江苏省通州高级中学高一期中考试数学试卷

2019-2020学年江苏省南通市通州区高一（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|−2≤x ≤2}，那么A ∩B =( )A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，2，3}D. {x|−2≤x ≤2} 2. 函数f(x)=√2−x +lg(x +1)的定义域为( ) A. [−1,2] B. [−1,2) C. (−1,2]D. (−1,2) 3. 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(2,4)，则f(−12)=( )A. 12B. 14C. −14D. 2 4. 下列函数与函数y =x 的图像相同的是( ) A. y =√x 2B. y =a log a x (a >0，且a ≠1)C. y =x 2xD. y =log a a x (a >0，且a ≠1)5. 函数f(x)=ln|1−x|的图象大致形状是( )A. B.C. D.6. 函数y =2−ax 2(a >0)在区间[0,3]上的最大值为( ) A. 2 B. 2(1−a )C. 2−aD. 2−a 2 7. 已知函数f (x )=(12)|x |，设a =f (20.3),b =f (0.32),c =f (1)，则a,b,c 的大小关系是( ) A. b >c >a B. b >a >c C. c >a >b D. a >b >c8. 已知函数f(x)={a ⋅2x ,x ≥02−x ,x <0(a ∈R)，若f(f(−1))=1，则a =( ) A. 14 B. 12 C. 1D. 2 9. 若函数f(x)=log a (2x 2+x)，(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. B. C. (0,+∞) D.10. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1，则f(−1)=( )A. 1B. −1C. 2D. −2 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 计算：(12)log 213+(−27)23−log √39=______． 12. 已知f(x −1x )=x 2+1x 2，则函数f(3)=______．13. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．14. 已知正数x ，y 满足xy +x +2y =6，则xy 的最大值为______ ．15. 一个矩形的周长是40，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为________．16. 已知函数f(x)={x , x ≥a , x 3−3x , x <a .若函数g(x)=2f(x)−ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是____三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|−2≤x ≤3}．(1)当a =1时，求A ∪B ；(2)若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=23x +1+a(a ∈R)为奇函数(1)求a 的值；(2)当0≤x ≤1时，关于x 的方程f(x)+1=t 有解，求实数t 的取值范围．19. 已知函数f(x +1)=x −1+√2x −3.(1)求f(x)；(2)求f(x)的值域．20.已知函数f(x)=9x−4⋅3x+5，x∈[0,2]，求函数f(x)的最大值与最小值．21.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f(x)时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)−a|+2a+1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．(1)若a=1，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；2(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22.已知函数f(x)=2ax−2，g(x)=a(x−2a)(x+a−2)，a∈R且a≠0．(1)若{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，求实数a的值;(2)若{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：B．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√2−x+lg(x+1)，∴{2−x≥0x+1>0，解得−1<x≤2，∴函数f(x)的定义域为(−1,2]．故选：C．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．3.答案：B解析：【分析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．根据幂函数的图象过点(2,4)求出函数解析式，再计算f(−12)的值．【解答】解：幂函数f(x)=x a的图象经过点(2,4)，则2a=4，解得a=2；∴f(x)=x2，∴f(−12)=(−12)2=14．4.答案：D解析：选项A 中，函数y =|x |，选项B 中，x >0，选项C 中，x ≠0，选项D 中，y =log a a x =x ，且x 可以取任意实数．5.答案：B解析：解：函数f(x)=ln|1−x|={ln(x −1),x >1ln(1−x),x <1，排除选项A ，D ， 当x >1时，函数是增函数，排除C ．故选：B ．化简函数的解析式，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的图象的判断与应用，是基础题．6.答案：A解析：因为函数y =2−ax 2(a >0)，对称轴为x =0，开口向下.所以由函数的图像知：y =2−ax 2(a >0)在区间[0,3]上的最大值为f (0)=2.故A 正确．7.答案：A解析：解：c =f (1)=12a =f (20.3)<12b =f (0.32)>12故选A ． 8.答案：A解析：【分析】本题主要考查分段函数的求值，属于简单题．根据条件代入计算即可．【解答】解：因为f(−1)=2，f(2)=4a ，所以4a =1，解得a =14．故选A ． 9.答案：D解析：本题考查复合函数的单调性，对数函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．根据题意得0<a<1，由2x2+x>0，得x<−1或x>0，然后运用复合函数的单调性规律解题即2可．【解答】)时，2x2+x∈(0,1)，解：由题知，当x∈(0,12)内恒成立，可得0<a<1，由f(x)>0在区间(0,12或x>0，由2x2+x>0，得x<−12令t=2x2+x，则y=log a t，当0<a<1时，y=log a t在(0,+∞)上是减函数，因为t=2x2+x在上单调递减，所以f(x)的单调增区间是．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查奇函数的定义，函数求值的方法，属于基础题．由函数在x>0时的解析式结合函数是奇函数求得函数在x<0的解析式，然后可得．【解答】解：当x>0时，f(x)=x2+1，设x<0,则−x>0，∴f(−x)=(−x)2+1=x2+1，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴−f(x)=x2+1，f(x)=−x2−1，∴f(−1)=−(−1)2−1=−2，故选D．11.答案：8解析：【分析】本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．进行对数和分数指数幂的运算即可．【解答】解：原式=2−log213+9−log√3(√3)4=3+9−4=8．故答案为8．12.答案：11解析：【分析】本题考查了函数求解析式和函数求值的问题，运用了配凑法求解析式．属于基础题．利用配凑法求解：把x2+1x2化为关于x−1x的表达式，然后整体代换就可得到f(x)的解析式，进而求出f(3)的值．【解答】解：因为f(x−1x )=x2+1x2=(x−1x)2+2，所以f(x)=x2+2，所以f(3)=32+2=11故答案为11．13.答案：−(x−14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x+7)是定义在R上的奇函数，∴f(x+7)=−f(−x+7)，∴f(x)=−f(−x+14)，∴当x>7时，−x+14<7，故f(x)=−f(−x+14)=−(−x+14)2=−(x−14)2，故答案为−(x−14)2．14.答案：2解析：解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，∴x=6−2yy+1>0，解得0<y<3．∴xy=y(6−2y)y+1=−2(y+1+4y+1)+10≤−2×2√(y+1)⋅4y+1+10=2，当且仅当y=1(x=2)时取等号．∴xy的最大值为2．故答案为：2．正数x ，y 满足xy +x +2y =6，可得x =6−2y y+1>0，解得0<y <3.可得xy =y(6−2y)y+1，化简整理利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于基础题．15.答案：y =20−x(0<x ≤10)解析：【分析】本题考查考查的实际应用和求函数解析式，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由题意可知2y +2x =40，即y =20−x ，结合0<x ≤10可知y =20−x(0<x ≤10)．【解答】解：由题意可知2y +2x =40，即y =20−x ，又20−x ≥x ，所以0<x ≤10．故解析式为y =20−x(0<x ≤10)，故答案为y =20−x(0<x ≤10)．16.答案：(−32,2)解析：【分析】本题考查了函数零点的个数判断，分类讨论思想，属于中档题．求出g(x)的解析式，计算g(x)的零点，讨论g(x)在区间[a,+∞)上的零点个数，得出g(x)在(−∞,a)上的零点个数，列出不等式解出a 的范围．【解答】解：g(x)={(2−a)x,x ≥a 2x 3−(6+a)x,x <a， 显然，当a =2时，g(x)有无穷多个零点，不符合题意；当x ≥a 时，令g(x)=0得x =0，当x <a 时，令g(x)=0得x =0或x 2=6+a 2，(1)若a >0且a ≠2，则g(x)在[a,+∞)上无零点，在(−∞,a)上存在零点x =0和x =−√6+a 2， ∴√6+a 2≥a ，解得0<a <2，(2)若a =0，则g(x)在[0,+∞)上存在零点x =0，在(−∞,0)上存在零点x =−√62， 符合题意；(3)若a <0，则g(x)在[a,+∞)上存在零点x =0，∴g(x)在(−∞,a)上只有1个零点，∵0∉(−∞,a)，∴g(x)在(−∞,a)上的零点为x =−√6+a 2， ∴−√6+a 2<a ，解得−32<a <0．综上，a 的取值范围是(−32,2)．故答案为(−32,2)． 17.答案：解：(1)当a =1时，集合A ={x|2≤x ≤4}，B ={x|−2≤x ≤3}．∴A ∪B ={x|−2≤x ≤4}．(2)∵集合A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|−2≤x ≤3}.A ∪B =B ，∴A ⊆B ，当A =⌀时，2a >a +3，解得a >3，当A ≠⌀时，{2a ≤a +32a ≥−2a +3≤3，解得−1≤a ≤0，综上，实数a 的取值范围是[−1,0]∪(3，+∞)．解析：(1)当a =1时，集合A ={x|2≤x ≤4}，B ={x|−2≤x ≤3}.由此能求出A ∪B ．(2)由集合A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|−2≤x ≤3}.A ∪B =B ，得A ⊆B ，当A =⌀时，2a >a +3，当A ≠⌀时，{2a ≤a +32a ≥−2a +3≤3，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.答案：解：(1)∵函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，∴若f(x)=23x +1+a(a ∈R)为奇函数，则f(0)=0，即f(0)=21+1+a =1+a =0，解得a =−1；(2)∵a =−1，∴f(x)=23x +1−1，若当0≤x ≤1时，关于x 的方程f(x)+1=t 有解，即23x +1−1+1=23x +1=t ，即t =23x +1，当0≤x ≤1时，1≤3x ≤3，则2≤1+3x ≤4，14≤13x +1≤12， 即12≤23x +1≤1即实数t 的取值范围是12≤t ≤1．解析：(1)根据函数f(x)是奇函数，得到f(0)=0，即可求a 的值；(2)当0≤x ≤1时，化简方程f(x)+1=t ，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用以及方程解的应用，利用f(0)=0是解决本题的关键．19.答案：解：(1)f(x +1)=x +1+√2(x +1)−5−2，令t =x +1，则t ≥52，f(t)=t −2+√2t −5(t ≥52)∴f(x)=x −2+√2x −5(x ≥52)；(2)∵y =x −2与y =2x −5在定义域[52,+∞)上分别单调递增，∴f(x)=x −2+√2x −5(x ≥52)在[52,+∞)上单调递增．∴f(x)的值域为[12,+∞)．解析：本题考查函数解析式和值域的求法，基础题；(1)利用配方法和换元思想，即可求出解析式；(2)利用 函数单调性即可求出值域20.答案：解：令3x =t ，则t ∈[1,9]，所以f(x)=9x −4⋅3x +5可化为g(t)=t 2−4t +5=(t −2)2+1．故当t =2时，f(x)有最小值g(2)=1；当t =9时，f(x)有最大值g(9)=50．解析：令3x =t ，则t ∈[1,9]，所以f(x)=9x −4⋅3x +5可化为g(t)=t 2−4t +5=(t −2)2+1.利用配方法求最值．本题考查了换元法及配方法在求最值时的应用，属于中档题．21.答案：解：(1)a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0,24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x =4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．(2)令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24], 当x ∈(0,25a −1]时，f(x)=3a +1−log 25(x +1)单调递减，∴f(x)<f(0)=3a +1． 当x ∈[25a −1,24)时，f(x)=a +1+log 25(x +1)单调递增，∴f(x)≤f(24)=a +1+1．联立{3a +1≤3a +2≤30<a <1，解得0<a ≤23．可得a ∈(0,23]．因此调节参数a 应控制在范围(0,23]．解析：(1)a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0,24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x 即可得出．(2)令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]，再利用函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性及其应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 22.答案：解：(1)由f(x)=2ax −2=0，得x =1a ．由g(x)=a(x −2a)(x +a −2)=0，得x =2a 或x =2−a ．∵{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，∴1a =1或1a =2，即a =1或a =12，经检验a =1符合题意，∴a =1．(2){x|f(x)<0或g(x)<0}=R ，当a >0时，若x →+∞，则总有f(x)>0，g(x)>0，不符合题意;当a <0时，若f(x)<0，则x ∈(1a ,+∞)，若g(x)<0，则x ∈(−∞,2a)∪(2−a,+∞)，则1a <2a ，∴−√2<a<0．2<a<0．综上，−√22解析：本题考查函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)通过方程的根，结合已知条件求解即可；(2)由于{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，验证当a>0时，不符合题意，当a<0时，讨论若f(x)<0，若g(x)<0，推出结果即可．。

江苏省南通市通州区2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）注意事项1．本试卷包含选择题（共10题）、填空题（共6题）、解答题（共6题），满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人相符. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．1.已知集合{}| 1A x x =>，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A. {}0B. {}2C. {}1,2D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】直接在集合B 中找到大于1的元素即可. 【详解】{}0,1,2B =,只有2满足大于1,故A B ={}2.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算.2.函数()f x 的定义域为（ ）A. (],1-∞B. (),1-∞C. ()(],44,1-∞--D.()(),44,1-∞--【答案】C 【解析】【分析】由()f x =,易得1040x x -≥⎧⎨+≠⎩ ,求解即可.【详解】由题, 101,440x x x x -≥⎧⇒≤≠-⎨+≠⎩,故定义域为()(],44,1-∞--, 故选：C.【点睛】常见定义域：(1)根号下大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.3.已知幂函数()f x 的图象经过点()12,4，则1()4f 的值为（ ）A.116B.12C. 2D. 16【答案】D 【解析】 【分析】由题可设幂函数表达式,再代入点()12,4求解参数即可算出表达式,再计算1()4f 即可.【详解】设()af x x ,因为函数过()12,4,故2122224aa a -=⇒=⇒=-,所以2()f x x -=,故2211()41644f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】已知幂函数可设()a f x x ,仅含一个参数,故代入一个点即可求得参数a .4.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A. 12y x = B. 3xy =C. 2log y x =D. 1xy x =-【答案】A 【解析】 【分析】直接对每个选项进行值域分析即可. 【详解】对A ：12y x ==函数单调递增,值域为[)0,+∞；对B ：指数函数3xy =单调递增,值域为()0,+∞；对C ：对数函数2log y x =值域为R ； 对D ：1111111xx y x x x -+===+---,值域为()(),11,-∞+∞；故选：A.【点睛】指数函数定义域为R ,值域为()0,+∞,对数函数定义域为()0,+∞,值域为R .幂函数需要根据指数的值来判定值域.5.已知函数()log ()a f x x b =+的图象如图，则ab =（ ）A. －6B. －8C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由图得, ()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,代入求解算出,a b 即可.【详解】()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,故()22log 0log 331a a ba b b b =⎧⎧=⇒⎨⎨=--=⎩⎩ ,因为0a >且1a ≠,所以24a b =⎧⎨=⎩,故8ab =. 故选：D.【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可.6.二次函数2()2f x x tx =-+在[)1,+∞上最大值为3，则实数t ＝（ ） A. 33C. 2D. 23【答案】B 【解析】【分析】先求二次函数对称轴,分析对称轴与区间的位置关系来判定在哪点处取得最大值. 【详解】对称轴x t =,判断对称轴与区间的位置关系,当1t ≤时,2()2f x x tx =-+在区间[)1,+∞上单调递减, max ()(1)21f x f t ==-, 此时213,2t t -==,不满足1t ≤；当1t >时,222max ()()2f x f t t t t ==-+=,此时23t t =⇒=又1t >所以t =. 故选：B.【点睛】求二次函数最值问题,需要分析开口方向与对称轴和区间的位置关系,从而得到最大最小值处的取值,同时分类讨论需要注意大前提与得出的结论需要取交集.7.已知函数()2x f x =，若()()()0.222,,lo 52g a f b f c f ===，则（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜b ＜aC. b ＜a ＜cD. a ＜c ＜b【答案】A 【解析】 【分析】由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可. 【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.21222<=,222log 4log 5=<,故0.2222log 5<<,所以()()()0.2222lo 5g f f f <<,故a b c <<.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当()f x 为增函数时,自变量越大则函数值越大.8.已知函数321,3,()21,3,3x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩满足()3f a =，则a 的值是（ ）A. 4B. 8C. 10D. 4或10【答案】C 【解析】 【分析】分情况3x ≤和3x >解出a 的值,并注意判断是否满足分段的标准即可. 【详解】当3a ≤时,令32134a a -+=⇒=,不满足3a ≤；当3a >时,令2132139103a a a a a +=⇒+=-⇒=-,满足3a >.所以10a =. 故选：C.【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.9.函数212()log (43)f x x x =-+的单调递增区间是 A. (,1)-∞ B. (,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (3,)+∞【答案】A 【解析】 试题分析：由得函数的定义域为(3,)(,1)+∞⋃-∞,再根据复合函数的单调性可知内函数的减区间即为原函数的增区间，所以f(x)的单调递增区间为(,1)-∞. 考点：复合函数的定义域，单调区间。

江苏省通州高级中学2020至2021学年“一市一所”教育联盟高一上学期12月第一次联测数 学 2020.12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝（ ）A.{0，1}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{0，2} 2．已知{260()=10x x f x x x -++<，，，，≥则[](7)f f 的值为 （ ) A ．20- B ．2 C ．7 D ．5 3．已知幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，，则(4)f 的值等于 （ ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．144．“a ＜1”是“函数f (x )=x a -在区间[1，+∞)上为增函数”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A B C D6．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为 （ ）A ．3B ．2C ．323+D ．57．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足1(lg )+lg 2(1)f a f f a ⎛⎫⎪⎝⎭≤，则a 的取值范围是 （ ）A ．11010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[)101010⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，D ．[)10e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，8．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为1S，扇形OAB的面积为2S，当1S与2S 51-时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为( ) A．514B51-C．35D52二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．）9．角α的终边上有一点()5P m，，且sin13mα=，则αtan＝（）A．125B．125-C．512D．010．已知函数2291()=41x ax xf xx a xx⎧-+⎪⎨++>⎪⎩，≤，，，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 411．下列命题正确的是（）A．132212313log222⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．191sin62π=-C．函数2sin1y x=-|2266x k x k kπ5π⎧⎫+π+π∈⎨⎬⎩⎭Z≤≤，D．42lg225lg5.02161.1230=++-+-12．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是 （ ）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b ++≤ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 13．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．14．函数12y x=-的定义域为 ▲ ． 15．如图（1）是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A 、B 、C 、D （视为点），并四等分圆弧（如图2）．小明从A 点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为θ弧度（0θ<<π），3分钟第一次到达劣弧CD 之间（不包括C 、D 点），15分钟时回到出发点A ，则θ的值为 ▲ ．16．已知0m >，函数2()log f x x m =-的零点分别为12x x ，（12x x <），函数24()log 1g x x m =-+的零点分别为34x x ，（34x x <），则2413x x x x --的最小值为 ▲ ．图1AB CD 图2四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 在“①A=∅R ，② A 恰有两个子集，③1A22⎛⎫≠∅ ⎪⎝⎭，”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．已知集合{}2210A x mx x =∈-+=R ，（1）若1A ∈，求实数m 的值；（2）若集合A 满足__________，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）命题p ：函数()2lg 2y x ax a =-+的定义域为R ，命题q ：函数()21xy a =-在R 上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 有且仅有一个真命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）（1）已知()tan 2απ+=，求()()2sin sin 2cos 3cos 2αααα5π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭3π⎛⎫3π++- ⎪⎝⎭的值； （2）已知0α<<π，且1sin cos 3αα+=-，求sin cos αα-的值．20．（本小题满分12分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123d d d d ，，，，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(]033.3v ∈，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]12k ∈，）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间0t10.8t =秒 20.2t =秒 3t距离010d =米1d 2d2320v d k=米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；（2）当k =2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？21．（本小题满分12分）设函数e ()e x x af x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）．（1）若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值； （2）若1a =-．① 判断并证明函数f (x )的单调性；② 若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）若函数()f x 与()g x 对任意1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使12()()f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；当()()f x g x =时，则称()f x 为区间D 上的“m 阶自伴函数”． （1）判断()22()log 1f x x =+是否为区间17⎡⎣，上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数1()4x f x -=为区间[]a b ，（0b a >>）上的“1阶自伴函数”，求22a bab+的最小值；（3）若4()=+2f x x 是22()=21g x x ax a -+-在区间[]02，上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．江苏省通州高级中学2020至2021学年“一市一所”教育联盟高一上学期12月第一次联测数 学 2020.12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝（ A ）A.{0，1}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{0，2} 2．已知{260()=10x x f x x x -++<，，，，≥则[](7)f f 的值为 （ B ) A ．20- B ．2 C ．7 D ．5 3．已知幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，，则(4)f 的值等于 （D ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．144．“a ＜1”是“函数f (x )=x a -在区间[1，+∞)上为增函数”的 （A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（B ）A B C D6．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为 （ C ）A ．3B ．2C ．323+D ．57．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足1(lg )+lg 2(1)f a f f a ⎛⎫⎪⎝⎭≤，则a 的取值范围是 （ A ）A ．11010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[)101010⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，D ．[)10e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，8．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为1S，扇形OAB的面积为2S，当1S与2S 51-时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为( B ) A．514B51-C．35D52二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．）9．角α的终边上有一点()5P m，，且sin13mα=，则αtan＝（ABD ）A．125B．125-C．512D．010．已知函数2291()=41x ax xf xx a xx⎧-+⎪⎨++>⎪⎩，≤，，，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的值可以是（BCD ）A. 1B. 2C. 3D. 411．下列命题正确的是（ABC）A．132212313log222⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．191sin62π=-C．函数2sin1y x=-|2266x k x k kπ5π⎧⎫+π+π∈⎨⎬⎩⎭Z≤≤，D．42lg225lg5.02161.1230=++-+-12．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x∈R，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]()f x x=称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f=，( 3.3)4f-=-.则下列正确的是（BCD）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b ++≤ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 13．设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．{}135，， 14．函数12y x =-的定义域为 ▲ ．102⎛⎤⎥⎝⎦， 15．如图（1）是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A 、B 、C 、D （视为点），并四等分圆弧（如图2）．小明从A 点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为θ弧度（0θ<<π），3分钟第一次到达劣弧CD 之间（不包括C 、D 点），15分钟时回到出发点A ，则θ的值为 ▲ ．25π16．已知0m >，函数2()log f x x m =-的零点分别为12x x ，（12x x <），函数24()log 1g x x m =-+的零点分别为34x x ，（34x x <），则2413x x x x --的最小值为 ▲ ．8四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 在“①A=∅R ，② A 恰有两个子集，③1A22⎛⎫≠∅ ⎪⎝⎭，”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．已知集合{}2210A x mx x =∈-+=R ，（1）若1A ∈，求实数m 的值；（2）若集合A 满足__________，求实数m 的取值范围．图1ABC图2【答案】（1）1（2）选① 1m >选② 1m =或0m = 选③ 01m <≤18．（本小题满分12分）命题p ：函数()2lg 2y x ax a =-+的定义域为R ，命题q ：函数()21xy a =-在R 上单调递减．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 有且仅有一个真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） ()01，（2）102⎛⎤⎥⎝⎦， 19．（本小题满分12分） （1）已知()tan 2απ+=，求()()2sin sin 2cos 3cos 2αααα5π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭3π⎛⎫3π++- ⎪⎝⎭的值； （2）已知0α<<π，且1sin cos 3αα+=-，求sin cos αα-的值．【答案】（1） 57-（2）1720．（本小题满分12分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123d d d d ，，，，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(]033.3v ∈，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]12k ∈，）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间0t 10.8t =秒 20.2t =秒 3t（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；（2）当k =2时，求在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间；（3）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？【解】（1）由题意得()0123d v d d d d =+++，所以()22100.80.2102020v v d v v v v k k=+++=++． 当2k =时，()21040v d v v =++，()101111240v t v v =++≥+=+=（秒）． 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒．（2）根据题意要求对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立，即对于任意[]1,2k ∈，2105020v v k++<，即2140120k v v <-恒成立， 由[]1,2k ∈，得111,204020k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以2140120k v v<-，即2208000v v +-<，解得4020v -<<． 所以020v <<，21．（本小题满分12分）设函数e ()e x x a f x a+=-（e 为常数，e ＝2.718 28…，a ∈R ）． （1）若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；（2）若1a =-．① 判断并证明函数f (x )的单调性；② 若存在[]22x ∈-，，使得f (x 2＋2mx )+f (2－m )=0成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1） 1± （2） ①增函数 ①1m ≥或2m -≤22．（本小题满分12分）若函数()f x 与()g x 对任意1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使12()()f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；当()()f x g x =时，则称()f x 为区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22()log 1f x x =+是否为区间1⎡⎣上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数1()4x f x -=为区间[]a b ，（0b a >>）上的“1阶自伴函数”，求22a b ab +的最小值； （3）若4()=+2f x x 是22()=21g x x ax a -+-在区间[]02，上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） 不是 （2） ①52 ①1m ≥或2m -≤。

2006～2007学年度江苏省通州高级中学高一第一学期第一次阶段性考试数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}2,,2,xM y y x x R N y y x R ==∈==∈，则MN 中元素的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个2．下列四组函数中，表示同一函数的是 （ ） A．(),()f x x g t == B．2()()f x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==-+ D．()()f x g x =3．函数1221-+-=x x y （ ）A ．是奇函数，不是偶函数B ．是偶函数，不是奇函数C ．是非奇非偶函数D ．既是偶函数，又是奇函数4．给出下列四个对应，其中构成映射的是： （ ）A ．(1)、（2）B ．（1）、（4）C ．（1）、（3）、（4）D ．（3）、（4） 5．44等于 （ ）A ．16aB ．8aC ．4aD ．2a6．已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为 （ ） A ．19 B ．13 C ．19- D ．13-7．设()f x 为奇函数，且在(,0)-∞内是减函数，若(2)0f -=，则()0xf x <的解集为（ ） A ．(1,0)(2,)-+∞ B ．(,2)(0,2)-∞- C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,0)(0,2)-8．设指数函数()(1)xf x a =-是R 上的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞2 B ．a ＜2 C ．0＜a ＜1 D ．1＜a ＜29．设指数函数()(01)xf x a a a =>≠且，则下列等式不正确．．．的是 （ ） A ．()()()f x y f x f y +=⋅ B ．[()]()()nnnf xy f x f y =⋅ C ．()()()f x f x y f y -=D ．()()nf nx f x = 10．定义在R 上的函数(1)y f x =+的图象如右图所示， 它在定义域内是减函数，给出如下命题：①(0)1f =； ②(1)1f -=；③若0x >，则()0f x <；④若0x <， 则()0f x >. 其中正确的是 ( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题卷的横线上） 11．设{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,{3,4,5},{4,7,8}A B ==，则()()U U C A C B = ▲ .12．函数()f x =的定义域是 ▲ .13．函数4(4)()(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则[(1)]f f -= ▲ .14．函数()f x =的单调增区间为 ▲ .15．已知函数)(x f y =在)0,2(-上是减函数，且)2(-=x f y 是偶函数，则4()3f -，7()3f -，10()3f -的大小关系为 ▲ . 16．已知函数2()1ax f x x -=+在区间(1,)-+∞上为减函数，则a 的取值范围为 ▲ .2006～2007学年度江苏省通州高级中学高一第一学期第一次阶段性考试数学试卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题卷的横线上） 11、 12、 13、 14、 15、 16、三、解答题：（本大题共5个小题，共70分. 解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤.） 17．（本题满分12分）集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=．若A B A B =，求a 的值．18．（本题满分12分）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(2)f x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在下面的坐标系中画出函数()f x 的图象（不需列表）； （Ⅲ）写出函数()f x 的单调区间（不需证明．．．．）．19．（本题满分14分）设函数21()12x xa y a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）判断()f x 在R 上的单调性，并加以证明．20．（本题满分14分）（其中第（1）、（2）问各2分，第（3）问6分，第（4）问4分）探究函数4(),(0,)f x x x=+∈+∞的最小值，并确定相应的x 的值，列表如下：(1)若函数4(),(0)f x x x x=+>在区间(0,2)上递减，则在 上递增；(2)当x = 时，4(),(0)f x x x x =+>的最小值为 ；(3)试用定义证明4(),(0)f x x x x=+>在区间(0,2)上递减；(4)函数4(),(0)f x x x x=+<有最值吗？是最大值还是最小值？此时x 为何值？（解题说明．．．．）：第（1）（2）两题的结果直接填在横线上．．．．．．．；第（4）题直接回答．．．．，不需证明．．．．.21．（本题满分18分）已知定义在实数集R 上的函数()y f x =满足条件：对于任意的,x y R ∈，()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.（1）求证：(0)0f =；（2）求证：()f x 是奇函数，并试举出两个这样的函数；（3）试判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明之；（4）判断方程|()|0f x a -=所有可能的解的个数，并求出对应的a 的取值范围； （5）若函数()f x 在)3,3[-上总有()6f x ≤成立，试确定(1)f 应满足的条件.答案：1、D 2、A 3、C 4、B 5、C 6、D 7、C 8、D 9、B 10、B11、{1,2,3,5,6,7,8} 12、[4,5)(5,)+∞ 13、0 14、31[,]24- 15、)37()310()34(-<-<-f f f16、2a <-17．由已知，得B ＝｛2，3｝．∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B ．于是2，3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由韦达定理知：⎩⎨⎧-=⨯=+1932322a a解之，得 a ＝5． 18、（Ⅰ）设0x <，则0x ->，由题意得 ()(2)f x x x -=-+， ∵()f x 是奇函数， ∴()()(2)f x f x x x =--=+即当0x <时()(2)f x x x =+，∴(2),0,()(2),0.x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩（Ⅱ）()f x 的图象如图；（Ⅲ）()f x 的单调增区间是[1,1]-，单调减区间是(,1]-∞-和[1,)+∞. 19、（Ⅰ） ()f x 为奇函数，∴ ()f x -()f x =-。

江苏省通州市高级中学2020届高三数学期中考试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．已知{|1},M y y x ==+},1|),{(22=+=y x y x N 则集合N M I 中元素的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．多个 2．函数2|2sin 1|y x =-的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ）A ．―1B ．2C ．21D ．―1或2 4．已知n x x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项等于（ ） A ．15 B ．－15 C ．20 D ．－205．抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则a 的值为 ( ) A ．41 B ．41- C ．4 D ．－4 6．n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，已知51013S S =，那么1020SS = （ ）A ．19 B ．18C ．310D ．137．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 （ ）A ．2B ．262+ C ．22+ D ． 22+ 8．将4个不相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰好有2个和谐盒的概率为 （ ） A ．281 B ．481 C ．1281 D ．16819．若'(sin )cos x x =，'(cos )sin x x =-，设0()sin f x x =,'10()()f x f x =，'21()()f x f x =，…，'1()()n n f x f x +=，n N ∈，则2006()f x = （ ）A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下正确的是 （ ） A ．||||b a MO MT -=- B ．||||b a MO MT ->- C ．||||b a MO MT -<- D ．b a -与||||MO MT -大小不定二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题卷的横线上）11．若34)1(6)1(4)1()(234-+-+-+-=x x x x x f ，则)2(f ＝12．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = . 13．一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是__________________．14．已知12006321=⋅⋅x x x x Λ，且200621,,,x x x Λ都是正数，则)1()1)(1(200621x x x +++Λ的最小值是 ．15．已知三棱锥ABC O -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，y OB x OA x OC ===,,2 且3=+y x ，则三棱锥ABC O -的体积最大时，其外接球的体积为_____________. 16．对于集合N ={1, 2, 3,…, n }及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5. 当集合N 中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S 2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n =4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3、S 4，并根据其结果猜测集合N ={1, 2, 3,…, n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n = .(不必给出证明)三、解答题：（本大题共5个小题，共70分. 解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤.） 17．（本题满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，⋅=⋅. （1）求证：2a 、2b 、2c 成等差数列；A BDPCC 1D 1 A 1B 1（2）求角B 的取值范围及B B cos sin +的取值范围.18．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足14,454132=+=⋅a a a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）通过cn S b nn +=构造一个新数列{}n b ，是否存在一个非零常数c ，使{}n b 也为等差数列；（3）求*)()2005()(1N n b n b n f n n∈⋅+=+的最大值.19．（本题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090,2,ACB BC AC ∠===14AA =，D 为棱1CC 上的一动点，M 、N 分别为11,ABD A B D ∆∆的重心．（1）求证：MN BC ⊥；（2）若二面角C —AB —D的大小为， 求点C 1到平面11A B D 的距离；（3）若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，试判 断点C 1在11A B D ∆的射影是否为N ？并说明理由．20．（本题满分15分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，实轴长为2. 一条斜率为1的直线l 过右焦点F 与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与右准线交于,M N 两点. （1）若双曲线的离心率为2，求圆的半径；（2）设AB 的中点为H ，若163HM HN ⋅=-u u u u r u u u r ，求双曲线的方程.21．（本题满分15分）已知函数f x ()的定义域为I ，导数f x '()满足02<<f x '()且f x '()≠1，常数c 1为方程f x x ()-=0的实数根，常数c 2为方程f x x ()-=20的实数根.（I ）若对任意[]a b I ，⊆，存在()x a b 0∈，，使等式f b f a b a f x ()()()'()-=-0成立.求证：方程f x x ()-=0不存在异于c 1的实数根； （II ）求证：当x c >2时，总有f x x ()<2成立；（III ）对任意x x 12、，若满足x c x c 112111-<-<，，求证：f x f x ()()124-<.ABCDM NA 1B 1C 1[参考答案]1、A2、B3、B4、A5、B6、C7、D8、D9、B 10、A 11、4 12、3或31613、285个 14、22020 15、π2217 16、n .2n –1 17、（1）)()()()(+⋅-=+⋅-，即得2222c b b a -=- 则222,,c b a 成等差数列；（2）30π≤<B ；2cos sin 1≤+<B B . 18、（1）∵等差数列{}n a 中，公差0>d ，∴34495144514453232324132-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅⇒⎩⎨⎧=+=⋅n a d a a a a a a a a a a n .（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=2122341n n n n S n ，c n S b n n +=c n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212，令21-=c ，即得n b n 2=，数列{}n b 为等差数列，∴存在一个非零常数21-=c ，使{}n b 也为等差数列. （3）()()11()2005(2005)200512006nn b n f n n b n n n n+===+⋅++++<, ∵()0802079212005289442005200545<-=-=---，即442005200545-<-， ∴45=n 时，()n f 有最大值18860946205045=⨯。

开始结束20<z是输出xy否（第4题图）x ←1, y ←1 z ←x + yx ←y y ←z江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷一．填空题（本大题满分70分）1．在复平面内，复数 ＝表示的点所在的象限是_ ▲__ 2．已知集合A ＝{x ｜x ＞2，或x ＜－1}，B ＝{x ｜}，若A ∪B ＝R ，A∩B ＝{x ｜2<x≤4}，则＝_ ▲__3．一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是_ ▲__4．右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ _ ． 5．m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲_ ．①若m ∥n ，m ⊥β，则n ⊥β；②若m ∥n ，m ∥β，则n∥β； ③m ∥α，m∥β，则α∥β；④若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β． 6．已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的斜率为 ，且右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲_ ． 7．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是_▲_ 8．已知，且，则＝_▲_9．已知函数f(x)＝lnx ，若任意x 1，x 2∈[2，3]，且x 2＞x 1，，则t 的取值范围 ▲_10．在△ABC 中，已知，sinB ＝cosA ⋅sinC ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且，则xy 的最大值为__________ 11．在△ABC 中，D 为AB 上任一点，h 为AB 边上的高，△ADC ．△BDC ．△ABC 的内切圆半径分别为，则有如下的等式恒成立：．在三棱锥P-ABC 中D 位AB 上任一点，h 为过点P 的三棱锥的高，三棱锥P-ADC ．P-BDC ．P-ABC 的内切球的半径分别为，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_▲__ .12．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，，，则该球的体积为 ▲_ ．13．已知x ，y 都在区间(0，1]内，且xy ＝13，若关于x ，y 的方程44－x ＋33－y －t ＝0有两组不同的解(x ，y )，则实数t 的取值范围是_ ▲__ . 14．各项均为正数的等比数列中，，若从中抽掉一a x b ≤≤12,,r r r hCDr AB r BD r AD 221+=+12,,r r r ABCD P -ABCD PA ⊥2=PA {}n a 811=a 12...8(2,)m m a a a m m N +⋅⋅⋅=>∈项后，余下的m-1项之积为，则被抽掉的是第 ▲_ 项.二．解答题（本大题满分90分）15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ， ＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4，(1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．16．在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为. （1）求证：//平面； （2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.17．提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． （Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位： 辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据） 1(42)m -AC AB ∙1111ABCD A B C D -,E F 1,AD DD 2AB BC ==11A C B 、、111ABCD A C D -403EF 11A BC 1A A 1BC P 1A P 1C D 1A P xkx v --=25040)(236.25≈A 1D D 1C 1ACB EF18．函数在处的切线方程与直线平行； （1）若＝，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立； （3）若，方程有三个解，求实数的取值范围．19．如图，已知椭圆过点(1，)，离心率为，左．右焦点分别为F 1．F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ．B 和C ．D ，O 为坐标原点． ()(,0)1bf x ax a a a x =+-∈≠-R 3x =(21)230a x y --+=()g x (1)f x +()g x 0x =y ax =,m k ()()f x f m x k +-=x (3)3f =2()(23)f x t x x x =-+t )0(1:22221>>=+b a by a x C 2222(1)求椭圆的标准方程．(2)设直线PF 1．PF 2的斜率分别为k 1．k 2.(ⅰ)证明：＝2. (ⅱ)问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA ．OB ．OC ．OD 的斜率k OA ．k OB ．k OC ．k OD 满足k OA ＋k OB ＋k OC ＋k OD ＝0？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为中的三项，，．高三数学模拟练习加 试21．选做题．选修：几何证明选讲 如图，自⊙外一点作⊙的切线和割线，点为切点，割线交⊙于，两点，点在上．作，垂足为点 求证：． 2131k k -}{n a n n S 2)1(4+=n n a S *N n ∈}{n a }{n b ta ab n nn +=*N t ∈1b 2b m b *,3N m m ∈≥t m }{n a 1n a 2n a 3n a A 14-O P O PC PBA C PBA O A B O AB AB CD ⊥.D DCBDPA PC=．选修：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是。

江苏省通州高级中学、泗洪中学2024~2025学年高三上学期期中联考数学试卷一、单选题1．设集合()1,1A =-，{}2B y y x -==，则A B = （）A ．()1,1-B ．()()1,00,1-UC ．()0,1D ．[)0,12．已知复数z 满足23i z z +=-，则z =（）A ．1BC ．2D 3．已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）．A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．4．已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）A ．28πB ．32πC ．64πD ．192π5．若命题“[]3,0x ∃∈-，不等式20x -+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．(],2-∞6．若直线y kx =与曲线()lg f x x =相切，则实数k =（）A ．elg eB ．1eC ．1ln10eD ．1lg ee7．已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，3a b -=r r c满足1c a -= ，则c b - 的最大值为（）A1B ．1+C ．4D ．18．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若()21f x +，()2g x +均为奇函数，且()24f =，则()20250k f k ==∑（）A ．2025B ．0C ．-4D ．4二、多选题9．已知0a >，0b >，且22a b +=，下列选项中错误的是（）A ．12a b+的最小值为9B ．2a b-的最小值为2C的最大值为2D ．()22log 1log a b ⋅+的最大值为110．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线与x 轴交于点A .以F 为圆心，AF 为半径的圆记为圆F ，B 是抛物线C 与圆F 的一个公共点，P 是圆F 上的动点，则（）A ．直线BF x ⊥轴B ．直线AB 与C 相切C ．0PA PB ⋅≥ D．1PA PB ⋅≤11．已知函数()()()sin sin cos cos f x x x ϕϕ=+++，则（）A ．当π2ϕ=时，()f x 是偶函数B ．当0ϕ=时，()f x 没有零点C ．存在实数ϕ，使得函数()f x 的最大值为2D ．对任意实数ϕ，()π012f <-三、填空题12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>3y =与C 交于A ，B 两点且AB =C 的方程为.13．已知A ，B ，C 满足π2A B C --=，且cos 2cos cos A B C =，tan tan 3B C =，则tan A =.14．若函数()22,01,02ax x xf x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若CD 为CB在CA 方向上的投影向量的长，且满足2sin c A =.(1)求cos C 的值；(2)若a =3cosbc A =，求ABC V 的周长.16．已知函数()21e xf x x m =+-.(1)讨论()f x 单调性；(2)证明：当0m >时，()2254f x m <-.17．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为2，直线y kx =与C 交于,A B 两点,P 是C 上异于,A B 的一点设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，满足1212k k =-.(1)求C 的方程；(2)点Q 在C 上，满足2AB PQ =，直线AP ，BQ 相交于点M ，求证：MAB △的面积为定值.18．如图，四棱锥P ABCD -中，1AB AD CD ===，AD BC ∥，M 为PB 的中点，//AM 平面PCD .(1)求证：2BC AD =；(2)若PA AB ⊥，=PB PD ，平面PAB ⋂平面PCD l =，二面角B l C --，求四棱锥P ABCD -的体积.19．对于定义在D 上的函数()f x 其导函数为()f x '.若存在k D ∈，使得()()f f k k '=且x k =是()f x 的极值点，则称()f x 为“极致k 函数”.设函数()cos sin f x x x a x =+，其中ππ22x -<<，a ∈R .(1)判断函数()f x 是否为“极致0函数”?请说明理由；(2)若函数()f x 单调递减，求实数a 的取值范围；(3)对任意a ∈R ，证明：函数()()()21cos g x a x f x a '=+--是“极致0函数”.。

江苏省南通市通州高级中学2022-2023学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、双空题16．记()R n 表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则()63R =，10的正因数有1，2，5，10，则()510R =，记()()()()()12321n T n R R R R =++++-L ，()2T =______； ()T n =______．EG EF FA AG EB =++= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 正确；对于B，由正六边形的性则向量CDuuu r在ABuuu r上的投影向量为则()0,0A，()2,0B，设P[]22,6AP AB m×=Î-uuu r uuu r，C对于D，由题意知：(0,2 E设()(),002G t t ££，CE \uuu r ()3331CG CE t ×=---=uuu r uuu r 56AG AB =uuu r uuu r ，即56l =，D 故选：AC.12．ABC【分析】对于A 直接计算即可；对于当71063b-<<时,函数()g x有3个零点．20．(1)证明见解析(2)43535【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2019～2020学年第一学期期中考试高一数学试题注意事项1．本试卷包含选择题（共10题）、填空题（共6题）、解答题（共6题），满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人相符. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．1.已知集合{}| 1A x x =>，{}0,1,2B =，则A B =I （ ） A. {}0 B. {}2C. {}1,2D. {}0,1,2【答案】B 【分析】直接在集合B 中找到大于1的元素即可.【详解】{}0,1,2B =,只有2满足大于1,故A B =I {}2. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算.2.函数()f x 的定义域为（ ）A. (],1-∞B. (),1-∞C. ()(],44,1-∞--UD.()(),44,1-∞--U【答案】C【分析】由()f x =,易得1040x x -≥⎧⎨+≠⎩ ,求解即可.【详解】由题, 101,440x x x x -≥⎧⇒≤≠-⎨+≠⎩,故定义域为()(],44,1-∞--U , 故选：C.【点睛】常见定义域：(1)根号下大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.3.已知幂函数()f x 的图象经过点()12,4，则1()4f 的值为（ ）A.116B.12C. 2D. 16【答案】D 【分析】由题可设幂函数表达式,再代入点()12,4求解参数即可算出表达式,再计算1()4f 即可.【详解】设()af x x =,因为函数过()12,4,故2122224aa a -=⇒=⇒=-,所以2()f x x -=,故2211()41644f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】已知幂函数可设()af x x =,仅含一个参数,故代入一个点即可求得参数a .4.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A. 12y x = B. 3xy =C. 2log y x =D. 1xy x =-【答案】A 【分析】直接对每个选项进行值域分析即可. 【详解】对A ：12y x ==函数单调递增,值域为[)0,+∞；对B ：指数函数3xy =单调递增,值域为()0,+∞；对C ：对数函数2log y x =值域为R ； 对D ：1111111xx y x x x -+===+---,值域为()(),11,-∞+∞U ；故选：A.【点睛】指数函数定义域为R ,值域为()0,+∞,对数函数定义域为()0,+∞,值域为R .幂函数需要根据指数的值来判定值域.5.已知函数()log ()a f x x b =+的图象如图，则ab =（ ）A. －6B. －8C. 6D. 8【答案】D 【分析】由图得, ()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,代入求解算出,a b 即可.【详解】()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,故()22log 0log 331a a ba b b b =⎧⎧=⇒⎨⎨=--=⎩⎩ ,因为0a >且1a ≠,所以24a b =⎧⎨=⎩,故8ab =. 故选：D.【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可.6.二次函数2()2f x x tx =-+在[)1,+∞上最大值为3，则实数t ＝（ ） A. 33C. 2D. 23【答案】B【分析】先求二次函数对称轴,分析对称轴与区间的位置关系来判定在哪点处取得最大值. 【详解】对称轴x t =,判断对称轴与区间的位置关系,当1t ≤时,2()2f x x tx =-+在区间[)1,+∞上单调递减, max ()(1)21f x f t ==-, 此时213,2t t -==,不满足1t ≤；当1t >时,222max ()()2f x f t t t t ==-+=,此时23t t =⇒=又1t >所以t =. 故选：B.【点睛】求二次函数最值问题,需要分析开口方向与对称轴和区间的位置关系,从而得到最大最小值处的取值,同时分类讨论需要注意大前提与得出的结论需要取交集.7.已知函数()2x f x =，若()()()0.222,,lo 52g a f b f c f ===，则（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜b ＜aC. b ＜a ＜cD. a ＜c ＜b【答案】A 【分析】由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可. 【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.21222<=,222log 4log 5=<,故0.2222log 5<<,所以()()()0.2222lo 5g f f f <<,故a b c <<.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当()f x 为增函数时,自变量越大则函数值越大.8.已知函数321,3,()21,3,3x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩满足()3f a =，则a 的值是（ ）A. 4B. 8C. 10D. 4或10【答案】C 【分析】分情况3x ≤和3x >解出a 的值,并注意判断是否满足分段的标准即可. 【详解】当3a ≤时,令32134a a -+=⇒=,不满足3a ≤；当3a >时,令2132139103a a a a a +=⇒+=-⇒=-,满足3a >.所以10a =. 故选：C.【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.9.函数212()log (43)f x x x =-+的单调递增区间是 A. (,1)-∞ B. (,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (3,)+∞【答案】A试题分析：由得函数的定义域为(3,)(,1)+∞⋃-∞,再根据复合函数的单调性可知内函数的减区间即为原函数的增区间，所以f(x)的单调递增区间为(,1)-∞. 考点：复合函数的定义域，单调区间。