江苏省南京外国语学校2018-2019学年高一年级(上)阶段性调研数学测试(精品解析版)

2018—2019学年第-学期学业质量调研卷高一数学2019．1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．．） 1．已知集合A ＝{1，2，5}，B ＝{2，3}，则A B ＝．2．函数0.2()log (4)f x x =-的定义域为．3．已知角α的终边经过点P(1，﹣2)，则tan α的值是． 4．已知向量AB ＝(3，5)，AC ＝(4，1)，则向量BC 的坐标为． 5．已知cos α＝45，且α是第四象限角，则cos(2π＋α)的值是． 6．下列函数中，定义域是R 且在定义域上为减函数的是． ①x y e -=；②y x =；③ln y x =；④y x =．7．已知函数22 1() 122, 2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,,，若()3f x =，则x 的值是． 8．已知函数()35x f x x =+-的零点0x ∈(n ，n ＋1)，N n *∈，则n 的值是． 9．计算：ln325e +＝．10．把函数sin y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为．11．某次帆船比赛LOGO （如图1）的设计方案如下：在Rt △ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形BOC（如图2），使得扇形BOC 的面积是Rt △ABO 面积的一半．设∠AOB ＝α(rad)，则tan αα的值为．12．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN AM+BN λλ=，1λ，2λ∈R ，则12λλ+的值为．13．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，沿着过C 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 落在矩形的左边AD 上．设折痕所在的直线与AB 交于M 点，记翻折角∠BCM 为θ，则tan θ的值是． 14．已知函数210()(1)0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，，，设函数()()()()g x f x f x k k R =--+∈，若函数()g x 在R 上恰有两个不同的零点，则k 的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{1，2}，B ＝{}03x x ≤≤，集合C 为不等式组10360x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集．（1）写出集合A 的所有子集； （2）求B U ð和B C ．16．（本题满分14分）设向量a ＝(cos x ，1)，b ＝4sin x )． （1）若a ⊥b ，求tan x 的值； （2）若(a ＋b )∥b ，且x ∈[0，4π]，求向量b 的模．17．（本题满分14分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，2()log (1)f x x =-． （1）当x ＞0时，求函数()f x 的表达式；（2）记集合M ＝{}2()log (11)x f x x =-+，求集合M ．18．（本题满分16分）某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB 的高度．已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现有两种测量方法：方法I （如图1）①用测角仪器，对准教学楼的顶部A ，计算并记录仰角α(rad)；②后退a 米，重复①中的操作，计算并记录仰角β(rad)．方法II （如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A 底部B ，测出教学楼的视角∠ACB ＝γ(rad)，测试点与教学楼的水平距离b 米．请你回答下列问题：（1）用数据α，β，a ，h 表示出教学楼AB 的高度； （2）按照方法II ，用数据γ，b ，h 表示出教学楼AB 的高度． 19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，4)，B(5，12)．（1）求OA OB ⋅的值；（2）若∠AOB 的平分线交线段AB 于点D ，求点D 的坐标；（3）在单位圆上是否存在点C ，使得CA CB ⋅＝64？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分16分）定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．（1）若()2xf x x =-，x ∈(0，+∞)，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若31()44f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （3）若2()2x k xf x +=，x ∈(﹣1，+∞)，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．高一数学参考答案 2019.1一、填空题:1. {}22. (,4-∞）3. 2-4. ()1,4-5.356. ①8. 1 9. 7 10. sin(2)3π=-y x 11.21 12. 52 13. 31 14. 14± 二、解答题：15. 解：（1）因为集合A {1,2}=，所以它的子集φ,{1}, {2},{1,2};（2）因为B {|03}=≦≦x x }, 所CuB {|03}=<>或x x x ; 由⎩⎨⎧≤-≥+06301x x ，，解得12≥-⎧⎨≤⎩x x ，所以解集C=[-1,2]所以BC=[1,3]-16.解：（1）因为a b ⊥4sin 0+=x x 因为cos 0≠x ，所以43cos sin -=x x，即tan -4=x 。

2018-2019学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知全集，集合，，则_____【答案】【解析】【分析】直接利用并集、补集的运算即可．【详解】解：A∪B＝{0，1，3}；∴{2，4}．故答案为：{2，4}．【点睛】本题考查列举法的定义，以及并集、补集的运算．2.函数f（x）=的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【详解】解：由题意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为 _____【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、tanα的值，可得的值．【详解】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，12），∴sinα，tanα，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.已知向量，，且，则实数的值为_____【答案】【解析】【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案．【详解】解：∵量（4，﹣3），（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x＝0．解得：x＝﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若（a1，a2），（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2＝0，∥⇔a1b2﹣a2b1＝0，是基础题．5.已知，则的值为_____【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出．【详解】解：x＝log612﹣log63＝log64，∴6x＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化，属于基础题．6.如图，在直角三角形中，，，，垂足为，则的值为_____【答案】【解析】【分析】把代入化简通过向量的数量积的定义求解即可．【详解】解：在直角三角形ABD中，BD＝AB cos60°＝1••（）•4+2×1×cos120°＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力7.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则的值为_____【答案】【解析】【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，可得g（0）的值．【详解】解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）的图象，则g（0）＝2sin，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=的值域为[1，+∞），则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解a的范围即可．【详解】解：a＞0且a≠1，若函数f（x）的值域为[1，+∞），当x≤2时，y＝3﹣x≥1，所以，可得1＜a≤2．故答案为：（1，2]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．9.已知向量与满足，．又，，且在时取到最小值，则向量与的夹角的值为____【答案】【解析】【分析】由向量的模的运算得：||2＝[（1﹣t）t]2＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，由二次函数的最值用配方法可得解．【详解】解：设向量与的夹角的值为θ，由t，（1﹣t），（1﹣t）t，||2＝[（1﹣t）t]2，＝（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，又5+4cosθ＞0，所以当t，解得：cosθ，又θ∈[0，π]，所以θ，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题．10.已知函数，．若使不等式成立的整数恰有个，则实数的取值范围是____【答案】【解析】【分析】作出y＝g（x）的图象，讨论k＝0，k＜0，k＞0，结合抛物线开口方向和整数解的情况，即可得到所求范围．【详解】解：g（x）＝sin的周期为4，作出y＝g（x）的图象，当k＝0时，f（x）＝﹣x，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；当k＜0时，f（x）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；当k＞0，可得不等式f（x）＜g（x）成立的整数x＝1，当f（x）的图象经过（1，1），可得k﹣1＝1，即k＝2；f（x）的图象经过（2，0），即4k﹣2＝0，解得k．由题意可得k＜2．故答案为：[，2）．【点睛】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，b＝1.40.7＞1.40＝1，0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.函数f（x）=x sinx，x∈[-π，π]的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的位置判断即可．【详解】解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x时，f（）sin0，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能力．13.在平行四边形中，，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由•11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求，然后代入，•（）即可求解．【详解】解：平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，又∵•11，∴9＝11，∴2，则•（）16+2＝18．故选：C．【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题．14.已知函数 () 的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．【详解】解：函数y＝2cos x（x∈[0，π]）和函数y＝3tan x的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，由2cos x＝3tan x，可得2cos2＝3sin x，即 2sin2x+3sin x﹣2＝0，求得sin x，或sin x＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，∴x，或x；∴A（，）、B（，），画出图象如图所示；根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，等于•QC•|y A|OC•|y C|•OC•|y A﹣y C|••2π，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，向量满足．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设（x，y），由••5，得，得（3，﹣1）；（2）由（2，1），（3，﹣1），可得||，||，•，进一步得cosθ，又θ∈[0，π]，可得θ．【详解】解：（1）设=（x，y），因为=（2，1），=（1，-2），•=•=5，所以解得所以=（3，-1）；（2）因为=（2，1），=（3，-1），所以||=，||=，又•=2×3+1×（-1）=5，所以cosθ===，又θ∈[0，π]，所以θ=．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力．16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．【详解】解：（1）因为α是第二象限角，且sinα=，所以cosα=-=-，所以tanα==-2．（2）=====．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）若x∈[-，0]，求函数f（x）的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；（2）令2kπ2x2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间；（3）由x∈[，0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．【详解】解：（1）由函数的图象可得A=2，T=•=-，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．（3）若x∈[-，0]，则2x+∈[-，]，∴sin（2x+）∈[-1，]，故f（x）∈[-2，1]．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题．18.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．（1）写出关于的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+，当8＜x≤14时，y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2，即y=（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，所以当x=4时，y max=．当8＜x≤14时，y=x+2，所以当x=14时，y max=．因为＞，所以当x=4时，y max=．答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．19.如图，在中，，，，是边上一点，且．（1）设，求实数，的值；（2）若点满足与共线，，求的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）把两边用表示即可得解；（2）利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合（1）把用表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】解：（1），∴，∴，∴x=，y=；（2）∵共线，∴可设，λ∈R，∵∴，∴=-=，，=，∴=，…①∵，∴，，，…②把②代入①并整理得：∴，∵，∴，∴，解得：，∴=或．故的值为或．【点睛】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中．20.给定区间，集合是满足下列性质的函数的集合：任意，)．（1）已知，，求证：；（2）已知，．若，求实数的取值范围；（3）已知， ()，讨论函数与集合的关系．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）通过f（x+1）﹣2f（x）＝3x+1﹣2×3x＝3x＞0，验证即可．（2）通过g（x）∈M，得到a＜log2（x+1）﹣2log2x＝log2（）恒成立，通过最值求解即可．（3）h（x）＝﹣x2+ax+a﹣5，x∈（0，1]．若h（x）∈M，则当x∈[﹣1，1]，h（x+1）＞2h （x）恒成立，即x2﹣（a+2）x+4＞0恒成立．记H（x）＝x2﹣（a+2）x+4，x∈[﹣1，1]．通过a≤﹣4时，﹣4＜a＜0时，a≥0时，求出函数的最值求解即可．【详解】解：（1）证明：因为f（x）=3x，所以f（x+1）-2f（x）=3x+1-2×3x=3x＞0，即f（x+1）＞2f（x），所以f（x）∈M．（2）因为g（x）=a+log2x，x∈（0，1]，且g（x）∈M，所以当x∈（0，1]时，g（x+1）＞2g（x）恒成立，即a+log2（x+1）＞2a+2log2x恒成立，所以a＜log2（x+1）-2log2x=log2（+）恒成立．因为函数y=log2（+）在区间（0，1]上单调递减，所以当x=1时，y min=1．所以a＜1．（3）h（x）=-x2+ax+a-5，x∈（0，1]．若h（x）∈M，则当x∈[-1，1]，h（x+1）＞2h（x）恒成立，即-（x+1）2+a（x+1）+a-5＞-2x2+2ax+2a-10恒成立即x2-（a+2）x+4＞0恒成立．记H（x）=x2-（a+2）x+4，x∈[-1，1]．①当≤-1，即a≤-4时，H（x）min=H（-1）=a+7＞0，即a＞-7．又因为a≤-4，所以-7＜a≤-4；②当-1＜＜1，即-4＜a＜0时，H（x）min=H（）=＞0，恒成立，所以-4＜a＜0；③当≥1，即a≥0时，H（x）min=H（1）=3-a＞0，即a＜3．又a≥0，所以0≤a＜3．综上所得-7＜a＜3．所以当-7＜a＜3时，h（x）∈M；当a≤-7或a≥3时，h（x）∈M．【点睛】本题考查函数的最值的求法，考查转化思想、分类讨论思想以及计算能力．。

南京外国语学校2018—2019学年度第一学期期中高一年级数学试题（A 卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案写在答．卷纸相应．．．．位置上．．．） 1. 已知集合{}1,2,3,6A =−,{}|23B x x =−<<，则A B =______．【答案】{}1,2−；【解析】由交集的定义可得．2.幂函数y =_______（填序号）．① ② ③ ④【答案】③；【解析】12y x =，在()0,+∞单调递增，比y x =增长的慢则选③．3. 把函数()222y x =−+的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是______．【答案】224y x x =−+；【解析】()()22122124y x x x =+−++=−+．4. 偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，()33f =，则()1f −=______． 【答案】3；【解析】由偶函数可得()()11f f −=，()()13f f =则()13f −=．5. 集合U =R ，()1,2A =−，(){}|ln 1B x y x ==−，则图中阴影部分所代表的集合为______（结果用区间的形式表示）．欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475【答案】[)1,2；【解析】(),1B =−∞图像中阴影部分为[)1,2UA B =．6. 若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为______． 【答案】6−；【解析】函数在,2a ⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦单调递减，在,2a ⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，则362a a −=⇒=−．7. 已知函数()()0,1x f x a a a =>≠且，如果以()()11,P x f x ，()()22,Q x f x 为端点的线段的中点在y 轴上，那么()()12f x f x =_______． 【答案】1；【解析】120x x +=，121201x x x x a a a a +⋅===．8. 函数()37ln f x x x =−+的零点位于区间(),1n n +()n ∈N 内，则n =______． 【答案】2；【解析】函数在()0,+∞单调递增，()21ln20f =−+<，()32ln30f =+>则零点在()2,3之间．9. 若关于x 的方程2420x x a −−−=在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)6,2−−；【解析】转化成242x x a −−=有交点，[)2426,2x x −−∈−−，则[)6,2a ∈−−．10. 若函数()221x x af x −=+是奇函数，则使()13f x >成立的x 的取值范围为______．【答案】()1,+∞；【解析】()10011a f −==+1a ⇒=.211213x x −>+即224x ⨯>，则()1,x ∈+∞．11. 某商品在近30天内每件的销售价格P （单位：元）与销售时间t （单位：天）的函数关系为20,025;100,2530.t t P t t +<<⎧=⎨−+≤≤⎩，t ∈N ，且该商品的日销售量Q （单位:件）与销售时间t （单位：天）的函数关系为()40030,Q t t t =−+≤≤∈N ，则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第_____天． 【答案】10；欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475【解析】()()()()2040,025;40100,2530.t t t S t t t +−<<⎧=⎨−−≤≤⎩，可得max 10,900t S ==．12. 已知函数()2log ,0;3,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a ++=有且只有一个实根，且实数a 的取值范围是______. 【答案】1a ≤−；【解析】结合()f x 的图象，原方程可以理解为()y f x =与y x a =−−只有一个交点．所以1a −≥，1a ≤−13. 如果函数()()21,1;, 1.x a x x f x a x −+<⎧=⎨≥⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x −>−成立，那么a 的取值范围是______．【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】即()f x 在R 上单调递增，2031,2221a a a a a−>⎧⎪⎡⎫>⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪−+≤⎩.14. 已知函数()2f x x bx =+，若()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等，则实数b 的取值范围是____． 【答案】(][),02,−∞+∞；【解析】()min 2b f x f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,则()min 2b f x ≤−即242b b −≤−解得0b ≤或2b ≥．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. （8分）已知幂函数()()21*mm f x x m ++=∈N 的图象经过点()2,8．⑴ 试确定m 的值 ；⑵ 求满足条件()()21f a f a −>−的实数a 的取值范围． 【答案】⑴ 1m =；⑵32a <． 【解析】⑴21281m m m ++=⇒=或2m =−(舍).⑵()3f x x =，()f x 在R 上单调递增，由()()21f a f a −>−可得3212a a a −>−⇒<. 欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：69330047516. 已知()243f x x x =−+.⑴ 作出函数()f x 的图象； ⑵ 写出函数()f x 的单调递增区间．⑶ 写出集合(){}|M m f x m ==使方程有四个不相等的实根. 【答案】⑴ 见解析；⑵ ()1,2和()3+∞，；⑶{}|01M m m =<<；【解析】⑴见右图；⑵单调递增区间为()1,2和()3+∞，； ⑶由图象可得()0,1m ∈则{}|01M m m =<<.17. 设全集U =R ，集合1|22xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}[)2|lg 0,B y y x a ==+=+∞．⑴ 求()U A B ；⑵ 求实数a 的值． 【答案】⑴()1,−+∞；⑵1； 【解析】⑴(],1A =−∞−，()1,UA =−+∞则()()1,U A B =−+∞；⑵()[)[)22lg 0,1,x a x a +=+∞⇒+∈+∞则1a =．18. 已知函数()()log 4a f x ax =−，其中常数1a >.⑴ 当[]1,2x ∈，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；⑵ 是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为1？如果存在，试求出a 的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】⑴()1,2；⑵不存在．【解析】⑴原题可化为40ax −>在[]1,2上恒成立，402420a a a −>⎧⇒<⎨−>⎩，又因为1a >所以()1,2a ∈； ⑵由题意可得4ax −在[]1,2上的最大值为a ，由于1a >，所以4ax −单调递减4a a −=，解得2a =，但此时在2x =处没有定义，所以不存在.19. 已知函数()e e x x f x −=−（x ∈R ,且e 为自然对数的底数）．⑴ 判断函数()f x 的单调性与奇偶性；欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475⑵是否存在实数t ，使不等式()()220f x t f x t −+−≥对一切的x ∈R 都成立？若存在，求出t 的值，若不存在说明理由．【答案】⑴ 证明见解析；⑵ 存在，12t =−．【解析】⑴函数定义域为R ，关于0对称，()x x f x e e −−=−，则()()0f x f x −+=，则()f x 是奇函数，以下证明()f x 在R 上单调递增：任取12,x x ∈R ，令12x x <，()()()121212121212e e 1e e e e 10e e e ex x x x x x x x x x f x f x −⎛⎫−=−+=−+< ⎪⎝⎭所以函数单调递增.⑵存在，证明：()()()2222f x t f x t f t x −≥−−=−等价成22x t t x −≥−，则220x x t t +−−≥对一切的x ∈R 都成立，则()2140t t ∆=++≤可得12t =−．20. 已知函数()221f x x ex m =−++−，()()20e g x x x x=+>.⑴ 若()y g x m =−有零点，求m 的取值范围；⑵ 确定m 的取值范围，使得()()0g x f x −=有两个相异实根. 【答案】⑴[)2,e +∞；⑵212e e m >+−；.【解析】⑴ 2e x m x +=220x mx e ⇒−+=在0x >有根，当02m >时则22024m e m e −+≤⇒≥或2m e ≤−(舍)，当02m≤时，()20f e =，则()00f ≤无解，则2m e ≥. ⑵ 结合图象，可得()g x 与()f x 有交点时可以看出212e e m >+−，以下详细证明；记()()()()22e 12e 1h x g xf x x x m x=−=+−+−+，则可以证明()h x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增证明如下：任取()12,0,e x x ∈，令12x x <，()()()212121212e 2e +1h x h x x x x x x x ⎛⎫−=−+−− ⎪⎝⎭，由于122e <0x x +−，212e 10x x −<，120x x −<所以()()12h x h x >，所以函数在()0,e 上单调递减；同理可证得在()e,+∞上单调递增，所以()e h 为函数最小值，根据零点定理()e 0h <，解得212e e m >+−，以下说明必存在函数值大于零：首先说明()e,+∞上，当2e m ≥时，()22e 2e 10h m m m m=−++>，当212e e 2e m +−<<时，欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475()e2e 2e 102h m =++−>；所以在()e,+∞上只有一个零点 再说明()0,e 上，()2222e e 2e 4e 2e 22mx x h x m x x x x −−>−−=+，所以取2e min 2m ⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭，2e 2m ，中2e 2m <即m <0h >>⎝⎭2e 2m ≥即m ≥232e e 102h m m m⎛⎫⎛⎫>−≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以在()0,e 上只有一个零点； 综上，212e e m >+−欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475。

江苏省南京市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若,x y 满足约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0,4]B ．(,4]-∞C ．[0,6]D ．[6,)+∞2．已知,,a b m R ∈，则下列说法正确的是（ ） A.若a b >> B.若a b <，则22am bm < C.若11a b<，则a b > D.若33a b >，则a b >3．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ） A.420人B.480人C.840人D.960人4．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2b ab >B ．2ab a >C ．22a b >D ．a b <5．设集合{}2430A x x x =-+<，{}480xB x =->，则A B =A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)26．已知,0a b >，下列不等式一定成立的是( )A.2a b +≤B.2a b +≤≤2a b +≤≤2a b +≤≤7．已知实数a 、b 、c 、d 成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A ．e -B ．1-C ．1D ．e9．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ）A.14B.1C.12D.3210．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD ⊥，,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成的角为（ ） A.30°B.45°C.60°D.90°11．《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:====则按照以上规律,若=“穿墙术”,则 n =( )A.35B.48C.63D.8012．已知点（x,y）满足曲线方程4{6x y θθ=+=+ （θ为参数），则yx的最小值是（ ）B.32D.1二、填空题 13．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.14．若直线y x b =+在x 轴上的截距在[]3,3-范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是______．15．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．16．恩格尔系数（Engel'sCoefficient ）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：若y 与x 之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．三、解答题 17．已知曲线（1）若，求经过点且与曲线只有一个公共点的直线方程：（2）若，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两个点都不在曲线上；（3）若曲线与线段有公共点，求的最小值。

2018-2019届江苏省南京外国语学校高一年级(上)数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、作答题1．已知f(x)=2x，g(x)是一次函数，并且点(2，2)在函数f[(g(x)]的图象上，点(2，5)在函数g[f(x)]的图象上，则g(x)的解析式为_____．2．设函数 ，且f(﹣2)=3，f(﹣1)=f (1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，写出函数的单调增区间． 3．已知f(x)=(x≠a)．(1)若a=﹣2，试证明f(x)在(﹣∞，﹣2)内单调递增； (2)若a ＞0，且x ∈(﹣∞，0)，请直接写出f(x)的值域． 4．已知函数是奇函数. (1)求实数 的值；(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围. 5．已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0，b ∈R ，c ∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)=0，且c=1，求f (2)的值；(2)若a=1，c=0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 6．已知定义域为R 的函数是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0.二、填空题7．己知集合 ，则 中元素的个数为_______． 8．函数 的定义域为_____．9．已知函数f(x)=x 2+mx+1是偶函数，则m=_____．10．指数函数f(x)=(a ﹣1)x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____． 11．设集合 则 =____． 12．已知集合A={x|2x+a ＞0}，若1∉A ，则实数a 的取值范围是_____．13．已知函数 且 的图象恒过定点 ，则 14．已知二次函数f(x)满足f (2+x)=f (2﹣x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f (0)则实数a 的取值范围是_____．15．已知()f x 为奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2,(1)(1)4,(1)f g f g g -+=+-==则 .16．若函数在区间 单调递增，则实数 的取值范围为__________．17．若函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．18．设P(x 0，y 0)是函数f(x)图象上任意一点，且y 02≥x 02，则f(x)的解析式可以是_____．(填序号)①f(x)=x ﹣②f(x)=e x ﹣1(e≈2.718，是一个重要常数)③f(x)=x+④y=x 219．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。

江苏省南京市外国语学校2018-2019学年高一上学期数学试卷一、作答题1．已知f(x)=2x，g(x)是一次函数，并且点(2，2)在函数f[(g(x)]的图象上，点(2，5)在函数g[f(x)]的图象上，求g(x)的解析式．2．设函数，且f(﹣2)=3，f(﹣1)=f (1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，写出函数的单调增区间．3．已知f(x)=(x≠a)．(1)若a=﹣2，试证明f(x)在(﹣∞，﹣2)内单调递增；(2)若a＞0，且x∈(﹣∞，0)，请直接写出f(x)的值域．4．已知函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.5．已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)=0，且c=1，求f (2)的值；(2)若a=1，c=0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．6．已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.二、填空题7．己知集合，则中元素的个数为_______．8．函数的定义域为_____． 9．已知函数f (x )=x 2+mx +1是偶函数，则m =_____．10．指数函数f (x )=(a ﹣1)x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____．11．设集合 则=____．12．已知集合A ={x |2x +a ＞0}，若1∉A ，则实数a 的取值范围是_____．13．已知函数且的图象恒过定点，则14．已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2﹣x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)则实数a 的取值范围是_____．15．已知()f x 为奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2,(1)(1)4,(1)f g f g g -+=+-==则 .16．若函数在区间 单调递增，则实数的取值范围为 __________．17．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于________．18．设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 02≥x 02，则f (x )的解析式可以是_____．(填序号)①f (x )=x ﹣；②f (x )=e x ﹣1(e≈2.718，是一个重要常数)；③f (x )=x +；④y =x 2.19．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________．【参考答案】一、作答题1．解：设g(x)=kx+b，则f[(g(x)]=f(kx+b)=2kx+b，因为点(2，2)在函数f[g(x)]的图象上，所以f[g(2)]=f(2k+b)=22k+b=2，所以2k+b=1①；g[f(x)]=k•2x+b②，因为点(2，5)在函数g[f(x)]的图象上，所以g[f(2)]=4k+b=5(2)，由①②得：．所以g(x)=2x﹣3．2．解：(1)依题意得：，解得：a=﹣1，b=1，∴.(2)函数f(x)的图象如下：函数的单调递增区间为：[0，+∞)3．(1)证明：a=﹣2时，f(x)，f′(x)=，∵x＜﹣2，∴f′(x)＞0恒成立，∴f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增．(2)解：若a＞0，且x∈(﹣∞，0)，则f(x)为递减函数，∴f(x)＞f(0)=0，所以f(x)的值域为(0，+∞)．4．解：(1)设x<0，则-x>0，f(-x)="-"，又f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)，于是x<0时，f(x)=m=2 .(2)要使f(x)在上单调递增，结合f(x)图像知，1<a，故实数a的取值范围是.5．解：函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)由题意，可得，a﹣b+1=0，解得：a=1，b=2；∴函数f(x)=x2+2x+1．那么f(2)=4+4+1=9；(2)由a=1，c=0，可得f(x)=x2+bx；∵|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，即|x2+bx|≤1令g(x)=|x2+bx|=|x(x+b)|，显然图象过原点，(b，0)．当b＜0，g(x)在区间(0，1]上单调递增，可得g(x)的图象，(如图)g(x)max=g(1)=|b+1|≤1，∴﹣2≤b＜0，当b=0时，可得|x2|≤1在区间(0，1]上恒成立，可得：﹣2≤b≤0；当b＞0，显然g(x)max=，解得：≥b＞0，综上可得b的取值范围是[﹣2，]．6．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，故原不等式的解集为.二、填空题7．6【解析】，共6个元素.8．【解析】要使有意义，则3x+5≥0，∴，∴该函数的定义域为．9．0【解析】根据题意，函数f(x)=x2+mx+1是偶函数，则f(﹣x)=f(x)，即(x2+mx+1)=(x2﹣mx+1)，变形可得：2mx=0，分析可得m=0.10．(2，+∞)【解析】∵指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是(2，+∞)，故答案为：(2，+∞)．11．【解析】因为，所以，应填答案.12．(﹣∞，﹣2]【解析】由题意可得集合A的解集为{x|x＞﹣}，又∵1∉A ，由此解得﹣≥1，解得a ≤﹣2，故答案为：(﹣∞，﹣2]．13．3 【解析】由指数函数的图象过定点(0，1)， 所以函数且的图象恒过定点(2，1+n )，即m =2，1+n =2，故3. 14．[0，4]【解析】根据题意，二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2﹣x )，则函数f (x )的对称轴为x =2， 又由f (x )在[0，2]上是增函数，则f (x )开口向下，若f (a )≥f (0)，则有|a ﹣2|≤2，解可得：0≤a ≤4，即a 的取值范围为[0，4]；故答案为：[0，4]．15．3 【解析】依题意，(1)(1)2,(1)(1)4,f g f g -+=+=所以，(1)3g =.16．【解析】由题意得或 ， 解得实数的取值范围为. 17．1【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴431a a a ->-⎧⎨-=⎩或43431a a a -≤-⎧⎨-=⎩，解得a ＝1. 18．③【解析】①f(x)=x﹣，当x0=1，即有y0=1﹣1=0，显然y02≥x02不成立，故①不可以；②f(x)=e x﹣1，当x0=﹣1，即有y0=﹣1，显然y02≥x02不成立，故②不可以；③f(x)=x+，由y02﹣x02=(x0+)2﹣x02=8+＞8，故③可以；④y=x2，由y02﹣x02=x02(x02﹣1)，取x0=，y02≥x02不成立，故④不可以．故答案为：③．19．(2，2)【解析】易知f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2b<2.。

2018-2019学年度南京市第一学期期末数学调研测试卷答案（第三稿）南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学参考答案 2019．01一、填空题（10小题，每题5分，共50分）1．{2，4} 2．[2，＋∞) 3．－513 4．－8 5．46．37． 38．(1，2 9．π3 10．[12，2)二、选择题（4小题，每题5分，共20分）11．B 12．A 13．C 14．D 三、解答题（6小题，共90分） 15．（本小题满分14分） 解：（1）设c ＝(x ，y )．因为a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ·c ＝b ·c ＝5，所以 ⎩⎨⎧2x ＋y ＝5，x －2y ＝5， …………………… 4分解得 ⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，所以c ＝(3，－1)． …………………… 7分（2）因为a ＝(2，1)，c ＝(3，－1)，所以 a ＝5， c ＝10． …………………… 9分又a ·c ＝2×3＋1×(－1)＝5，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝5 5×10＝22， …………………… 11分又 θ∈[0，π ，所以θ＝π4． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为α是第二象限角，且sin α＝255，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(255)2＝－55， …………………… 4分所以tan α＝sin αcos α＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）sin(π＋α)＋cos(π－α)sin(π2－α)＋cos(π2＋α) ＝－sin α－cos αcos α－sin α …………………… 11分＝－tan α－11－tan α ＝ tan α＋1 tan α－1 ＝(－2)＋1 (－2)－1 ＝13． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）由图象知，A ＝2，T ＝43×(11π12－π6)＝π，所以ω＝2πT ＝2，从而f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………… 2分又因为f (x )的图象经过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，从而 π3＋φ＝2 π＋π2， ∈ ，即φ＝2 π＋π6．又因为 φ ＜π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)． …………………… 5分（2）令2 π－π2≤2x ＋π6≤2 π＋π2， ∈ ，解得 π－π3≤x ≤ π＋π6，所以函数f (x )的增区间为 [ π－π3， π＋π6 ， ∈ ． …………………… 9分（3）令t ＝2x ＋π6．因为x ∈[－π2，0 ，所以t ∈[－5π6，π6，从而sin t ∈[－1，12 ， …………………… 12分即2sin t ∈[－2，1 ．所以当x ∈[－π2，0 时，函数f (x )的值域为[－2，1 ． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）由题意知，当0≤x ≤8时，y ＝0.6x ＋0.2(14―x )―120x 2＝―120x 2＋25x ＋145， …………………… 3分当8＜x ≤14时，y ＝0.6x ＋0.2(14―x )―3x ＋810＝110x ＋2， …………………… 5分即y ＝⎩⎨⎧―120x 2＋25x ＋145，0≤x ≤8，110x ＋2， 8＜x ≤14．…………………… 7分（2）当0≤x ≤8时，y ＝―120x 2＋25x ＋145＝―120(x ―4)2＋185， 所以 当x ＝4时，y max ＝185． …………………… 10分 当8＜x ≤14时，y ＝110x ＋2，所以当x ＝14时，y max ＝175． …………………… 12分因为185＞175，所以当x ＝4时，y max ＝185． 答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为 BD →＝2DC →，所以 AD →―AB →＝2(AC →―AD →)， 即AD →＝13AB →＋23AC →．又AD →＝x AB →＋y AC →，且AB →，AC →不共线，所以x ＝13，y ＝23． …………………… 4分（2）（方法一）因为BP →与AD →共线， 所以存在实数λ，使得BP →＝λAD →． …………………… 6分 因为 AD →＝13AB →＋23AC →，所以BP →＝λ3AB →＋2λ3AC →，从而 PA →＝PB →＋BA →＝―λ3AB →―2λ3AC →―AB →＝―(λ3＋1)AB →―2λ3AC →，PC →＝PA →＋AC →＝―(λ3＋1)AB →＋(1―2λ3)AC →， …………………… 8分所以 PA →·PC →＝(λ3＋1)2AB →2＋(λ3＋1)(4λ3―1)AB →·AC →―2λ3(1―2λ3)AC →2．…………………… 10分因为AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，所以AB →2＝4，AC →2＝25，AB →·AC →＝2×5×35＝6，所以PA →·PC →＝(λ3＋1)2×4＋(λ3＋1)(4λ3―1)×6―2λ3(1―2λ3)×25＝1289λ2―8λ―2， …………………… 14分因为PA →⊥PC →， 所以PA →·PC →＝0，即1289λ2―8λ―2＝0，解得λ＝34或λ＝―316．因此|BP →||AD →|＝|λ|＝34 或 316．…………………… 16分（方法二）如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ． 因为AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，所以A (0，0)，B (2，0)，C (3，4)． 又AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →＝13(2，0)＋23(3，4)＝(83，83)．…………………… 8分因为BP →与AD →共线，所以存在实数λ，使得BP →＝λAD →，即BP →＝(8λ3，8λ3)． …………………… 10分所以 AP →＝AB →＋BP →＝(2，0)＋(8λ3，8λ3)＝(8λ＋63，8λ3)，CP →＝AP →―AC →＝(8λ＋63，8λ3)―(3，4)＝(8λ―33，8λ―123)．…………………… 12分因为PA →⊥PC →，即AP →⊥CP →，所以AP →·CP →＝0，所以8λ―33×8λ＋63＋8λ―123×8λ3＝0，即64λ2―36λ―9＝0．………………… 14分解得 λ＝34或λ＝―316，因此|BP →||AD →| ＝|λ|＝34 或 316． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）证明：因为f (x )＝3x ，所以f (x ＋1)―2f (x )＝3x +1―2×3x ＝3x ＞0，即f (x ＋1)＞2f (x )，所以f (x )∈M ． …………………… 2分（2）因为g (x )＝a ＋log 2x ，x ∈(0，1]，且g (x )∈M ，所以 当x ∈(0，1]时，g (x ＋1)＞2g (x )恒成立，即a ＋log 2(x ＋1)＞2a ＋2log 2x 恒成立， 所以a ＜log 2(x ＋1)―2log 2x ＝log 2(1x ＋1x 2)恒成立． …………………… 4分因为函数y ＝log 2(1x ＋1x 2) 在区间(0，1]上单调递减，所以当x ＝1时，y min ＝1．所以a ＜1． …………………… 7分（3）h (x )＝－x 2＋ax ＋a －5，x ∈(0，1]．若h (x )∈M ， 则当x ∈[―1，1]，h (x ＋1)＞2h (x )恒成立， 即－(x ＋1)2＋a (x ＋1)＋a －5＞－2x 2＋2ax ＋2a －10恒成立即x 2－(a ＋2)x ＋4＞0恒成立． …………………… 9分 记H (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋4，x ∈[―1，1]．① 当a ＋22≤―1，即a ≤―4时，H (x )min ＝H (―1)＝a ＋7＞0，即a ＞―7． 又因为a ≤―4，所以―7＜a ≤―4； …………………… 11分② 当－1＜a ＋22＜1，即－4＜a ＜0时，H (x )min ＝H (a ＋22)＝(2－a )(6＋a )4＞0，恒成立，所以 －4＜a ＜0； …………………… 12分 ③ 当 a ＋22≥1，即a ≥0时，H (x )min ＝H (1)＝3－a ＞0，即a ＜3． 又a ≥0，所以0≤a ＜3．综上所得 －7＜a ＜3． …………………… 14分所以 当－7＜a ＜3时，h (x )∈M ；当a ≤－7或a ≥3时，h (x )/∈M ． …………………… 16分。

绝密★启用前【市级联考】江苏省南京市2018-2019学年高一第一学期期末调研测试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知a =log 1.40.7，b =1.40.7，c =0.71.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a2．函数f(x)=xsinx ，x ∈[−π,π]的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =3若AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =11，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值是（ ） A ．10 B ．14 C ．18 D ．224．已知函数f(x)=2cosx (x ∈[0,π]) 的图象与函数g(x)=3tanx 的图象交于A ，B 两点，则ΔOAB （O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．π4 B ．√3π4C ．π2 D ．√3π2第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合A ={0,3}，B ={1,3}，则C U (A ∪B)=_____ 6．函数f(x)=√2x −4 的定义域为_____7．已知角α的终边经过点P(−5,12)，则 sinαtanα的值为 _____8．已知向量a ⃗=(4,−3)， b ⃑⃗=(x,6)，且a ⃗//b ⃑⃗，则实数x 的值为_____ 9．已知x =log 612−log 63，则6x 的值为_____10．如图，在直角三角形ABC 中，AB =2，∠B =60∘，AD ⊥BC ，垂足为D ，则 AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为_____11．将函数f(x)=2sin2x 的图象向左平移π6个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(0)的值为_____12．已知a >0且a ≠1，若函数f(x)={3−x,x ≤2log a x,x >2的值域为[1,+∞)，则a 的取值范围是____13．已知向量 OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 满足|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1．又OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =tOA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t)OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |在t =27时取到最小值，则向量 OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与 OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角的值为____ 14．已知函数f(x)=kx 2−x ，g(x)=sin πx 2．若使不等式f(x)<g(x)成立的整数x 恰有1个，则实数k 的取值范围是____三、解答题15．已知向量a ⃗=(2,1)，b ⃑⃗=(1,−2)，向量c ⃗满足a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗=5． （1）求向量c ⃗的坐标； （2）求向量a ⃗与c ⃗的夹角θ．16．已知α是第二象限角，且sinα=2√55． （1）求tanα的值； （2）求sin(π+α)+cos(π−α)sin(π2−α)+cos(π2+α)的值．17．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数f(x)的单调增区间；（3）当x ∈[−π2,0]时，求函数f(x)的值域．18．某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工P （万元）与精加工的蔬菜量x （吨）有如下关系：P ={120x 2,0≤x ≤83x+810,8<x ≤14设该农业合作社将x （吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y （万元）．（1）写出y 关于x 的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．19．如图，在ΔABC 中，AB =2，AC =5，cos∠CAB =35，D 是边BC 上一点，且BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ．（1）设AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求实数x ，y 的值； （2）若点P 满足 BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 与 AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线， PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求|BP ⃑⃑⃑⃑⃑|⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值．20．给定区间I，集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合：任意x∈I，f(x+1)>2f(x)．（1）已知I=R，f(x)=3x，求证：f(x)∈M；（2）已知I=(0,1]，g(x)=a+log2x．若g(x)∈M，求实数a的取值范围；（3）已知I=[−1,1]，ℎ(x)=−x2+ax+a−5 (a∈R)，讨论函数ℎ(x)与集合M的关系．参考答案1．B【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，b＝1.40.7＞1.40＝1，0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B【解析】【分析】判断函数f(x)=xsinx的奇偶性排除选项A，C，然后取特殊值x=π2，计算f(π2)判断即可得结果.【详解】x∈[−π,π]，定义域关于原点对称，∵f(−x)=(−x)sin(−x)=xsinx=f(x)，所以f(x)为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除A，C，当x=π2时，f(π2)=π2sinπ2=π2>0，故排除D，故选B．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括x→+∞,x→−∞,x→0+,x→0−等.3．C 【解析】 【分析】由AC →•AD →=11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求AB →⋅AD →，然后代入，AC →•AB →=（AB →+AD →）⋅AB →即可求解． 【详解】解：平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3， 又∵AC →•AD →=11，∴(AB →+AD →)⋅AD →=AB →⋅AD →+AD →2=AB →⋅AD →+9＝11， ∴AB →⋅AD →=2，则AC →•AB →=（AB →+AD →）⋅AB →=AB →2+AB →⋅AD →=16+2＝18． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了向量加法的 平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题． 4．D 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的图象，求得A 、B 的坐标，用分割法求△OAB 的面积． 【详解】解：函数y ＝2cos x （x ∈[0，π]）和函数y ＝3tan x 的图象相交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 由2cos x ＝3tan x ，可得2cos 2x ＝3sin x ，即 2sin 2x +3sin x ﹣2＝0， 求得sin x =12，或sin x ＝﹣2（舍去），结合x ∈[0，π]， ∴x =π6，或 x =5π6；∴A （π6，√3）、B （5π6，−√3），画出图象如图所示；根据函数图象的对称性可得AB 的中点C （π2，0）， ∴△OAB 的面积等于△OAC 的面积加上△OCB 的面积， 等于12•OC •|y A |+12OC •|y C |=12•OC •|y A ﹣y C |=12•π2•2√3=√32π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 5．{2,4} 【解析】 【分析】直接利用并集、补集的运算即可． 【详解】解：A ∪B ＝{0，1，3}； ∴C U (A ∪B}={2，4}． 故答案为：{2，4}． 【点睛】本题考查列举法的定义，以及并集、补集的运算． 6．{x|x ≥2} 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，得到相应的不等式组，即可求解函数的定义域，得到答案.【详解】由题意，要使此函数有意义，需2x－4≥0，即2x≥22，∴x≥2， 所以函数的定义域为[2，＋∞) 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解问题，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．−513 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin α、tanα的值，可得sinαtanα的值． 【详解】解：∵角α的终边经过点P （﹣5，12），∴sinα=√25+144=1213，tanα=12−5=−125， 则sinαtanα=1213−125=−513，故答案为：−513． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 8．−8 【解析】 【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案． 【详解】解：∵量a →=（4，﹣3），b →=（x ，6），且a →∥b →， 则4×6﹣（﹣3）x ＝0． 解得：x ＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点睛】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若a →=（a 1，a 2），b →=（b 1，b 2），则a →⊥b →⇔a 1a 2+b 1b 2＝0，a →∥b →⇔a 1b 2﹣a 2b 1＝0，是基础题． 9．4 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出． 【详解】解：x ＝log 612﹣log 63＝log 64， ∴6x ＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化，属于基础题． 10．3 【解析】 【分析】把AD →=AB →+BD →代入化简通过向量的数量积的定义求解即可． 【详解】解：在直角三角形ABD 中，BD ＝AB cos60°＝1AB →•AD →=AB →•（AB →+BD →）=AB →2+AB →•BD →=4+2×1×cos120°＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 11．√3 【解析】 【分析】根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，可得g （0）的值． 【详解】解：将函数f （x ）＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位后，得到函数g （x ）＝2sin （2x +π3）的图象，则g （0）＝2sin π3=√3，故答案为：√3． 【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题． 12．(1,2] 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，先求出x ≤2时函数的取值范围，结合整个函数的值域，列出不等式求解a 的范围即可． 【详解】a >0且a ≠1，若函数f(x)={3−x,x ≤2log a x,x >2的值域为[1,+∞)，当x ≤2时，y =3−x ≥1，所以{x >2log a x ≥1，可得1<a ≤2，故答案为(1，2]． 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题. 13．π3 【解析】 【分析】由向量的模的运算得：|MN →|2＝[（1﹣t ）OB →−t OA →]2＝（5+4cosθ）t 2﹣2（1+2cosθ）t +1，由二次函数的最值用配方法可得解． 【详解】解：设向量OA →与OB →的夹角的值为θ， 由OM →=t OA →，ON →=（1﹣t ）OB →，MN →=ON →−OM →=（1﹣t ）OB →−t OA →，|MN →|2＝[（1﹣t ）OB →−t OA →]2， ＝（1﹣t ）2+4t 2﹣4t （1﹣t ）cosθ＝（5+4cosθ）t 2﹣2（1+2cosθ）t +1，又5+4cos θ＞0，所以当t =2(1+cosθ)2(5+4cosθ)=27取得最小值. 解得：cos θ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3， 故答案为：π3【点睛】本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题．14．[12,2)【解析】【分析】作出y ＝g （x ）的图象，讨论k ＝0，k ＜0，k ＞0，结合抛物线开口方向和整数解的情况，即可得到所求范围．【详解】解：g （x ）＝sin πx 2的周期为4，作出y ＝g （x ）的图象，当k ＝0时，f （x ）＝﹣x ，不等式f （x ）＜g （x ）成立的整数x 有无数个；当k ＜0时，f （x ）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点，不等式f （x ）＜g （x ）成立的整数x 有无数个；当k ＞0，可得不等式f （x ）＜g （x ）成立的整数x ＝1，当f （x ）的图象经过（1，1），可得k ﹣1＝1，即k ＝2；f （x ）的图象经过（2，0），即4k ﹣2＝0，解得k =12．由题意可得12≤k ＜2．故答案为：[12，2）． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法，属于中档题．15．（1）(3,−1)；（2）π4.【解析】【分析】（1）设c →=（x ，y ），由a →•c →=b →•c →=5，得 {2x +y =5x −2y =5 ，得 c →=（3，﹣1）； （2）由a →=（2，1），c →=（3，﹣1），可得|a →|，|c →|，a →•c →，进一步得cos θ=√22，又 θ∈[0，π]，可得θ=π4．【详解】解：（1）设c ⃑⃗=（x ，y ），因为a ⃑⃗=（2，1），b ⃑⃗=（1，-2），a ⃑⃗•c ⃑⃗=b ⃑⃗•c ⃑⃗=5，所以 {x −2y =52x+y=5 解得 {y =−1x=3所以c ⃑⃗=（3，-1）；（2）因为a ⃑⃗=（2，1），c ⃑⃗=（3，-1），所以|a ⃑⃗|=√5，|c ⃑⃗|=√10，又a ⃑⃗•c ⃑⃗=2×3+1×（-1）=5，所以cosθ=a ⃑⃗⋅c ⃑⃗|a ⃑⃗||c ⃑⃗|=√5×√10=√22， 又 θ∈[0，π]，所以θ=π4．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力．16．（1）−2；（2）13. 【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．【详解】解：（1）因为α是第二象限角，且sinα=2√55， 所以cosα=-√1−sin 2α=-√55，所以tanα=sinαcosα=-2．（2）sin(π+α)+cos(π−α)sin(π2−α)+cos(π2+α) =−sinα−cosαcosα−sinα=−tanα−11−tanα=tanα+1tanα−1=(−2)+1(−2)−1=13．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．(1) f(x)=2sin(2x +π6) (2) [kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z (3) [−2,1] 【解析】【分析】（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；（2）令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，求得x 的范围，可得函数的增区间；（3）由x ∈[−π2,0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f (x )的值域．【详解】（1）由图象知，A =2， T =43×(11π12−π6)=π， 所以ω=2πT =2，从而f(x)=2sin(2x +φ)．又因为f(x)的图象经过点(π6,2)所以2sin(π3+φ)=2，即sin(π3+φ)=1，从而 π3+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，即φ=2kπ+π6． 又因为|φ|<π，所以φ=π6，故f(x)=2sin(2x +π6)．（2）令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，所以函数f(x)的增区间为][kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ． （3）令t =2x +π6．因为x ∈[−π2,0]，所以t ∈[−5π6,π6]，从而，sint ∈[−1,12]，即2sint ∈[−2,1]．所以当x ∈[−π2,0]时，函数f(x)的值域为[−2,1]．【点睛】本题主要考查由函数y =Asin (ωx +φ)的部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题．18．（1）y ={−120x 2+25x +145，0≤x ≤8110x +2，8＜x ≤14 ；（2）精加工4吨时，总利润最大为185万元. 【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．【详解】解：（1）由题意知，当0≤x ≤8时， y =0.6x +0.2（14-x ）-120x 2=-120x 2+25x +145，当8＜x ≤14时，y =0.6x +0.2（14-x ）-3x+810=110x +2， 即y ={−120x 2+25x +145，0≤x ≤8110x +2，8＜x ≤14 （2）当0≤x ≤8时，y =-120x 2+25x +145=-120（x -4）2+185，所以 当x =4时，y max =185． 当8＜x ≤14时，y =110x +2， 所以当x =14时，y max =175．因为 185＞175，所以当x =4时，y max =185． 答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．19．（1）x =13,y =23；（2）34或316.【解析】【分析】（1）把BD →=2DC →两边用AD →，AB →，AC →表示即可得解；（2）利用共线向量建立BP →，AD →之间的数乘关系，进而结合（1）把PA →，PC →用AB →，AC →表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】解：（1）BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗)， ∴AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∴x =13，y =23；（2）∵BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗共线， ∴可设BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，λ∈R ， ∵AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ∴BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λ3AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+2λ3AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=-BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=−(λ3+1)AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−2λ3AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， PC⃑⃑⃑⃑⃑⃗=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， =−(λ3+1)AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−2λ3)AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(λ3+1)2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2+(λ3+1)(4λ3−1)AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−2λ3(1−2λ3)AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2，…① ∵AB =2，AC =5，cos∠CAB =35， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=4，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=25，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗=6，…② 把②代入①并整理得：∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=1289λ2−8λ−2， ∵PA⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PC⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0， ∴1289λ2−8λ−2=0，解得：λ1=34，λ2=−316， ∴|BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗||AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|λ|=34或316． 故|BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗||AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的值为34或316． 【点睛】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中．20．（1）详见解析；（2）a <1；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）通过f （x +1）﹣2f （x ）＝3x +1﹣2×3x ＝3x ＞0，验证即可．（2）通过g （x ）∈M ，得到a ＜log 2（x +1）﹣2log 2x ＝log 2（1x +1x 2）恒成立，通过最值求解即可．（3）h （x ）＝﹣x 2+ax +a ﹣5，x ∈（0，1]．若h （x ）∈M ，则当x ∈[﹣1，1]，h （x +1）＞2h （x ）恒成立，即x 2﹣（a +2）x +4＞0恒成立．记H （x ）＝x 2﹣（a +2）x +4，x ∈[﹣1，1]．通过a ≤﹣4时，﹣4＜a ＜0时，a ≥0时，求出函数的最值求解即可．【详解】解：（1）证明：因为f （x ）=3x ，所以f （x +1）-2f （x ）=3x +1-2×3x =3x＞0，即f （x +1）＞2f （x ），所以f （x ）∈M ．（2）因为g （x ）=a +log 2x ，x ∈（0，1]，且g （x ）∈M ，所以 当x ∈（0，1]时，g （x +1）＞2g （x ）恒成立，即a +log 2（x +1）＞2a +2log 2x 恒成立，所以a ＜log 2（x +1）-2log 2x =log 2（1x +1x 2）恒成立． 因为函数y =log 2（1x +1x 2） 在区间（0，1]上单调递减，所以当x =1时，y min =1． 所以a ＜1．（3）h （x ）=-x 2+ax +a -5，x ∈（0，1]．若h （x ）∈M ，则当x ∈[-1，1]，h （x +1）＞2h （x ）恒成立，即-（x +1）2+a （x +1）+a -5＞-2x 2+2ax +2a -10恒成立即x 2-（a +2）x +4＞0恒成立．记H （x ）=x 2-（a +2）x +4，x ∈[-1，1]．①当 a+22≤-1，即a ≤-4时，H （x ）min =H （-1）=a +7＞0，即a ＞-7．又因为a ≤-4，所以-7＜a ≤-4；②当-1＜a+22＜1，即-4＜a ＜0时，H （x ）min =H （a+22）=(2−a)(6+a)4＞0，恒成立， 所以-4＜a ＜0；③当 a+22≥1，即a ≥0时，H （x ）min =H （1）=3-a ＞0，即a ＜3．又a ≥0，所以0≤a ＜3．综上所得-7＜a ＜3．所以 当-7＜a ＜3时，h （x ）∈M ；当a ≤-7或a ≥3时，h （x ）∉M ．【点睛】本题考查函数的最值的求法，考查转化思想、分类讨论思想以及计算能力．。

南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学参考答案 2019．01一、填空题（10小题，每题5分，共50分）1．{2，4} 2．[2，＋∞) 3．－513 4．－8 5．46．37． 38．(1，2] 9．π3 10．[12，2)二、选择题（4小题，每题5分，共20分）11．B 12．A 13．C 14．D 三、解答题（6小题，共90分） 15．（本小题满分14分） 解：（1）设c ＝(x ，y )．因为a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ·c ＝b ·c ＝5，所以 ⎩⎨⎧2x ＋y ＝5，x －2y ＝5， …………………… 4分解得 ⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，所以c ＝(3，－1)． …………………… 7分（2）因为a ＝(2，1)，c ＝(3，－1)，所以|a |＝5，|c |＝10． …………………… 9分又a ·c ＝2×3＋1×(－1)＝5，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝5 5×10＝22， …………………… 11分又 θ∈[0，π]，所以θ＝π4． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为α是第二象限角，且sin α＝255，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(255)2＝－55， …………………… 4分所以tan α＝sin αcos α＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）sin(π＋α)＋cos(π－α)sin(π2－α)＋cos(π2＋α) ＝－sin α－cos αcos α－sin α …………………… 11分＝－tan α－11－tan α ＝ tan α＋1 tan α－1 ＝(－2)＋1 (－2)－1 ＝13． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）由图象知，A ＝2，T ＝43×(11π12－π6)＝π，所以ω＝2πT ＝2，从而f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………… 2分又因为f (x )的图象经过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，从而 π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6．又因为|φ|＜π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)． …………………… 5分（2）令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，所以函数f (x )的增区间为 [k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z ． …………………… 9分（3）令t ＝2x ＋π6．因为x ∈[－π2，0]，所以t ∈[－5π6，π6]，从而sin t ∈[－1，12]， …………………… 12分即2sin t ∈[－2，1]．所以当x ∈[－π2，0]时，函数f (x )的值域为[－2，1]． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）由题意知，当0≤x ≤8时，y ＝0.6x ＋0.2(14―x )―120x 2＝―120x 2＋25x ＋145， …………………… 3分当8＜x ≤14时，y ＝0.6x ＋0.2(14―x )―3x ＋810＝110x ＋2， …………………… 5分即y ＝⎩⎨⎧―120x 2＋25x ＋145，0≤x ≤8， 110x ＋2， 8＜x ≤14． …………………… 7分（2）当0≤x ≤8时，y ＝―120x 2＋25x ＋145＝―120(x ―4)2＋185， 所以 当x ＝4时，y max ＝185． …………………… 10分 当8＜x ≤14时，y ＝110x ＋2，所以当x ＝14时，y max ＝175． …………………… 12分因为185＞175，所以当x ＝4时，y max ＝185． 答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为 BD →＝2DC →，所以 AD →―AB →＝2(AC →―AD →)， 即AD →＝13AB →＋23AC →．又AD →＝x AB →＋y AC →，且AB →，AC →不共线，所以x ＝13，y ＝23． …………………… 4分（2）（方法一）因为BP →与AD →共线， 所以存在实数λ，使得BP →＝λAD →． …………………… 6分 因为 AD →＝13AB →＋23AC →，所以BP →＝λ3AB →＋2λ3AC →，从而 PA →＝PB →＋BA →＝―λ3AB →―2λ3AC →―AB →＝―(λ3＋1)AB →―2λ3AC →，PC →＝PA →＋AC →＝―(λ3＋1)AB →＋(1―2λ3)AC →， …………………… 8分所以 PA →·PC →＝(λ3＋1)2AB →2＋(λ3＋1)(4λ3―1)AB →·AC →―2λ3(1―2λ3)AC →2．…………………… 10分因为AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，所以AB →2＝4，AC →2＝25，AB →·AC →＝2×5×35＝6，所以PA →·PC →＝(λ3＋1)2×4＋(λ3＋1)(4λ3―1)×6―2λ3(1―2λ3)×25＝1289λ2―8λ―2， …………………… 14分因为PA →⊥PC →， 所以PA →·PC →＝0，即1289λ2―8λ―2＝0，解得λ＝34或λ＝―316．因此|BP →||AD →|＝|λ|＝34 或 316．…………………… 16分（方法二）如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ． 因为AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，所以A (0，0)，B (2，0)，C (3，4)． 又AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →＝13(2，0)＋23(3，4)＝(83，83)．…………………… 8分因为BP →与AD →共线，所以存在实数λ，使得BP →＝λAD →，即BP →＝(8λ3，8λ3)． …………………… 10分所以 AP →＝AB →＋BP →＝(2，0)＋(8λ3，8λ3)＝(8λ＋63，8λ3)，CP →＝AP →―AC →＝(8λ＋63，8λ3)―(3，4)＝(8λ―33，8λ―123)．…………………… 12分因为PA →⊥PC →，即AP →⊥CP →，所以AP →·CP →＝0，所以8λ―33×8λ＋63＋8λ―123×8λ3＝0，即64λ2―36λ―9＝0．………………… 14分解得 λ＝34或λ＝―316，因此|BP →||AD →| ＝|λ|＝34 或 316． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）证明：因为f (x )＝3x ，所以f (x ＋1)―2f (x )＝3x +1―2×3x ＝3x ＞0，即f (x ＋1)＞2f (x )，所以f (x )∈M ．…………………… 2分（2）因为g (x )＝a ＋log 2x ，x ∈(0，1]，且g (x )∈M ，所以 当x ∈(0，1]时，g (x ＋1)＞2g (x )恒成立，即a ＋log 2(x ＋1)＞2a ＋2log 2x 恒成立，所以a ＜log 2(x ＋1)―2log 2x ＝log 2(1x ＋1x 2)恒成立． …………………… 4分因为函数y ＝log 2(1x ＋1x 2) 在区间(0，1]上单调递减，所以当x ＝1时，y min ＝1．所以a ＜1． …………………… 7分（3）h (x )＝－x 2＋ax ＋a －5，x ∈(0，1]．若h (x )∈M ， 则当x ∈[―1，1]，h (x ＋1)＞2h (x )恒成立， 即－(x ＋1)2＋a (x ＋1)＋a －5＞－2x 2＋2ax ＋2a －10恒成立即x 2－(a ＋2)x ＋4＞0恒成立． …………………… 9分 记H (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋4，x ∈[―1，1]．① 当a ＋22≤―1，即a ≤―4时，H (x )min ＝H (―1)＝a ＋7＞0，即a ＞―7． 又因为a ≤―4，所以―7＜a ≤―4； …………………… 11分② 当－1＜a ＋22＜1，即－4＜a ＜0时，H (x )min ＝H (a ＋22)＝(2－a )(6＋a )4＞0，恒成立，所以 －4＜a ＜0； …………………… 12分 ③ 当 a ＋22≥1，即a ≥0时，H (x )min ＝H (1)＝3－a ＞0，即a ＜3． 又a ≥0，所以0≤a ＜3．综上所得 －7＜a ＜3． …………………… 14分所以 当－7＜a ＜3时，h (x )∈M ；当a ≤－7或a ≥3时，h (x )/∈M ． …………………… 16分。