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人教版A版高一数学必修一第三章第一节函数的零点教学设计3.1.1 函数零点一、内容与解析（一）内容：函数零点（二）解析：函数的零点是高中新教材人教A版必修①第三章3.1.1的内容。
在上一章中学了几种基本初等函数，()f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数()f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．因此本节课是本学科的重点内容，有着承前启后的作用。
教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用，在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.本科计划两课时。
二、教学目标及解析目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数零点与方程的关系。
本节课的教学中需要用到几何画板，因为使用几何画板有利于更直观的展示方程的根与函数零点的联系五、教学过程1、自学（大约8分钟）问题1：函数零点是如何得到的？问题2：函数零点内容是什么？问题3：函数零点能解决什么问题？2、互学导学（大约32分钟）问题1：如何定义函数的零点以及函数零点概念是如何形成的？设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便。
师生活动：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。
教学目标：1. 理解函数零点的概念和性质，会求函数的零点。
2. 理解方程解的概念和性质，会求方程的解。
3. 能够灵活地运用函数与方程的知识，解决实际问题。
教学重点：1. 函数的零点的概念和性质。
2. 方程的解的概念和性质。
3. 在具体问题中应用函数与方程解决实际问题。
教学难点：能够在实际问题中熟练运用函数与方程解决问题。
教学方法：讲授、举例分析、示范演示、练习、互动交流教学过程：Step 1：引入新课教师先以图像的形式展示函数和方程的关系，使学生对函数和方程有一个初步的认识。
Step 2：讲解函数的零点1. 通过图像展示函数的零点，引导学生理解零点的概念和性质。
2. 介绍函数零点的分类和判定方法。
3. 给学生一些例题进行练习，引导学生掌握求函数零点的方法。
Step 3：讲解方程的解1. 通过图像展示方程的解，引导学生理解解的概念和性质。
2. 介绍方程解的分类和判定方法。
3. 给学生一些例题进行练习，引导学生掌握求方程解的方法。
Step 4：综合练习通过实例分析，引导学生熟练运用函数与方程解决实际问题。
Step 5：归纳总结教师总结函数与方程的知识点，并让学生归纳总结笔记。
Step 6：课后作业布置适量的作业进行巩固和拓展。
教学资源：课件、教材、练习册教学评价：1. 教学过程中学生是否认真听讲，积极思考。
2. 学生是否掌握函数与方程的基本知识和方法。
3. 学生是否能够熟练运用函数与方程解决实际问题。
4. 分析学生的错误原因，及时给予指导。
第四章 指数函数与对数函数4.5.1 函数的零点与方程的解教学设计一、教学目标1.结合函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系.2.理解零点存在性定理，了解函数图象连续不断的意义及作用.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.二、教学重难点1、教学重点零点存在性定理.2、教学难点函数的零点与方程的解的关系.三、教学过程1、新课导入我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？这节课我们就来学习一下函数的零点与方程的解.2、探索新知知识点1 函数的零点对于一般函数()y f x =，使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.知识点2 方程、函数、图象之间的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点.知识点3 函数零点存在定理如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a b ，内至少有一个零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解.例题点拨例 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数.分析：可以先借助计算工具画出函数ln 26y x x =+-的图象或列出x ，y 的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.解：设函数()ln 26f x x x =+-，利用计算工具，列出函数()y f x =的对应值表如下表，并画出图象如图.xy 1-4 2-1.3069 31.0986 43.3863 55.6094 67.7918 79.9459 812.0794 9 14.1972由表和图可知，(2)0f <，(3)0f >，则(2)(3)0f f <.由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(23)，内至少有一个零点.容易证明，函数()ln 26f x x x =+-，(0)x ∈+∞，是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解.3、课堂练习1.已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为( ) A.12，0 B.-2，0 C.12 D.0答案：D解析：当1x ≤时，令210x -=，得0x =；当1x >时，令21log 0x +=，得12x =（舍去）.综上所述，函数()f x 的零点为0.故选D. 2.已知函数e ,0()ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x a =++.若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[1,0)-B.[0,)+∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞答案：C解析：函数()()g x f x x a =++存在2个零点，即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根，即函数f x （）的图象与直线y x a =--有2个交点，作出直线y x a =--与函数f x （）的图象，如图所示，由图可知，1a -≤，解得1a ≥-，故选C.3.已知函数2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________.答案：(1,0)-解析：关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，等价于函数()y f x =与函数y k =的图象有三个不同的交点，作出两函数的图象，如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(1,0)-.4、小结作业小结：本节课学习了函数的零点与方程的解的关系以及零点存在性定理. 作业：完成本节课课后习题.四、板书设计4.5.1 函数的零点与方程的解1.函数的零点：对于一般函数()y f x =，使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.2.方程、函数、图象之间的关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点.3.函数零点存在定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间()a b ，内至少有一个零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解.。
函数的零点教案设计
一、教学目标
1.能够掌握函数的零点以及计算函数的零点的方法。
2.能够熟练使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。
3.能够运用函数的零点解决实际问题。
二、教学准备
1.准备一些实际的例子来让学生理解函数的零点。
2.准备一些计算机软件来帮助学生进行实际操作演示。
三、教学过程
1. 介绍函数的概念：函数（function）是一种特殊的关系，其中每一个输入都有对应一输出，可以用函数表或图标表示，如函数
y=f(x)=2x+1、y=f(x)=x2+1等。
2.介绍函数零点：当函数y=f(x)在其中一点x=a时，取得值
y=f(a)=0，这个点a就是函数f(x)的零点。
3.给出一个典型例子来让学生明白函数的零点的概念：例如有函数
y=f(x)=x2-2x+1，我们求出这个函数的零点，当x=1时，y=f(1)=0，所以x=1就是这个函数的零点。
4.演示如何计算函数的零点：让学生学会运用函数的定义求函数的零点，如让学生学会把函数y=f(x)转化成一元二次方程组，然后使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。
5.运用函数的零点解决实际问题：让学生学会如何运用函数的零点解决实际问题，比如有一个小学生跳远比赛，他的分数满分为90分，比赛结束后他的得分为75分。
方程的根与函数的零点【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。
必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指数、对、幂三种基本初等函数，本章是函数应用问题。
“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。
第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
这些内容是求方程近似解的基础。
本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。
为后续学习二分法求方程的近似解做了铺垫，起着承上启下的作用。
【教学目标】1理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。
2通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。
3通过本节课的学习，学生体会函数方程思想及数形结合思想的应用。
感受学习、探索、发现的乐趣。
【学情分析】1学生具备的知识与能力1函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图能力。
2从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。
2 学生欠缺的知识与能力思维习惯、动手作图能力入观察、归纳、转化等能力都还不强。
【重点难点】重点：零点的概念；零点存在的判定方法。
难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。
函数的零点与方程的解 教学设计【教材分析】本节微课的内容是普通高中教科书数学必修第一册第四章第五节的第一课时，属于概念课。
本节微课的主要内容有两个：一是通过已经学过的一元二次方程与对应的二次函数的关系引出零点概念；二是进一步让学生理解函数的零点、方程的根、图象与x 轴交点的横坐标三者之间的关系，这些内容是求方程近似解的基础。
【教学目标】1.了解函数零点的概念，掌握零点存在性定理，会判断某些函数的零点个数。
2.通过体验零点概念的形成过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.通过本节课的学习，.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值。
【学情分析】学生具备的知识与能力(1)前面已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。
(2)学生已经了解一些基本初等函数模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。
【重点难点】重点：零点的概念。
难点：化归与转化、数形结合、函数与方程思想的运用。
【教学策略】从特殊二次函数入手，得出方程的根就是对应函数图象与x 轴交点的横坐标，进而引出函数零点的概念。
通过练习，熟练掌握函数的零点。
通过对零点的掌握、知识的巩固，让学生体会化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决问题中的重要作用。
教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图求方程2230x x --=的解并画出函数223y x x =--的图象，观察方程的解和函数的图象有什么关系？方程0322=--x x有两个实根，11-=x ，31=x函数 32)(2--=x x x f 图象与x 轴有2个交点复习一元二次方程的根与对应的二次函数一回顾复习,引入概念)0,1(-，)0,3(方程0322=--xx的解就是函数32)(2--=xxxf的图象与x轴交点的横坐标图象的关系函数223y x x=--的零点是什么？函数223y x x=--的零点是11-=x，31=x用特殊例子求函数零点，体会函数的零点就是对应方程的解，就是函数图象与x轴交点的横坐标.由特殊到一般，得出一般函数的图象与方程的根的关系.方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标，就是对应函数的零点.将结论由特殊推广到一般，引入零点的概念对于函数)(xfy=，我们把使0)(=xf的实数x叫做函数)(xfy=的零点了解函数零点的概念观察归纳形成概念二概念辨析，深化关系引导学生得出方程的根、函数的零点、对应图象与x轴交点的横坐标的关系方程()0f x=的实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点⇔函数)(xfy=有零点观察归纳形成概念三实例分析，强化概念例1.求下列函数的零点.(1)2xy=2(2)logy x=总结求函数零点的方法教师和学生一起完成第一个，学生独立完成第二个。
4.5.1 函数的零点与方程的解教学目标：1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.教学重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法；掌握函数零点存在定理并能应用.教学难点：数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用；函数零点存在定理的理解. 教学过程： （一）新课导入观察下列三组方程与函数：大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x 轴的交点之间的关系.教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230x x --=的根为-1和3，函数223y x x =--的图像与x 轴交于点（-1,0），（3,0）.学生思考回答下面两组关系.学生：2210x x -+=有两个相等的实根为1，函数221y x x =-+的图像与x 轴有唯一的交点（1,0）.22+30x x -=没有实根，函数22+3y x x =-的图像与x 轴无交点.教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容. 探究一：零点的概念教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.学生思考并归纳：零点的概念：对于一般函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点.提问：考察函数（1）lg y x =；（2）2log (1)y x =+；（3）2x y =；（4）22x y =-的零点.学生思考回答：（1）零点是x =1；（2）零点是x =0；（3）没有零点；（4）零点是x =1. 教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图像与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点. 探究二：二次函数零点的判定提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.对于二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式2Δ4b ac =-.师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?学生回答，教师点评.生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.（2）零点即函数图像与x 轴交点的横坐标.探究三：函数零点存在定理提问：探究函数245y x x =+-的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?教师引导学生思考解决.师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.生：零点-5(6,4)∈--，零点1(0,2)∈，且(6)(4)0,(0)(2)0f f f f --<⋅<. 师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢? 观察下列函数的零点及零点所在区间： （1）()2 1.f x x =- （2）2()log (1)f x x =-.生：（1）函数()2 1.f x x =-的零点为12且(0)(1)0f f <，所以零点所在区间为（0,1）； （2）函数2()log (1)f x x =-的零点为2，2(1,3)∈且(1)(3)0f f <，所以零点所在区间为（1,3）.教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的解.师生合作分析，并剖析定理中的关键词： （1）连续不断；（2）f （a ）f （b ）<0.教师讲解：由于函数图象连续不断，若f （a ）>0，f （b ）<0，则函数y = f （x ）的图象将从x 轴上方变化到下方，这样必通过x 轴，即与x 轴有交点.对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点；（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号；（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.例题：函数2()2f x x ax =-+在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a得取值范围.学生求解：（1）()f x 在（0,3）内有两个零点，则(0)0(3)0Δ0032f f a >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩622a ⇒-<<-；（2）()f x 在（0,3）内有一个零点，则(0)0(3)0f f >⎧⎨<⎩113a ⇒>.通过实例分析，进一步理解定理. （三）课堂练习例1.求函数3222y x x x =--+的零点，并画出他们的图像.解：因为3222x x x --+()22(2)(2)(2)1(2)(1)(1)x x x x x x x x =---=--=--+，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x 轴分为4个区间：(,1],[1,1],[1,2],[2,)∞∞---+.在这4个区间内，取x 得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y…-4.381.8821.13-0.632.63…在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?2(1)350x x -++=；(2)2(2)3x x -=-；2(3)44x x =-； 22(4)5235x x x +=+.解：（1）令2()35f x x x =-++，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程2350x x -++=有两个不相等的实数根.（2）2(2)3x x -=-可以化为22430x x -+=，令2()243f x x x =-+，作出函数()f x 的图像，它与x 轴没有交点，所以方程22430x x -+=没有实数根.（3）244x x =-可化为2440x x -+=，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有一个交点，所以方程244x x =-有两个相等的实数根.（4）225235x x x +=+可以化为22250x x +-=，令2()225f x x x =+-做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程22250x x +-=有两个不相等的实数根. （四）小结作业本节课我们主要学习了哪些内容? 1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想.板书设计：1. 零点的概念、求法以及判定.2. 函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.。
函数的零点与方程的解教学设计一、教材分析本节选自人教A版必修一第三章第一节内容，是在上一章刚学了函数的性质的基础之后，再对方程的根与函数的零点进行探究，是函数的应用之一。
本节内容通过结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点和方程的关系，即从“数”的角度和“形”的角度来学习本节内容，能提高学生数形结合的意识，培养学生的数形结合的能力。
同时本节内容为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习算法提供了理论基础，具有承上启下的作用。
三、教学目标：1.通过对三个具体的方程及其对应的函数的探究，理解函数零点的概念；2.通过对函数零点、方程的根、函数与x轴交点的横坐标对比，掌握函数零点的等价关系式，并学会用不同方法求函数的零点；3.通过对函数零点存在条件的探究以及对零点存在的条件的辨析，理解函数零点存在定理；4.通过结合函数与方程共同研究，提升学生数形结合的意识，提升数学的核心素养。
四、教学重点:1.通过对具体一元二次方程及其对应的二次函数的对比学习，理解并掌握函数零点的定义；2.通过对比，得出函数零点的等价关系式，并会用等价关系式用不同方法求函数的零点；3.通过对具体函数的零点存在条件的探究，理解并掌握函数零点存在定理。
五、教学难点:1.函数零点的概念以及函数零点的等价式；六、教学方法：这节课通过对具体的一元二次方程及其对应的二次函数的对比研究，再上升到一般的函数概念上，是“具体”到“抽象”，从“特殊”到“一般”的认知过程，培养学生对比归纳能力。
七、教学过程：（一）情景引入：问题1：观察以下几个一元二次方程及其相应的二次函数方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y 方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y思考：上述一元二次方程的实根为多少？对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标为多少？它们有什么样的关系呢？（二）函数的零点概念：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点. （注：函数的零点是一个实数，而不是一个点.） 完善下列表格，求出各个函数的零点(设计意图：通过练习，辨析函数零点的概念,函数的零点是一个实数，而不是一个点）问题2：函数)(x f y =的零点与方程0)(=x f 的解有什么关系？与函数图象与x 轴的交点又有什么关系？（等价关系）函数)(x f y =有零点⇔方程0)(=x f 有解⇔函数)(x f y =图象与x 轴有交点问题3：求函数的零点有哪些方法？练习：求下列函数的零点.（并说明方法）2)(12--=x x x f ）（)1(log )(22+=x x f ）（ xx f 3)(3=）（x x f 1)(4=）（(设计意图：通过练习，帮助学生巩固函数零点概念，明确求函数零点的多种方法，为之后探究函数零点存在定理做铺垫）（三）函数零点存在性定理：问题4： 观察上述四个函数的图象，得出区间[]b a ,在何种情况下，一定有零点？（1）22--=x x y （2）)1(log 2+=x y（3）x y 3= （4）xy 1=观察在函数22--=x x y 中，区间[]21,2-内有零点，)()2(21-⋅-f f 0，区间[]3,1内有零点，)3()1(f f ⋅0观察在函数)1(log 2+=x y 中，区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21内有零点，)1()21(f f ⋅-0 观察在函数x y 3=中，整个定义域内都无零点，)()(,,b f a f R b a ⋅∈∀0观察在函数xy 1=中，虽然0)1()1(＜f f ⋅-，但函数整个定义域内都无零点. (设计意图：通过实例，与学生共同探究函数零点存在性定理，是由“特殊”到“一般”的学习过程）函数零点存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(＜b f a f •，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(c b a ∈，使得0)(=x f ，这个c 也就是方程的解.问题5： 已知函数)(x f y =在区间[]b a ,上图象连续不断，且在区间),(b a 内存在零点，则)(x f 必满足0)()(＜b f a f ⋅（四）课堂练习（五）小结：三个关系：函数有零点、方程有根、函数图像与x 轴有交点两种思想：函数方程思想；数形结合思想三种应用：求函数零点、求函数零点个数、求函数零点所在的区间（六）课后练习1.拓展作业：已知2(x)23f x x a =---,求a 取何值时函数能分别满足下列条件：①有2个零点;②3个零点;③4个零点.(设计意图：围绕课堂的重点，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间)。
【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根。
函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。
(2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ,验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。
第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <,则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =(此时零点01(,)x x b ∈)第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: （1）a 的符号；（2)对称轴2bx a=-的位置;（3）判别式的符号；(4）根分布的区间端点的函数值的符号. 四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取;精确到0。
1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入。
五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2)图像法;(3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程,再求解。
【例1】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围。
【点评】(1）本题如果用其它方法比较复杂,用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法。
【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4B ．5C ．6D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤 先求函数的单调性，再画图分析. 学科＠网【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（2） ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时,()f x 取得最小值,1(ln )1ln f a a a-=-+。
（i)当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点。
(ii)当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点。
（iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<。
422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点。
00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】(1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围,用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析。
(2） 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值,它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->,这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+。
(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理,还要在该区间找一个函数值为正的值,它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n 〉0。
(4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性。
【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点,求b 的取值范围。
（Ⅲ）由（Ⅱ)知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-,极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3）问，由于函数()f x 中没有参数,所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+,其中a 为实数,常数 2.718e =。
（1） 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2） 当4a =-时,求函数()f x 的单调区间；（3） 当a 取正实数时,若存在实数m ,使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =，再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有（） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解,直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =，再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用。
【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时,讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】(1)95a =；(2）()f x 的单调增区间是51(1)2,15(,1)2； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；(3)a 的取值范围是(1,)+∞.【反馈检测2详细解析】(1）222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =。
(2） 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±。
所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12;()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)+∞；【反馈检测3答案】(1）单调递增区间是(),m +∞,单调递减区间是()0,m ；（2）1．学科＠网【反馈检测3详细解析】(1）函数()f x 的定义域为()()()()0,,'x m x m f x x+-+∞=．当0x m <<时，()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增,综上,函数()f x 的单调递增区间是(),m +∞， 单调递减区间是()0,m ．（2)令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-，当1m =时,()'0F x ≤，函数()F x 为减函数,F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
