2是奇函数的周期函数的半周期是零点最新衡水中学自用精品资料

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

函数的奇偶性与周期性一、基础知识1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝1⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝－1⇔f(x)为奇函数．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝36－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝log2(1－x2)|x－2|－2；(4)f(x)2＋x，x<0，2－x，x>0.[解](1)由f(x)＝36－x2|x＋3|－3，－x2≥0，＋3|－3≠06≤x≤6，≠0且x≠－6，故函数f(x)的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)－x2≥0，2－1≥0⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)－x2>0，－2|－2≠0⇒－1<x<0或0<x<1，定义域关于原点对称．此时f(x)＝log2(1－x2)|x－2|－2＝log2(1－x2)2－x－2＝－log2(1－x2)x，故有f(－x)＝－log2[1－(－x)2]－x＝log2(1－x2)x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．法一：图象法画出函数f(x)2＋x，x<0，2－x，x>0的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．法二：定义法易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x解析：选B对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y ＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：选D∵f(x)＝e x－e－x 2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例](1)(2019·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f(x)＝a－2e x＋1(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)[解析](1)当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案](1)C(2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x ＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2D．－4解析：选C根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋14，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为14.法二：当x>0时，f(x)＝x2－x－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为1 4 .答案：1 43．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－x ln(a＋x2－x)＝x ln(x＋a＋x2)，从而ln[(a＋x2)2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例](1)(2018·开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2019)＝()A．5 B.12C．2D．－2(2)(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．[解析](1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. (2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22.[答案](1)D(2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则________.解析：∵f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴2≤x≤3时，f(x)＝x，答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则________.解析：由题意可得4－2＝14，＝14.答案：14[课时跟踪检测]A级1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x解析：选B对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选B因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2(x＋1)，x≥0，(x)，x＜0，则f(－7)＝()A．3B．－3C．2D．－2解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2(x＋1)，x≥0，(x)，x＜0，所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝() A．e x－e－x B.12(e x＋e－x)C.1 2(e－x－e x)D.12(e x－e－x)解析：选D因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝12(e x－e－x)．5．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则＝()A．－14B．－12C.1 4D.1 2解析：选C因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以－12＝－14，则＝14.6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809解析：选B定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f________．解析：由已知可得ln1e2＝－2，所以f(－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝ln2.答案：ln28．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋1x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋1 x，设g(x)＝f(x)＋1＝x＋1 x，易判断g(x)＝x＋1x为奇函数，故g(x)＋g(－x)＝x＋1x－x－1x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.法二：由已知得f(a)＝a＋1a－1＝2，即a＋1a＝3，所以f(－a)＝－a－1a－11＝－3－1＝－4.答案：－49．(2019·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋ax，x∈[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝2x，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即－2，－12.答案：－2，－1210．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是____________．解析：当x>0时，lg x>0，所以x>1，当x<0时，由奇函数的对称性得－1<x<0，故填(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．解：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)2x2＋3x＋1，x>0，，x＝0，x2＋3x－1，x<0.(1)证明y＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：由且f (－x )＝－f (x )，知f(3＋x )＝f 32＋f 32－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.B 级1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.2．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(e x＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e－x＋1e x＋1＝ln1e x＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－1 2 .法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln e－1＋1e＋1＝ln1e＝－1，∴a＝－1 2 .答案：－1 23．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知a－2>－1，a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．。

函数周期性公式大总结首先，我们将讨论三角函数的周期性公式。

三角函数是周期函数的重要例子，其中最常见的是正弦函数和余弦函数。

正弦函数的周期为2π，可以表示为sin(x+2πn)，其中n为整数。

同样，余弦函数的周期也为2π，可以表示为cos(x+2πn)。

因此，正弦函数和余弦函数都以2π的周期性在函数图像上循环。

接下来，我们来讨论其他函数的周期性公式。

一些常见的周期函数包括矩形波、方波和三角波函数。

矩形波函数的周期为T，可以表示为rect(x/T)，其中rect为矩形波函数。

方波函数的周期也为T，可以表示为square(x/T)。

而三角波函数的周期为2T，可以表示为sawtooth(x/2T)。

除了这些常见的周期函数外，我们还可以通过对函数进行平移、伸缩和反转等操作来获得不同的周期性函数。

通过平移操作，我们可以将函数沿x轴平移k个单位，从而改变其周期。

例如，对于函数f(x)，如果我们将其平移k个单位，则新的函数可以表示为f(x+k)。

同样地，通过伸缩操作，我们可以改变函数的周期。

对于函数f(x)，如果我们将其沿x轴伸缩比例为a，则新的函数可以表示为f(ax)。

最后，通过反转操作，我们可以改变函数的周期。

对于函数f(x)，如果我们反转它的原点，则新的函数可以表示为f(-x)。

此外，还有一些特殊的周期函数，例如斜坡函数和周期单位脉冲函数。

斜坡函数的周期为T，可以表示为ramp(x/T)。

周期单位脉冲函数是由一系列重复的单位脉冲构成的周期函数，可以表示为p(x/T)，其中p为单位脉冲函数。

最后，我们需要注意的是，在实际应用中，函数的周期性可能不仅仅是简单的周期函数或方法所能描述的。

一些函数可能具有复杂的周期性，例如混沌函数和周期分形函数等。

这些函数的周期特性往往需要使用更高级的方法来进行分析。

总结起来，函数周期性公式是数学中非常重要的概念。

在本文中，我们总结了一些常见的函数周期性公式，包括三角函数的周期性、其他周期函数的周期性以及函数的平移、伸缩和反转等操作。

河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期综合素质评价二数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣，则A B =I （ ） A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}42．下列函数中在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，周期为π且为奇函数的是（ ）A ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin2y x =C ．tan y x =D ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．b a c >>4．已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>）在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．2529,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2331,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2529,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2331,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（ ）A ．78B ．74C ．72D ．76．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f x y f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（ ）. A ．(0,4)B ．(0,)+∞C ．(3,4)D ．(2,3)7．已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（ ） A ．13B ．17C ．16D ． 28．已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（ ） A ．2e y >B ．22e x y +>C ．2e ln x y<D ．22e 1x <-二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（ ） A ．168a =B ．若910S S =，则43d =C ．若2d =-，则n S 的最大值为21SD ．若151618,,a a a 成等比数列，则4d =10．已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（ ）A ．当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是()0,1B ．当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x <C ．若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D ．若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=11．设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()g x 的图象关于直线2x =对称C ．()f x 的一个周期是4D ．()202510k g k ==∑三、填空题12．已知数列 a n 满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+∈N ，设 a n 的前n 项和为n S ，则n S =.13．函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的递增区间是．14．若正实数a ，b 满足()1ln ln a a b a a be--+≥，则1ab的最小值为.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=. (1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B . 16．已知函数()3ln2(1)2xf x x x x=++--. (1)证明：曲线()y f x =是中心对称图形； (2)若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.17．已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值；(2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18．已知函数()2e 31,x af x ax ax a -=+-+∈R ．(1)当1a >时，试判断()f x 在[)1,+∞上零点的个数，并说明理由； (2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．19．若存在常数 (0)k k > ，使得对定义域 D 内的任意 ()1212x x x x ≠， ，都有()()1212f x f x k x x -≤- 成立，则称函数 ()f x 在其定义域 D 上是 " k -利普希兹条件函数".(1)判断函数 f x =1x 是否是区间 [)1+∞，上的" 1 -利普希兹条件函数"？并说明理由； (2)已知函数 ()3f x x = 是区间 []0(0)a a >， 上的"3-利普希兹条件函数"， 求实数 a 的取值范围;(3)若函数 ()f x 为连续函数，其导函数为 ()f x ' ，若 ()(),f x K K '∈- ，其中 01K <<， 且 ()01f =. 定义数列 {}()11:0n n n x x x f x -==，， 证明: ()11n f x K<-.。

第15课 函数的周期性◇考纲解读掌握周期函数的定义及最小正周期的意义.◇知识梳理对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期.1.周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数_____为函数的周期.2.周期函数的性质：① ()()x f T x f =+()f x ⇒的周期为_____；②()()()x f x f a x f ⇒-=+的周期为_____；③如()()()x f x f a x f ⇒=+1的周期为_____； ④()()()x f x f a x f ⇒-=+1的周期为_____； ⑤()()()1()1f x f x a f x f x -+=⇒+的周期为_____； ⑥()()()1()1f x f x a f x f x ++=⇒-的周期为_____； ⑦()()()f x a f x b f x +=+⇒的周期为_____；⑧如果奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；⑨如果偶函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；◇基础训练1.设f (x )是定义在R 上最小正周期为T 的函数，则f (2x ＋3)是（ ）A.最小正周期为T 的函数B.最小正周期为2T 的函数C.最小正周期为2T 的函数 D.不是周期函数 2. 设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2,f f a >=则（ ）A. a >2B. a <-2C. a >1D. a <-13.（2006山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )A.－1B.0C. 1D.24．（2007深圳一模）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数 ◇典型例题例1. （安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________例2. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式◇能力提升1．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都时，)2007(f 的值为（ ）A ．2B ．4C ．－2D ．－42.（2007安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A.0B.1C.3D.5 3 .(2008珠海质检理)定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意,(3)()x R f x f x ∈+=-有，若(1)2f =，(5)f =则 ____.4．(2008中山一模)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则)5.2004(-f =_______.5.（2007广州二模）已知函数)x (f 满足1(x)(1)2,(x 1)1(x)f f f f +=+=-，则(3)f 的值为_________, (1)(2)(3)(2007)f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为_____________. 6.（2007北京海淀） 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在1,12上单调递增，且满足()(1)f x f x ，给出下列结论：①(1)0f ；②函数()f x 的周期是2；③函数()f x 在1,02上单调递增； ④函数(1)f x 是奇函数.其中正确的命题的序号是 .第15课 函数的周期性◇知识梳理1.T ．2.① T ；②a 2；③a 2；④2a ；⑤2a ；⑥a 4；⑦a b -；⑧a 4；⑨2a ； ◇基础训练1. C ，2. D ，3. B ,4. A .◇典型例题例1．解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

函数的奇偶性与周期性提高精讲 奇函数 偶函数 定义如果对于函数fx 的定义域内的任意一个x 都有f －x ＝－fx ,那么函数fx 是奇函数 都有f －x ＝fx ,那么函数fx 是偶函数 特点 图象关于原点对称 图象关于y 轴对称1.函数fx ＝0,x ∈R 既是奇函数又是偶函数2.奇偶函数常用结论：1两个偶函数相加所得的和为偶函数.2两个奇函数相加所得的和为奇函数.3一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.3.周期函数：对于函数y ＝fx ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有fx ＋T ＝fx ,那么就称函数y ＝fx 为周期函数,称T 为这个函数的周期．4.周期函数常见结论：1若fx ＋a ＝fx －a ,则函数的周期为2a .2若fx ＋a ＝－fx ,则函数的周期为2a .3若fx+a =()x f 1a>0,则函数的周期为2a . 4若fx ＋a ＝－()x f 1,则函数的周期为2a . 5.对称函数如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-,则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称.练习：1.设fx 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,fx ＝2x 1－x ,则f ＝________.2.若函数fx ＝为奇函数,则a ＝3.已知fx ＝ax 2＋bx 是定义在a －1,2a 上的偶函数,那么a ＋b 的值是A ．－BD ．－ 难点一奇偶性与不等式1.若函数fx ＝是奇函数,则使fx >3成立的x 的取值范围为A ．－∞,－1B ．－1,0C0,1 D ．1,＋∞难点二求解析式1.若定义在R 上的偶函数fx 和奇函数gx 满足fx ＋gx ＝e x ,则gx ＝A．e x－e－e x＋e－x e－x－e x De x－e－x2.若函数fx＝x ln x＋为偶函数,则a＝________.3.已知fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx＝x2－4x,则不等式fx>x的解集用区间表示为________．4.设偶函数fx满足fx＝x3－8x≥0,则{x|fx－2>0}＝A．{x|x<－2或x>4}B{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}难点三奇偶性与周期性综合1.已知fx是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R都有fx＋4＝fx＋f2,则f2014等于A0B．3C．4 D．62.已知定义在R上的奇函数fx满足fx＋1＝－fx,且在0,1上单调递增,记a＝f,b＝f2,c ＝f3,则a,b,c的大小关系为A a>b＝c B．b>a＝c C．b>c>a D．a>c>b3.设fx是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f2>1,f2014＝,则实数a的取值范围是________．难点四奇偶性、对称性、周期性1.已知函数fx是－∞,＋∞上的奇函数,且fx的图象关于x＝1对称,当x∈0,1时,fx＝2x－1,则f2013＋f2014的值为A．－2B．－1C．0 D12.定义在R上的函数fx满足f－x＝－fx,fx－2＝fx＋2,且x∈－1,0时,fx＝2x＋,则f log220＝A－C．1 D．－终极难度定义证明、赋值法、求参数1.定义在R上的函数fx对任意a,b∈R都有fa＋b＝fa＋fb＋kk为常数．1判断k为何值时fx为奇函数,并证明；2设k＝－1,fx是R上的增函数,且f4＝5,若不等式fmx2－2mx＋3>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围．2.已知函数fx对任意实数x,y恒有fx＋y＝fx＋fy,且当x>0时,fx<0,又f1＝－2.1判断fx的奇偶性；2求证：fx是R上的减函数；3求fx在区间－3,3上的值域；4若x∈R,不等式fax2－2fx<fx＋4恒成立,求a的取值范围．跟踪练习1.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x x x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b1 2.已知函数)(x f y =在R 是奇函数,且当0≥x 时,x x x f 2)(2-=,求：0<x 时,)(x f 的解析式3.定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数,且是奇函数,若0)54()1(2>-+--a f a a f ,求实数a 的范围.。

2025届衡水中学高三下学期第六次检测数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 2．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+4．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π 5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点55P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．1010C ．7210D ．310106．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．239．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,1011．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．812．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。

3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。

三角函数的周期性与奇偶性知识点三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在数学中有着广泛的应用，涉及到周期性与奇偶性的概念。

本文将详细介绍三角函数的周期性与奇偶性知识点，以便读者更好地理解和运用这些函数。

一、正弦函数的周期性与奇偶性正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。

换句话说，当自变量增加2π时，正弦函数的值会再次重复。

具体而言，正弦函数的周期性可以表示为sin(x + 2π) = sin(x)。

这意味着，如果我们将自变量x增加一个周期的长度，正弦函数的值将保持不变。

正弦函数还具有奇偶性。

奇函数的特点是在原点关于y轴对称，即f(-x) = -f(x)。

对于正弦函数来说，sin(-x) = -sin(x)，因此它是一个奇函数。

这也意味着，正弦函数的图像关于坐标原点对称。

二、余弦函数的周期性与奇偶性余弦函数也是一种周期函数，其周期同样为2π。

与正弦函数类似，余弦函数的值在自变量增加一个周期的长度后会再次重复，即cos(x +2π) = cos(x)。

不同的是，余弦函数是一个偶函数，即f(-x) = f(x)。

在余弦函数中，cos(-x) = cos(x)，这意味着余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的周期性与奇偶性正切函数是一个没有周期的函数，它在某些点上是无界的。

因此我们不能像正弦函数和余弦函数一样讨论它的周期性。

然而，正切函数具有奇偶性。

在正切函数中，tan(-x) = -tan(x)，因此它也是一个奇函数。

与正弦函数一样，正切函数的图像关于原点对称。

综上所述，三角函数的周期性与奇偶性是它们在数学中重要的性质。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数是奇函数而余弦函数是偶函数。

正切函数虽然没有周期，但仍然是一个奇函数。

这些性质在解决数学问题和实际应用中起到重要的作用。

通过了解三角函数的周期性与奇偶性，我们可以更好地理解和分析三角函数的性质。

这对于解题和应用三角函数来说是非常有帮助的。