CA ―→＝AD ―→＋DA ―→＝0.法二：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)－CD ―→＋BD ―→＝CB ―→－CD ―→＋BD ―→＝DB ―→＋BD ―→＝0.法三：设O 是平面内任意一点，则(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(OB ―→－OA ―→)－(OD ―→－OC ―→)－(OC ―→－OA ―→)＋(OD ―→－OB ―→)＝OB ―→－OA ―→－OD ―→＋OC ―→－OC ―→＋OA ―→＋OD ―→－OB ―→＝0.解题技巧（向量减法运算技巧） 1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 跟踪训练一1、化简：(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→； (2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→. 【答案】(1) 0. (2) AB ―→.【解析】(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0.(2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→＝AB ―→＋DA ―→＋BD ―→＋CB ―→＋AC ―→＝(AB ―→＋BD ―→)＋(AC ―→＋CB ―→)＋DA ―→＝AD ―→＋AB ―→＋DA ―→＝AD ―→＋DA ―→＋AB ―→＝0＋AB ―→＝AB ―→.题型二 向量的减法及其几何意义例2 已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 【答案】见解析【解析】 在平面上取一点O，作= a ， = b ， = c ， = d， 作， ， 则= a -b ， = c -d解题技巧： (求两个向量差向量的思路)(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．OA OB OC OD BA DC BA DC(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练二1、如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【答案】见解析【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ， AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作OC ―→＝c ，则CB ―→＝a ＋b －c .法二：如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ，AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作CB ―→＝c ，连接OC ，则OC ―→＝a ＋b －c .题型三 用已知向量表示未知向量例3平行四边形中，a ，b ，用a 、b表示向量、.【答案】= a + b ， = = a -b 【解析】 由平行四边形法则得：= a + b ， = = a -bABCD =AB =AD AC DB AC DB AD AB -AC DB AD AB -解题技巧（用已知向量表示未知向量的步骤） (1)观察待表示的向量位置； (2)寻找相应的平行四边形或三角形； (3)运用法则找关系，化简得结果． 跟踪训练三1.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AE ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD ―→，BC ―→，BD ―→.【答案】CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝b －a ，BD ―→＝b －a ＋c. 【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ， 故BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝b －a ＋c. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本12页练习，22页习题6.2的4，6，7，10题. 【教学反思】向量加法是加法运算的逆运算，所以本节课安排学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算，利用三角形做出减向量，然后进一步应用。

２.２．２向量减法运算及其几何意义学习目标核心素养１．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．（难点）２．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．（重点）３．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．（易混点）１．类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.２．通过加法进行向量的减法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.１．相反向量（１）定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．（２）性质：１对于相反向量有：a＋（—a）＝0.２若a，b互为相反向量，则a＝—b，a＋b＝0.３零向量的相反向量仍是零向量．２．向量的减法（１）定义：a—b＝a＋（—b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．（２）作法：在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则向量a—b＝错误!，如图所示．３．|a|、|a±b|与|b|三者之间的关系||a|—|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|—|b||≤|a—b|≤|a|＋|b|.思考：在什么条件下，|a—b|＝|a|＋|b|？[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．１．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是（）Ａ．m＝nＢ．m＝—nＣ．|m|＝|n| Ｄ．方向相反A[由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选Ａ．]２．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是（）Ａ．错误!—错误!＝错误!Ｂ．错误!—错误!＝错误!Ｃ．错误!—错误!＝错误!Ｄ．错误!—错误!＝错误!C[如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，错误!—错误!＝错误!—错误!—（错误!＋错误!）＝—２错误!≠错误!，故选Ｃ．]３．化简错误!—错误!＋错误!＋错误!的结果等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[原式＝（错误!＋错误!）＋（错误!＋错误!）＝错误!＋0=错误!.]４．如图，在▱ABCD中，错误!＝a，错误!＝b，用a，b表示向量错误!，错误!，则错误!＝________，错误!＝________.a＋b b—a[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知错误!＝a＋b，错误!＝b—a.]向量减法的几何意义【例１】c，则错误!＝（）Ａ．a—b＋cＢ．b—（a＋c）Ｃ．a＋b＋cＤ．b—a＋c（２）如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b—c.思路点拨：（１）利用向量减法和加法的几何意义，将错误!向错误!，错误!，错误!转化；（２）利用几何意义法与定义法求出a＋b—c的值．（１）A[错误!＝错误!—错误!＝（错误!＋错误!）—错误!＝a＋c—b.]（２）[解] 法一：（几何意义法）如图１所示，在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c，则错误!＝a＋b—c.法二：（定义法）如图２所示，在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝—c，连接OC，则错误!＝a＋b—c.图１图２求作两个向量的差向量的两种思路（１）可以转化为向量的加法来进行，如a—b，可以先作—b，然后作a＋（—b）即可．（２）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]１．如图，已知向量a，b，c，求作向量a—b—c.[解] 法一：先作a—b，再作a—b—c即可．如图１所示，以A为起点分别作向量错误!和错误!，使错误!＝a，错误!＝b.连接CB，得向量错误!＝a—b，再以C为起点作向量错误!，使错误!＝c，连接DB，得向量错误!.则向量错误!即为所求作的向量a—b—c.图１图２法二：先作—b，—c，再作a＋（—b）＋（—c），如图２.（１）作错误!＝—b和错误!＝—c；（２）作错误!＝a，则错误!＝a—b—c.向量减法的运算及简单应用【例２】１用a，b表示错误!；２用b，c表示错误!.（２）化简下列各向量的表达式：１错误!＋错误!—错误!；２（错误!—错误!）—（错误!—错误!）；３（错误!＋错误!＋错误!）—（错误!—错误!—错误!）．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解] （１）∵错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c.１错误!＝错误!—错误!＝—错误!—错误!＝—a—b.２错误!＝—错误!＝—（错误!＋错误!）＝—b—c.（２）１错误!＋错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!.２（错误!—错误!）—（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）—（错误!＋错误!）＝错误!—错误!＝0.３（错误!＋错误!＋错误!）—（错误!—错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）—（错误!—错误!）＝错误!—错误!＝0.[一题多解]（２）２法一：（加法法则）原式＝错误!—错误!—错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）—（错误!＋错误!）＝错误!—错误!＝0；法二：减法法则（利用相反向量）原式＝错误!—错误!—错误!＋错误!＝（错误!—错误!）＋（错误!—错误!）＝错误!＋错误!＝0；法三：减法法则（创造同一起点）原式＝错误!—错误!—错误!＋错误!＝（错误!—错误!）—（错误!—错误!）—（错误!—错误!）＋（错误!—错误!）＝错误!—错误!—错误!＋错误!—错误!＋错误!＋错误!—错误!＝0.１．向量减法运算的常用方法２．向量加减法化简的两种形式（１）首尾相连且为和．（２）起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．３．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．[跟进训练]２．化简下列向量表达式：（１）错误!—错误!＋错误!—错误!；（２）（错误!—错误!）＋（错误!—错误!）．[解] （１）错误!—错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!.（２）（错误!—错误!）＋（错误!—错误!）＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!＋0＝错误!.向量减法几何意义的应用[探究问题]１．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a—b放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD中，错误!＝a，错误!＝b，则a＋b＝错误!，a—b＝错误!.２．已知向量a，b，那么|a|—|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为||a|—|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.（１）当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．（２）当a，b不共线时，作错误!＝a，错误!＝b，则a＋b＝错误!，如图１所示，根据三角形的性质，有||a|—|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|—|b||<|a—b|<|a|＋|b|.（３）当a，b非零且共线时，１当向量a与b同向时，作法同上，如图２所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.２当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图３所示，此时|a＋b|＝|a|—|b|.综上所述，得不等式||a|—|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【例３】（１）在四边形ABCD中，错误!＝错误!，若|错误!—错误!|＝|错误!—错误!|，则四边形ABCD是（）Ａ．菱形Ｂ．矩形Ｃ．正方形Ｄ．不确定（２）已知|错误!|＝6，|错误!|＝9，求|错误!—错误!|的取值范围．思路点拨：（１）先由错误!＝错误!判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|错误!—错误!|＝|错误!—错误!|变形，进一步判断此四边形的形状．（２）由||错误!|—|错误!||≤|错误!—错误!|≤|错误!|＋|错误!|求范围．（１）B[∵错误!＝错误!，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵|错误!—错误!|＝|错误!—错误!|，∴|错误!|＝|错误!|.∴四边形ABCD为矩形．]（２）[解] ∵||错误!|—|错误!||≤|错误!—错误!|≤|错误!|＋|错误!|，且|错误!|＝9，|错误!|＝6，∴３≤|错误!—错误!|≤１５．当错误!与错误!同向时，|错误!—错误!|＝３；当错误!与错误!反向时，|错误!—错误!|＝１５．∴|错误!—错误!|的取值范围为[３,１５]．１．将本例（２）的条件改为“|错误!|＝8，|错误!|＝５”，求|错误!|的取值范围．[解] 因为错误!＝错误!—错误!，|错误!|＝8，|错误!|＝５，||错误!|—|错误!||≤|错误!—错误!|≤|错误!|＋|错误!|，所以３≤|错误!|≤１３，当错误!与错误!同向时，|错误!|＝３；当错误!与错误!反向时，|错误!|＝１３．所以|错误!|的取值范围是[３,１３]．２．在本例（２）条件不变的条件下，求|错误!＋错误!|的取值范围．[解] 由||错误!|—|错误!||≤|错误!＋错误!|≤|错误!|＋|错误!|，∵|错误!|＝6，|错误!|＝9，∴３≤|错误!＋错误!|≤１５．当错误!与错误!同向时，|错误!＋错误!|＝１５；当错误!与错误!反向时，|错误!＋错误!|＝３．３．本例（２）中条件“|错误!|＝9”改为“|错误!|＝9”，求|错误!|的取值范围．[解] 错误!＝错误!—错误!，又|错误!|＝|错误!|，由||错误!|—|错误!||≤|错误!—错误!|≤|错误!|＋|错误!|，∴３≤|错误!|≤１５．１．用向量法解决平面几何问题的步骤（１）将平面几何问题中的量抽象成向量．（２）化归为向量问题，进行向量运算．（３）将向量问题还原为平面几何问题．２．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键（１）利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．（２）根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．１．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，—错误!＝错误!就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a—b＝a＋（—b）．２．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．３．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量错误!＝a，错误!＝b，则两条对角线表示的向量为错误!＝a＋b，错误!＝b—a，错误!＝a—b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．１．下列等式：１0—a＝—a；２—（—a）＝a；３a＋（—a）＝0；４a＋0＝a；５a—b＝a＋（—b）；⑥a＋（—a）＝0．正确的个数是（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．6C[由向量减法、相反向量的定义可知１２３４５都正确，⑥错误．]２．化简错误!—错误!＋错误!—错误!＝________.0[错误!—错误!＋错误!—错误!＝（错误!＋错误!）＋（错误!—错误!）＝错误!＋错误!＝0．]３．若a，b为相反向量，且|a|＝１，|b|＝１，则|a＋b|＝________，|a—b|＝________.0 ２[因为a，b为相反向量，∴a＋b＝0，即|a＋b|＝0，又a＝—b，∴|a—b|＝|２a|＝２．]４．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用a，b，c表示向量错误!，错误!，错误!，错误!及错误!.[解] ∵四边形ACDE是平行四边形，∴错误!＝错误!＝c，错误!＝错误!—错误!＝b—a，错误!＝错误!—错误!＝c—a，错误!＝错误!—错误!＝c—b，∴错误!＝错误!＋错误!＝b—a＋Ｃ．。

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.（预习教材P85—P87）复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.二、新课导学※ 探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a -.零向量的相反向量仍是 . 问题2：任一向量a 与其相反向量a -的和是什么？ 如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .1、 向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么a =____________，b =____________，+a b =____________。

问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-的作图方法.3、已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作==,OA a OB b ，则__________=-a b ，即-a b可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是________。

这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※例1例3和例4变式：如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD→＋AB →＝AC → C. AB →－AD →＝BD → D. AD →＋CB →＝0例2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+；⑵OE OA EA -+.变式：化简AB FE DC ++.三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差； b a -起点，终点和指向。

6.3.2向量的减法运算教案（一）课时教学内容向量的减法．（二）课时教学目标借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算规则，并理解其几何意义．（三）教学重点与难点重点：向量的减法运算、运算规则及其几何意义．难点：向量减法概念的形成过程，对向量减法法则的理解．（四）教学过程设计引言：我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？1．创设问题，引入向量减法问题1（1）类比实数x的相反数是-x，对于向量a，你能定义“相反向量”-a吗？它有哪些性质？（2）你认为向量的减法该怎样定义？师生活动：教师引导学生类比相反数定义相反向量，并得出相反向量的性质；进而引导学生联想、类比数的减法的定义，积极思考、尝试构建向量的减法：a-b=a+（-b）．设计意图：（1）类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．（2）引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．2．动手实践，理解向量减法的几何意义问题2已知向量a和b，a-b的几何意义是什么？师生活动：学生自己画图、探索，小组交流，教师组织学生代表展示，讲解．如图1，设,连接AB，由向量减法的定义知，a－b=a+（－b）=．在四边形OCAB中，OB CA，所以OCAB是平行四边形．所以．最后师生共同概括向量减法的作图步骤：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．在此过程中教师需要强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义．追问1：（1）在图2中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？（2）如果改变图2中向量a的方向，使a∥b，怎样作出a－b呢？师生活动：（1）学生根据向量减法的几何意义，自己画图；（2）学生自己画图、探索，小组交流，教师组织学生代表展示、讲解．设计意图：让学生明确向量减法的几何意义．3．巩固向量的减法例3如图3（1），已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d．师生活动：学生操作，教师引导学生明确如何作出两个向量的差．设计意图：理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例4如图4，在师生活动：学生探求向量与a，b的关系，进而用a，b表示向量，教师关注学生能否借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．设计意图：让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．4．加法、减法综合运用问题3请回答如下问题：若．①当a、b满足什么条件时，a+b与ab垂直？②当a、b满足什么条件时，| a+b |=| ab |？③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？师生活动：学生先独立思考，并尝试回答．然后教师补充：用向量构建平行四边形，其中向量恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得=a-b．由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（|a|=|b|）②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？（a、b互相垂直）③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？（a、b相等）④a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能，因为对角线方向不同）追问2：判断下列问题是否正确：①若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+b的方向必与a、b之一的方向相同．②△ABC中，必有．③若，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点．④|a+b|≥|ab|．分析与解答：①a与b方向相同，则a+b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a+b=0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥．②由向量加法法，则是互为相反向量，所以有上述结论．③因为当A、B、C三点共线时，也有，而此时构不成三角形．④当a与b不共线时，|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a、b为非零向量共线时，同向则有|a+b|>|a-b|，异向则有|a+b|<|a-b|；当a、b 中有零向量时，|a+b|=|a-b|．综上所述，只有（2）正确．追问3：若的取值范围是（）．A．[3，8] B．（3，8） C．[3，13] D．（3，13）分析与解答：（2）当、故选Ｃ．设计意图：让学生熟练掌握向量的加、减运算．4．课堂练习教科书第12页例4后练习．设计意图：学生独立尝试，巩固向量减法的运算法则，体会向量减法与向量加法运算之间的关系．5．布置作业习题6.2第4题的后四小题，第5，7题．（五）目标检测设计1．下列结论一定正确的是（）．A．a-b=a+(-b) B．-(-a)=-a C．|a-b|=|a|-|b| D．|a+b|>|a-b| 设计意图：考查学生对相反向量，向量减法掌握的情况．2．如图四边形ABCD为平行四边形，．（1）a+b= ；（2）a-b=．设计意图：考查学生对向量加、减法运算掌握的情况．3．化简：（1）．设计意图：考查学生对向量的加、减混合运算的掌握情况．。

第02讲平面向量的加、减法运算目标导航课程标准课标解读1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和．2．掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．3．掌握向量减法的概念．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的．4．掌握相反向量．5.掌握向量加、减法的几何意义．通过本节课的学习，要求掌握现面向量的加法与减法的运算法则及相关的运算定律，掌握两种运算的几何意义，会进行平面向量的相关运算，注意两种运算的条件.知识精讲知识点1．向量的加法（1）向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法．（2）向量加法的三角形法则如图，已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB = a ，BC = b ，则向量AC叫做a 与的b 和，记作+a b ，即AB BC AC +=+=a b ，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．【微点拨】当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形．（3）向量加法的平行四边形法则如图，已知两个不共线的向量a 和b ，作OA = a ，OB =b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则对角线上的向量OC OA OB =+，此种作法称为向量加法的平行四边形法则．【微点拨】若n 个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即1112233411n n n n n A A A A A A A A A A A A +-+=+++⋅⋅⋅+，如图．（4）和向量的模与原向量之间的关系一般地，我们有+≤+a b a b ．当a 与b 共线且同向时，+=+a b a b ；当a 与b 共线且异向时，+=-a b a b ；当a 与b 不共线时，+<+a b a b ．（5）向量加法的运算律交换律：+=+a b b a ；结合律：()()++=++a b c a b c ．注意：①当a 、b 至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；②当a 、b 共线时，交换律和结合律也成立．（6）向量求和的多边形法则由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量a ，b ，c ，d ，在平面上任选一点O ，作OA = a ，AB = b ，BC = c ，CD = d ，则OD OA AB BC CD =+++=+++a b c d ．已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．（7）向量加法的实际应用向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用．2．向量的减法（1）相反向量我们把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a ．规定零向量的相反向量仍为零向量，且①()--=a a ；②()()0+-=-+=a a a a ；若a ，b 互为相反向量，则=-a b ，=-b a ，0+=a b ．（2）向量减法的定义向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()-=+-a b a b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．3．向量减法的几何意义（1）非零共线向量a ，b 的差-a b ；①若a ，b 反向，则-a b 与a 同向，且-=+a b a b ．②若a ，b 同向，（ⅰ）若>a b ，则-a b 与a 同向，且-=-a b a b ；（ⅱ）若<a b ，则-a b 与a 反向，且-=-a b b a ；（ⅲ）若=a b ，则0-=a b ．其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）．（2）非零不共线向量a ，b 的差-a b ：①如图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB = b ，则向量BA为所求，即BA OA OB =-=-a b ．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．②如图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =b ，分别以OA ，OB 为边作平行四边形OACB ，连接BA ，则BA BC CA =+=-a b ，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则-a b 从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则．减法的三角形法则的作法：在平面内取一点O ，作OA = a ，OB = b ，则BA =-a b ，即-a b 可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（a ，b 不共线）和图（2）、（3）（a ，b 共线）所示．减法的平行四边形法则的作法：当a ，b 不共线时．如图（1），在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =-b ，则由向量加法的平行四边形法则可得()OC =+-=- a b a b ，这是向量减法的平行四边形法则．若a ，b 同向共线，如图（2）所示；若a ，b 异向共线．如图（3）所示．5．向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“AB - ”改为“BA +”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．【微点拨】向量减法运算是加法的逆运算．在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．【即学即练1】在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，则AB等于（）A ．+a bB ．--a bC ．-a bD ．-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ，故选B ．【即学即练2】如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++=（）A ．ABB ．ACC ．ADD ．BD【答案】B【解析】在矩形ABCD 中，AD BC = ，则AO OB AD AO ++= +OB +BC AC =，故选B ．【名师点睛】（1）向量加法的多边形法则：n 个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成组向量折线，这n 个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．（2）|a +b |≤|a |+|b |．【即学即练3】向量()()AB MB BO BC OM ++++ 化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM【答案】C【解析】()()AB MB BO BC OM AB ++++= +BO +OM +MB +BC AO = +OM +MB +BC =AM+MB +BC AB = +BC AC =．故选C ．【名师点睛】（1）首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则求解．（2）此类问题应根据三角形法则或平行四边形形法则，观察是否具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．【即学即练4】在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，则AB等于（）A ．+a bB ．--a bC ．-a bD ．-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ，故选B ．【即学即练5】下列四式不能化简为PQ的是（）A ．()AB PA BQ ++B．()()AB PC BA QC ++- C ．QC CQ QP+- D ．PA AB BQ+- 【答案】D 【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++= ；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.【即学即练6】已知非零向量a 与b方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b+=- C ．a b a b+=- D ．a b a b+=+ 【答案】C 【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+> ，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.【即学即练7】在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于（）A ．BCB ．DAC ．ABD ．AC【答案】A【解析】∵在平行四边形ABCD 中，DC 与BA 是一对相反向量，∴DC BA =-，∴–BC CD BA BC -+= BA +BA BC =，故选A ．【名师点睛】注意向量几何意义的应用，利用数形结合的思想解题．能力拓展考法011．向量加法运算及其几何意义（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义．【典例1】如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF【答案】A 【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF = ，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++ .故选：A.考法022．向量加法的运算律（1）向量的加法与实数加法类似，都满足交换律和结合律．（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行．例如，（a +b ）+（c +d ）=（b +d ）+（a +c ），a +b +c +d +e =[d +（a +c ）]+（b +e ）．【典例2】化简下列各式：①AB BC CA ++ ；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r ；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+= ，所以结果为0的个数是2，故选：B考法033．向量的減法运算及其几何意义（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．（2）以向量AB =a ，A 6=b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC =a +b ，BD =b –a ，DB =a –b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理解．【典例3】已知85AB AC == ，，则BC的取值范围是__________．【答案】[3，13]【解析】∵–BC AC AB = ，∴BC =|–AC AB|，∴AB AC - ≤BC ≤AB AC + ，即3≤BC≤13．故答案为：[3，13]．【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键．|a –b |、|a |–|b |、|a |+|b |三者的大小关系（1）当向量a 与b 共线时，当两非零向量a 与b 同向时，|a –b |=|a |–|b |<|a |+|b |；当两非零向量a 与b 反向时，|a –b |=|a |+|b |>|a |–|b |；当a 与b 中至少有一个为零向量时，|a –b |=|a |–|b |=|a |+|b |．（2）当两非零向量a 与b 不共线时，如在△ABC 中，AC =a ，AB =b ，则BC =AC –AB =a –b ，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a |–|b ||<|a –b |<|a |+|b |．综合可知，对任意的向量a 与b 都有||a |–|b ||≤|a –b |≤|a |+|b |．只当a 与b 同向或a 与b 中至少有一个为零向量时||a |–|b ||≤|a –b |中的等号成立；当a 与b 反向或a 与b 中至少有一个为零向量时|a –b |≤|a |+|b |中的等号成立．考法044．向量加、减法的综合应用向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题，解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重新组合，并灵活运用相反向量，把向量相等、平行、模的关系进行转化．【典例4】化简（1）()()AB CD AC BD --- （2）OA OD AD -+ ；（3）AB DA + ＋BD BC CA --．【答案】（1）0 ；（2）0 ；（3）AB.【分析】（1）方法一：将CD - 转化为DC，将AC - 转化为CA ，利用向量的加法法则，即可求得答案.方法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案.【详解】（1）方法一(统一成加法)：()()AB CD AC BD AB AC CD BD ---=--+AB BD DC CA AD DA =+++=+= 方法二(利用OA OB BA -=uu r uu u r uu r)：()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+ 0AB AC CD BD CB CD BD DB BD =--+=-+=+= （2）0OA OD AD DA AD -+=+=uu r uuu r uuu r uu u r uuu r r ．（3）AB DA BD BC CA AB DA AC BD BC ++--=+++- AB DC CD AB=++= 【典例5】如图，M 、N 在线段BC 上，且BM CN =，试探求AB AC + 与AM AN +的关系，并证明之.【答案】相等，证明见解析【分析】求AB AC + 与AM AN +的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明.【详解】A A M C ANB A =++ 证明：由向量加法三角形法则知：,AB AM MB AC AN NC =+=+，所以AB AC AM MB AN NC +=+++ ，因为BM CN =，所以MB NC =- ，所以AB AC AM MB AN NC AM AN NC NC AM AN +=+++=++-=+ 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题.【典例6】如图所示，已知在矩形ABCD 中，3AD = ，8AB = .设,,AB a BC b BD c ===，求a b c -- .【答案】87a b c --=r r r【分析】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,画出图形,则''a b c D B --=,进而求解即可【详解】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,如图所示,则'b c BD += ,()'''''a b c a b c a BD BB BD D B --=-+=-=-=,则()()22''2432887a b c D B --==⨯+⨯=【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模.分层提分题组A 基础过关练1．向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．AC C ．ADD ．AB【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++= ,故选：A2.如图，向量AB a =，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（）A ．a b c ++B ．a b c-+ C ．b a c-+D ．b a c-- 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】AD AB AC CD AB BD b a c=-=-+-=+ 故选：C.3..设D 为∆ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（）A.5166BO AB AC=-+B.1162BO AB AC=-C.5166BO AB AC=- D.1162BO AB AC=-+【答案】A【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO 中：()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+，故选A.4.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=()．A ．ADB ．12ADC ．BCD ．12BC【答案】A【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以有以下结论：()()1122EB FC BA BC CA CB+=-+-+()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+==，故选A.5.已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D 【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO = ，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++= ，所以GA GB GC CG +=-= ，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO = ，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .6.如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++= B ．0++= BD CF DF C ．0++= AD CE CF D ．0++= BD BE FC 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB = ，12BE BC = ，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．7.在ABC 中，点P 满足2AP AB AC =-，则（）A ．点P 不在直线BC 上B ．点P 在CB 的延长线上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在BC 的延长线上【答案】B 【分析】由已知条件可得BP CB = ，从而可得BP 与CB共线，进而可得结论【详解】因为2AP AB AC =-，得AP AB AB AC =-- ，所以BP CB = ，所以,,B P C 三点共线，且点P 在CB 的延长线上，故选：B8.五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（）A ．0CH ID += B ．AB FE∥ C ．2AF FG HG+= D ．AF AB AJ=+ 【答案】D 【分析】利用相反向量可判断A ；利用向量共线可判断B ，利用向量的加法可判断C 、D.【详解】A ，由图可知CH 与ID 相交，所以CH 与ID不是相反向量，故A 错误；B ，AB 与DE 共线，所以DE 与FE 不共线，所以AB 与FE不共线，故B 错误；C ，2AF FG AG HG +=≠，故C 错误；D ，连接,BF JF ，由五角星的性质可得ABJF 为平行四边形，根据平行四边形法则可得AF AB AJ =+，故D 正确.故选：D9.已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若PA PB PC AB +=+，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上【答案】D 【分析】由向量的运算可得CA AP =，进而可得解.【详解】∵PA PB PC AB +=+ ，∴PB PC AB PA -=- ，∴CB AB AP CB AB AP =+-= ，，即CA AP = .故点P 在边AC 所在的直线上.故选：D.10.平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+ ，n AB BC =-，若,m n 的长度恰好相等，则有（）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ． ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ． ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ． ABC 必为等腰直角三角形【答案】C【分析】根据,m n 的长度相等，由|AC |=|BD|得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为,m n的长度相等，所以|AB BC + |=|AB BC - |，即|AC |=|BD |，所以ABCD 是矩形，故 ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C11.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a = ，AD b = ，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-【答案】B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中， M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又 N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB ==11212332NM AM AN a b a a b∴=-=+-=+故选：B12.若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CAλ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【分析】由()OP OC CB CA λ=++ （R λ∈），得到()CP CB CA λ=+ ，再根据CB CA +经过在ABC 的重心判断.【详解】因为()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），所以()CP CB CA λ=+，所以CB CA +在ABC 的边AB 上的中线所在直线上，则()CB CA λ+ 在ABC 的中线所在直线上，所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心，故选：C13.下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b + 的方向必与a ，b之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b均为非零向量，则||a b + 与||||a b + 一定相等【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+ ，当且仅当a 与b同向时等号成立，故D错误.故选：B14.如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r r C ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --= 【答案】A 【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.15.如图，在ABC 中，3BC BD →→=，23AE AD →→=，则CE →=（）A ．4599AB AC→→+B ．4799AB AC→→-C ．4133AB AC→→-D ．4799AB AC→→-+【答案】B 【分析】利用向量定义，22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-，最后化简为,AB AC →→来表示向量即可.【详解】22()33CE AE AC AD AC AB BD AC→→→→→→→→=-=-=+-2122()()3339AB BC AC AB AC AB AC →→→→→→→=+-=+--4799AB AC →→=-故选：B题组B 能力提升练1.在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（）A ．3142AE AB AD→→→=+B ．3122AE AB AD→→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+【答案】A 【分析】作出示意图，利用数形结合，在梯形ABCD 中，利用三角形法则即可求解.【详解】如图所示：在三角形ABE 中，12AE AB BE AB BC→→→→→=+=+12AB BA AD DC →→→→⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD AB →→→→⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD →→→⎛⎫ ⎪=+-+ ⎪⎝⎭3142AB AD →→=+.故选：A.2.已知O 是三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC 的面积与OAB 的面积之比是（）A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B 【分析】取D 、E 分别是BC 、AC 中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得2OE OD =，再由三角形的相似比即可求解.【详解】如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+ 即2OE OD =- ，所以2OE OD =，由COE AOE S S = ，COD BOD S S =△△，设1AOC S S = ，2BOC S S = ，则12COE AOE S S S ==，22COD BOD SS S == ，由三角形相似比可得1212122322AOB S S S S S +=++ ，解得12AOB S S S += ，因为:2:1AOE BOD S S = ，所以12:2:1S S =，即122S S =，所以112AOB S S S += ，所以123AOB S S = ，即OAC 的面积与OAB 的面积之比是23故选：B.3.已知平面向量a ，b ，c满足222a c a b b c ==-=-= ，则b 的取值范围为（）A ．[]1,3B ．7⎡⎣C ．[]2,3D ．7⎡⎣【答案】C 【分析】由复数的几何意义画出简图，数形结合可得结果.【详解】令a OA =，由2a = 知点A 在以O 为圆心，2为半径的圆上；令2a OD =，由2a = 知点D 在以O 为圆心，4为半径的圆上；令c OC =，由2c = 知点C 在以O 为圆心，2为半径的圆上；令b OB =，由22a b -= 知点B 在以D 为圆心，2为半径的圆上，由1b c -= 知点B 也在以C为圆心，1为半径的圆上，所以点B 在以O 为圆心，内径为2，外径为3的圆环上，如图阴影部分，从而[]2,3b ∈.故选：C.4.在平行四边形ABCD 中，设CB a = ，CD b =，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD交于F ，则AF =（）A ．3144a b--B ．3144a b-+C ．1344a b--D ．1344a b-【答案】A 【分析】找到AD 、BC 上的三等分点，则////AK GH EC ，结合图形易得4DBDF =，由AF AD DF =+ 即可知正确选项.【详解】如图，在AD 上取G 点，使得AG GE ED ==，在BC 上由左到右取K ，H ，使得BK KH HC ==，连接AK ，GH ，则////AK GH EC ，∵//DE BC 且13DE BC =，∴由相似比可知：4DBDF =，∴()131444AF AD DF a a b a b =+=-+-=-- .故选：A5.在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =- ；②1122BE AB BC =-+ ；③AD BE FC += ；④0GA GB GC ++= ．上述结论中，正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C 【分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误.【详解】如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误；对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，1122AD AB AC ∴=+ ，同理可得1122CF CA CB =+ ，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=，AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =- ，23GB BE =- ，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C.【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.6.八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+= ；②2OA OC OF +=- ；③AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项.【详解】对于①：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故①错误；对于②：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC +=-，故②正确；对于③：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+ ，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故③正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确.7.ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+ ，则实数t 的值为（）A ．67B ．47C ．27D ．59【答案】C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ ，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可．【详解】如图，因为AD DC =，所以12AD AC= 则12AM AD DM AC DM =+=+ ，因为M 在BD 上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=- ，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ ，因为37AM AB t AC =+，所以371(1)2⎧⎪⎪⎨⎪⎩=-=⎪k k t ，解得27t =，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++ C ．OA OD AD-+ D ．NQ QP MN MP++- 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算9.（多选题）在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC 和DC 的中点，P 是DE 与BF 的交点，则有（）A ．12AE AB AD=+uu u r uu u r uuu rB ．1122AF AB AD=+ C ．2233AP AB AD=+ D ．1122CP CD CB=+【答案】AC 【分析】对A ，B ，由向量的加法法则即可判断；对C ，D ，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解：如图所示：对A ，12AE AB BE AB BC =+=+，又BC AD = ，即12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r，故A 正确；对B ，1122AF AD DC AB AD =+=+，故B 错误；对C ，设O 为AC 与BD 的交点，由题意可得：P 是CBD 的重心，故2CP PO = ，222333AP AO OP AC AB AD =+==+，故C 正确；对D ，221111332233CP CO CB CD CB CD ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.10.（多选题）设P 是OAB 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）A ．2155OP OA OB =+B ．2455OP OA OB =+C ．2155OP OA AB=+ D ．2455OP OA AB=+【答案】AC 【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A ：如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于B ：如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；对于C ：因为21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+，如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于D ：因为24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+ ，如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD 选项中的向量关系式要根据AB AO OB =+进行化简.11.（多选题）设点D 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的有（）A ．若()12AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点B ．若()13AD AB AC =+，则点D 是ABC 的重心C ．若2AD AB AC =-，则点D 在边BC 的延长线上D ．若AD xAB y AC =+ ，且12x y +=，则BCD △是ABC 面积的一半【答案】ABD 【分析】对A ，根据中点的性质即可判断；对B ，根据重心的性质即可判断；对C ，根据向量的运算得到BD CB =，即可判断；对D ，根据三点共线的性质即可求解.【详解】解：对A ，()12AD AB AC =+，即11112222AD AB AC AD -=-，即BD DC = ，即点D 是边BC 的中点，故A 正确；对B ，设BC 的中点为M ，()1122333AD AB AC AM AM =+=⨯= ，即点D 是ABC 的重心，故B 正确；对C ，2AD AB AC =-，即AD AB AB AC -=- ，即BD CB = ，即点D 在边CB 的延长线上，故C 错误；对D ，AD xAB y AC =+，且12x y +=，故222AD xAB y AC =+，且221x y +=，设2AM AD =，则22AM xAB y AC =+，且221x y +=，故,,M B C 三点共线，且2AM AD =，即BCD △是ABC 面积的一半，故D 正确.故选：ABD.12.对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．AB BC =B ．AB BC = C ．AB CD AD BC-=+D ．AD CD CD CB+=- 【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+= ，2AD BC BC +=，且AB BC = ，所以AB CD AD BC -=+ ，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+= ，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.13.．四边形ABCD 中，若BD BC BA =+，则四边形ABCD 的形状为_____.【答案】平行四边形【分析】由平面向量的加法法则直接可得答案【详解】解：因为四边形ABCD 中，BD BC BA =+，所以BC CD BC BA +=+ ，所以CD BA = ，所以CD BA = ，且CD ‖BA ，所以四边形ABCD 为平行四边形，故答案为：平行四边形。

《平面向量的加法运算》学习任务单【学习目标】本节课类比数的运算，借助物理中位移的合成、力的合成等具体实例引入向量的加法运算并抽象出向量加法的三角形法则和平行四边形法则；类比数的加法的运算研究向量加法的运算律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.发展学生数学抽象、直观想象的核心素养，在教学过程中设计了三道例题.【课上任务】1．位移法则是什么？2．我们是如何研究向量的加法运算的？ 3. 向量加法的三角形法则是什么？4．如何作两个共线向量的和？向量的加法与数的加法有什么关系？ 5．,,+a b a b 之间有什么关系？什么时候能取到和向量模的最值？ 6．力的合成的法则是什么？向量加法的平行四边形法则是什么？ 7．向量加法的平行四边形法则和向量加法的三角形法则一致吗？ 8．向量加法的运算律有什么？你能作图解释运算律的合理性吗？ 9．向量加法的运算律在向量加法运算时有什么作用？【学习疑问】10．哪段文字没看明白？11．没看明白的文字，用自己的话怎么说？ 12．哪个环节没弄清楚？ 13．您想向同伴提出什么问题？ 14．您想向老师提出什么问题？15．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序是什么？【课后作业】16．作业1： 第1题. 如图，已知向量a ，b ，用两种方法求作向量a + b .第2题.（1）AB BC CA ++u u u u r u u u u r u u u u r ；（2）AB MB BO OM +++u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u u r（）第3题. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小15 km/h ，方向为北偏西30°，河水的速度为向7.5abkm/h ，求小船实际航行速度的大小与方向．17．作业2：你认为向量的加法运算哪个知识最重要，最有用？哪些向量的加法运算容易混淆？【课后作业参考答案】1.如图，已知向量a ，b ，用两种方法求作向量a + b . 解答：作法：在平面内任取一点O ，作,.+.OA AB OB ===u u u r u u u r u u u r则a b a b作法：在平面内任取一点O ，作,,OA OB ==u u u r u u u ra b 以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，+.OC =u u u r则a b2. （1）AB BC CA ++u u u u ru u u u ru u u u r（2） AB MB BO OM +++u u u u ru u u u ru u u u u ru u u u u r（）解答：（1）0； （2）.AB u u u u r3.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15km/h ，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h ，求小船实际航行速度的大小与方向． 解答：如图，AB u u u r 表示水流的速度，AD u u u r表示小船在静水中的速度．由已知得7.5km/h AB =u u u u r，15km/h AD =u u u u r ，120BAD ∠=︒．以AB ，AD 为邻边作ABCD Y ，则AC u u u r表示小船实际航行的速度，15km/h BC AD ==u u u u r u u u u r ，60ABC ∠=︒，延长BA 到点E ，使AE AB =，连接CE ，则BE BC =．又60ABC ∠=︒，所以BCE ∆是等边三角形．在BCE ∆中，AC 是BCE ∆的中线，所以AC BE ⊥，从而90BAC ∠=︒．在Rt ABC ∆中，3153sin 6015(km/h)22AC BC =︒=⨯=．所以小船实际航行的速度的大a +bBAabab O AOBCb a +b，方向与河岸垂直．。

第四课时向量、向量的加法、向量的减法综合练习教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。

过程：一、 复习：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走23km解：OB = OA +AB233322=+=(km ) 例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证：由向量加法法则： AB = +, = +由已知：=, =∴AB =DC 即AB 与CD 平行且相等∴ABCD 为平行四边形 例三、在正六边形中，若= a , = b ，试用 向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。

解：设正六边形中心为P 则=++=+=)(a + b=+= a + b + a + b由对称性：OD = b + b + a二、有时间可处理“备用题”：例一、化简FA BC CD DF AB ++++解：FA BC CD DF AB ++++= FA DF CD BC AB ++++=FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=FA AF += 0B a +b b O a AA BC例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30︒夹角，即指向河的上游。

三、 作业：上述三课中的练习部分（选） A B上游 下游。